最新高考数学试题及答案全国卷2
2024年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅱ)正式版含答案解析
绝密★启用前2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=−1−i，则|z|=( )A. 0B. 1C. √ 2D. 22.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )A. p和q都是真命题B. ￢p和q都是真命题C. p和￢q都是真命题D. ￢p和￢q都是真命题3.已知向量a⃗，b⃗⃗满足：|a⃗|=1，|a⃗⃗+2b⃗⃗|=2，且(b⃗⃗−2a⃗⃗)⊥b⃗⃗，则|b⃗⃗|=( )A. 12B. √ 22C. √ 32D. 14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并部分整理下表：据表中数据，结论中正确的是( )A. 100块稻田亩产量中位数小于1050kgB. 100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )A. x 216+y24=1(y>0) B. x216+y28=1(y>0)C. y 216+x24=1(y>0) D. y216+x28=1(y>0)6.设函数f(x)=a(x+1)2−1，g(x)=cosx+2ax(a为常数)，当x∈(−1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=( )A. −1B. 12C. 1D. 27.已知正三棱台ABC−A1B1C1的体积为523，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )A. 12B. 1C. 2D. 38.设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为( )A. 18B. 14C. 12D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023年新高考II卷数学高考真题(含参考答案)
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题一、单选题二、多选题四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,10520．如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，60ADB ADC ∠=∠= ，E 为BC (1)证明：BC DA ⊥；(2)点F 满足EF DA =，求二面角21．已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.22．（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．参考答案1．（2023·新高考Ⅱ卷·1·★）在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限答案：A解析：2(13i)(3i)3i 9i 3i 68i +-=-+-=+，所以该复数对应的点为(6,8)，位于第一象限.2．（2023·新高考Ⅱ卷·2·★）设集合{0,}A a =-，{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则a =（）（A ）2（B ）1（C ）23（D ）1-答案：B解析：观察发现集合A 中有元素0，故只需考虑B 中的哪个元素是0，因为0A ∈，A B ⊆，所以0B ∈，故20a -=或220a -=，解得：2a =或1，注意0B ∈不能保证A B ⊆，故还需代回集合检验，若2a =，则{0,2}A =-，{1,0,2}B =，不满足A B ⊆，不合题意；若1a =，则{0,1}A =-，{1,1,0}B =-，满足A B ⊆.故选B.3．（2023·新高考Ⅱ卷·3·★）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）（A ）4515400200C C ⋅种（B ）2040400200C C ⋅种（C ）3030400200C C ⋅种（D ）4020400200C C ⋅种答案：D解析：应先找到两层中各抽多少人，因为是比例分配的分层抽取，故各层的抽取率都等于总体的抽取率，设初中部抽取x 人，则60400400200x =+，解得：40x =，所以初中部抽40人，高中部抽20人，故不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种.4．（2023·新高考Ⅱ卷·4·★★）若21()()ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则a =（）（A ）1-（B ）0（C ）12（D ）1答案：B解法1：偶函数可抓住定义()()f x f x -=来建立方程求参，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即2121()ln ()ln 2121x x x a x a x x ----+=+-++①，而121212121ln ln ln()ln 21212121x x x x x x x x ---+--===--+-++，代入①得：2121()(ln ()ln 2121x x x a x a x x ---+-=+++，化简得：x a x a -=+，所以0a =.解法2：也可在定义域内取个特值快速求出答案，210(21)(21)021x x x x ->⇔+->+，所以12x <-或12x >，因为()f x 为偶函数，所以(1)(1)f f -=，故1(1)ln3(1)ln 3a a -+=+①，而11ln ln3ln33-==-，代入①得：(1)ln3(1)ln3a a -+=-+，解得：0a =.5．（2023·新高考Ⅱ卷·5·★★★）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB ∆的面积是F AB ∆面积的2倍，则m =（）（A ）23（B ）3（C ）3-（D ）23-答案：C解析：如图，观察发现两个三角形有公共的底边AB ，故只需分析高的关系，作1FG AB ⊥于点G ，2F I AB ⊥于点I ，设AB 与x 轴交于点K ，由题意，121212212F AB F ABAB F G S S AB F I ∆∆⋅==⋅，所以122F G F I=，由图可知12F KG F KI ∆∆∽，所以11222F K F G F KF I==，故122F K F K =，又椭圆的半焦距c =，所以122F F c ==，从而21212233F K F F ==，故1123OK OF F K =-=，所以2(3K ，代入y x m =+可得203m =+，解得：23m =.6．（2023·新高考Ⅱ卷·6·★★★）已知函数()e ln x f x a x =-在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为（）（A ）2e （B ）e （C ）1e -（D ）2e -答案：C解析：()f x 的解析式较复杂，不易直接分析单调性，故求导，由题意，1()e x f x a x '=-，因为()f x 在(1,2)上，所以()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即1e 0x a x-≥①，观察发现参数a 容易全分离，故将其分离出来再看，不等式①等价于1ex a x ≥，令()e (12)x g x x x =<<，则()(1)e 0x g x x '=+>，所以()g x 在(1,2)上，又(1)e g =，2(2)2e g =，所以2()(e,2e )g x ∈，故21111(,)()e 2e e x g x x =∈，因为1e x a x ≥在(1,2)上恒成立，所以11e e a -≥=，故a 的最小值为1e -.7．（2023·新高考Ⅱ卷·7·★★）已知α为锐角，cos α=sin 2α=（）（A （B （C （D 答案：D解析：221535cos 12sin sin 2428ααα+-=-=⇒=，此式要开根号，不妨上下同乘以2，将分母化为2，所以222625(51)sin 2164α-==，故51sin 24α-=±，又α为锐角，所以(0,)24απ∈，故51sin 24α-=.8．（2023·新高考Ⅱ卷·8·★★★）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）（A ）120（B ）85（C ）85-（D ）120-答案：C解法1：观察发现2S ，4S ，6S ，8S 的下标都是2的整数倍，故可考虑片段和性质，先考虑q 是否为1-，若{}n a 的公比1q =-，则414[1(1)]01(1)a S --==--，与题意不符，所以1q ≠-，故2S ，42S S -，64S S -，86S S -成等比数列①，条件中有6221S S =，不妨由此设个未知数，设2S m =，则621S m =，所以425S S m -=--，64215S S m -=+，由①可得242262()()S S S S S -=-，所以2(5)(215)m m m --=+，解得：1m =-或54，若1m =-，则21S =-，424S S -=-，6416S S -=-，所以8664S S -=-，故8664216485S S m =-=-=-；到此结合选项已可确定选C ，另一种情况我也算一下，若54m =，则2504S =>，而2222412341212122()(1)(1)S a a a a a a a q a q a a q S q =+++=+++=++=+，所以4S 与2S 同号，故40S >，与题意不符；综上所述，m 只能取1-，此时885S =-.解法2：已知和要求的都只涉及前n 项和，故也可直接代公式翻译，先看公比是否为1，若{}n a 的公比1q =，则612162142S a S a =≠=，不合题意，所以1q ≠，故414(1)51a q S q -==--①，又6221S S =，所以6211(1)(1)2111a q a q q q--=⋅--，化简得：62121(1)q q -=-②，又62322411()(1)(1)q q q q q -=-=-++，代入②可得：2242(1)(1)21(1)q q q q -++=-③，两端有公因式可约，但需分析21q -是否可能为0，已经有1q ≠了，只需再看q 是否可能等于1-，若1q =-，则414[1(1)]01(1)a S --==--，与题意不符，所以1q ≠-，故式③可化为24121q q ++=，整理得：42200q q +-=，所以24q =或5-（舍去），故要求的8241118(1)[1()]255111a q a q aS q q q--===-⋅---④，只差11aq-了，该结构式①中也有，可由24q =整体计算它，将24q =代入①可得21(14)51a q-=--，所以1113a q =-，代入④得81255853S =-⨯=-.9．