第三章相关与回归分析
第三章 一元线性回归模型
第三章 一元线性回归模型一、预备知识（一）相关概念对于一个双变量总体,若由基础理论，变量和变量之间存在因果),(i i x y x y 关系，或的变异可用来解释的变异。
为检验两变量间因果关系是否存在、x y 度量自变量对因变量影响的强弱与显著性以及利用解释变量去预测因变量x y x ，引入一元回归分析这一工具。
y 将给定条件下的均值i x i yi i i x x y E 10)|(ββ+=（3.1）定义为总体回归函数（PopulationRegressionFunction,PRF ）。
定义为误差项（errorterm ）,记为，即，这样)|(i i i x y E y -i μ)|(i i i i x y E y -=μ，或i i i i x y E y μ+=)|(i i i x y μββ++=10（3.2）（3.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。
其中，称为解释变量x （explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；称为被解释y 变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项解释μ了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。
误差项的构成包括以下四个部分：（1）未纳入模型变量的影响（2）数据的测量误差（3）基础理论方程具有与回归方程不同的函数形式，比如自变量与因变量之间可能是非线性关系（4）纯随机和不可预料的事件。
在总体回归模型（3.2）中参数是未知的，是不可观察的，统计计10,ββi μ量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。
给定一组随机样本，对（3.1）式进行估计，若的估计量分别记n i y x i i ,,2,1),,( =10,),|(ββi i x y E 为，则定义3.3式为样本回归函数^1^0^,,ββi y （）i i x y ^1^0^ββ+=n i ,,2,1 =（3.3）注意，样本回归函数随着样本的不同而不同，也就是说是随机变量，^1^0,ββ它们的随机性是由于的随机性（同一个可能对应不同的）与的变异共i y i x i y x 同引起的。
选修2-3 第三章 第一节：回归分析的基本思想及其初步应用 (学生版)
教学辅导教案学生姓名年级高二学科数学上课时间教师姓名课题人教版选修2-3 回归分析的基本思想及其初步应用1．设有一个回归方程为$23y x=+，变量x增加一个单位时，则（）A．y平均增加2个单位B．y平均增加3个单位C．y平均减少2个单位D．y平均减少3个单位2．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为$0.70.35y x=+，那么表中t的值为（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.53．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8据上表得回归直线方程$$y bx a=+$，其中0.76b=$，$a y bx=-$，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元4．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x（吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如表所示：x 3 4 5 61y 2.5 3 4 a若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为$0.70.35y x=+，则表中a的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.55．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x（个） 2 3 4 5加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程$$y bx a=+$，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？（注：1221()ni iiniix y nx ybx n x---∑=-∑$，$a y bx=-$）一、散点图1．散点图的概念在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．曲线拟合的概念从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋【变式5】在回归分析中，下列说法错误的是（ ） A ．用线性回归模型近似真实模型可产生误差 B ．R 2越大，模型的拟合效果越好 C ．残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D ．R 2越大，残差平方和也越大【变式6】给出下列结论，正确的个数是（ ）（1）在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好； （2）在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；（3）在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． A ．0B ．1C ．2D ．3【变式7】设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i =1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为$0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是（ ）A ．身高x 为解释变量，体重y 为预报变量B ．y 与x 具有正的线性相关关系C ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）D ．若该大学某女生身高为170cm ，则她的体重必为58.79kg1．给出下列四个命题：①由样本数据得到的回归方程$$y bxa =+$必过样本点的中心（x ，y ）； ②用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好；③若线性回归方程为$3 2.5y x =-，则变量x 每增加1个单位时，y 平均减少2.5个单位； ④在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越小． 上述四个命题中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．身高与体重的关系可以用________来分析（ ）12．在冬季，某地居民对猪肉的需求情况的一组数据为（右图）： 价格x （万元） 12 11 10 9 需求量y （吨）10111213（1）求出y 对x 的回归方程；（2）如果价格升为14万元/吨，请你预测猪肉的需求量是多少．本章重点：回归分析、残差分析、相关指数的意义以及独立性检验中K 2的有关计算． 本章难点：借助于回归分析的思想选择恰当的模型拟合变量间的相关关系(尤其是非线性的)，由于该部分内容的数据相对较复杂，故在高考中出现大题的可能性不是很大，应以选择、填空题为主，旨在考察对回归方程的求解及预测，K 2的计算等．1．对于线性回归方程$$y bx a =+$，下列说法中不正确的是（ ） A ．样本数据中x =0时，一定有$y a= B ．x 增加一个单位时，y 平均增加b$个单位 C ．样本数据中x =0时，可能有$y a= D ．直线必经过点（x ，y ）2．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x （cm ） 160 165 170 175 180 体重y （kg ）6366707274根据上表可得回归直线方程$$0.56y x a=+，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为据和散点图：定价x（元/kg）10 20 30 40 50 60年销量y（kg）1150 643 424 262 165 86 z=2⋅ln y14.1 12.9 12.1 11.1 10.2 8.9（参考数据：61()()34580i iix x y y=-⋅-=-∑，61()()175.5i iix x z z=-⋅-=-∑，621()776840iiy y=-=∑，61()()3465i iiy y z z=-⋅-=∑）（1）根据散点图判断，y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）．（3）定价为多少元/kg时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线$$y bx a=+$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()=()n ni i i ii in ni ii ix y nx y x x y ybx nx x x====--⋅-∑∑=--∑∑$，$a y nbx=-．8．如图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2010﹣2016．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明； （2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2018年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，721()0.55i i y y =-=∑，7 2.646≈．参考公式：12211()()()()ni i i nn i i i i t t y y r t t y y ===--∑=--∑∑，回归方程$$y abt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()=()ni i i ni i t t y y b t t ==-⋅-∑-∑$，$a y bt =-$．9．为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x 1 2 3 4 5 y7.06.55.53.82.2一、（第1天）1．已知x与y之间的一组数据：x0 1 2 3y m 3 5.5 7已求得关于y与x的线性回归方程$ 2.10.85y x=+，则m的值为．2．若样本点为（21，2.1）、（23，2.3）、（25，2.8）、（27，3.2）、（29，4.1），则样本点的中心为．3．一工厂生产某种产品的月产量y（单位：万件）与月份x构成的实数对（x，y）在直线y=x+1附近，则估计3月份生产该产品万件．4．已知x，y的取值如表：x0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7从散点图分析，y与x线性相关，则回归方程为$$y bx a=+$必过点．5．某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y（单位：元）的对应数据如表：x 3 5 2 8 9 12y 4 6 3 9 12 14假设得到的关于x和y之间的回归直线方程是$$y bx a=+$，那么该直线必过的定点是．二、（第2天）1．如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于，解释变量和预报变量之间的相关系数等于．2．已知某回归分析中，模型A的残差图的带状区域宽度比模型B的残差图的带状区域宽度窄，则在该回归分析中拟合精度较高的模型是．3．回归分析是处理变量之间关系的一种数量统计方法．4．对于一组数据的两个函数模型，其残差平方和分别为152.6 和169.8，若从中选取一个拟合程度较好的函数模型，应选残差平方和为的那个．。
