北师大版2020九年级数学：圆的知识点总结及典型例题
北师大版数学九年级下册：圆盘 知识点总结
北师大版数学九年级下册：圆盘知识点总结本文档总结了北师大版数学九年级下册关于圆盘的知识点。
下面是各个知识点的简要概述：1. 圆的定义和性质- 圆是由平面上到一个定点距离为定值的点的全体组成。
圆的性质包括：圆上任意两点与圆心的连线相等、圆心到圆上任意一点的距离相等。
- 圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，直径是通过圆心的直线段，直径是半径的2倍，弦是圆上的任意两点间的线段，弦的长度小于或等于直径。
- 弧是沿圆周的一段，圆的周长也可以称为圆周长。
2. 圆的面积和周长计算公式- 圆的面积公式为：面积= π × 半径的平方。
- 圆的周长公式为：周长= 2 × π × 半径。
3. 圆心角、弧度和弧长的关系- 圆心角是指两条射线，以圆心为顶点的角度。
弧度是衡量角度大小的一个单位，1弧度等于圆心角恰好为半径的一条弧长。
弧长是弧上的一段弧的长度。
- 圆周角是指整个圆的圆心角，它的度数是360°，弧度是2π。
4. 切线与弦的关系- 切线是指与圆交于一点且与圆垂直的直线。
切线与半径的关系包括：切线与半径垂直、切线与半径的夹角是直角。
- 弦是圆上的任意两点间的线段。
弦和切线的关系包括：切线与弦的夹角等于弦所对圆心角的一半。
5. 相交弦与切线的性质- 如果两条弦在圆内相交，则它们的弦所对的圆心角互补（和为180°）。
- 相交弦与切线交于圆上的点时，切线与弦所对的圆心角相等。
这些是北师大版数学九年级下册关于圆盘的主要知识点总结。
希望能对你的学习有所帮助！。
北师大九年级 圆 知识点
北师大九年级圆知识点圆是数学中一种基本的几何图形，它是由平面上与一个固定点的距离等于常数的所有点所组成的集合。
在几何学中，圆是最简单的曲线，它具有许多独特的性质和特征，是学习几何学的基础。
下面将介绍北师大九年级关于圆的一些重要知识点。
一、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面内到一个固定点的距离等于半径长度的所有点组成的集合。
2. 圆的性质：- 圆上的任意两点与圆心的距离相等。
- 圆的直径是通过圆心的一条线段，其长度等于圆的半径的两倍。
- 圆的周长是圆上任意一点到相邻点的距离之和，它等于直径的乘积。
- 圆的面积是圆内所有点与圆心的距离之和，它等于半径的平方乘以π（π≈3.14159）。
二、圆的相关概念1. 弧：圆上的一段曲线称为圆弧。
圆弧的长度叫做弧长。
圆弧所对的圆心角称为弧度。
2. 弦：连接圆上的两点的线段称为圆弦。
3. 切线：与圆只有一个公共点的直线称为圆的切线。
切线与半径的夹角为直角。
4. 弦割定理：若一条直线同时截取圆的弦和切线，那么弦上的两线段的乘积等于切线与弦外的弦段的乘积。
三、圆的性质与定理1. 相交弦定理：两条相交的弦所对的弧相等。
2. 弦切角定理：切线和切线所截弦所对的弧所张角相等。
3. 弧切角定理：切线和切线所截圆弧所对的弦所张角相等。
4. 相交角性质：圆内接四边形的对角和为180度。
5. 弧与角关系：圆心角是弧上两点所对的角，圆心角的度数等于弧所对的圆心角的两倍。
四、圆的应用1. 圆的测量：通过给定的半径或直径，可以计算圆的周长和面积。
2. 圆的几何关系：如判定圆和直线的位置关系、圆与圆的位置关系等。
3. 圆的建模：在实际问题中，许多物体的形状可以近似看作圆，通过建立圆的模型可以进行问题的分析和求解。
总结：圆是数学中重要的几何图形之一，具有独特的性质和特征。
在学习和应用圆的知识时，我们需要了解圆的定义和性质，掌握一些相关概念和定理，并能够运用圆的知识解决实际问题。
希望通过对北师大九年级圆的知识点的学习，能够对同学们的数学能力提升和问题解决能力的培养有所帮助。
(新版)北师大版2020年九年级数学下册第三章圆知识点归纳
第三章圆1 圆2 圆的对称性*3 垂径定理4 圆周角和圆心角的关系5 确定圆的条件6 直线和圆的位置关系*7 切线长定理8 圆内接正多边形9 弧长及扇形的面积一．圆描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心．．；线段OA叫做半．径．；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心．．，定长叫做圆的半径．．．．，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
※2. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性※1. 与圆相关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。
直径：经过圆心的弦叫做直径．．。
②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳(20200814075904)
圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r 无交点;1、 点在圆内 d r2、 点在圆上 d r 点C 在圆 点B 在圆 内; 上;3、点在圆外 d r 点A 在圆外;2、直线与圆相切d r 有一个交点; 3、直线与圆相交 d r 有两个交点;外离（图1）无交点 d R r ;d R r ;外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点R r d R r ；内切（图4）有一个交点 d R r ；内含（图5）无交点 d R r ；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1: （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中, 只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径② AB CD ③ CE DE ④弧BC弧BD ⑤弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在O O 中，T AB // CD• ••弧AC 弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
北师大版2020九年级数学：《圆》章节知识点复习专题
【文库独家】《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
九年级数学圆知识点总结北师大版
九年级数学圆知识点总结北师大版一、圆的定义1、以点O与直线距离r为半径所画的圆称为以点O为圆心，以r为半径的圆2、圆上任意两点间的部分称为弧3、连接圆上任意两点的线段称为弦4、经过圆心且两个端点都在圆周上的线段称为直径二、圆的性质1、圆的对称性1)圆是中心对称图形，对称中心是圆心2)圆是轴对称图形，过圆心的每条直线都是圆的对称轴2、圆的旋转不变性圆任意半径所对的圆周角等于二分之一的半径所对的圆心角3、圆的直径所对的性质圆的直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
4、圆的标准方程和一般方程圆的标准方程：(x - a)2 + (y - b)2 = r2；圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F > 0)5、直线与圆的位置关系设直线L与圆O有交点A，B；若点A，B重合，则称直线与圆相切；若点A，B不重合，则称直线与圆相割；经过两点A，B画一直线L，则称直线L为圆O的割线；经过圆心O画一直线L‘，则称直线L’为圆O的切线。
三、点与圆的位置关系设P(x，y)，O为坐标原点，则：设d为点P到O的距离；r为半径；d与r的关系可总结为：当d < r时，点P在圆内；当d = r时，点P在圆上；当d > r时，点P在圆外。
四、垂径定理及其推论1、垂径定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(在“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”的前提下“垂直于弦的直径平分弦”也成立)推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
九年级数学圆知识点总结一、圆的基本性质1、圆的定义：线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
2、圆心：固定端点O称为圆心3、半径：线段OA称为圆的半径4、圆心角：从定点O引出的射线在圆内部分称为圆心角5、圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，在圆心同侧，且顶点在圆上的角叫做圆周角6、圆的周长：圆上任意一点到圆心的距离(半径)和过该店画弧的两条线段的弧度之和叫做圆的周长7、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积二、与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系：以点P与圆O的为例(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)，P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O 内，PO<r。
北师大九年级下圆知识点
北师大九年级下圆知识点北师大九年级下学期的数学课程中，圆的知识点是一个非常重要的部分。
圆是几何学中的一个基本概念，也是数学领域中的重要研究对象之一。
本文将对北师大九年级下圆的知识点进行一些深入的讨论和解析，希望能够帮助同学们更好地理解和应用这一知识。
一、圆的定义和性质圆可以用多种方式进行定义，其中最常见的是“一个平面上的所有点到一个固定点的距离相等”，这个固定点被称为圆心，到圆心的距离被称为半径。
圆的性质包括：圆上任意两点与圆心的距离相等、半径相等的圆互相重合、圆的任意一点到圆心的距离等于半径等。
同学们在学习这些性质时，可以通过练习题来加深对圆的理解。
二、圆的元素圆除了圆心和半径外，还有一些相关的元素需要了解。
其中包括直径、弦、弧、切线等。