（2023·新高考Ⅱ卷·9·★★★）（多选）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，o 120APB ∠=，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为o 45，则（）（A ）该圆锥的体积为π（B ）该圆锥的侧面积为（C ）AC =（D ）PAC ∆答案：AC解析：A 项，因为2PA =，o 120APB ∠=，所以o 60APO ∠=，cos 1OP AP APO =⋅∠=，sin OA AP APO =⋅∠=，从而圆锥的体积211133V Sh ππ==⨯⨯⨯=，故A 项正确；B 项，圆锥的侧面积2S rl ππ===，故B 项错误；C 项，要求AC P O --还没用，观察发现PAC ∆和OAC ∆都是等腰三角形，故取底边中点即可构造棱的垂线，作出二面角的平面角，取AC 中点Q ，连接PQ ，OQ ，因为OA OC =，PA PC =，所以AC OQ ⊥，AC PQ ⊥，故PQO ∠即为二面角P AC O --的平面角，由题意，o 45PQO ∠=，所以1OQ OP ==，故AQ ==，所以2AC AQ ==，故C 项正确；D 项，PQ ==，所以11222PAC S AC PQ ∆=⋅=⨯=，故D 项错误.10．（2023·新高考Ⅱ卷·10·★★★）（多选）设O 为坐标原点，直线1)y x =-过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）（A ）2p =（B ）83MN =（C ）以MN 为直径的圆与l 相切（D ）OMN ∆为等腰三角形答案：AC解析：A 项，在1)y x =-中令0y =可得1x =，由题意，抛物线的焦点为(1,0)F ，所以12p=，从而2p =，故A 项正确；B 项，此处可以由直线MN 的斜率求得MFO ∠，再代角版焦点弦公式22sin pMN α=求MN ，但观察发现后续选项可能需要用M ，N 的坐标，所以直接联立直线与抛物线，用坐标版焦点弦公式来算，设11(,)M x y ，22(,)N x y，将1)y x =-代入24y x =消去y 整理得：231030x x -+=，解得：13x =或3，对应的y分别为3和-(3,M -，1(,33N ，从而121163233MN x x p =++=++=，故B 项错误；C 项，判断直线与圆的位置关系，只需将圆心到直线的距离d 和半径比较，12523x x MN +=⇒的中点Q 到准线:1l x =-的距离8132d MN ==，从而以MN 为直径的圆与准线l 相切，故C 项正确；D 项，M ，N 的坐标都有了，算出OM ，ON即可判断，OM =133ON ==，所以OM ，ON ，MN 均不相等，故D 项错误.11．（2023·新高考Ⅱ卷·11·★★★）（多选）若函数2()ln (0)b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）（A ）0bc >（B ）0ab >（C ）280b ac +>（D ）0ac <答案：BCD解析：由题意，223322()(0)a b c ax bx cf x x x x x x --'=--=>，函数()f x 既有极大值，又有极小值，所以()f x '在(0,)+∞上有2个变号零点，故方程220ax bx c --=在(0,)+∞上有两个不相等实根，所以212120()(()4(2)020)()b a c c x x a b x x a ⎧⎪∆=--->⎪⎪=->⎨⎪⎪+=>⎪⎩保证有两根保证两根同号保证两根只能同③正①②，由①可得280b ac +>，故C 项正确；由②可得0ca<，所以a ，c 异号，从而0ac <，故D 项正确；由③可得a ，b 同号，所以0ab >，故B 项正确；因为a ，c 异号，a ，b 同号，所以b ，c 异号，从而0bc <，故A 项错误.12．（2023·新高考Ⅱ卷·12·★★★★）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.（）（A ）采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)αβ--（B ）采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-（C ）采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-（D ）当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案：ABD解析：A 项，由题意，若采用单次传输方案，则发送1收到1的概率为1β-，发送0收到0的概率为1α-，所以依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)(1)(1)(1)βαβαβ---=--，故A 项正确；B 项，采用三次传输方案，若发送1，则需独立重复发送3次1，依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)(1)βββββ--=-，故B 项正确；C 项，采用三次传输方案，由B 项的分析过程可知若发送1，则收到1的个数~(3,1)X B β-，而译码为1需收2个1，或3个1，所以译码为1的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P X P X ββββββ=+==-+-=-+-，故C 项错误；D 项，若采用单次传输方案，则发送0译码为0的概率为1α-；若采用三次传输方案，则发送0等同于发3个0，收到0的个数~(3,1)Y B α-，且译码为0的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P Y P Y αααααα=+==-+-=-+-，要比较上述两个概率的大小，可作差来看，2323(1)(1)(1)(1)[3(1)(1)1](1)(12)ααααααααααα-+---=--+--=--，因为00.5α<<，所以233(1)(1)(1)(1)(12)0ααααααα-+---=-->，从而233(1)(1)1αααα-+->-，故D 项正确.13．（2023·新高考Ⅱ卷·13·★★）已知向量a ，b满足-=a b 2+=-a b a b ，则=b _____.解析：条件涉及两个模的等式，想到把它们平方来看，由题意，22223-=+-⋅=a b a b a b ①，又2+=-a b a b ，所以222+=-a b a b ，故2222244++⋅=+-⋅a b a b a b a b ，整理得：220-⋅=a a b ，代入①可得23=b ，即23=b，所以=b .14．（2023·新高考Ⅱ卷·14·★★）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_____.答案：28解析：如图，四棱锥1111P A B C D -与P ABCD -相似，它们的体积之比等于边长之比的立方，故只需求四棱锥1111P A B C D -的体积，11113112111()4228P A B C D P ABCD V A B AB V --==⇒==，所以11118P ABCD P A B C D V V --=，故所求四棱台的体积11117P A B C D V V -=，由题意，1111212343P A B C D V -=⨯⨯=，所以7428V =⨯=.【反思】相似图形的面积之比等于边长之比的平方，体积之比等于边长之比的立方.15．（2023·新高考Ⅱ卷·15·★★★）已知直线10x my -+=与⊙22:(1)4C x y -+=交于A ，B 两点，写出满足“ABC∆的面积为85”的m 的一个值_____.答案：2（答案不唯一，也可填2-或12或12-）解析：如图，设圆心(1,0)C 到直线AB 的距离为(0)d d >，则12ABC S AB d ∆=⋅，注意到AB 也可用d 表示，故先由85ABC S ∆=求d ，再将d 用m 表示，建立关于m 的方程，又AB ==，所以12ABC S d ∆=⨯=，由题意，85ABC S ∆=85=，结合0d >解得：d =又d ==，所以==，解得：2m =±或12±.16．（2023·新高考Ⅱ卷·16·★★★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若6AB π=，则()f π=_____.答案：解法1：6AB π=这个条件怎么翻译？可用12y =求A ，B 横坐标的通解，得到AB ，从而建立方程求ω，不妨设0ω>，令1sin()2x ωϕ+=可得26x k πωϕπ+=+或526k ππ+，其中k ∈Z ，由图知26A x k πωϕπ+=+，526B x k πωϕπ+=+，两式作差得：2()3B A x x πω-=，故23B A x x πω-=，又6B A AB x x π=-=，所以336ππω=，解得：4ω=，则()sin(4)f x x ϕ=+，再求ϕ，由图知23π是零点，可代入解析式，注意，23π是增区间上的零点，且sin y x =的增区间上的零点是2n π，故应按它来求ϕ的通解，所以82()3n n πϕπ+=∈Z ，从而823n πϕπ=-，故82()sin(42sin(4)33f x x n x πππ=+-=-，所以2223()sin(4)sin()sin 3332f πππππ=-=-=-=-.解法2：若注意横向伸缩虽会改变图象在水平方向上的线段长度，但不改变长度比例，则可先分析sin y x =与12y =交点的情况，再按比例对应到本题的图中来，如图1，直线12y =与函数sin y x =在y 轴右侧的三个I ，J ，K 的横坐标分别为6π，56π，136π，所以52663IJ πππ=-=，1354663JK πππ=-=，:1:2IJ JK =，故在图2中:1:2AB BC =，因为6AB π=，所以3BC π=，故2AC AB BC π=+=，又由图2可知AC T =，所以2T π=，故24Tπω==，接下来同解法1.【反思】①对于函数sin()(0)y x ωϕω=+>，若只能用零点来求解析式，则需尽量确定零点是在增区间还是减区间.“上升零点”用2x n ωϕπ+=来求，“下降零点”用2x n ωϕππ+=+来求；②对图象进行横向伸缩时，水平方向的线段长度比例关系不变，当涉及水平线与图象交点的距离时，我们常抓住这一特征来求周期.17．（2023·新高考Ⅱ卷·17·★★★）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆，D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若3ADC π∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求b ，c .解：（1）如图，因为3ADC π∠=，所以23ADB π∠=，（要求tan B ，可到ABD ∆中来分析，所给面积怎么用？可以用它求出ABD S ∆，从而得到BD ）因为D 是BC 中点，所以2ABC ABD S S ∆∆=，又ABC S ∆=ABD S ∆=，由图可知112sin 1sin 223ABD S AD BD ADB BD π∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯==2BD =，（此时ABD ∆已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边AB ，再用正弦定理求角B ）在ABD ∆中，由余弦定理，2222212cos 12212()72AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，所以AB =由正弦定理，sin sin AB AD ADB B =∠，所以1sin sin AD ADB B AB ⋅∠===，由23ADB π∠=可知B为锐角，从而cos B ==，故sin tan cos 5B B B ==.