回归分析与相关分析
回归分析与相关分析回归分析是通过建立一个数学模型来研究自变量对因变量的影响程度。
回归分析的基本思想是假设自变量和因变量之间存在一种函数关系，通过拟合数据来确定函数的参数。
回归分析可以分为线性回归和非线性回归两种。
线性回归是指自变量和因变量之间存在线性关系，非线性回归是指自变量和因变量之间存在非线性关系。
回归分析可用于预测、解释和控制因变量。
回归分析的应用非常广泛。
例如，在经济学中，回归分析可以用于研究收入与消费之间的关系；在医学研究中，回归分析可以用于研究生活方式与健康之间的关系。
回归分析的步骤包括确定自变量和因变量、选择合适的回归模型、拟合数据、检验模型的显著性和解释模型。
相关分析是一种用来衡量变量之间相关性的方法。
相关分析通过计算相关系数来度量变量之间的关系的强度和方向。
常用的相关系数有Pearson相关系数、Spearman相关系数和判定系数。
Pearson相关系数适用于连续变量，Spearman相关系数适用于顺序变量，判定系数用于解释变量之间的关系。
相关分析通常用于确定两个变量之间是否相关，以及它们之间的相关性强度和方向。
相关分析的应用也非常广泛。
例如，在市场研究中，相关分析可以用于研究产品价格与销量之间的关系；在心理学研究中，相关分析可以用于研究学习成绩与学习时间之间的关系。
相关分析的步骤包括确定变量、计算相关系数、检验相关系数的显著性和解释相关系数。
回归分析与相关分析的主要区别在于它们研究的对象不同。
回归分析研究自变量与因变量之间的关系，关注的是因变量的预测和解释；相关分析研究变量之间的关系，关注的是变量之间的相关性。
此外，回归分析通常是为了解释因变量的变化，而相关分析通常是为了量化变量之间的相关性。
综上所述，回归分析和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
回归分析用于确定自变量与因变量之间的关系，相关分析用于测量变量之间的相关性。
回归分析和相关分析在实践中有广泛的应用，并且它们的步骤和原理较为相似。
第三章_回归分析基本方法最小二乘法
第三章_回归分析基本方法最小二乘法回归分析是统计学中一种通过建立变量之间的关系模型来预测或解释变量之间关系的方法。
最常用的回归分析方法之一是最小二乘法。
最小二乘法是一种通过最小化观测值与预测值之间的误差平方和来估计模型参数的方法。
最小二乘法的基本原理是寻找一条直线或曲线，使得该直线或曲线上的点到各观测值的距离之和最小。
最小二乘法的数学表达式可以表示为：$$\min_{\beta_0,\beta_1,...,\beta_k} \sum_{i=1}^{n}(y_i -(\beta_0 + \beta_1x_{i1} + ... + \beta_kx_{ik}))^2$$其中，$y_i$为观测值，$x_{ij}$为自变量，$\beta_0$为截距，$\beta_1$到$\beta_k$为模型参数。
在实际应用中，最小二乘法可以应用于各种回归模型，如简单线性回归、多元线性回归、非线性回归等。
简单线性回归是最简单的回归模型，假设自变量和因变量之间存在线性关系。
简单线性回归的数学表达式为：$$y = \beta_0 + \beta_1x + \epsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0$为截距，$\beta_1$为斜率，$\epsilon$为误差项。
通过最小二乘法求解简单线性回归模型的参数$\beta_0$和$\beta_1$，可以得到回归方程的估计值。
利用回归方程，可以对因变量进行预测或解释。
多元线性回归是简单线性回归的扩展，假设自变量和因变量之间存在线性关系，但自变量有多个。
多元线性回归的数学表达式为：$$y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + ... + \beta_kx_k + \epsilon$$其中，$y$为因变量，$x_1$到$x_k$为自变量，$\beta_0$为截距，$\beta_1$到$\beta_k$为斜率，$\epsilon$为误差项。
高中数学 第三章 统计案例 3.1 回归分析 3.1.2 相关系数课件3高二选修23数学课件
交通事故数 y/千件
6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13.0
12/8/2021
第十一页，共二十三页。
题型一
题型二
解:列表如下:
9 025
yi2
38.44
xiyi
589.0
7.5
12 100
56.25
825.0
112
7.7
12 544
59.29
862.4
4
120
8.5
14 400
6
∑ -6
=1
∴r=
6
∑
=1
2
2 -6
6
=
2
∑ 2 -6
=1
1 481-6×3.5×71
79-6×3.52 × 30 268-6×712
≈-0.91,
∴y 与 x 具有较高的相关程度.