直径是圆上任意两点间的最长距离，同时也是通过圆心的一条线段。
弦是圆上连接两点的线段，与直径相似但长度不一定等于直径。
弧是圆上的一段弯曲的线段，可以通过角度来度量。
切线是与圆相切的一条直线，切点是圆上的一个点。
三、圆周角和弧度制圆周角是以圆心为顶点的角，其所夹的弧长等于半径的长度。
圆周角的度量单位是度。
在学习圆周角时，也会遇到弧度制。
弧度是一种角度的度量单位，其定义是：半径长的弧所对应的圆周角的角度是1弧度。
我们可以通过角度和弧度之间的换算来互相转换这两种单位。
四、弦切角和切线定理弦切角是指一个弦所对应的圆内角，切线定理是指一个切线与弦所夹的角等于其所对应的弧。
在解题时，可以利用这些关系来求解相应的角度。
五、圆的相交和切线当两个圆相交时，形成的交点有多种情况，包括外切、内切、相交和不相交。
同学们可以通过画图和运用相应的定理来判断和证明相交的情况。
对于切线，我们需要了解切线定理和切线与半径的垂直关系，这些知识对于解题非常有帮助。
结语：圆是数学中的一个重要概念，掌握圆的定义、性质以及相关的元素和定理是十分必要的。
通过学习圆的知识，我们可以更好地了解几何学的相关概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
北师大九年级圆知识点归纳
北师大九年级圆知识点归纳北师大九年级的数学教材中有一个重要的章节，那就是圆的知识点。
圆是我们生活中非常常见的几何图形，它在我们的日常生活中起着重要的作用。
在这篇文章中，我将对北师大九年级圆的相关知识点进行归纳和总结。
1. 圆的定义和性质首先，我们来看圆的定义。
圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆的性质有很多，其中最重要的性质是圆的半径相等，圆的直径是圆的两个点之间的最长距离，圆上任意两点和圆心都构成的线段是圆的弦。
2. 圆的周长和面积圆的周长是圆上任意一条弧的长度。
我们知道，一个完整的圆共有360度，所以圆的周长可以通过圆的半径或直径来计算。
周长等于直径乘以π（π的近似值为3.14）。
圆的面积是圆内部的所有点所围成的区域，可以通过圆的半径或直径来计算。
面积等于半径的平方乘以π。
3. 圆的切线和切点当一条直线只与圆相交于一点时，这条直线称为圆的切线。
切线的长度与切点到圆心的距离相等。
圆的切点是由一条与圆相切的直线与圆相交所得到的点。
4. 圆的弦和弧圆的弦是圆上任意两点间的线段。
弦的长度称为弦长。
圆的弧是圆上两点之间的一段弧线。
弧的长度是弧所对应的圆心角的度数除以360度的周长，再乘以圆的周长。
5. 圆的相似和相切两个圆相似的条件是它们的半径成比例。
两个圆相切的条件是它们的半径相等且它们的圆心之间的距离等于它们的半径之和。
6. 圆的位置关系当两个圆相交于两个点时，它们交于一条线。
当两个圆相切于一个点时，它们相切于一条线。
当两个圆没有公共点时，它们是外离的。
当一个圆在另一个圆内时，它们是内含的。
7. 圆的应用圆的知识点在日常生活和实际问题中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，圆形的窗户和拱门能够给建筑物增添美感；在地理学中，地球的形状就是近似于一个圆球；在数学中，圆的几何性质在三角学和数学推理中起着重要的作用。
通过对北师大九年级圆的知识点的归纳和总结，我们可以更加系统地了解圆的相关概念和性质。
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【文库独家】圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。
3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
※8. 轨迹轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。
（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。
［例题分析］例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。
图1①若AB＝，ON＝1，求MN的长；②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。
解：①∵AB＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60°∵ON＝OA·cos∠AON＝OM·cos60°＝∴说明：如图1，一般地，若∠AOB＝2n°，OM⊥AB于N，AO＝R，ON＝h，则AB＝2Rsin n°＝2htan n°＝例2. 已知：如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数。
图2分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。
解法一：（用垂径定理求）如图2－1，过点C作CE⊥AB于点E，交于点F。
图2－1∴又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠FCA＝25°