【高等数学 东南大学】§7.1向量及其运算
大一向量数学知识点总结
大一向量数学知识点总结向量是数学中重要的概念，它在几何学、物理学和工程学等领域起着重要作用。
本文将对大一学习的向量相关知识点进行总结。
一、向量的定义和表示方式向量可以理解为有大小和方向的量，常用符号为箭头上方带有一个字母，如a、b等。
向量有多种表示方式，包括坐标表示、分量表示和矩阵表示。
1. 坐标表示：在坐标系中，向量的表示可以用有序数对表示，如(a, b)，其中a为横坐标分量，b为纵坐标分量。
2. 分量表示：向量可以表示为各个方向上的分量的数值构成的序列，如(a1, a2, a3, ..., an)，其中ai为向量在每个方向上的分量。
3. 矩阵表示：向量可以表示为一个行向量或列向量的矩阵形式，如[a1, a2, a3, ..., an]或[a1; a2; a3; ...; an]。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
若向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的和a + b = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)。
2. 向量的数乘：向量的数乘指将向量的每个分量与一个实数相乘。
若向量a = (a1, a2, ..., an)，实数k，则其数乘ka = (ka1, ka2, ..., kan)。
3. 内积：向量的内积又称为点积，表示两个向量之间的夹角和向量长度的乘积。
内积的计算方式有两种。
a. 几何定义：设向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的内积为a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
b. 分量定义：设向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的内积为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
4. 外积：向量的外积又称为叉积，其结果是一个向量。
高中数学向量的基本运算与应用总结
高中数学向量的基本运算与应用总结向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、几何、力学等领域。
在高中数学学习中，学生会接触到向量的基本运算和应用，本文将对这些内容进行总结。
1. 向量的定义和表示方法向量是有大小和方向的量，可用箭头表示。
常用的向量表示方法有坐标表示法和位置矢量表示法。
坐标表示法将向量的起点设置为坐标原点，起点到终点的坐标差表示向量。
位置矢量表示法将向量的起点定为参考点，终点为向量所指的位置。
2. 向量的基本运算(1) 向量的加法：向量加法满足三角形法则。
将两个向量的起点连接，将第一个向量的终点与第二个向量的起点连接，结果向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
(2) 向量的减法：向量减法可以看作是向量加法的逆运算。
将减法转化为加法：A-B = A+(-B)。
(3) 向量的数量积：向量A和B的数量积（内积）定义为A·B=|A||B|cosθ，其中θ为A和B之间的夹角。
数量积具有交换律和结合律。
(4) 向量的向量积：向量A和B的向量积（叉积）定义为A×B=|A||B|sinθn，其中θ为A和B之间的夹角，n为法向量的方向。
向量积具有反交换律和结合律。
3. 向量的应用(1) 向量的平行与共线：两个向量平行的充要条件是它们的方向相同或相反。
三个向量共线的充要条件是其中两个向量平行且长度成比例。
(2) 向量的投影：向量A在向量B上的投影称为向量A在B上的分量，计算方法是A在B方向上的长度乘以B的单位向量。
(3) 向量的点和线的位置关系：利用向量可以判断点和线的位置关系，如点在线上、点在线的延长线上等。
(4) 向量的力学应用：在物理学中，向量广泛用于描述力的大小和方向，可用来计算合力、分解力和力的平衡条件等。
通过学习向量的基本运算和应用，学生可以加深对向量概念和运算法则的理解，同时培养数学思维和解决实际问题的能力。
在实际应用中，向量在物理、几何、工程等领域有着广泛的应用，对于学生的综合素养提高具有重要作用。
7-1向量及其线性运算
（ 为实数）
( a x , a y , a z )
高等数学
a x a y az 推论： a // b bx b y bz
注意：向量b不为零向量，若为零向量参 照教材第9页理解
Advanced Mathematics
高等数学
例：点M(1,2,3) r OM (1,2,3) i 2 j 3k
Advanced Mathematics
r
M ( x, y, z )
o x P ( x,0,0)
Q(0, y ,0)
y
四、利用坐标作向量的线性运算
1、向量线性运算的坐标表达式 设 a (a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ), a a x i a y j a z k , b bx i b y j bz k , 则 a b (a x bx )i (a y b y ) j (a z bz )k ;
Advanced Mathematics D
b
A
C
M
a
B
于是
因为
所以
又因 所以
1 MA (a b ) 2 MC MA, 1 MC (a b ). 2 a b BD 2 MD, 1 MD (b a ). 2
MB MD,
1、空间直角坐标系
ox,oy,oz的正方向按照右手系.
