粒子群优化算法车辆路径问题要点

粒子群优化算法计算车辆路径问题摘要粒子群优化算法中，粒子群由多个粒子组成，每个粒子的位置代表优化问题在□维搜索空间中潜在的解。

根据各自的位置，每个粒子用一个速度来决定其飞行的方向和距离,然后通过优化函数计算出一个适应度函数值(fitness)。

粒子是根据如下三条原则来更新自身的状态：(1)在飞行过程中始终保持自身的惯性；(2) 按自身的最优位置来改变状态;(3)按群体的最优位置来改变状态。

本文主要运用运筹学中粒子群优化算法解决车辆路径问题。

车辆路径问题由Dan tzig 和Ramser于1959年首次提出的,它是指对一系列发货点(或收货点),组成适当的行车路径，使车辆有序地通过它们，在满足一定约束条件的情况下，达到一定的目标(诸如路程最短、费用最小，耗费时间尽量少等)，属于完全NP问题，在运筹、计算机、物流、管理等学科均有重要意义。

粒子群算法是最近出现的一种模拟鸟群飞行的仿生算法，有着个体数目少、计算简单、鲁棒性好等优点，在各类多维连续空间优化问题上均取得非常好的效果。

本文将PSO应用于车辆路径问题求解中，取得了很好的效果。

针对本题，一个中心仓库、7个需求点、中心有3辆车，容量均为1,由这三辆车向7个需求点配送货物，出发点和收车点都是中心仓库。

k = 3,q = q2 = q3 =〔,1 = 7. 货= 0.89, g? = 0.14,g3 = 0.28,g4 = 0.33,g5 = 0.21,g6 = O/lg? = 0.57 ，且m g i a q k。

利用matlab编程，求出需求点和中心仓库、需求点之间的各个距离，用q表示。

求满足需求的最小的车辆行驶路径，就是求m i nz八7 7 C j X i。

经过初始化粒子群，将初始的适应值作为每个粒子的个i j k体最优解，并寻找子群内的最优解以及全局的最优解。

重复以上步骤，直到满足终止条件。

本题的最短路径由计算可知为217.81。

关键字：粒子群算法、车辆路径、速度问题的重述一个中心仓库序号为0，7个需求点序号为1~7,其位置坐标见表1,中心有3辆车，容量均为1,由这三辆车向7个需求点配送货物，出发点和收车点都是中心仓库。

求满足需求的距离最小的车辆行驶路径。

问题假设表1仓库中心坐标和需求点坐标及需求量序号01234567坐标(18, 54)(22，60)(58，69)(71，71)(83, 46)(91 , 38)(24, 42)(18, 40)需求量00.890.140.280.330.210..410.571 •现实生活中中心仓库以及各个需求点之间军事直线连接，两点之间距离即为坐标系中两点坐标间距离。

2 •不因天气及失火等原因车辆停止运输。

3 •每个需求点由一辆车供应货物。

三、符号说明k配送货物车辆数l需求点个数四、问题分析4.1算法分析车辆路径问题(VRP可以描述为有一个中心仓库，拥有K辆车，容量分别为q'k =1,2,…，K)，负责向L个需求点配送货物，货物需求量为g i (i =1,2,…，L)，且maxg i - maxq k；c j表示从点i至U j的距离。

求满足需求的距离最小的车辆行驶路径。

将中心仓库编号为0，需求点编号为1，2，…，L。

数学模型为：min Z =、、、C j X jki j ks.t. g i Y ki Xk, — ki■- y ki ~ 1, i ~ 1,2,,Lk' X jk 二丫“ j =0,1,丄；—ki' X jk =y ki,i =0,1,丄；—kX 二（X jk ） ■ SX jk =0或 1,i, j =0,1,丄;-k y ki =0 或 1,i =0,1,丄;-k需求点i 由k 车配送 1 车k 从i 行驶驶j 否则 ，X ijk=』0 否则k = 3,q i = q 2 = q 3 = 1,1 = 7.货 物 需 求 量。

"朋禺“㈡鸟=0.289 = 0.33,g^ 0.21,g^ 0.41,g^ 0.57，利用粒子群优化算法，经过初始化粒子群，将初始的适应值作为每个粒子的个体最优解， 并寻找子群内的最优解以及全局的最优解。