（2）（已有关于bc 的一个方程，若再建立一个方程，就能求b 和c ，故把面积和中线都用b ，c 表示）由题意，1sin 2ABC S bc A ∆==，所以sin bc A =①，（中线AD 怎样用b ，c 表示？可用向量处理）因为D 为BC 中点，所以1()2AD AB AC =+ ，从而2AD AB AC =+ ，故22242AD AB AC AB AC =++⋅ ，所以222cos 4c b cb A ++=，将228b c +=代入上式化简得cos 2bc A =-②，（我们希望找的是b ，c 的方程，故由①②消去A ，平方相加即可）由①②得222222sin cos 16b c A b c A +=，所以4bc =③，由228b c +=可得2()28b c bc +-=，所以4b c +==，结合式③可得2b c ==.18．（2023·新高考Ⅱ卷·18·★★★★）已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >.解：（1）（给出了两个条件，把它们用1a 和d 翻译出来，即可建立方程组求解1a 和d ）由题意，414632S a d =+=①，31231231111(6)2(6)62()26441216T b b b a a a a a d a d a d =++=-++-=-++++-=+-=②，由①②解得：15a =，2d =，所以1(1)23n a a n d n =+-=+.（2）由（1）可得21()(523)422n n n a a n n S n n +++===+，（要证结论，还需求n T ，由于n b 按奇偶分段，故求n T 也应分奇偶讨论，先考虑n 为偶数的情形）当(5)n n >为偶数时，12n nT b b b =++⋅⋅⋅+12341(6)2(6)2(6)2n n a a a a a a -=-++-++⋅⋅⋅+-+13124()62()2n n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅+-⨯+++⋅⋅⋅+③，因为131,,,n a a a -⋅⋅⋅和24,,,n a a a ⋅⋅⋅分别也构成等差数列，所以211131()(521)32242n n n a a n n n n a a a --++++++⋅⋅⋅+===，2224()(723)52242n n n a a n n n n a a a ++++++⋅⋅⋅+===，代入③化简得：222353732222n n n n n n n T n +++=-+⨯=，（要由此证n n T S >，可作差比较）所以2237(4)022n n n n n n T S n n 2+--=-+=>，故n n T S >；（对于n 为奇数的情形，可以重复上述计算过程，但更简单的做法是补1项凑成偶数项，再减掉补的那项）当(5)n n >为奇数时，2113(1)7(1)2n n n n n T T b +++++=-=-2213(1)7(1)351022(25)22n n n n n a n +++++-=-+=，所以223510(4)2n n n n T S n n +--=-+2310(2)(5)022n n n n --+-==>，故n n T S >；综上所述，当5n >时，总有n n T S >.19．（2023·新高考Ⅱ卷·19·★★★）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c .假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+.当[95,105]c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,105]的最小值.解：（1）（给的是漏诊率，故先看患病者的图，漏诊率为0.5%即小于或等于c 的频率为0.5%，可由此求c ）由患病者的图可知，[95,100)这组的频率为50.0020.010.005⨯=>，所以c 在[95,100)内，且(95)0.0020.005c -⨯=，解得：97.5c =；（要求()q c ，再来看未患病者的图，()q c 是误诊率，也即未患病者判定为阳性（指标大于c ）的概率）由未患病者的图可知指标大于97.5的概率为(10097.5)0.0150.0020.035-⨯+⨯=，所以() 3.5%q c =.（2）（[95,105]包含两个分组，故应分类讨论）当95100c ≤<时，()(95)0.002p c c =-⨯，()(100)0.0150.002q c c =-⨯+⨯，所以()()()0.0080.82f c p c q c c =+=-+，故()0.0081000.820.02f c >-⨯+=①；当100105c ≤≤时，()50.002(100)0.012p c c =⨯+-⨯，()(105)0.002q c c =-⨯，所以()()()0.010.98f c p c q c c =+=-，故()(100)0.011000.980.02f c f ≥=⨯-=②；所以0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤<⎧=⎨-≤≤⎩，且由①②可得min ()0.02f c =.20．（2023·新高考Ⅱ卷·20·★★★）如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，o 60ADB ADC ∠=∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC DA ⊥；（2）点F 满足EF DA = ，求二面角D AB F --的正弦值.解：（1）（BC 和DA 是异面直线，要证垂直，需找线面垂直，可用逆推法，假设BC DA ⊥，注意到条件中还有DB DC =，所以BC DE ⊥，二者结合可得到BC ⊥面ADE ，故可通过证此线面垂直来证BC DA ⊥）因为DA DB DC ==，o 60ADB ADC ∠=∠=，所以ADB ∆和ADC ∆是全等的正三角形，故AB AC =，又E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，因为AE ，DE ⊂平面ADE ，AE DE E = ，所以BC ⊥平面ADE ，又DA ⊂平面ADE ，所以BC DA ⊥.（2）（由图可猜想AE ⊥面BCD ，若能证出这一结果，就能建系处理，故先尝试证明）不妨设2DA DB DC ===，则2AB AC ==，因为BD CD ⊥，所以BC ==，故12DE CE BE BC ====AE ==所以2224AE DE AD +==，故AE DE ⊥，所以EA ，EB ，ED 两两垂直，以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A，D，B ，所以(DA =，AB = ，由EF DA = 可知四边形ADEF 是平行四边形，所以FA ED == ，设平面DAB 和平面ABF 的法向量分别为111(,,)x y z =m ，222(,,)x y z =n ，则111100DA AB ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ m m ，令11x =，则1111y z =⎧⎨=⎩，所以(1,1,1)=m 是平面DAB的一个法向量，22200AB FA ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ n n ，令21y =，则2201x z =⎧⎨=⎩，所以(0,1,1)=n 是平面ABF 的一个法向量，从而cos ,⋅<>===⋅m n m n m n D AB F --的正弦值为=21．（2023·新高考Ⅱ卷·21·★★★★）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上.解：（1）设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由焦点坐标可知c =则由c e a==可得2a =，4b ==，双曲线方程为221416x y -=.（2）由(1)可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为4x my =-，且1122m -<<，与221416x y -=联立可得()224132480m y my --+=，且264(43)0m ∆=+>，则1212223248,4141m y y y y m m +==--，直线1MA 的方程为()1122y y x x =++，直线2NA 的方程为()2222y y x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()2121121211212121222222266y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++==--=--112221122483216222141414148483664141m m m y y m m m m m y y m m -⋅-⋅++---===-⨯----，由2123x x +=--可得=1x -，即1P x =-，据此可得点P 在定直线=1x -上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.22．（2023·新高考Ⅱ卷·22·★★★★）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）已知函数2()cos ln(1)f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.解：（1）构建()()sin ,0,1F x x x x =-∈，则()1cos 0F x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()F x 在()0,1上单调递增，可得()()00F x F >=，所以()sin ,0,1x x x >∈；构建()()()22sin sin ,0,1G x x x x x x x x =--=-+∈，则()()21cos ,0,1G x x x x '=-+∈，构建()()(),0,1g x G x x '=∈，则()2sin 0g x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()g x 在()0,1上单调递增，可得()()00g x g >=，即()0G x '>对()0,1x ∀∈恒成立，则()G x 在()0,1上单调递增，可得()()00G x G >=，所以()2sin ,0,1x x x x >-∈；综上所述：sin x x x x 2-<<.