即以右手握住z 轴， 当右手的四个手指从
z 竖轴
高等数学
正向 x 轴以 角度转 2 向正向 y 轴时，大拇
大学高数向量及其线性运算
04
向量的线性变换
向量线性变换的定义与性质
定义
线性变换是向量空间中一种保持向量加法和标量乘法的映射。
性质
线性变换保持向量的加法性质和标量乘法性质，即对于任意向量$x$、$y$和标量 $k$，有$T(x+y)=T(x)+T(y)$和$kT(x)=T(kx)$。
应用
特征值和特征向量在解决实际问题中 具有广泛的应用，如求解线性方程组、 判断矩阵的稳定性、计算矩阵的逆和 行列式等。
05
向量的应用
向量在物理中的应用
力的合成与分解
01
通过向量加法和减法，可以表示和计算物体受到的合力与分力。
速度和加速度
02
在运动学中，速度和加速度可以表示为位置向量的函数，通过
向量运算来描述物体运动状态的变化。
数乘
数乘是指一个实数与向量的乘积，其实质是向量的长度或模的伸缩。设实数$k$与向量 $overset{longrightarrow}{A}$的数乘为$koverset{longrightarrow}{A}$，其长度为 $|koverset{longrightarrow}{A}| = |k| times |overset{longrightarrow}{A}|$。
向量的减法与向量的共线
要点一
向量的减法
向量减法是通过加法来实现的，即 $overset{longrightarrow}{C} = overset{longrightarrow}{A} overset{longrightarrow}{B}$等同于 $overset{longrightarrow}{C} = overset{longrightarrow}{A} + (overset{longrightarrow}{B})$。
空间向量及其运算公开课课件
沿AB、BC、CC1爬行，试问这只蚂蚁
的实际位移是多少？
D
C
B
A
D1
A1
C1
B1
复习回顾：
内容
概念
画法及表示
方法
零向量
平面向量
在平面上，既有大小又有
方向的量，向量的大小叫
做向量的长度或模
用有向线段画出来；
用 AB或 Ԧ 表示
空间向量
在空间上，既有大小又有方
向的量，向量的大小叫做向
AB BC CC1 C1 A
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始
向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
1 2 + 2 3 + 3 4 + ⋯ + −1 = 1
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图
形，则它们的和为零向量。
减法:三角形法则
加法交换律 a b b a
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c)
成立吗？
加法结合律
2、空间向量的加减法运算
b
A
B
a
向量加法的三角形法则
C
D
C
b
Aaຫໍສະໝຸດ B向量加法的平行四边形法则
加法法则：首尾相连首到尾，起点相同
对角线
A1
AB AD CC1
B1
AB AA1 D1C1 CC1
AB AD AA1
D
A
C
B
试一试3
高数 空间向量及其运算
|a|
非零向量a与三个坐标轴正向的夹角 , ,
称为非零向量 a的方向角.
z
P1
a
P2
0 0
O
y
0
x
方向角的余弦 cos , cos , cos
叫做向量
a
的方向余弦.
非零向量
a
(a1 ,
a1
,
a3
)
的方向余弦为
cos
a1
a12 a22 a32
cos
a2
a12
a
2 2
a32
cos
a3
a12 a22 a32
且 cos2 cos2 cos2 1.
例1 设已知两点 P1(2,2, 2), P2(1,3,0), 计算向量 P1P2 的模、方向余弦和方向角.
解 P1P2 (1 2,3 2,0 2) (1,1, 2),
a
b
称为
向量
a 与
b 的向量积.
向量积的几何意义：
|
a
b
|
表示以 a和b
为邻边的平行四边形的面积.
b
| b | sin
a
(a
b)
c
表示以
a,
b,
c为棱的平行六面体的体积.
