高考理科数学：《基本初等函数》题型归纳与训练(有答案)

2020年高考理科数学：基本初等函数题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 指数运算与对数运算

例1 已知函数2log ,0,()31,0,x x x f x x ->?=?

+≤?则f (f (1))＋f 31log 2?? ???的值是( ) A.5

B.3

C.－1

D.72 【答案】A

【解析】由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，31log 0,2<∴f 31log 2?? ???＝31log 23-+1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ???

?log 312＝5. 【易错点】确定31log 2

的范围再代入. 【思维点拨】本题较简单，分段函数计算题代入时要先确定范围，再代入函数.

例2 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2log 1,0,6,0,x x f x x -≤??->?

（）（）则f (2 019)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2

【答案】D

【解析】∵2 019＝6×337－3，∴f (2 019)＝f (－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选D.

【易错点】转化过程

【思维点拨】x >6时可以将函数看作周期函数，得到f (2 019)＝f (3)，然后再带入3，得出f (3)＝f (－3). 题型二 指对幂函数的图象与简单性质

例1 函数f (x )＝a x

－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A.a >1，b <0

B.a >1，b >0

C.00

D.0

【解析】由f (x )＝a x

－b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0

【易错点】注意b 的符号

【思维点拨】(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

2 例2 已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x

－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A.a ＜b ＜c

B.c ＜a ＜b

C.a ＜c ＜b

D.c ＜b ＜a 【答案】B

【解析】由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，

当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 23|＞0，

∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B.

【易错点】①对称性的条件转化；②利用单调性或图象转化到同一单调区间比较大小.

【思维点拨】函数()f x m -的图象关于x m =对称；指对幂函数比较大小时像本题中a,b 一样可以换成同底数的数，可以化为一样的底数利用单调性比较大小.

题型三 二次函数的图象与性质

例1 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．

【答案】（－

22

，0） 【解析】由于f (x )＝x 2＋mx －1＝mx ＋(x 2－1)，可视f (x )为关于m 的一次函数，故根据题意有 2222()10,(1)(1)(1)10,

f m m m f m m m m ?=++

例2 已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．

【答案】a<1时,f (x )min =a -2；a ≥1时，f (x )min =－1a

. 【解析】①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝－2.

②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为直线x ＝1a

. 当1a

≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]内， ∴f (x )在????0，1a 上单调递减，在????1a ，1上单调递增． ∴f (x )min ＝1()f a ＝1a －2a ＝－1a . 当1a

>1，即0