（2）令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，若0a =，则()()()2ln 1,1,1f x x x =--∈-，因为ln y u =-在定义域内单调递减，21y x =-在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，则()()2ln 1f x x =--在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，故0x =是()f x 的极小值点，不合题意，所以0a ≠.当0a ≠时，令0b a =>因为()()()()()222cos ln 1cos ln 1cos ln 1f x ax x a x x bx x =--=--=--，且()()()()()22cos ln 1cos ln 1f x bx x bx x f x ⎡⎤-=----=--=⎣⎦，所以函数()f x 在定义域内为偶函数，由题意可得：()()22sin ,1,11x f x b bx x x =--∈'--，（i ）当202b <≤时，取1min ,1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，()0,x m ∈，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2222222222sin 111x b x b x x f x b bx b x x x x+-'=-->--=---，且22220,20,10b x b x >-≥->，所以()()2222201x b x b f x x +-'>>-，即当()()0,0,1x m ∈⊆时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,m 上单调递增，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0m -上单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，不合题意；（ⅱ）当22b >时，取()10,0,1x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2233223222222sin 2111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++----，构建()33223212,0,h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭，则()3223132,0,h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭，且()33100,0h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，则()0h x '>对10,x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，可知()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()21020,20h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点10,n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当()0,x n ∈时，则()0h x <，且20,10x x >->，则()()3322322201x f x b x b x b x b x'<-+++-<-，即当()()0,0,1x n ∈⊆时，()0f x '<，则()f x 在()0,n 上单调递减，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0n -上单调递增，所以0x =是()f x 的极大值点，符合题意；综上所述：22b >，即22a >，解得aa <故a 的取值范围为(),-∞+∞ .。
新高考数学试卷全国二卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)在区间[1, 3]上的最大值为M，最小值为m，则M + m的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 72. 下列各式中，能表示向量a与向量b的夹角余弦的是（）A. a·bB. |a||b|C. |a|^2 + |b|^2D. a^2b^23. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面内的对应点位于（）A. 虚轴B. 实轴C. 第一象限D. 第二象限4. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2an-2，且a1 = 1，a2 = 2，则数列{an}的前n项和Sn =（）A. 2n - 1B. n(n + 1)C. 2^n - 1D. 2^n + 15. 在平面直角坐标系中，抛物线y = x^2 - 2x + 1的焦点坐标为（）A. (1, 0)B. (2, 0)C. (0, 1)D. (0, -1)6. 已知函数f(x) = log2(x - 1) + log2(x + 1)，若f(x)的定义域为（）A. (-1, 1)B. (0, 1)C. (1, +∞)D. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)7. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. 1/√28. 已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，则数列{an + 1}的通项公式为（）A. 2^n - 1B. 2^n + 1C. 2^nD. 2^n - 29. 在△ABC中，若a^2 + b^2 = 4c^2，则△ABC为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 梯形10. 已知数列{an}满足an = 3an-1 + 2，且a1 = 1，则数列{an + 1}的通项公式为（）A. 3^n - 1B. 3^n + 1C. 3^nD. 3^n - 211. 在平面直角坐标系中，动点P的轨迹方程为x^2 + y^2 = 1，则动点P的轨迹面积为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π12. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)在区间[0, 2]上的零点个数为n，则n的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 已知复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面内的对应点位于（）14. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2an-2，且a1 = 1，a2 = 2，则数列{an}的前n项和Sn =（）15. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）16. 已知函数f(x) = log2(x - 1) + log2(x + 1)，若f(x)的定义域为（）17. 在平面直角坐标系中，抛物线y = x^2 - 2x + 1的焦点坐标为（）18. 已知数列{an}满足an = 3an-1 + 2，且a1 = 1，则数列{an + 1}的通项公式为（）三、解答题（本大题共6小题，共70分）19. （本题共10分）已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)的极值。
2022年高考数学试卷(新高考Ⅱ卷)(解析卷)
2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅱ卷）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-£，则A B =I （ ）A. {1,2}- B. {1,2} C. {1,4} D. {1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B I .【详解】{}|02B x x =££，故{}1,2A B =I ，故选：B.2. (22i)(12i)+-=（ ）A. 24i-+ B. 24i -- C. 62i + D. 62i-【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-.【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.3. 图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ¢¢¢¢是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9【答案】D【解析】【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D4. 已知向量(3,4),(1,0),t ===+r r r r r a b c a b ，若,,<>=<>r r r r a c b c ，则t =（ ）A. 6- B. 5- C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+r ,cos ,cos ,a c b c =r r r ,即931635t t c c+++=r r ,解得5t =,故选：C5. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224´´=种不同的排列方式，故选：B6. 若sin()cos()sin 4p a b a b a b æö+++=+ç÷èø，则（ ）A. ()tan 1a b -= B. ()tan 1a b +=C. ()tan 1a b -=- D. ()tan 1a b +=-【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin a b a b a b a b a a b ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0a b a b a b a b -++=，即：()()sin cos 0a b a b -+-=,所以()tan 1a b -=-,故选：C7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为（ ）A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以1222r r ==123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =，2d =121d d -=或121d d +=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A ．8. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==å（ ）A. 3- B. 2- C. 0 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f L 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=L ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-å．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数()sin(2)(0π)f x x j j =+<<的图像关于点2π,03æöç÷èø中心对称，则（ ）A. ()f x 在区间5π0,12æöç÷èø单调递减B. ()f x 在区间π11π,1212æö-ç÷èø有两个极值点C. 直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D. 直线y x =-是曲线()y f x =的切线【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f j æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，所以4ππ3k j +=，k ÎZ ，即4ππ,3k k j =-+ÎZ ，又0πj <<，所以2k =时，2π3j =，故2π()sin 23f x x æö=+ç÷èø．对A ，当5π0,12x æöÎç÷èø时，2π2π3π2,332x æö+Îç÷èø，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12æöç÷èø上是单调递减；对B ，当π11π,1212x æöÎ-ç÷èø时，2ππ5π2,322x æö+Îç÷èø，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点；对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x æö¢=+=-ç÷èø得：2π1cos 232x æö+=-ç÷èø，解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+ÎZ ,从而得：πx k =或ππ,3x k k =+ÎZ ,所以函数()y f x =在点æççè处的切线斜率为02π2cos 13x k y ==¢==-，切线方程为：(0)y x =--即y x =-．故选：AD ．10. 已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A. 直线AB 的斜率为B. ||||OB OF =C. ||4||AB OF > D. 180OAM OBM Ð+Ð<°【答案】ACD【解析】【分析】由AF AM =及抛物线方程求得3(4p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB 的方程，联立抛物线求得(,3p B ，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512p AB =即可判断C 选项；由0OA OB ×<uuu r uuu r ，0MA MB ×<uuu r uuur 求得AOB Ð，AMB Ð为钝角即可判断D 选项.【详解】对于A ，易得(,0)2p F ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p p p +=，代入抛物线可得2233242p y p p =×=，则3(4p A ，则直线AB=，A 正确；对于B，由斜率为AB的方程为2p x y =+，联立抛物线方程得220y py p -=，设11(,)B x y1p y p +=，则1y =，代入抛物线得212p x æ=×ççè，解得13p x =，则(,3p B ，=，B 错误；对于C，由抛物线定义知：32524412pp AB p p OF ==>=，C 正确；对于D ，2333((,043434p p p p pOA OB æ×=×=×+=-<ççèuuu r uuu r ，则AOB Ð为钝角，又2225((,043436p p p p p MA MB ææö×=-×-=-×-+=-<çç÷çèøèuuu r uuu r ，则AMB Ð为钝角，又360AOB AMB OAM OBM Ð+Ð+Ð+Ð=o ，则180OAM OBM Ð+Ð<o ，D 正确.故选：ACD.11. 如图，四边形ABCD 为正方形，ED ^平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A. 322V V = B. 31V V =C. 312V V V =+ D. 3123V V =【答案】CD【解析】【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ^平面ABCD ，FB ED P ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =××=×××=V ，()232111223323ABC V FB S a a a =××=×××=V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ^，又ED ^平面ABCD ，AC Ì平面ABCD ，则ED AC ^，又ED BD D =I ，,ED BD Ì平面BDEF ，则AC ^平面BDEF ，又12BM DM BD ===，过F 作FG DE ^于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ====，，222EM FM EF +=，则EM FM ^，12EFM S EM FM =×=V ，则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=×=V ，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD.12. 若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A. 1x y +£ B. 2x y +³-C. 222x y +£ D. 221x y +³【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为22222a b a b ab ++æö££ç÷èø（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +æö+-=£ç÷èø，解得22x y -£+£，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=£，解得222x y +£，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y æö-+=ç÷èø，设cos sin 2y x y q q -==，所以cos ,x y q q q ==，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y q q q q =q -q +=++++42π2sin 2,23363q æöéù=+-Îç÷êúèøëû，所以当x y ==221x y +³不成立，所以D 错误．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N s，且(2 2.5)0.36P X <£=，则( 2.5)P X >=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为()22,X N s :，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<£=-=．故答案为：0.14．14. 曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】①. 1ey x = ②. 1e y x =-【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【详解】解： 因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x¢=，所以001|x x y x =¢=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e ey x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x¢=，所以111|x x y x =¢=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e ey x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1ey x =；1e y x=-15. 设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．【答案】13,32éùêúëû【解析】【分析】首先求出点A 关于y a =对称点A ¢的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a ¢--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B ¢所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离d ，即()()2225532a a -£-+，解得1332a ££，即13,32a éùÎêúëû；故答案为：13,32éùêúëû16. 已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【答案】0x +-=【解析】【分析】令AB 中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ×=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】解：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ×=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k æö-ç÷èø，()0,N m ，所以,22m m E k æö-ç÷èø，即1222mk mk´=--，解得k =k =，又MN =，即MN ==，解得2m =或2m =-（舍去），的所以直线:2AB y x =+，即0x -=；故答案为：0x -=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）求集合{}1,1500k m k b a a m =+££中元素个数．【答案】（1）证明见解析； （2）9．【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-ìí+-=-+î，即可解得，112db a ==，所以原命题得证．