高等数学定积分

b b b
mf
a
g (x)dx
a
f (x)g (x)dx 2
Mf
a
g (x)dx
若
b a
g (x)dx = 0，则
b a
f (x)g (x)dx = 0, 从而对一切 ε ∈ (a, b)
b b
f (x)g (x)dx = f (ε)
a a
g (x)dx
若
b a
g (x)dx > 0，则 mf 1
sinΠxdx =
0
2 Π
lim
2 Π
sinΠxdx =
0
2 Π
所以，原式 = 2、证明定积分的性质与问题 例 6、ϕ(x) 连续，f (x) > 0, 证明 f[
n
1 a
a
u(x)dx]
0
1 a
a
f (u(x))dx
0
1 证：左边 =lim f [ i=1 u( ia n )n] n ia 1 右边 =lim i=1 f (u( n )) n 由 f (x) 0，从而有 n
a
xf (x)dx >
0
2 a 3
a
f (x)dx
0
2、利用定积分的性质－保号性 例 9、证明
b
|
a
f (x)g (x)dx|2
a
b
f (x)2 dx
a
b
g (x)2 dx
－这称为积分的 Schwatz 不等式 证：对 λ
b
(f (x) − λg (x))2 dx
b
0
b
a
从而 λ2
a
b
g (x)2 dx − 2λ
1 dx f (x)
4 3
这样，只需证，对 1
ai
3
(a1 + a2 + ... + an )( 证：
1 1 1 + + ... + ) a1 a2 an 1 xn+1 + 1 xn+2
4 2 n 3 + ... + 1 ) x2n
ϕ(x1 ...x2n ) = (x1 + x2 + ... + xn )( ϕxi (x1 ...x2n ) = ( 或 =
b
1
b a
g (x)dx
f (x)g (x)dx < Mf
a
1
b a
b
g (x)dx
f (x)g (x)dx
a
b
f (x)g (x)dx = f (ε)
a a
g (x)dx
二、定积分定义的作用 3
1、求特殊数列的极限： lim
1 ) + ... + f ( n f(n n) = n 1
f (x)dx
n λ(J )→0
lim
f (εi )(xi − xi−1 )
i=1
存在，这里 λ(J ) = max(xi − xi−1 )，称 f(x) 在 [a,b] 上可积，且把这个极限称 b 为 f(x) 在 [a,b] 上定积分，记为 a f (x)dx b 1、在 f (x) 0 时， a f (x)dx 表示由 y=f(x),y=0,x=a,x=b 围成的曲边梯形的 面积。 2、可积条件：（1）必要条件：f(x) 在 [a,b] 上有界； （2）充分条件：(a) 单调函数一定可积； (b) 分段连续一定可积； 在可积条件下：
b a b
g (x)dx
b
f (x)g (x)dx
a
Mf
所以存在 ε ∈ [a, b] 1
b a
g (x)dx 1
f (x)g (x)dx = f (ε)
a b
但若
b a
g (x)dx
b
f (x)g (x)dx = Mf
a
则
a
(Mf − f (x))g (x)dx = 0 由 (Mf − f (x))g (x) 0 导出 (Mf − f (x))g (x) = 0 b 从而由 a g (x)dwenku.baidu.com = 0，存在 ε ∈ (a, b), g (ε) = 0，所以，f (ε) = Mf 即：
|
a a
f (u(x))dx
0
1 a
f (x0 )dx+
0
1 a
f (x0 )(u(x)−x0 )dx = f (x0 ) = f (
0
1 a
u(x)dx)
0
例 7、f(x) 连续，1
f (x)
1
3，证明
1
f (x)dx
0 1 证：左边 = lim n 2 n i=1 i f(n ) 0 n 1 j =1 f ( j ) n
6
例 11、f(x) 在 [0,1] 上连续，(0,1) 中有二阶导数，f(0)=f(1)=0,|f (x)| 证明 1 1 f (x)dx| | M 12 0 证法 1、由 f(0)=f(1)=0, 对 x ∈ (0, 1]，存在 εx ∈ [0, 1) f (x) = 所以，
1 1
