卡尔曼滤波器介绍
倾角卡尔曼滤波-概述说明以及解释
倾角卡尔曼滤波-概述说明以及解释1.引言1.1 概述倾角卡尔曼滤波是一种用于测量倾角的方法，它结合了倾角测量与卡尔曼滤波原理。
倾角的测量在许多领域中都是非常重要的，例如航空航天、导航系统以及工业自动化等。
倾角的准确测量可以帮助我们判断物体的姿态、稳定性以及对周围环境做出合适的调整。
然而，由于当前倾角传感器本身存在一定的误差和干扰，因此需要采用合适的滤波算法来对倾角进行精确估计和校正。
在这方面，倾角卡尔曼滤波是一种被广泛应用的方法。
倾角卡尔曼滤波算法基于卡尔曼滤波原理，通过对倾角的测量数据进行预测和更新，以得到更加准确、稳定的倾角估计值。
它利用了传感器测量数据的统计特性和系统模型的动态特性，通过权衡预测值和测量值的不确定性来对倾角进行优化估计。
相比其他滤波算法，倾角卡尔曼滤波具有以下优势：首先，它能够有效地抑制传感器数据中的噪声和干扰，并能够适应不同程度的噪声；其次，它具有较高的估计精度和稳定性，能够准确地跟踪目标物体的倾角变化；最后，倾角卡尔曼滤波算法具有较快的收敛速度和较低的计算复杂度，适用于实时应用场景。
未来，倾角卡尔曼滤波在自动化控制、导航系统等领域具有广阔的应用前景。
随着技术的不断进步和创新，倾角卡尔曼滤波算法将更加成熟和精确，为各行各业提供更加可靠和准确的倾角测量方法。
同时，倾角卡尔曼滤波的应用也将得到进一步的拓展，为我们创造更多便利和可能性。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下:文章结构部分的目的是为了向读者介绍本文的大致结构和内容安排。
本文将按照以下方式进行组织和撰写:第一部分是引言，主要包括概述、文章结构和目的三个小节。
在概述部分，会简要介绍倾角卡尔曼滤波的背景和重要性，引起读者的兴趣。
在文章结构部分，将详细说明本文的结构安排，以便读者能够清楚地了解整篇文章的内容。
在目的部分，将明确本文的目标和意义，为读者提供一个阅读的导向。
第二部分是正文，主要包括倾角测量方法和卡尔曼滤波原理两个小节。
非线性卡尔曼滤波器
UKF计算步骤：
PF
PF
● 粒子滤波(PF: Particle Filter)的思想基于蒙特卡洛方法(Monte Carlo methods)，它是 利用粒子集来表示概率，可以用在任何形式的状态空间模型上。其核心思想是通过从后 验概率中抽取的随机状态粒子来表达其分布，是一种顺序重要性采样法(Sequential Importance Sampling)。简单来说，粒子滤波法是指通过寻找一组在状态空间传播的随 机样本对概率密度函数进行近似，以样本均值代替积分运算，从而获得状态最小方差分 布的过程。这里的样本即指粒子,当样本数量N→∝时可以逼近任何形式的概率密度分布。
EKF
首先围绕滤波值 xˆk 将非线性函数 f , g 展开Taylor级数并
略去二阶及以上项，得到一个近似的线性化模型，然后应用 Kalman滤波完成对其目标的滤波估计等处理。
1.对状态模型的一阶Taylor展示：
xk f
xˆk 1
f xˆk 1
xk 1 xˆk 1 k
令
f
F
xˆk 1
f1 f1
xˆ1
xˆ2
f xˆk 1
F
f2 xˆ1
f2 xˆ2
fn fn
xˆ1 xˆ2
f1
xˆn
f2 xˆn
fn
xˆn
g1 g1
xˆ1
xˆ2
g xˆk
H
g2 xˆ1
g2 xˆ2
simulink中卡尔曼滤波
simulink中卡尔曼滤波卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用于处理线性动态系统的滤波器，通过观测数据和系统模型的融合，可以估计系统的状态。
在Simulink中，我们可以方便地使用卡尔曼滤波器来处理各种实际问题。
卡尔曼滤波的基本原理是通过融合系统模型的预测和观测数据的更新来估计系统的状态。
在卡尔曼滤波中，系统的状态被表示为一个向量，包含了系统的各个变量。