小问2详解】【由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+Û´=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=Î，解得210k ££，所以满足等式的解2,3,4,,10k =L ，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+££中的元素个数为10219-+=．18. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知12313S S S B -+==．（1）求ABC V 的面积；（2）若sin sin A C =，求b ．【答案】（1（2）12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S，再由123S S S -+=2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.【小问1详解】由题意得22221231,,2S a S S =×===，则222123S S S -+==，即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin3B =，则cos B ==1cosac B ==1sin 2ABC S ac B ==V 【小问2详解】由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C==，则229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =×===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.19. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.【答案】（1）47.9岁； （2）0.89； （3）0.0014．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式()1(P A P A =-即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．【小问1详解】平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =´+´+´+´+´ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+´+´+´+´´=（岁）．【小问2详解】设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++´=-=．【小问3详解】设B =“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C =“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====´=,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16P BC P C P B C C B P B B P P ´====»．20. 如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ^，E 是PB 的中点．（1）证明：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO Ð=Ð=°，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥P ABC -的高，所以PO ^平面ABC ，,AO BO Ì平面ABC ，所以PO AO ^、PO BO ^，又PA PB =，所以POA POB @△△，即OA OB =，所以OAB OBA Ð=Ð，又AB AC ^，即90BAC Ð=°，所以90OAB OAD Ð+Ð=°，90OBA ODA Ð+Ð=°，所以ODA OADÐ=Ð所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE Ë平面PAC ，PD Ì平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以4OA ==，又30OBA OBC Ð=Ð=°，所以28BD OA ==，则4=AD ，AB =，所以12AC =，所以()2,0O ，()B ，()2,3P ，()0,12,0C ，所以32E æöç÷èø，则32AE æö=ç÷èøuuu r，()AB =uuur ，()0,12,0AC =uuu r ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =r，则3020n AE y z nAB ì×=++=ïíï×==îuuuv v uuu v v ，令2z =，则3y =-，0x =，所以()0,3,2n =-r；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =u r，则302120m AE b c m AC b ì×=++=ïíï×==îuuu v v uuu v v ，令a =6c =-，0b =，所以)6m =-u r；所以cos ,n m=r u r 设二面角C AE B --的大小为q ，则cos cos ,n q =r ，所以11sin 13q ==，即二面角C AE B --的正弦值为1113.21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P且斜率为QM .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）2213y x -=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k , M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M 在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【小问1详解】右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=，∴b =，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =．∴C 的方程为：2213y x -=；【小问2详解】由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-Û=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y éùéù--++--+=ëûëû，()()3403403434220y y x x x y y y x x -éùéù-++-+=ëûëû-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ 的斜率1212y y m x x -==-,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y éù+-+=ëû,解得P的横坐标：100x y ö=+÷÷ø,同理：200x y ö=÷÷ø，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ö-=++-=--÷--ø∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =Û=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =\+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.22. 已知函数()e e ax x f x x =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设n *ÎN ln(1)n +++>+L ．【答案】（1）()f x 的减区间为(),0-¥，增区间为()0,+¥.（2）12a £ （3）见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，求出()h x ¢¢，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <£结合放缩法讨论()h x ¢符号，最后就0a £结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t t t <-对任意1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-<*n N Î恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小问1详解】当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x ¢=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0¥-，增区间为()0,¥+.【小问2详解】设()e e 1ax x h x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax ¢=+-，设()()1e e ax x g x ax =+-，则()()22e e ax x g x a a x ¢=+-，若12a >，则()0210g a ¢=->，因为()g x ¢为连续不间断函数，故存在()00,x Î+¥，使得()00,x x "Î，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <£，则()()()ln 11e e e e ax ax ax x x h x ax ++¢=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-¢=-=<++，故()S x 在()0,¥+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-£，故()0h x ¢£总成立，即()h x 在()0,¥+上为减函数，所以()()01h x h <=-当0a £时，有()e e e 1100ax x ax h x ax ¢=-+<-+=，所以()h x 在()0,¥+上为减函数，所以()()01h x h <=-.的.综上，12a £【小问3详解】取12a =，则0x ">，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N Î，有2ln<整理得到：()ln 1ln n n +-<()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n >-+-+++-L L ()ln 1n =+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式..。
2023年新高考全国Ⅱ卷数学高考真题试卷及答案
2023年新高考全国Ⅱ卷数学高考真题试卷及答案2023年新高考全国Ⅱ卷数学高考真题试卷及答案数学的难度是捉摸不透的，考试中难免有些题拿不准。
对于完全没有思路的题，只要写出一些相关的公式或知识点，阅卷老师都会酌情给分。
