2012数值分析试卷答案

2012数值分析试卷答案

科目：数值分析考试时间: 出题教师：集体

昆明理工大学2012级硕士研究生试卷

考生姓名：专业：学号：

考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。

一、填空题(每空2分，共40分)

* * *

1 •设x 0.231是真值x 0.228的近似值，则x有_______________ 位有效数字，x的相对误差

限为 _____________________ 。

2•设f(x) 3x7x43x 1，则f[20,21, ,27] _____________ , f[20,21, ,28] _______ 。

3.过点(1,0), (2,0)和(1,3)的二次拉格朗日插值函数为L2(x)= ___________________ ,并计

算L2(0) ___________________ 。

3 2

4•设f (x) 3x 2x 4x 5在1,1上的最佳二次逼近多项式为________________________ , 最佳二次平方逼近多项式为 _________________ 。

1f—

5 •高斯求积公式° x f (x)dx A f(X。)A f (xj的系数A__________________________________ ,

A1 __________ ，节点x0------------------ ，x, ---------------------------

6 •方程组Ax b，A D L U,建立迭代公式x(k 1}Bx(k)f，写岀雅可比迭代法和

7. A 0

0 ，其条件数Cond(A )2 1 J2

J3

1

8.设A

，计算矩阵A 的范数，|| A||1 =

2

,I|A||2 =

9 •求方程X

f(x)根的牛顿迭代格式是

10.对矩阵A 2作LU 分解，其L= 5

,U=

二、计算题(每题 10分，共50分)

1.求一个次数不高于

4次的多项式P(x),使它满

2.若用复合梯形公式计算积分

2

据,

0.4 0.4

3.线性方程组Ax b ，其中A

0.4 0.4 0.8

0.8，b ［1,2,3］T ，(1)建立雅可比迭代法和 1

高斯-赛德尔迭代法的分量形式。 4.已知如下实验数据 (X i ,yj, i

足：p(0)

0, p (0) 0, p (1)

1

, p (1) 1,

p(2) 1,并写岀其余项表达式(要求有推导过程)

1 x

e X dx ，问区间［0, 1］应分成多少等分才能使截断误差不超过

0 5

10 ?若改用复合辛普森公式，

要达到同样的精度区间［0, 1］应该分成多少等份？由下表数

(2)问雅可比迭代法和高斯 -赛德尔迭代法都收敛吗

0,1, ,4,用最小二乘法求形如y a。a1X的经验公式，并计算最小二乘法的误差。

4. 2

7

厂

c 2

11 9 x

x 5 2x

x

4

5 5

5.用改进的欧拉公式

（预估-校正方法），解初值问题 dy

x 2100y 2,y （0） 0，取步长

dx

h 0.1,计算到x 0.2 （保留到小数点后四位）

三、证明题（共10分）

1.如果A 是对称正定矩阵，则 A 可唯一地写成 A LL T

，其中L 是具有正对角元的下三角 阵。

昆明理工大学2012级硕士研究生试卷答案

一填空题（每空2分，共40分）

1. 2 0.025 或 0.0216

2. 3 0

3.

3(x 1)(x

2)

, 3

5. 0.28 0.39 0.29 0.82

6. H J D 1

(L U), H G S (D L) 1

U

7. 1

8.| A ||1 =

3_，||A||2

9 、29 16 3

2

9.X k 1 X k X k f(X k)

1 f '(X k)

10 0 12 3

10. L 2 1 0 , U 0 1 4

3 5 1 0 0 24

二、计算题(每空10分，共50分)

1 .求一个次数不高于4次的多项式P(X),使它满足

：P(0) =0，P'O) =0, P(1) =1，P'1) =1, P(2) =1,并写出其余项表达式。解：由题意P(x) = x2(ax2+ b X+ c )，由插值条件得方程组

a b c 1

4a 3b 2c 1

4(4a 2b c) 1

求解，得 a =1/4, b= -3/2 , c =9/4。所以

2 12

3 9

P(x)

x (-x -x才

插值余项为R(x) 1f(5)( )x2(x 1)2(x 2)

5!

2.若用复合梯形公式计算积分0。匕，问区间［0, 1］应分成多少等分才能使截断误差不超过 1 10 5?若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间［0, 1］应该分成多少等分？由下表数据用复合辛普森公式计算该积分。