6
∑ -6
∴b==16
∑ 2 -6
2
=
1 481-6×3.5×71
1
2
3
4
1.在回归分析中,相关系数|r|越大,则误差Q(a,b)应(
A.越小 B.越大
C.可能(kěnéng)大也可能(kěnéng)小D.以上都不对
解析:∵Q=lyy(1-r2)>0,∴|r|越大,Q越小.
答案:A
12/8/2021
第十八页，共二十三页。
)
1
2
3
4
2.两个变量(biànliàng)满足如下表的关系:
=1
r=
5
=1
∑ -5
=1
5
2 5 2
2
2
∑ -5 ∑ -5
应用回归分析,第3章课后习题参考答案
第3章 多元线性回归思考与练习参考答案3.2 讨论样本容量n 与自变量个数p 的关系，它们对模型的参数估计有何影响？答：在多元线性回归模型中，样本容量n 与自变量个数p 的关系是：n>>p 。
如果n<=p 对模型的参数估计会带来很严重的影响。
因为： 1. 在多元线性回归模型中，有p+1个待估参数β，所以样本容量的个数应该大于解释变量的个数，否则参数无法估计。
2. 解释变量X 是确定性变量，要求()1rank p n =+<X ，表明设计矩阵X 中的自变量列之间不相关，即矩阵X 是一个满秩矩阵。
若()1rank p <+X ，则解释变量之间线性相关，1()X X -'是奇异阵，则β的估计不稳定。
3.3证明随机误差项ε的方差σ2的无偏估计。
证明:22122222111112221111ˆ(),111()()(1)(1)()(1)1ˆ()()1n i i n n nnnii ii iiii i i i i i ni i SSE e e e n p n p n p E e D e h h n h n p E E e n p σσσσσσσ======='===------∴==-=-=-=--∴==--∑∑∑∑∑∑∑3.4 一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数R 2=0.9801，我们能判断这个回归方程就很理想吗？ 答：不能断定这个回归方程理想。
因为：1. 在样本容量较少，变量个数较大时，决定系数的值容易接近1，而此时可能F 检验或者关于回归系数的t 检验，所建立的回归方()1ˆ2--=p n SSE σ程都没能通过。
2. 样本决定系数和复相关系数接近于1只能说明Y 与自变量X1,X2,…,Xp 整体上的线性关系成立，而不能判断回归方程和每个自变量是显著的，还需进行F 检验和t 检验。
3. 在应用过程中发现，在样本容量一定的情况下，如果在模型中增加解释变量必定使得自由度减少，使得 R 2往往增大，因此增加解释变量（尤其是不显著的解释变量）个数引起的R 2的增大与拟合好坏无关。
《应用回归分析》课后习题答案
答：选择模型的数学形式的主要依据是经济行为理论，根据变量的样本数据作出解释变量与被解释变量之间关系的散点图，并将由散点图显示的变量间的函数关系作为理论模型的数学形式。对同一问题我们可以采用不同的形式进行计算机模拟，对不同的模拟结果，选择较好的一个作为理论模型。
df
均方
F
显著性
组间
（组合）
1231497.500
7
175928.214
5.302
.168
线性项
加权的
1168713.036
1
1168713.036
35.222
.027
偏差
62784.464
6
10464.077
.315
.885
组内
66362.500
2
33181.250
总数
1297860.000
9
由于 ,拒绝 ,说明回归方程显著，x与y有显著的线性关系。
.212
.586
1.708
a.因变量: y
（6）可以看到P值最大的是x3为0.284，所以x3的回归系数没有通过显著检验，应去除。
去除x3后作F检验，得：
Anovab
模型
平方和
df
均方
F
Sig.
1
回归
12893.199
2
6446.600
11.117
.007a
残差
4059.3.500
.724
.433
.212
.586
1.708
a.因变量: y
(2)
所以三元线性回归方程为
模型汇总
模型
R
第三章回归分析基本方法：最小二乘法
15368可编辑ppt11假设检验中的两类错误检验决策错误第一类错误弃真错误后果往往较为严重出现第一类错误的概率为等于显著性水第二类错误存伪错误出现第二类错误的概率为可编辑ppt12实际情况实际情况h0为真h0为假决策不拒绝正确错误不拒绝第二类错误拒绝错误正确拒绝第一类错误检验能可编辑ppt13第三章回归分析的基本方法
第三章回归分析预测方法
1984
539
7136
1992
769
8683
1985
577
7658
1993
801
9317
1986
613
7784
1994
855
9675
1987
644
8108
2019
842
8542
1988
670
7583
2019
860
8584
1989
695
8002
2019
890
9612
1990
713
8442
2019
920
x
相关但无
线性关系
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
2、回归分析与相关分析
研究和测度两个或两个以上变量之间关系的方 法有回归分析和相关分析。
相关分析。研究两个或两个以上随机变量之 间线性依存关系的紧密程度。通常用相关系 数表示，多元相关时用复相关系数表示。
回归分析。研究某一随机变量（因变量）与 其他一个或几个普通变量（自变量）之间的 数量变动的关系。
回本章目录
一、一元线性回归模型
一元线性回归（Linear regression），只研究一个 自变量与一个因变量之间的统计关系。
对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表
示为： yb0b1xe
其中，b0和b1称为模型的参数；e是随机误差项，
又称随机干扰项，有 e N0,2
在线性回归模型中加入随机误差项是基于 以下原因：
第一节 引言
本章学习目的与要求：
通过本章的学习，了解回归分析预测法 的概念，掌握回归分析中各系数的计算方法 及回归预测方法，能够运用Excel工具来进行 预测。
第三章_回归分析
第三章 回歸分析 §1 一元線性回歸 一、回歸模型設隨機變數y 與引數x 之間存在線性關係，它們的第i 次觀測數據是：(xi,yi)(i=1,2,…,n)那麼這組數據可以假設具有如下的數學結構式：i i i x y εββ++=0（i=1,…,n ）,其中β0, β為待估參數，),0(~2σεN i ，且n εεε,,,21 相互獨立，這就是一元線性回歸的數學模型。
二、參數估計 1.回歸係數設b0和b 分別是參數β0, β的最小二乘估計，於是一元線性回歸方程為：i i bx b y+=0ˆ （i=1,2,…,n ） b0,b 叫做回歸係數，它使偏差平方和∑∑==--=-=ni i i ni i i bx b y yy Q 12012)()ˆ(取最小值。
由 ⎝⎛=---=∂∂=---=∂∂∑∑==0)(20)(210100ni i i i ni i i x bx b y b Q bx b y b Q整理得正規方程組： 020()()()i ii i i inb x b y x b x b x y +∑=∑⎛∑+∑=∑⎝解得 xx xy S S b x b y b /,0=-= 其中 222)(x n x x x S i i xx -∑=-∑=y x n y x y y x x S i i i i xy -∑=--∑=))((另外 y n y y y S i i yy -∑=-∑=22)( 2.最小二乘估計b0,b 的統計性質 (1)E(b)= β,E(b0)= β0即b0,b 分別是β0，β的無偏估計 (2)22()/()i D b x x σ=∑-22201()[/()]i D b x x x nσ=+∑-即回歸係數b0,b 與σ2，x 的波動大小有關，b0還與n 有關，這就是說，x 值越分散，數據越多，估計b0,b 越精確。
三、假設檢驗 1.回歸方程顯著性檢驗欲檢驗y 與x 之間是否有線性關係，即檢驗假設H0：β＝0。
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⑴ 区别：
① 相关关系中的依存关系是不确定的；而函数关系中的依存关系是确定的。 ② 函数关系所确定的相互依存关系可以用数学表达式确切地表示出来；而 相关关系一般是不确定的，不能用数学表达式准确地表示出来。
⑵ 联系：
对具有相关关系的现象进行分析、了解现象之间的密切联系程度时, 必 须利用相应的函数关系数学表达式来表明现象间的相互依存的关系。
如果