重复以上步骤，直到满足终止条件。

4.2举例具体演算分析例如，设VRP 问题中发货点任务数为7,车辆数为3,若某粒子的位置向量X 为： 发货点任务号：1 2 3 4 5 6 7X v: 1 2 2 2 2 3 3 X r : 1 4 3 1 2 2 1则该粒子对应解路径为：车 1: 0 — 1 — 0车 2: 0 — 4 — 5 — 3 — 2 — 0 车 3: 0 — 7 — 6 — 0粒子速度向量V 与之对应表示为V v 和V r该表示方法的最大优点是使每个发货点都得到车辆的配送服务，并限制每个发 货点的需求仅能由某一车辆来完成，使解的可行化过程计算大大减少Z 虽然该表 示方法的维数较高，但由于PSO 算法在多维寻优问题有着非常好的特性，维数 的增加并未增加计算的复杂性，这一点在实验结果中可以看到五、模型的建立与求解在本题中，需要分别计算以下几个内容，计算需求点与中心仓库及各需求 点间距离，利用粒子群优化算法，求出函数的全局最优位置和最后得到的优化极 值。

其中, y ki =5.1需求点与中心仓库及各需求点间距离利用直角三角形勾股定理，求斜边长度。

A（x,,yJ，B（x2, y2），直角坐标系中求A,B两点之间距离AB二,（y2-力）2（X2-xJ25.2粒子群优化算法5.2.1算法实现过程步骤1初始化粒子群①粒子群划分成若干个两两相互重叠的相邻子群；②每个粒子位置向量X v的每一维随机取1〜K （车辆数）之间的整数，Xr 的每一维随机取1〜L（发货点任务数）之间的实数；③每个速度向量V v的每一维随机取-（K - 1）〜（K - 1）（车辆数）之间的整数,V r的每一维随机取-（L - 1）〜（L - 1）之间的实数；④用评价函数Eval评价所有粒子；⑤将初始评价值作为个体历史最优解P i ,并寻找各子群内的最优解P l和总群体内最优解P g步骤2重复执行以下步骤，直到满足终止条件或达到最大迭代次数①对每一个粒子，计算V v、V r；计算X v、X r,其中X v向上取整；当V、X超过其范围时按边界取值②用评价函数E va I评价所有粒子；③若某个粒子的当前评价值优于其历史最优评价值，则记当前评价值为该历史最优评价值，同时将当前位置向量记为该粒子历史最优位置Pi ;④寻找当前各相邻子群内最优和总群体内最优解，若优于历史最优解则更新P I、P g5.2.2针对本题0表示中心仓库,设车辆容量皆为q= 1. 0,由3辆车完成所有任务，初始化群体个数n= 40;惯性权重w = 0. 729;学习因子c1= c2= 1.49445; 最大代数MaxDT -50 ;搜索空间维数（未知数个数）D = 7;算法得到的最优值的代数及所得到的最优解，预计迭代次数50,共进行20次运算从实验结果分析，15次达到已知最优解，得到的最优总路径为:0—；7 —6—；0—；1一；0—；2—；3—；5—；0对应的行车路线为：车辆一：0》7》6》0车辆二：0》1》0车辆三:0 > 2 > 3 > 4 > 5 > 0行车总距离217.81粒子群优化算法达到最优路径50次的代数六、模型的评价粒子群优化算法结果分析分析PSO方法,可以看出它与GA等其他演化算法的最大不同在于1）迭代运算中只涉及到初等运算，且运算量非常少；2）每个粒子能直接获取群体历史经验和个体历史经验，比在其他方法中使用精英集（elit ism ）的方法更有效；3）整个粒子群被划分为几个的子群，且子群之间有一定重叠，从而使收敛于局部最优解的几率大大减少L正因为如此，本文将PSO应用于带时间窗车辆路径问题求解中，取得了很好的效果，有着运算速度快、解的质量与个体数目相关性小、所获得的解质量高等诸多优点七、模型的改进和推广7.1模型的改进针对粒子群优化算法存在的问题，提出了一种新的改进算法—基于粒子进 化的多粒子群优化算法。

该算法采用局部版的粒子群优化方法， 从“粒子进化” 和“多种群”两个方面对标准粒子群算法进行改进。

多个粒子群彼此独立地搜索 解空间，保持了粒子种群的多样性， 从而增强了全局搜索能力而适当的“粒子进 化”可以使陷入局部最优的粒子迅速跳出， 有效的避免了算法“早熟”， 提高了 算法的稳定性。