卡尔曼滤波的核心是状态估计，通过观测数据对状态进行修正和更新，从而提高状态的精确度。
在Simulink中使用卡尔曼滤波器可以分为两个主要步骤：建立模型和设置滤波参数。
首先，我们需要建立系统的数学模型，即状态转移方程和观测方程。
状态转移方程描述了系统状态随时间的演变规律，而观测方程描述了观测数据与系统状态之间的关系。
建立好系统模型之后，我们需要设置滤波参数，包括系统的初始状态、系统噪声的方差和观测噪声的方差等。
这些参数的设置对于滤波结果的准确性和稳定性非常重要，需要根据具体的应用场景进行调整。
在Simulink中，我们可以通过Kalman Filter模块来实现卡尔曼滤波器。
该模块需要输入系统的状态转移矩阵、观测矩阵、系统噪声方差、观测噪声方差等参数，并输出滤波后的状态估计值。
在实际应用中，卡尔曼滤波器广泛应用于各个领域，如导航、控制、信号处理等。
例如，在导航系统中，卡尔曼滤波器可以用于融合GPS、惯性测量单元（IMU）等多种传感器数据，提高位置和姿态的精确度。
另一个常见的应用是目标跟踪。
在目标跟踪中，我们需要根据传感器数据来估计目标的状态，如位置、速度等。
卡尔曼滤波器可以通过融合雷达、摄像头等多种传感器数据，提供更准确的目标状态估计结果。
除了基本的卡尔曼滤波器，Simulink还提供了一些变种滤波器，如扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter）和无迹卡尔曼滤波器（Unscented Kalman Filter）。
mems卡尔曼滤波
mems卡尔曼滤波
MEMS卡尔曼滤波是一种用于处理微机电系统（MEMS）传感器输出数据的滤波方法。
MEMS传感器是小型化的传感器，可以在许多应用中使用，例如智能手机，汽车和医疗设备。
MEMS传感器的输出数据通常存在噪声和误差，需要使用滤波器来提高数据质量和准确性。
卡尔曼滤波是一种常用的滤波方法，可以通过对传感器输出的数据进行预测和校正来减少误差和噪声。
MEMS卡尔曼滤波将传感器输出数据建模为状态变量的向量，并使用卡尔曼滤波算法来估计每个状态变量的最佳值。
MEMS卡尔曼滤波是一种非常有效的滤波方法，可以在减少传感器输出数据误差的同时，保持较高的数据采样率和精度。
它已被广泛应用于许多领域，包括飞行控制，自动导航，机器人技术和医疗设备等。
使用MEMS卡尔曼滤波可以改善传感器输出数据的质量，并提高系统的准确性和稳定性。
对于需要高精度和高稳定性的应用，如自动导航和医疗设备等，MEMS卡尔曼滤波是一种非常有用的滤波方法。
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卡尔曼滤波器介绍 --- 最容易理解
10.6 卡尔曼滤波器简介本节讨论如何从带噪声的测量数据把有用信号提取出来的问题。
通常，信号的频谱处于有限的频率范围内，而噪声的频谱则散布在很广的频率范围内。
如前所述，为了消除噪声，可以把 FIR滤波器或IIR滤波器设计成合适的频带滤波器，进行频域滤波。
但在许多应用场合，需要进行时域滤波，从带噪声的信号中提取有用信号。
虽然这样的过程其实也算是对信号的滤波，但所依据的理论,即针对随机信号的估计理论,是自成体系的。
人们对随机信号干扰下的有用信号不能“确知”，只能“估计”。
为了“估计”，要事先确定某种准则以评定估计的好坏程度。
最小均方误差是一种常用的比较简单的经典准则。
典型的线性估计器是离散时间维纳滤波器与卡尔曼滤波器。
对于平稳时间序列的最小均方误差估计的第一个明确解是维纳在1942年2月首先给出的。
当时美国的一个战争研究团体发表了一个秘密文件，其中就包括维纳关于滤波问题的研究工作。
这项研究是用于防空火力控制系统的。
维纳滤波器是基于最小均方误差准则的估计器。
为了寻求维纳滤波器的冲激响应，需要求解著名的维纳-霍夫方程。
这种滤波理论所追求的是使均方误差最小的系统最佳冲激响应的明确表达式。
这与卡尔曼滤波（Kalman filtering）是很不相同的。