t t (n 2)
2
则接受假设 H0 ,
即认为
0
也即认可 X 与 Y 之间不相关。
例1.2
设某一容量为 n = 6 的样本，又其相关系数 r = 0. 8 , 试
判断此问题的相关性是否显著。 (显著水平取 0.05) 解: 分析: 若单从相关系数的角度来看 r =0.8 , 表明该问题
河南工业大学
3. 相关系数的显著性检验
用样本相关系数 r 作为总体相 关系数 ρ 的估计值, 而 r 仅说明样 本数据的 X 与 Y 的相关程度。有
试验设计与数据处理
shiyanshujuchulishiyongfangfa
（一）假设检验方法与步骤
(1) 提出假设:
H 0 : 0; H1 : 0
有较高的相关程度。
河南工业大学
试验设计与数据处理
shiyanshujuchulishiyongfangfa
从显著性角度来看，对给定的检验水平 α = 0.05 , 查 t 分布表 可得临界值
t 2 ( n 1) t0.025 ( 4) 2.777
4. 相关关系的判断方法
定性分析 对客观现象之间是否存在相关关系，以及存在何种关系依据 专业知识和实践经验作出判断。
定量分析
在定性分析的基础上，通过绘制相关图、计算相关系数等方 法，来判断现象之间相关的方向、形态及密切程度。
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二、相关关系的测度
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(2) 按自变量的多少 —— 单相关、复相关、偏相关
当只研究两个变量时，它们之间的相关，称为单相关。 当所研究的是一个变量对两个或两个以上其他变量的相关关系时，称为复相关。 在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变量不变，只考察其中两个变量 的相关关系称为偏相关。
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(3) 确定临界值
对给定的检验水平α , 查 t 分布
表求得临界值 (4) 假设检验: 利用样本统计量值作出统计推断
t 2 ( n 2)
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如果
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t t 2 ( n 2) 则拒绝假设 H 0
也即认为 X 与 Y 之间存在相关性；
1.相关图----散点图(scatter diagram) 从直观上对正相关、负相关、线性相关、非线性相关、不 相关的一种判断方法。 散点图的作用:
借助直观的方法观察所 获得的试验数据的 经验公式，并用来分析和 解决问题。
2 i 1 i 1
( xi2 nx 2 ) ( yi2 n y 2 )
i 1
1 n x xi , n i 1
1 n y yi n i 1
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(2) 相关系数取值范围及其意义
① r 的取值范围: [ -1, 1 ] ② 判断相关方向: ③ 判断相关程度:
1-1对应的具有数量 上的严格确定性关系 （数学上以函数的形式表现）
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表现为现象之间确实存在的相
相关关系
特点
涵义
互依存的关系，但不是数量上 严格对应的依存关系,并且其关 系数值是不固定的。
①现象之间确实存在着依存关系，表现为一定的因果关系。 ②现象之间数量上的关系不是确定的, 可能转化或借助数量之 间的关系来描述。 ③现象之间的没有主从地位之分。
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相关分析和回归分析是研究具有非确定性依存关系的事物 之间既相互联系又相互制约的关系、探索其紧密联系的程度、 揭示其变化的具体形式和内在规律性的一种常用的统计分析方 法, 也是构造各种数学模型、借助于数学方法对事物进行分析、 评价、预测和控制的重要工具，在科学实验和生产实际中有着 广泛的应用。 研究内容： (1) 确定关系的存在性, 所呈现的形态和方向, 密切联系的程度。 (2) 确定关系的数学表达式。 (3) 估计误差及与实际的吻合程度。
河南工业大学 第二章
系的。
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相关分析与回归分析
