立体几何与空间向量综合练习(含解析)

立体几何与空间向量

综合练习

1、如图，已知在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE

垂直BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点．

(1)求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； (2)求平面BDF 与平面AA 1B 夹角的余弦值.

解 (1)以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)．[2分]

由于AB ＝2，BD 与平面AA 1B 1B 的夹角为30°，

即∠ABD ＝30°，∴AD ＝23

3

，[3分]

∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫

0，233，0，F (1,0,1)．

又AE ⊥BD ，故由平面几何知识得AE ＝1，

从而E ⎝⎛⎭

⎫12，3

2，0，[4分]

因为AE →＝⎝⎛⎭

⎫12，32，0，BF →

＝(－1,0,1)，

∴AE →·BF →＝⎝⎛⎭

⎫1

2，32，0·(－1,0,1)＝－12，

|AE →|＝1，|BF →

|＝2，[6分]

设AE 与BF 所成角为θ1，

则cos θ1＝|AE →·BF →||AE →||BF →

|＝⎪⎪⎪⎪－1

21×2＝2

4.[8分]

故异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为

24

. (2)设平面BDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·

BF →＝0n ·BD →＝0，得⎩

⎪⎨⎪⎧

－x ＋z ＝0－2x ＋23

3y ＝0， ∴z ＝x ，y ＝3x ，取x ＝1，得n ＝(1，3，1)．[10分] 求得平面AA 1B 的一个法向量为

m ＝AD →

＝⎝⎛⎭

⎫0，233，0.

设平面BDF 与平面AA 1B 的夹角的大小为θ2.

则cos θ2＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n|

|m||n |

＝|0＋2＋0|23

3

×5＝155.[12分]

2．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.

(1)若M 是A 1D 的中点，求直线CM 与平面A 1BE 所成角的大小．

(2)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？若存在，请求出点P 的位置；若不存在，请说明理由．

解：(1)由折叠的性质得CD ⊥DE ，A 1D ⊥DE ，又CD ∩A 1D ＝D ， 所以DE ⊥平面A 1CD .

又因为A 1C ⊂平面A 1CD ，所以A 1C ⊥DE ， 又A 1C ⊥CD ，CD ∩DE ＝D ， 所以A 1C ⊥平面BCDE .

如图所示建系，则C (0，0，0)，D (－2，0，0)，A 1(0，0，23)，E (－2，2，0)，B (0，3，0)，

所以A 1B →＝(0，3，－23)，A 1E →

＝(－2，2，－23)， 设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B →·n ＝0，A 1E →·n ＝0，所以⎩⎨⎧3y －23z ＝0，－2x ＋2y －23z ＝0，

取z ＝3，则x ＝－1，y ＝2， 所以n ＝(－1，2，3)．

又因为M (－1，0，3)，所以CM →

＝(－1，0，3)， 所以cos 〈CM →，n 〉＝CM →

·n |CM →|·|n |＝1＋31＋4＋3×1＋3＝2

2.

所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为45°.

(2)假设线段BC 上存在点P 满足条件，设P 点坐标为(0，a ，0)， 则a ∈[0，3]，

所以A 1P →＝(0，a ，－23)，DP →

＝(2，a ，0)， 设平面A 1DP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，

则⎩⎨⎧ay 1－23z 1＝0，2x 1＋ay 1＝0，取y 1＝6，则x 1＝－3a ，z 1＝3a ， 所以n 1＝(－3a ，6，3a )．

若平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则n 1·n ＝0， 所以3a ＋12＋3a ＝0，即6a ＝－12，所以a ＝－2， 因为0≤a ≤3，所以a ＝－2舍去．

所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．

3．如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，AB ＝BC ＝1，∠BAD ＝120°，PB

＝PC ＝2，P A ＝2，E ，F 分别是AD ，PD 的中点．

(1)证明：平面EFC ⊥平面PBC ； (2)求二面角A-BC-P 的余弦值． (1)证明：连接AC ，

因为ABCD 是平行四边形，AB ＝BC ＝1，∠BAD ＝120°， 所以∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形， 因为E 是AD 的中点，所以CE ⊥AD . 因为AD ∥BC ，所以CE ⊥BC .

以C 为坐标原点，分别以CE →，CB →

的方向为x 轴、y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz .

则C (0，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，B (0，1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫

32，－12，0，

设P (x ，y ，z )(x <0，y >0，z >0)，

由|PB →|2＝|PC →|2

＝2，|P A →|2＝4，可得x ＝－32，y ＝12，z ＝1， 所以P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－32，1

2，1，

因为F 是PD 的中点，所以F ⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，0，12， 因为CB →·CF →

＝0，所以CB ⊥CF ， 因为CE ⊥BC ，CE ∩CF ＝C ，

所以BC ⊥平面EFC ，因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面EFC ⊥平面PBC .