因此,
三向量
a,b,c
共面
(a b) c 0
故
a b a1b1 a2b2 a3b3 数量积的坐标表达式
设向量
a (a1, a1, a3 ),
向量的四则运算、点积、叉积、正交基
向量的四则运算、点积、叉积、正交基向量是数学中的重要概念，它可以表示空间中的点、力、速度等物理量。
向量的运算包括四则运算、点积和叉积，而正交基是向量空间中的一组基底，具有特殊的性质。
本文将依次介绍这些概念及其应用。
1. 四则运算向量的四则运算包括加法、减法、数乘和除法。
对于两个向量的加法，可以将它们的对应分量相加得到新的向量。
减法与加法类似，只需将对应分量相减。
数乘是将一个向量的每个分量都乘以一个常数，得到一个新的向量。
除法则是将一个向量的每个分量都除以一个常数，得到一个新的向量。
2. 点积点积，也称为内积或数量积，是两个向量之间的运算。
点积的结果是一个标量（即一个实数），表示两个向量之间的夹角和长度关系。
点积的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，然后将乘积相加。
点积有以下性质：- 对于两个向量a和b，它们的点积满足交换律，即a·b = b·a。
- 如果a·b = 0，那么向量a和b是正交的（垂直的）。
- 如果a·b > 0，那么向量a和b的夹角是锐角。
- 如果a·b < 0，那么向量a和b的夹角是钝角。
点积在物理学中有广泛的应用，比如计算两个力的功、求解向量的投影等。
3. 叉积叉积，也称为外积或向量积，是两个向量之间的运算。
叉积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量，并且长度与两个向量的长度乘积和它们夹角的正弦值成正比。
叉积的计算方法是通过行列式的方式得到。
叉积也有一些特殊性质：- 对于两个向量a和b，它们的叉积满足反交换律，即a×b = -b×a。
- 叉积满足分配律，即a×(b+c) = a×b + a×c。
叉积在物理学和几何学中有重要的应用，比如计算力矩、求解平面的法向量等。
4. 正交基正交基是向量空间中的一组基底，具有特殊的性质。
如果一组向量中的任意两个向量都是正交的（垂直的），并且每个向量的长度都是1，则称这组向量是正交基。
高考数学专题复习《空间向量及其运算》PPT课件
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
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解：如图，设 D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，
则 AD 1 AB ，AE 1 AC ，
2
2
∵ DE AE AD 1 (AC AB) 1 BC ，D
2
2
∴DE ∥BC 且 DE 1 BC 。
B
2
A E C
7.1.3 向量的数量积与向量积
A a
一、向量在轴上的投影
q
1．两个向量的夹角
，即a
·a
a
2
a
2
.）
（2）设a
与b
是两个非零向量，则
cos(a,b)
a
b
；
ab
（3）设a
与b
是两个非零向量，则
ab ab 0
。
3．数量积的运算规律
（1）a ·b b ·a （交换律）；
（2）( a ·b ） ( a ）·b （结合律）；
（3）a
·（b
c)
a
的和向量。这是向量加法的三角形法则。
该法则可以推广到任意有限个向量相加的情形。
减法是加法的逆运算，若a
b c
，则称c
是a
与b
的差，或b
是a
与c
的差，分别记为c
a
b
或b
a
c
。
a
c a b
b
向量的减法法则：
将向量a
与向量b
的起点重合，由向量b
的终点指向向量a
的终点的向量c
就是a
类似地可以规定向量与一轴 的夹角或空间两轴的夹角。
B Aa
2．向量在轴上的投影
A
B
l
设有一个向量 AB a 及一l 轴 ，过AB 的起点A 和 终点 B注，意分：别向作量垂A直B l于在l轴的平上面的，投它影们Al与B 轴是一分个别数交量于
A 而和不B是，向则量有。向这线个段数AABB的 的值绝A对B值，等叫于做有向向量线AB段在 l 轴A上B的 的投长影度，，记这为数( A的B)符l 或号(a由)lA，B即的( AB方)l向决A定B，，当 轴l A叫B做 与投轴影l 轴同。向时，其值为正；反向时，其值为负。
设有两非零向量a
与b
O
b
，任取空间一点O ，
B
作OA a ，OB b ，规定不超过 的角AOB
（设 q AOB, 0 q ）称为向量a 与b 的
夹角。记为(a,b) 或(a b) ，即(a,b ) q 。
如果向量a
与b
中有一个是零向量，规定
它们的夹角可在0 与 之间任意取值。
·b
+a
·c
（分配律）。
例 3．试用向量证明余弦定理。
证：如图，作 ABC
及向量a
，b
，c
，
则有
c
a
b
。
b
C
a
∴
c
2
c c
(a
b )(a
b)
A
B
c
aa ab b a b b aa b b 2ab
a
2
2 b
2a
b
cos(a,
b) .