M，
f (εx ) x(x − 1) 2
h→+0 x0 +h
δ 时，
|f (t) − f (x0 )|dt < ε
x0 x0 a
lim
x0 +h a
f (t)dt − h f (t)dt − h
x
f (t)dt
= f (x0 )
同样方法：
h→−0
lim
x0 −h a
x0 a
f (t)dt
= f (x0 )
即： d dx
a
f (t)dt|x=x0 = f (x0 )
b b
f (x)g (x)dx = f (ε)
a a
g (x)dx
同样，若
Rb 1
a
g (x)dx
b a
f (x)g (x)dx = mf 时有 ε ∈ (a, b)
b b
f (x)g (x)dx = f (ε)
a a b
g (x)dx
当 mf < 则也存在 ε ∈ (a, b) f (ε) = 总之，一定有 ε ∈ (a, b)
定积分中的一些问题 数 学讲 座 三 定积分是高等数学中占有重要地位的，它具有十分丰富的内容，这一讲我们就
定积分的几个方面谈谈有关定积分的几个问题。 一、定积分的定义与性质 b 我们知道定积分 a f (x)dx 的定义为：对 [a,b] 的分 划 J:a = x0 < x1 < ... < xn = b, 取 εi ∈ [xi−1 , xi ],
1 1 1 + + ... + ) xn+1 xn+2 x2n
−1 (x1 + x2 + ... + xn ) x2 i
从而 ϕ(x1 ...x2n ) 在 xi = 1 或 3 达到最大值，可能最大值为 [k + 3(n − k )](k + 从而
0
n−k 1 3k 2 + 4nk − 4k 2 )= = [4n2 − (n − 2k )2 ] 3 3 3
π π sin n sin 2n sin nπ n + + ... + n ) 1 2 n+ n n+ n n+ n
Π sin 2Π sin nn sin Π n n 1 + 2 + ... + n + n n+ n n+ n n
nΠ sin Π n + ... + sin n n
而 lim(
nΠ nΠ sin Π n sin Π n + ... + sin n n + ... + sin n = ) = lim n+1 n+1 n nΠ sin Π n + ... + sin n = n 1 1
其中 εi ∈ (xi−1 , xi ) →
a
b
f (x)dx
所以，
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
例 3、f(x) 在 [a,b] 上连续，且 g (x)
b
0，则存在 ε ∈ (a, b)
b
f (x)g (x)dx = f (ε)
a a
f (x)dx
证：由于 f(x) 在 [a,b] 上有最大值 Mf ，最小值 mf ，则
a
xf (x)dx >
0
2 a 3
a
f (x)dx
0 t
证：设 ϕ(t) =
0
t
2 xf (x)dx − t 3 5
f (x)dx
0
ϕ (t) = tf (t) −
2 3
t 0
2 1 2 f (x)dx − tf (t) = tf (t) − 3 3 3
t
f (x)dx
0
1 1 2 f (t) + tf (t) − f (t) 3 3 3 1 1 1 1 = tf (t) − (f (t) − f (0)) = tf (t) − f (ε) > 0, 0 < ε < t 3 3 3 3 所以，t = a > 0, ϕ(a) > ϕ(0)，即证 ϕ (t) =
b n
f (x)dx = lim
a i=1
f (a +
i b−a (b − a)) n n
特别，
1
f (x)dx = lim
0
2 1 ) + f(n ) + ... + f ( n f(n n) n