任何事物之间看上去似乎毫无牵连,但彼此之间却是相互联 正是这一点,才促使人们不断的研究和探索这个丰富多彩的 世界。 从浩瀚无垠的宇宙到微小的分子、原子世界 , 从无机界到 有机界, 从自然到社会, 无一事物不处在与其他事物的联系之 中。事物之间不仅存在着相互联系，而且还具有一定的内部规 律性。
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第一节 相关分析
一、相关关系(correlation)概念
现实世界许多事物或现象之间相互依存、制约的关系一 般可分为两类: 表现为一个现象发生数量上的变 化，而另一个现象也相应产生数量 函数关系 上的变化，并且有一个确切的数值 与之相对应。 特点
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(5) 按相关关系的方向——正相关、负相关
两个相关现象间, 当一个变量的数值增加(或减少)时, 另一个变量的数值
也随之增加(或减少), 即同方向变化。
当一个变量的数值增加(或减少)时，而另一个变量的数值相反地呈减少 (或增加)趋势变化，即反方向变化。
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3. 相关关系的种类
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(1) 按依存关系的情况——因果关系(单向依存、 互为因果)、分 不清因果依存关系。
原因和结果是揭示客观世界中普遍联系着的事物具有先后相继、彼此制约的一对 范畴。原因是指引起一定现象的现象，结果是指由于原因的作用而引起的现象。 二者的关系属于引起和被引起的关系。
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shiyanshujuchulishiyongfangfa 变量间存在 函数关系
0＜ r ≤1，正相关
在函数关系
-1≤ r ＜ 0，负相关
r ＝ 0, 完全不相关 (不存在线性相关关系) 变量间基本不存
r ＝ 1, 完全正线性相关； r ＝－1, 完全负线性相关。 ④ 相关程度评价标准: 0.3≤ r < 0.5，低度相 微弱相关 关 0.5≤ r < 0.8，显著相关 0.8≤ r < 1， 高度相 关 0 < r < 1，变量间存在一定程度的相关关系 0 < r < 0.3， | r | 越趋于1表示关系越密切；| r | 越趋于0表示关系越不密切
相关系数 的概念是 因果统计 学家皮尔 逊首先提 出的
注: 通常利用 ρ 来刻画 X 与 Y 的线性相关程度。 在实际应用中，一般可利用样本数据对相关系数进行估计 和分析。
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从总体 X 和 Y 中抽取容量为 n 的样本：
(2) 构造统计量:
时候, 由于样本数据太少或其它偶
然因素, 使得样本相关系数 r 值很 大, 而总体的 X 与 Y 并不存在真正 的线性关系。因而有必要通过样本 资料来对 X 与 Y 之间是否存在真 正的线性相关进行显著性检验, 即 检验总体相关系数 r 是否为零。
t
r n2 1 r2
t ( n 2)
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60 50
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散点图
40 30 20 10 0 0 20 40 60 80 100 系列1
50
曲线拟合 利用Excel
40
30
20
20
40
60
80
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2. 相关系数 (correlation coefficient)
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衡量变量之间关系密切程度和相关方向的数量指标。 (1) 定义 设两个随机变量 X 和 Y , 则相关系数
E X E ( X )Y E (Y ) Cov( X , Y ) D( X ) D( Y ) D( X ) D( Y )
实际中常用如下公式计算:
( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,
则样本相关系数为
, ( xn , r yn )
其中:
n
Lx y Lxx Lyy
n
r
( x x )( y y )
i 1 i i 2 2 ( x x ) ( y y ) i i i 1 n n
n
Lx y ( xi x)( yi y ) xi yi nx y,
i 1 n i 1
x
i 1 n i 1
n
i 1
Lx x ( xi x) xi2 n( x) 2 ,
2 i 1 n i 1 n