初中二次函数常考知识点总结

二次函数常考知识点总结

一、 函数定义与表达式

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）

； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 二、 函数图像的性质——抛物线 （1）开口方向——二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；

当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．

总结起来，

a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的

（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线

一般式：2b

x a

=-

对称轴 顶点式：x=h 两根式：x=

2

2

1x x + （3）对称轴位置

（4）增减性，最大或最小值

当a>0时，在对称轴左侧（当2b

x a

<-时），y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧（当2b

x a

<-

时），y 随着x 的增大而增大；

当a<0时，在对称轴左侧（当2b

x a

<-时），y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧（当2b

x a

<-

时），y 随着x 的增大而减少；

当a>0时，函数有最小值，并且当x=a

b

2-

，2min

44ac b y a

-=；当a<0时，函数有最大值，并且

当x=a b 2-，2

max 44ac b y a

-=；

（5）常数项c

常数项c 决定抛物线与y 轴交点。 抛物线与y 轴交于（0，c ）。

（6） a\b\c 符号判别

二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0） 中a 、b 、c 的符号判别：

（1）a 的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a ＞0；当开口向下时，a ＜0；

一般式：2424b ac b a a ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

， 顶点式：（h 、k ）

y=-2x 2

（2）c 的符号判别由与Y 轴的交点来确定：若交点在X 轴的上方，则c ＞0；若交点在X 轴的下方，则C ＜0；

（3）b 的符号由对称轴来确定：对称轴在Y 轴的左侧，则a 、b 同号；若对称轴在Y 轴的右侧，则a 、b 异号；

Δ= b -4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。（1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．） （8）特殊的

①二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与X 轴只有一个交点或二次函数的顶点在X 轴上，则

Δ=b 2

-4ac=0；

②二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在Y 轴上或二次函数的图象关于Y 轴对称，则b=0；

③二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则

c=0； 三、平移、平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，

； ⑵ 左右平移变h,左加右减；上下平移变k ，上加下减。 随堂练：

一、选择题：

1、对于)0(2

≠=a ax y 的图象下列叙述正确的是 （ ）

A a 的值越大，开口越大

B a 的值越小，开口越小

C a 的绝对值越小，开口越大

D a 的绝对值越小，开口越小

2、对称轴是x=-2的抛物线是（ ） A. .y= -2x 2

-8x B y= 2x 2

-2

C . y=2(x-1)2+3 D. y=2(x+1)2

-3 3、与抛物线532

12

-+-

=x x y 的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（ ） A ．2523412-+-=x x y B ．872

1

2+--=x x y C ．1062

12

++=

x x y D ．532

-+-=x x y

4、二次函数c bx x y ++=2

的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。 5、抛物线12

2

+--=m mx x y 的图象过原点，则

m 为（ ）

A ．0

B ．1

C ．－1

D ．±1 6、把二次函数122

--=x x y 配方成顶点式为（ ）

A ．2)1(-=x y B.2)1(2

--=x y

C ．1)1(2++=x y

D ．2)1(2

-+=x y 7、直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2

－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）

A.(0，0)

B.(1，－2)

C.(0，－1)

D.(－2，1)

8、函数362

+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）

A ．3

B ．03≠

C ．3≤k

D ．03≠≤k k 且

9、抛物线22n mx x y --=)0(≠mn 则图象与x

轴交点为 （ ） A ． 二个交点 B ． 一个交点

C ． 无交点

D ． 不能确定

10、二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图所示，则abc ， ac b 42-，b a +2，b a ++这四个

式子中，值为正数的有（A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．二、填空题：

1、已知抛物线342

++=x x y ，请回答以下问题：

它的开口向 ，对称轴是直线 ，

顶点坐标为 ；

2、抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0． 3、抛物线2)1(62

-+=x y 可由抛物线