下面是小编为大家整理的2023年新高考全国Ⅱ卷数学高考真题试卷，希望对您有所帮助!2023年新高考全国Ⅱ卷数学高考真题试卷2023年新高考全国Ⅱ卷数学高考真题试卷答案学好高中数学有什么技巧一、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二、适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。
在平时要养成良好的解题习惯。
让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。
实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。
如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。
新高考二卷数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是：A. \( f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \)B. \( f(x) = \frac{1}{x} \)C. \( f(x) = \log_2(x + 1) \)D. \( f(x) = \sqrt[3]{x} \)2. 已知向量 \( \vec{a} = (1, 2) \)，\( \vec{b} = (3, 4) \)，则 \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) 的值为：A. 5B. 7C. 9D. 113. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的图像在下列哪个区间内单调递增：A. (-∞, 0)B. (0, 1)C. (1, +∞)D. (-1, +∞)4. 在△ABC中，已知 \( a = 3 \)，\( b = 4 \)，\( c = 5 \)，则△ABC的面积为：A. 6B. 8C. 10D. 125. 若 \( \sin A + \cos A = \sqrt{2} \)，则 \( \sin 2A \) 的值为：A. 1B. -1C. 0D. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)6. 下列不等式中，恒成立的是：A. \( x^2 - 4 < 0 \)B. \( x^2 + 4 < 0 \)C. \( x^2 - 4 > 0 \)D. \( x^2 + 4 > 0 \)7. 已知函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 在 \( x = 1 \) 时取得极值，则\( a \) 的取值范围是：A. \( a \neq 0 \)B. \( a > 0 \)C. \( a < 0 \)D. \( a = 0 \)8. 在直角坐标系中，点 \( P(2, 3) \) 关于直线 \( y = x \) 的对称点为：A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 下列复数中，不是纯虚数的是：A. \( i \)B. \( -i \)C. \( 2i \)D. \( 1 + i \)10. 若 \( \log_2(x - 1) + \log_2(x + 1) = 3 \)，则 \( x \) 的值为：A. 4B. 8C. 16D. 32二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
2023年高考数学试卷(新课标Ⅱ卷)(解析卷)
2023年全国新高考Ⅱ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.2. 设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B Í，则=a （ ）．A. 2 B. 1 C.23D. 1-【答案】B 【解析】【分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为A B Í，则有：若20a -=，解得2a =，此时{}0,2A =-，{}1,0,2B =，不符合题意；若220a -=，解得1a =，此时{}0,1A =-，{}1,1,0B =-，符合题意；综上所述：1a =.故选：B.3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．A. 4515400200C C ×种 B. 2040400200C C ×种C. 3030400200C C ×种 D. 4020400200C C ×种【答案】D【解析】【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600´=人，高中部共抽取2006020600´=，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200C C ×种.故选：D.4. 若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）．A. 1- B. 0C.12D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可.【详解】因为()f x 为偶函数，则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-\+=-+，，解得0a =，当0a =时，()21ln 21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-，则其定义域为12x x ìíî或12x ü<-ýþ，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+ö-=---æ====ç÷-+-++è-ø-，故此时()f x 为偶函数.故选：B.5. 已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △面积是2F AB △面积的2倍，则m =（ ）．A.23B.C. D. 23-【答案】C 【解析】【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用0D >，求出m 范围，再根据三角形面积比得到关于m 方程，解出即可.的【详解】将直线y x m =+与椭圆联立2213y x m x y =+ìïí+=ïî，消去y 可得2246330x mx m ++-=，因为直线与椭圆相交于,A B 点，则()223604433m m -´-D =>，解得22m -<<，设1F 到AB 距离12,d F 到AB 距离2d，易知())12,F F ，则1d =，2d =122F AB F ABS S ===V V ，解得m =或-，故选：C.6. 已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（ ）．A. 2eB. eC. 1e -D. 2e -【答案】C 【解析】【分析】根据()1e 0xf x a x¢=-³在()1,2上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，()1e 0x f x a x ¢=-³在()1,2上恒成立，显然0a >，所以1e xx a³，设()()e ,1,2xg x x x =Î，所以()()1e 0xg x x =+>¢，所以()g x在()1,2上单调递增，()()1e g x g >=，故1e a ³，即11e ea -³=，即a 的最小值为1e -．故选：C ．7. 已知a 为锐角，cos a =，则sin 2a =（ ）．的A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为2cos 12sin2aa=-=，而a 为锐角，解得：sin2a===故选：D ．8. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（ ）．A. 120 B. 85C. 85- D. 120-【答案】C 【解析】【分析】方法一：根据等比数列的前n 项和公式求出公比，再根据48,S S 的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n 项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ，若1q =，则61126323S a a S ==´=，与题意不符，所以1q ¹；由45S =-，6221S S =可得，()41151a q q-=--，()()6211112111a q a q q q--=´--①，由①可得，24121q q ++=，解得：24q =，所以8S =()()()()8411411151168511a q a q q qq--=´+=-´+=---．故选：C ．方法二：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为45S =-，6221S S =，所以1q ¹-，否则40S =，从而，2426486,,,S S S S S S S ---成等比数列，所以有，()()22225215S S S --=+，解得：21S =-或254S =，当21S =-时，2426486,,,S S S S S S S ---，即为81,4,16,21S ---+，易知，82164S +=-，即885S =-；当254S =时，()()()2241234122110S a a a a a a q q S =+++=++=+>，与45S =-矛盾，舍去．故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握48,S S 的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023新高考全国II卷数学试题及详细答案（解析）
2023新高考全国II卷数学试题及详细答案（解析）2023新高考全国II卷数学试题及详细答案（解析）2023新高考全国II卷数学试题及详细答案是什么?高考部分科目已经结束，许多人都对高考真题十分好奇，那么今年高考真题都有哪些呢?下面是小编为大家搜集整理的关于2023新高考全国II卷数学试题及详细答案，供大家参考，快来一起看看吧!2023新高考全国II卷数学试题及详细答案2023高考数学时间分配原则对于高考数学基础比较薄弱的同学，重在保简易题。
鉴于高考数学客观题部分主要是对基础知识点的考察，可以稍稍放慢速度，把时间控制在50-60分钟，力求做到准确细致，尽量保证70分的基础分不丢分。
之后的三道简易高考数学解答题每题平均花10-15分钟完成。
至于后三道高考数学大题，建议先阅读完题目，根据题意把可以联想到的常考知识点写出来，例如涉及函数单调性、切线斜率的可对函数求导，圆锥曲线的设出标准方程、数列里求出首项等等。
如果没有其它的思路，不要耽误太多时间，把剩下的时间倒回去检查前面的题目。
高考数学题要认真仔细对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。
审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。
所以，在高考数学实际解题时，应特别注意，审题要认真、仔细。
