1994考研数学三真题及答案解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1)

2

2

2

2x x dx x

-+=+⎰

_____________.

(2)已知()1f x '=-,则0

00lim

(2)()

x x

f x x f x x →=---_____________.

(3)设方程2

cos xy

e y x +=确定y 为x 的函数,则

dy

dx

=_____________.(4)设121000

000,0000

0n n a a A a a -⎡⎤

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

L

L

M M M M L L

其中0,1,2,,,i a i n ≠=L 则1A -=_____________.

(5)设随机变量X 的概率密度为

2,01,

()0,

x x f x <<⎧=⎨

⎩其他，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件12X ⎧⎫

≤⎨⎬⎩

⎭

出现的次数,则{}2P Y ==_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)曲线2

1

21arctan (1)(2)

x x x y e x x ++=+-的渐近线有

()

(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条

(2)设常数0λ>,而级数

21

n

n a

∞

=∑收敛,

则级数

1

(1)

n

n ∞

=-∑()

(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛

(D)收敛性与λ有关

(3)设A 是m n ⨯矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,则

(

)

(A)1r r >(B)1

r r <(C)1

r r =(D)r 与1r 的关系由C 而定

(4)设0()1,0()1,()()1P A P B P A B P A B <<<<+=,则

(

)(A)事件A 和B 互不相容(B)事件A 和B 相互对立(C)事件A 和B 互不独立

(D)事件A 和B 相互独立

(5)设12,,,n X X X L 是来自正态总体2

(,)N μσ的简单随机样本,X 是样本均值,记

222

21

211

222234

1

1

11(),(),111(),(),

1n n i i i i n

n

i i i i S X X S X X n n S X S X n n μμ=====-=--=-=--∑∑∑∑则服从自由度为1n -的t 分布的随机变量是(

)

(A)X t S μ-=

(B)X t S μ-=

(C)X t S μ-=

(D)X t S μ-=

三、(本题满分6分)

计算二重积分

(),D

x y dxdy +⎰⎰

其中{}22

(,)1D x y x y x y =+≤++.四、(本题满分5分)

设函数()y y x =满足条件440,

(0)2,(0)4,y y y y y '''++=⎧⎨'==-⎩

求广义积分0()y x dx +∞⎰.

五、(本题满分5分)

已知2

2

(,)arctan arctan y x f x y x y x y

=-,求2f x y ∂∂∂.

六、(本题满分5分)

设函数()f x 可导,且10

(0)0,()()x

n n n f F x t f x t dt -==

-⎰

,求20

()

lim

n

x F x x →.七、(本题满分8分)

已知曲线0)y a =>

与曲线ln y =在点00(,)x y 处有公共切线,求:

(1)常数a 及切点00(,)x y ；

(2)两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积x V .

八、(本题满分6分)

假设()f x 在[,)a +∞上连续,()f x ''在(),a +∞内存在且大于零,记

()()

()()f x f a F x x a x a

-=

>-,

证明()F x 在(),a +∞内单调增加.

九、(本题满分11分)

设线性方程组

2311213123122232231323332314243

4,,,.

x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩(1)证明:若1234,,,a a a a 两两不相等,则此线性方程组无解；

(2)设1324,(0)a a k a a k k ====-≠,且已知12,ββ是该方程组的两个解,其中