卡尔曼滤波所追求的则是使均方误差最小的递推算法。
在维纳进行滤波理论研究并导出维纳-霍夫方程的十年以前，在1931年，维纳和霍夫在数学上就已经得到了这个方程的解。
对于维纳-霍夫方程的研究，20世纪五十年代涌现了大量文章，特别是将维纳滤波推广到非平稳过程的文章甚多，但实用结果却很少。
这时正处于卡尔曼滤波问世的前夜。
维纳滤波的困难问题，首先在上世纪五十年代中期确定卫星轨道的问题上遇到了。
1958年斯韦尔林（Swerling）首先提出了处理这个问题的递推算法，并且立刻被承认和应用。
1960年卡尔曼进行了比斯韦尔林更有意义的工作。
他严格地把状态变量的概念引入到最小均方误差估计中来，建立了卡尔曼滤波理论。
卡尔曼滤波简介及其算法实现代码
卡尔曼滤波简介及其算法实现代码卡尔曼滤波算法实现代码（C，C＋＋分别实现）卡尔曼滤波器简介近来发现有些问题很多人都很感兴趣。
所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所能及的算法。
现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允许，我还希望能够写写其他的算法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波，神经网络，图像处理等等。
因为这里不能写复杂的数学公式，所以也只能形象的描述。
希望如果哪位是这方面的专家，欢迎讨论更正。
卡尔曼滤波器– Kalman Filter1．什么是卡尔曼滤波器（What is the Kalman Filter?）在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。
1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。
简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍（Introduction to the Kalman Filter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
(中文)第二章 卡尔曼滤波器
两个步骤递归计算就构成了最优的贝叶斯估计。遗憾的是，式和在很多场合
下没有可分解的计算方法，所以它们只是一个理论上的解。基于特定分布的
假设，如高斯分布可以获得最优估计的解析的计算方法 。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波器认为后验概率在任何时刻都是高斯分布的，这样由均
值和方差就可以完全确定其概率分布。可以证明，如果 p xk1 | z1:k1 是高 斯的，那么要使 p xk | z1:k 也是高斯的话，隐含了下面的假设：
结构框图
计算步骤
Pn a2 n 1 Q
Gn
R
cPn c2Pn
n 1 cGn Pn
sˆn n a sˆn 1n 1Gnxn acsˆn 1n 1
Initiation sˆ00,0 P1 G1 1, sˆ11
信号矢量：例1
（同时估计若干个信号）
si n aisi n 1 wi n , i 1, 2, , q
2.2 维纳滤波器的迭代实现
信号模型和测量模型： sn asn 1 wn xn csn vn
因果IIR维纳滤波器 （前面推导结果）：
sˆ n n , sˆ n n 1 , xˆ n n 1
分别代表用n时刻以及n-1时刻及以 前所有数据对s(n)和x(n)的估计值
迭
代
差分方程
形
sˆn n f sˆn 1n 1Gnxn
使用观察值更新预测（求后 验分布均值）
mk|k mk|k1 Kk zk Hk mk|k 1
求估计误差功率（求后验分 布方差）
Pk|k Pk|k 1 Kk Hk Pk|k 1
初始估计：m0|0 P0|0
2.4 卡尔曼滤波器扩展（非线性）