例 4．已知a
B
A
a
q
B
l
A
B
l
易见，( AB)l AB AB AB cos q AB cos(AB, l) 。 向量 AB 在轴l 上的投影，等于该向量的模乘以这个向量 与轴l 的夹角的余弦，即 ( AB)l AB cos(AB, l) 。 由此可知，两个相等向量在同一轴上的投影相等。
二、数量积
1．数量积的概念
c
b
2.向量与数的乘法（数乘）
设
a
是一个非零向量，
是一个非零实数，则
与a
的乘积（简称数乘）仍是一个向量，记作
a
，且
（1）
a
a
；
（2）
a
的方向 与与aa同反向向,,
当 当
0时. 0时
当
0
或a
0
时，规定
a
0
。
向量的数乘具有下列性质：
（1）(
a)
(
)a
；
（2）
(a
b)
a
负向量：模为
a
而方向与a 相反 的向量称为a的
负向量。记为a 。
若
a
与b
的方向相同或相反，则称a
与b
平行或共线，
记为a
∥b
。显然零向量0
与任何向量
a
都
平行。
不论a
与b
起点是否一致，若它们的方向相同，模
相等，则称a
与b
相等，记作a
b
。即经平行移动后，
两向量完全重合。允许平行移动的向量称为自由向量。
§7.1向量及其运算
7.1.1 向量的概念
B
向量： 既有方向又有大小的量。
常用有向线段来表示向量。
AB A
以 A为 起点，B为 终点的有向线段所表示的向量
记作 AB ，或a 。
向量的模：向量的大小，记作
a
。
单位向量：模等于 1 的向量。与非零向量a同 向的单
位向量称为向量a
的单位向量，记作a
。
零向量：模等于零的向量，记为0 ，其方向不定。
设物体在常力F 作用下沿某直线移动，其位移为S ，
则作用在物体上的常力F 所作的功为
F
W F S cosq 。 W F ·S 。
其中q 定义 3
为两力向F 量与a位、移bS的的模夹及角其。夹角的A 余弦q的乘S 积，
B
称为向量a 与b 的数量积，记为a ·b ，即
a ·b
a
b
cos(a,
7.1.2 向量的线性运算
1．向量的加法与减法
b ab
a
以两个非零向量a
、b
为边的平行四边形的对角
线所表示的向量，称为两向量的和向量，记为a
b
，
这就是向量加法的平行四边形法则。
a
b ab
b
a
ab
b
a
从左图可以看出，若以向量a
的终点为向b
的
起点，则由a 的起点到b 的终点的向量也是a 与b
b)
。
其中 a
，b
只要有一个是零向量，则规定它们的数量积为零。
数量积也叫点积或内积。
∵ ∴
(b)a a ·b
b cos(a, b) ，
a
(b)a
b
(a)b a (a)b .
cos
(a,
b) ，
2．数量积的性质
（1）
a
·a
a
a
cos(a,
a
)
a
2
；
（a
·a
常记为
a
2
b
。
向量的加法具有下列性质：
（1）
a
b
b
a
（交换律）；
b
a
ba
ab b
a
（2） (a b )c a (b c) （结合律）；
（3）
a
0
0
a
a
；
（4） a (a) a a 0 ；
（5）
a
b
a
b
。
(a b )c a (b c)
a
+ ab
b c
，b
，c
两两垂直，且a
1
，b
2
，
c
3，
求
u
a
b
c
的长度，和它与向量b
的夹角。
解：∵
ab
，
ac
，bc
，
∴
a
b
0
，a
c
b
；
（3）( ) a a a ；其中, 都是数量。
（4）若a 是非零向量，则a
的单位向量为a
a
，
a
故任一非零向量a
都可以表示为a
a
a
。
定理：设向量a
0
，则向量b
平行于a
的充分必要条件是：
存在唯一的实数
，使b
a
。
例 1．试用向量证明三角形的中位线定理：三角形两边 中点的连线平行于第三边且为第三边长度的一半。