2019年中考数学专题训练：解直角三角形的应用(含答案)

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中考数学专题训练：解直角三角形的应用

1. （2012山西省）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A ．B 的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C 处测得端点A 的俯角为60°，然后沿着平行于AB 的方向水平飞行了500米，在点D 测得端点B 的俯角为45°，求岛屿两端A ．B 的距离（结果精确到0.1米，参考数据：

）

【答案】解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，

∵AB ∥CD ，∴∠AEF =∠EFB =∠ABF =90°。 ∴四边形ABFE 为矩形。∴AB =EF ，AE =BF 。 由题意可知：AE =BF =100，CD =500。 在Rt △AEC 中，∠C =60°，AE =100， ∴0AE

100100

CE ==33tan 603

=

。

在Rt △BFD 中，∠BDF =45°，BF =100，∴0

BF

100

DF ==1001tan 45

=。 ∴AB =EF =CD +DF ﹣CE =500+100﹣10033≈600﹣

100

3

×1.73≈600﹣57.67≈542.3（米）。 答：岛屿两端A ．B 的距离为542.3米。

2. （2012江苏）如图，一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上，小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为60°， 然后他从P 处沿坡角为45°的山坡向上走到C 处，这时，PC =30 m ，点C 与点A 恰好在同一水平线上， 点A 、B 、P 、C 在同一平面内．

（1）求居民楼AB 的高度；（2）求C 、A 之间的距离．

（精确到0.1m ，参考数据：41.12≈,73.13≈,45.26≈）

【答案】解：（1）过点C 作CE ⊥BP 于点E ，在Rt △CPE 中，

∵PC =30m ，∠CPE =45°，∴CE

sin45PC

︒=。 ∴CE =PC •sin 45°=30×

2

=1522

（m ）

。 ∵点C 与点A 在同一水平线上，∴AB =CE =152≈21.2（m ）。 答：居民楼AB 的高度约为21.2m 。 （2）在Rt △ABP 中，∵∠APB =60°，∴AB

tan60BP ︒=

。 ∴AB 152BP ==56tan603

=︒（m ）。 ∵PE =CE =152m ， ∴AC =BE =152+56≈33.4（m ）。 答：C 、A 之间的距离约为33.4m 。

3. （2012湖南）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB 的高度，在C 处测得∠ADG =30°，在E 处测得∠AFG =60°，CE =8米，仪器高度CD =1.5米，求这棵树AB 的高度（结果保留两位有效数字，

≈1.732）．

【答案】解：根据题意得：四边形DCEF 、DCBG 是矩形，∴GB =EF =CD =1.5米，DF =CE =8米。

设AG =x 米，GF =y 米，

在Rt △AFG 中，tan ∠AFG =tan 60°=

AG x

=3FG y

=， 在Rt △ADG 中，tan ∠ADG =tan 30°=

AG x 3

=BG y+83

=， 二者联立，解得x =43，y =4。

∴AG =43米，FG =4米。∴AB =AG ＋GB =43＋1.5≈8.4（米）。

∴这棵树AB 的高度为8.4米。

4.（2012四川）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD .如图所

示，已知迎水坡面AB 的长为16米，∠B =600

，背水坡面CD 的长为163米，加固后大坝的横截面积为梯形

ABED ，CE 的长为8米。

（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？

（2）求加固后的大坝背水坡面DE 的坡度。

【答案】解：（1）如图，分别过A 、D 作AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，垂点分别为F 、G 。在Rt △ABF 中，

AB =16米，∠B =60°，AF

sin B AB

∠=

， ∴3

AF 168 32

=⨯=，即DG =8 3。

又∵CE =8，∴DCE 11

S CE DG 88 332 322

∆=⋅⋅=⨯⨯=。

又∵需加固的大坝长为150，∴需要填方：150323=48003⨯。 答：需要填土石方150323=48003⨯立方米。

（2）在Rt △DGC 中，DC =163，DG =8 3，∴22GC DC DG 24=-=。

∴GE =GC +CE =32。∴DE 的坡度DG 833

i =

GE 324

=

=。 答：加固后的大坝背水坡面DE 的坡度为3

4

。

5. （2012山东）某市规划局计划在一坡角为16º的斜坡AB 上安装一球形雕塑，其横截面示意 图如图所示．已知支架AC 与斜坡AB 的夹角为28º，支架BD ⊥AB 于点B ，且AC 、BD 的延长线均过⊙O 的圆心，AB ＝12m ，⊙O 的半径为1.5m ，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到0.01m ，参考 数据：cos 28º≈0.9，sin 62º≈0.9，sin 44º≈0.7，cos 46º≈0.7)．

【答案】解：如图，过点O 作水平地面的垂线，垂足为点E 。

在Rt △AOB 中，AB cos OAB OA ∠=，即012

cos28OA

=，

∴0

1212

OA 13.3330.9

cos28=

≈

≈。 ∵∠BAE =160

，∴∠OAE =280

＋160

=440

。 在Rt △AOE 中，OE sin OAE OA ∠=

，即0OE

sin4413.333

≈， ∴0OE 13.333sin4413.3330.79.333≈⨯≈⨯≈ 9.333＋1.5=10.833≈10.83（m ）。

答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83 m 。

6. （2012山东青岛8分）如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22º时， 教学楼在建筑物的墙上留下高2m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A 在地面上的影 子F 与墙角C 有13m 的距离(B 、F 、C 在一条直线上)．

(1)求教学楼AB 的高度；

(2)学校要在A 、E 之间挂一些彩旗，请你求出A 、E 之间的距离(结果保留整数)．

(参考数据：sin 22º≈3

8，cos 22º≈

15

16

，tan 22º≈25)

【答案】解：（1）过点E 作EM ⊥AB ，垂足为M 。设AB 为x ．

在Rt △ABF 中，∠AFB =45°， ∴BF =AB =x 。∴BC =BF ＋FC =x ＋13。

在Rt △AEM 中，∠AEM =22°，AM =AB －BM =AB －CE =x －2， 又∵0AM tan22ME =

，∴x 22

x 135

-≈+，解得：x ≈12。 ∴教学楼的高12m 。

（2）由（1）可得ME =BC =x +13≈12+13=25。

在Rt △AME 中，0ME

cos22AE =， ∴AE =ME cos 22°≈15

252716

⨯≈。

∴A 、E 之间的距离约为27m 。