1。Extended Kalman Filter(EKF)
卡尔曼滤波器的优缺点
卡尔曼滤波器的优点主要包括：适用于线性系统：卡尔曼滤波器特别适用于线性系统的状态估计，因为它的递归算法能够在线性系统中实现最优估计。
计算效率高：卡尔曼滤波器在估计过程中不需要存储所有的数据，只需要当前和前一时刻的状态，因此计算效率较高。
适用于多维数据：卡尔曼滤波器可以扩展到多维状态空间，因此可以用于处理多传感器、多目标跟踪等问题。
然而，卡尔曼滤波器也存在一些局限性：要求系统具有线性特性：卡尔曼滤波器要求系统具有线性特性，对于非线性系统，需要采用扩展卡尔曼滤波器等改进方法，但这些方法精度和稳定性可能受到影响。
对初值和参数敏感：卡尔曼滤波器的估计结果对初值和参数的选择非常敏感，如果初值或参数选择不当，可能会导致估计结果不稳定或不准确。
对噪声模型的要求：卡尔曼滤波器要求噪声服从高斯分布，如果噪声不服从高斯分布，可能会导致估计结果失真。
对系统动态模型的要求：卡尔曼滤波器要求系统动态模型是已知的，并且是准确的，如果模型不准确或存在误差，可能会导致估计结果不准确。
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卡尔曼滤波器介绍Greg Welch1and Gary Bishop2TR95-041Department of Computer ScienceUniversity of North Carolina at Chapel Hill3Chapel Hill,NC27599-3175翻译：姚旭晨更新日期:2006年7月24日，星期一中文版更新日期：2007年1月8日，星期一摘要1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文。
从那以后，得益于数字计算技术的进步，卡尔曼滤波器已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。
卡尔曼滤波器由一系列递归数学公式描述。
它们提供了一种高效可计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方误差最小。
卡尔曼滤波器应用广泛且功能强大：它可以估计信号的过去和当前状态，甚至能估计将来的状态，即使并不知道模型的确切性质。
这篇文章介绍了离散卡尔曼理论和实用方法，包括卡尔曼滤波器及其衍生：扩展卡尔曼滤波器的描述和讨论，并给出了一个相对简单的带图实例。
1welch@,/˜welch2gb@,/˜gb3北卡罗来纳大学教堂山分校，译者注。
1Welch&Bishop,卡尔曼滤波器介绍21离散卡尔曼滤波器1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文[Kalman60]。
从那以后，得益于数字计算技术的进步，卡尔曼滤波器已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。
[Maybeck79]的第一章给出了一个非常“友好”的介绍，更全面的讨论可以参考[Sorenson70]，后者还包含了一些非常有趣的历史故事。
更广泛的参考包括[Gelb74,Grewal93,Maybeck79,Lewis86,Brown92,Jacobs93]。
被估计的过程信号卡尔曼滤波器用于估计离散时间过程的状态变量x∈ n。
这个离散时间过程由以下离散随机差分方程描述：x k=Ax k−1+Bu k−1+w k−1,(1.1)定义观测变量z∈ m，得到量测方程：z k=Hx k+v k.(1.2)随机信号w k和v k分别表示过程激励噪声1和观测噪声。
假设它们为相互独立，正态分布的白色噪声：p(w)∼N(0,Q),(1.3)p(v)∼N(0,R).(1.4)实际系统中，过程激励噪声协方差矩阵Q和观测噪声协方差矩阵R可能会随每次迭代计算而变化。
但在这儿我们假设它们是常数。