对于高考数学题，第一重要的是数学知识点的掌握，第二是对答题技巧的掌握，考生在答高考数学题的时候，一定不要把所有时间都浪费在一道题上，否则会影响整张数学试卷的作答。
2023高考数学选择题题型及分布规律1.集合交并补运算2.充分必要条件，命题真假3.复数四则运算4.三视图恢复与，体积表面积内外截球计算5.算法循环结构6.概率，排列组合计算，积分计算6.函数奇偶周期对称抽象函数与导函数(及结论)7.分段函数8空间几何平行垂直夹角体积计算9线性规划10三角函数求值11解三角形相关夹角面积周长12向量共线垂直乘积夹角模长最值及向量有关三角形计算等13.数列通项，某一项，求和，最值14.复杂图形辨别及导数相关图形辨别15.函数比较大小，非常规(指数，对数，三角，抽象)不等式求解及恒成立，参数范围求解。
2023年全国新高考II卷数学真题及详细答案
2023年全国新高考II卷数学真题及详细答案2023年全国新高考II卷数学真题及详细答案2023高考结束后，部分考生会自己根据试题及答案估分，方便自己报考，那么今年2卷的数学试题你觉得难度如何呢?以下是小编整理的一些全国新高考II卷数学真题及详细答案，欢迎阅读参考。
全国新高考II卷数学真题及答案高中数学解题方法与技巧一、三角函数题数学题注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。
二、数列题1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。
三、高考立体几何题1、数学中证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，要建系;3、注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。
高考数学答题技巧1、学会放弃。
要明白大多数人是不需要做完所有的题，只要把高考简单题做对，中档题做好了，分一般不低，前8个选择，前3个填空，前4个大题做全对就已经能拿到大概100分了。
数学基础差学生最好先不要再做那些难题、偏题，不要将高考数学时间浪费掉。
2、合理安排数学高考时间，千万不要在不会的题目上纠缠，以免耽误了时间，先把会做的题目做了，把能够拿到手的分拿到手!有的学生几何学的好，有的学生三角函数好，那就一定要把这样的分数拿到手。
2023年全国高考数学-新高考卷II试题及答案
2023年全国高考数学新高考卷II试题及答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|2＜x＜3}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. ∅2. 已知函数f(x)=2x+1，则f(f(1))的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 63. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模为（）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定5. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A. y=x³B. y=2xC. y=x²D. y=x²x二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。
（）2. 任何两个实数的和都是实数。
（）3. 若a、b均为负数，则a²+b²＞0。
（）4. 二项式展开式中的项数为n+1。
（）5. 直线y=kx+b（k≠0）的斜率k表示直线的倾斜程度。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²2x，则f(2)=______。
2. 若向量a=(1,2)，向量b=(1,2)，则a•b=______。
3. 在等比数列{bn}中，若b1=2，公比q=3，则b4=______。
4. 若复数z=3+4i，则z的共轭复数z=______。
5. 设平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,4)，则线段AB的中点坐标为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述实数和虚数的区别。
2. 请写出等差数列的通项公式。
3. 什么是函数的单调性？4. 如何判断两个矩阵是否可交换？5. 请解释圆的标准方程。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x²2x+1，求f(x)的最小值。
2. 设等差数列{an}的公差为2，且a1+a3+a5=21，求a4。
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2012高考数学试题（全国卷Ⅱ）
一．选择题：（共12个小题，每小题5分，满分60分） 1. 复数
131i
i
-++= (A) 2+i
(B) 2-i
(C) 1+2i
(D)1-2i
2.已知集合A ={1，3，m }，B ={1，m }，A ∪B =A ，则m = (A) 0或3
(B) 0或3
(C) 1或3
(D) 1或3
3.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x = - 4，则该椭圆的方程为
(A) 2
2
1612
y +x =1
(B) 2
2
168
y +x =1
(C) 2
2
84
y +
x =1
(D) 2
2
124
y +
x =1
4.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB = 2，CC 1 = 22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为： (A) 2 (B)
3
(C)
2
(D) 1
5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5 = 5，S 5 =15，则数列{1
1
n n a a +}的前100项和为
(A) 100
101
(B)
99101
(C)
99100
(D)
101
100
6.△ABC 中，AB 边的高为CD ，CB = a ，CA = b ，a •b = 0，| a | = 1，| b | = 2，则AD = (A)13a -13
b (B)
23a -2
3
b (C)
35a -3
5
b (D)
45a -4
5
b
7.已知α 为第二象限的角，sin α +cos α =3
3，则cos2α = (A) -53
(B) -
59
(C)
59
(D)
53
8.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2-y 2 =2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2 = (A) 14
(B)
35
(C)
34
(D)
45
9.已知x = ln π，y =log 5 2，z =12
e -，则
(A) x < y < z
(B) z < x < y
(C) z < y < x
(D) y < z < x
10.已知函数y =x 3-3x + c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c = (A) -2或2
(B) -9或3
(C) -1或1
(D) -3或1
11.将字母a , a , b , b , c , c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同点排列方法共有 (A) 12种
(B) 18种
(C) 24种
(D) 36种
12.正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE = BF =
3
7
，动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 (A) 16
(B) 14
(C) 12
(D) 10
二．填空题：（共4个小题，每小题5分，满分20分）
13.若x 、y 满足约束条件 ，则z =3x - y 的最小值为
14.当函数y = sin x - cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x = 15.若(x +1
x
) n 的展开式中第三项与第七项的二项式系数相等，则该展开式中
2
1
x 的系数为
16. 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1=∠CAA 1= 60o ，则异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为
二．解答题：（共6个小题，满分70分）
17.（本小题满分10分）
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A - C ) + cos B = 1，a = 2c ，求C .
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC = 22，P A = 2， E 是PC 上的一点，PE = 2EC . (Ⅰ)证明：PC ⊥平面BED ；
(Ⅱ)设二面角A -PB - C 为90o ，求PD 与平面PBC 所成的角的大小.
x - y +1≥0
x + y -3≤0 x + 3y -3≥0
E
A
B
C
D
P
19. （本小题满分12分）
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换. 每次发球，胜方得1分，负方得0分. 设再甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立. 甲、乙的一局比赛中，甲先发球.
(Ⅰ)求开始第四次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
(Ⅱ)ξ 表示开始第四次发球时乙的得分，求ξ 的期望.
20. （本小题满分12分）
设函数f (x ) = a x + cos x , x∈[0, π] .
(Ⅰ)讨论f (x )的单调性；
(Ⅱ)设f (x ) ≤1 + sin x，求a的取值范围.
21. （本小题满分12分）
已知抛物线C：y = (x +1) 2与圆M：(x-1) 2 +( y-1
2
) 2 = r 2 (r > 0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线
l.
(Ⅰ)求r；
(Ⅱ)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.
22. （本小题满分12分）
函数f (x ) = x 2 - 2x - 3 .定义数列{x n}如下：x1= 2，x n+1是过两点P(4, 5)、Q n(x n, f (x n))的直线PQ n与x轴的交点的横坐标.
(Ⅰ)证明：2≤x n < x n+1<3 ；
(Ⅱ)求数列{x n}的通项公式.
答案
1.
2.C 2.B
3.C
4.C
5.A
6.D
7.A
8.C
9.D 10.A 11.A 12.B
13. -1 14. 15. 56 16. ………………。