将基于粒子进化的多粒子群优化算法用于求解非线性方程组。

该算法求解 精度高、收敛速度快，而且克服了一些算法对初值的敏感和需要函数可导的困难， 能较快地求出复杂非线性方程组的最优解。

数值仿真结果显示了该算法的有效性 和可行性，为求解非线性方程组提供了一种实用的方法。

7.2 模型的推广 作为物流系统优化中的重要一环，合理安排车辆路径、进行物流车辆优化调度可以提高物流经济效益、 实现物流科学化。

粒子群算法在多维寻优中有着非 常好的特性，加入“邻居算子”的粒子群算法能使算法更好的全局寻优。

本文的 研究表明，改进局部办粒子群算法，能过有效地解决车辆路径问题。

八、 参考文献物资出版社 , 2001.[2] 马炫，彭芃，刘庆 . 求解带时间窗车辆路径问题的改进粒子群算法 算机工程与应用， 2009，45（27）： 200-202[3] 姜启源，《数学建模》 ，高教出版社， 2000 年[1] 李军 , 郭耀煌 . 物流配送车辆优化调度理论与方法 [M ]. 北京 : 中国.计附录需求点与中心仓库及各需求点间距离c=[]; zuobiao=[18 5422 6058 6971 7183 4691 3824 4218 40];for i=1:8for j=1:8c(i,j)=sqrt((zuobiao(j,2)-zuobiao(i,2))A2+(zuobiaoQ,1)-zuobiao(i,1)) A2);endendc粒子群优化算法求解主算法clear all;clc;format long;% ----- 给定初始化条件---------------------------c1=1.4962;%学习因子1c2=1.4962;%学习因子2w=0.7298;%惯性权重MaxDT=50;%最大迭代次数D=7;%搜索空间维数(未知数个数)N=40;%初始化群体个体数目% ----- 初始化种群的个体( 可以在这里限定位置和速度的范围)for i=1:Nfor j=1:Dx1(i,j)=ceil(3*rand()); % 随机初始化位置ceilx2(i,j)=ceil(7*rand());v1(i,j)=2*(2*rand()-1); % 随机初始化速度%v2(i,j)=6*(2*rand()-1);endend% ----- 先计算各个粒子的适应度，并初始化Pbest 和gbest --------------------------------for i=1:Ny1(i,:)=x1(i,:);y2(i,:)=x2(i,:);pbest(i)=fitness(y1(i,:),y2(i,:),D);end是向离它最近的大整数圆整pg1=x1(1,:); %Pg 为全局最优pg2=x2(1,:);for i=2:Nif fitness(x1(i,:),x2(i,:),D)<fitness(pg1,pg2,D)pg1=x1(i,:);pg2=x2(i,:);gbest=fitness(pg1,pg2,D);endend% ----- 进入主要循环，按照公式依次迭代，直到满足精度要求 ----------- for t=1:MaxDTfor i=1:Nv1(i,:)=w*v1(i,:)+c1*rand*(y1(i,:)-x1(i,:))+c2*rand*(pg1-x1(i,:));x1(i,:)=x1(i,:)+v1(i,:);x1(i,:)=ceil(x1(i,:));for j=1:Dif x1(i,j)<1x1(i,j)=1;endif x1(i,j)>3x1(i,j)=3;endendfor j=1:Dx2(i,j)=ceil(7*rand());endif fitness(x1(i,:),x2(i,:),D)<pbest(i)y1(i,:)=x1(i,:);y2(i,:)=x2(i,:);pbest(i)=fitness(y1(i,:),y2(i,:),D);endif pbest(i)<fitness(pg1,pg2,D)pg1=x1(i,:);pg2=x2(i,:);endendend% ----- 最后给出计算结果disp(' disp(' 函数的全局最优位置为：')Solution1=pg1Solution2=pg2 disp(' 最后得到的优化极值为：')Result=fitness(pg1,pg2,D)*************************************************************1disp('辅助算法function result=fitness(x1,x2,D);aa=[inf inf inf inf inf inf inf]; bb=[inf inf inf inf inf inf inf]; cc=[inf inf inf inf inf inf inf];for i=1:Dif x1(i)==1aa(i)=x2(i);else if x1(i)==2 bb(i)=x2(i);else cc(i)=x2(i);endend end result=f(cc)+f(bb)+f(aa); 辅助算法二function ff=f(x);load c.mat sum=0;[y ind]=sort(x); for i=1:7if y(i)==infj=i-1; break;else j=7;endendif j<1sum=inf;else if j==1 sum=sum+2*c(1,ind(j)+1);else sum=sum+c(1,ind(j)+1)+c(1,ind(1)+1); for i=1:j-1 sum=sum+c(ind(i)+1,ind(i+1)+1); endendendff=sum;11。