当控制函数u k−1或过程激励噪声w k−1为零时，差分方程1.1中的n×n 阶增益矩阵A将上一时刻k−1的状态线性映射到当前时刻k的状态。
实际中A可能随时间变化，但在这儿假设为常数。
n×l阶矩阵B代表可选的控制输入u∈ l的增益。
量测方程1.2中的m×n阶矩阵H表示状态变量x k 对测量变量z k的增益。
实际中H可能随时间变化，但在这儿假设为常数。
滤波器的计算原型定义ˆx−k∈ n（−代表先验，ˆ代表估计）为在已知第k步以前状态情况下第k步的先验状态估计。
定义ˆx k∈ n为已知测量变量z k时第k步的后验状态估计。
由此定义先验估计误差和后验估计误差：≡x k−ˆx−k,e−ke k≡x k−ˆx k1原文为process noise，本该翻译作过程噪声，由时间序列信号模型的观点，平稳随机序列可以看成是由典型噪声源激励线性系统产生，故译作过程激励噪声。
UNC-Chapel Hill,TR95-041,July24,2006Welch &Bishop,卡尔曼滤波器介绍3先验估计误差的协方差为：P −k =E [e −k e −k T ],(1.5)后验估计误差的协方差为：P k =E [e k e k T ],(1.6)式1.7构造了卡尔曼滤波器的表达式：先验估计ˆx −k 和加权的测量变量z k 及其预测H ˆx −k 之差的线性组合构成了后验状态估计ˆx k 。
式1.7的理论解释请参看“滤波器的概率原型”一节。
ˆx k =ˆx −k +K (z k −H ˆx −k )(1.7)式1.7中测量变量及其预测之差(z k −H ˆx −k )被称为测量过程的革新或残余。
残余反映了预测值和实际值之间的不一致程度。
残余为零表明二者完全吻合。
式1.7中n ×m 阶矩阵K 叫做残余的增益或混合因数，作用是使1.6式中的后验估计误差协方差最小。
可以通过以下步骤计算K ：首先将1.7式代入e k 的定义式，再将e k 代入1.6式中，求得期望后，将1.6式中的P k 对K 求导。
并使一阶导数为零从而解得K 值。
详细推导清参照[Maybeck79,Brown92,Jacobs93]。
K 的一种表示形式为：K k =P −k H T (HP −k H T +R )−1=P −k H T HP −k H T +R .(1.8)由1.8式可知，观测噪声协方差R 越小，残余的增益越大K 越大。
特别地，R 趋向于零时，有：lim R k →0K k =H −1.另一方面，先验估计误差协方差P −k 越小，残余的增益K 越小。
特别地，P −k 趋向于零时，有：lim P −k →0K k =0.增益K 的另一种解释是随着测量噪声协方差R 趋于零，测量变量z k 的权重越来越大，而z k 的预测H ˆx −k 的权重越来越小。
另一方面，随着先验估计误差协方差P −k 趋于零，测量变量z k 的权重越来越小，而z k 的预测H ˆx −k 的权重越来越大。
UNC-Chapel Hill,TR 95-041,July 24,2006Welch&Bishop,卡尔曼滤波器介绍4滤波器的概率原型解释1.7式的解释来源于贝叶斯规则：ˆx k的更新取决于在已知先前的测量变量z k的情况下x k的先验估计ˆx−k的概率分布。
卡尔曼滤波器表达式中包含了状态分布的前二阶矩。
E[x k]=ˆx kE[(x k−ˆx k)(x k−ˆx k)T]=P k.后验状态估计1.7式反应了状态分布的均值（一阶矩）——如果条件式1.3和1.4成立，均值的估计便是正态分布的。
后验估计误差协方差1.6式反映了状态分布的方差（二阶非中心矩）。
在已知z k的情况下，x k的分布可写为：p(x k|z k)∼N(E[x k],E[(x k−ˆx k)(x k−ˆx k)T])=N(ˆx k,P k).有关卡尔曼滤波器的概率原型的更多讨论，请参考[Maybeck79, Brown92,Jacobs93]。
离散卡尔曼滤波器算法我们先给出卡尔曼滤波器的总体性概述，然后讨论方程式的具体细节及其作用。