定积分有如下的性质： b c b 1、对 a < c < b， a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx b b 2、f (x) g (x), x ∈ [a, b]，则 a f (x)dx g (x)dx a 且在 f(x),g(x) 连续条件下，等号成立充要条件为 f (x) ≡ g (x), x ∈ [a, b]，由此 可导出： b (1)m f (x) M, m(b − a) f (x)dx M (b − a) a b (2)f (x) 0, x ∈ [a, b], a f (x)dx 0 且在 f(x) 连续条件下，等号成立的充要条件为 f (x) ≡ 0, x ∈ [a, b] 3、f(x) 在 [a,b] 上连续，则存在 ε ∈ [a, b] b f (x)dx = f (ε)(b − a) －积分中值定理 a x x d f (t)dt = f (x) 4、f(x) 在 [a,b] 上连续，则 a f (t)dt 在 [a,b] 上可导，且 dx a 5、f(x) 在 [a,b] 上连续，且 F (x) = f (x)， b 则 a f (x)dx = F (x)|b a = F (b) − F (a) －牛顿－莱布尼兹公式 定积分的性质进一步讨论： x 例 1、f(x) 在 [a,b] 上可积，x0 ∈ (a, b),f(x) 在 x = x0 连续，则 a f (t)dt 在 x = x0 可导，且 x d f (t)dt|x=x0 = f (x0 ) dx a 1
0
用于求数列的极限： 1 1 1 例 5，求 lim( n+1 + n+2 ... + n+ n) 1 1 1 解：原式＝ lim n ( 1+ 1 + 1+ 2 + ... +
n n
1 1+ n n
)
1
=
0
1 dx = ln(1 + x)|1 0 = ln2 1+x
例 6、求 lim( 解：
nΠ sin Π n + ... + sin n n+1
f (x)dx
1 −a
证：由于
1 f (x)(x − a(x + )) a
a
1 −a
1 0, x ∈ [− , a] a 0
从而
1 f (x)(x − a)(x + )dx a x2 f (x)dx
a
即有
a
1 −a
f (x)dx
1 −a
3、积分不等式的一题多解，这里我们举两个例子，从几个方面来看积分不等式 的解法：
1 1
4n2 3
f (x)dx
0
1 dx f (x)
4 3
三、积分不等式的证明 积分不等式的证明是高等数学中一类重要问题，这类问题的证明方法主要有以 下几个方面： 1、利用变上限函数，把积分不等式化为函数不等式： 例 8、f(x) 在 [0,a] 上有二阶导数，f(0)=0,f (x) > 0，证明：
f (u(
i=1
ia )) n
f(
1 n
n
u(
i=1
ia )) n
两边取极限，导出要求的结论。 1 a u(x)dx 注：另一证法：记 x0 = a 0 由 f (x) f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) 4
所以， f (u(x)) 从而 1 a
a a
f (x0 ) + f (x0 )(u(x) − x0 )
证：∀h > 0, | =|
x0 +h x0
x0 +h a
f (t)dt − h
x0 a
f (t)dt 1 h
− f (x0 )|
x0 +h
f (t)dt − h
x0 +h x0
f (x0 )dt
|
|f (t) − f (x0 )|dt
x0
因为 f(x) 在 x0 连续，从而对 ε > 0，存在 δ > 0，当 |t − x0 | |f (t) − f (x0 )| < ε，从而当 0 < h < δ 时， 1 h 从而
例 2、f(x) 在 [a,b] 上可积，F (x) = f (x)，则
b a
f (x)dx = F (x)|b a = F (b) − F (a)
证：a = x0 < x1 < ... < xn = b
n n
F (b) − F (a) =
i=1
F (xi ) − F (xi−1 ) =
i=1
f (εi )(xi − xi−1 )
a b
f (x)g (x)dx +
a b a b a
f (x)2 dx
0
从而 =(
a
f (x)g (x)dx)2 −
a 1 −a
f (x)2 dx
g (x)2 dx
0
即为要求的不等式 1 , a], 例 10、f (x) 0, x ∈ [− a
a
1 −a
xf (x)dx = 0，证明
a
x2 f (x)dx