卡尔曼滤波器用反馈控制的方法估计过程状态：滤波器估计过程某一时刻的状态，然后以（含噪声的）测量变量的方式获得反馈。
因此卡尔曼滤波器可分为两个部分：时间更新方程和测量更新方程。
时间更新方程负责及时向前推算当前状态变量和误差协方差估计的值，以便为下一个时间状态构造先验估计。
测量更新方程负责反馈——也就是说，它将先验估计和新的测量变量结合以构造改进的后验估计。
时间更新方程也可视为预估方程，测量更新方程可视为校正方程。
最后的估计算法成为一种具有数值解的预估－校正算法，如图1-1所示。
UNC-Chapel Hill,TR95-041,July24,2006Welch&Bishop,卡尔曼滤波器介绍5图1-1:离散卡尔曼滤波器循环更新图。
时间更新方程将当前状态变量作为先验估计及时地向前投射到测量更新方程，测量更新方程校正先验估计以获得状态的后验估计。
表1-1和表1-2分别给出了时间更新方程和测量更新方程的具体形式。
表1-1:离散卡尔曼滤波器时间更新方程ˆx−k=Aˆx k−1+Bu k−1(1.9)P−k=AP k−1A T+Q(1.10)请再次注意表1-1中的时间更新方程怎样将状态估计x−k和协方差估计P−k 从k−1时刻向前推算到k时刻。
A和B来自式1.1，Q来自式1.3，滤波器的初始条件在早先的引用中讨论过。
表1-2:离散卡尔曼滤波器状态更新方程K k=P−k H T(HP−kH T+R)−1(1.11)ˆx k=ˆx−k+K k(z k−Hˆx−k)(1.12)P k=(I−K k H)P−k(1.13)测量更新方程首先做的是计算卡尔曼增益K k。
注意1.11式和1.8式是相同的。
其次便测量输出以获得z k，然后按1.12式（与1.7式相同）产生状态的后验估计。
最后按1.13式估计状态的后验协方差。
计算完时间更新方程和测量更新方程，整个过程再次重复。
上一次计UNC-Chapel Hill,TR95-041,July24,2006Welch&Bishop,卡尔曼滤波器介绍6算得到的后验估计被作为下一次计算的先验估计2。
这种递归推算是卡尔曼滤波器最吸引人的特性之一——它比其它滤波器更容易实现：例如维纳滤波器[Brown92]，每次估计必须直接计算全部数据，而卡尔曼滤波器每次只根据以前的测量变量递归计算当前的状态估计。
图1-2将表1-1和表1-2结合显示了滤波器的整个操作流程。
图1-2:卡尔曼滤波器工作原理图，由图1-1和表1-1及表1-2结合得到。
滤波器系数及调整滤波器实际实现时，测量噪声协方差R一般可以观测得到，是滤波器的已知条件。
观测测量噪声协方差R一般是可实现的（可能的），毕竟我们要观测整个系统过程。
因此通常我们离线获取一些系统观测值以计算测量噪声协方差。
通常更难确定过程激励噪声协方差的Q值，因为我们无法直接观测到过程信号x k。
有时可以通过Q的选择给过程信号“注入”足够的不确定性来建立一个简单的（差的）过程模型而产生可以接受的结果。
当然在这种情况下人们希望信号观测值是可信的。
在这两种情况下，不管我们是否有一个合理的标准来选择系数，我们通常（统计学上的）都可以通过调整滤波器系数来获得更好的性能。
调整2即将1.12和1.13式的结果代入1.9和1.10式，译者注。
UNC-Chapel Hill,TR95-041,July24,2006Welch&Bishop,卡尔曼滤波器介绍7通常离线进行，并经常与另一个（确定无误的）在线滤波器对比，这个过程称为系统识别。
在讨论的结尾，我们指出在Q和R都是常数的条件下，过程估计误差协方差R和卡尔曼增益K k都会快速收敛并保持为常量（参照图1-2中的更新方程）。
若实际情况也如此，那么滤波器系数便可以通过预先离线运行滤波器计算，或者，比如说，用[Grewal93]中的方法计算P k的稳定值。
实际中，观测误差R尤其不易保持不变。
例如，用我们的光电跟踪仪观察挂在房间顶棚面板上的信号灯时，较近的信号灯会比较远的信号灯具有较小的观测噪声。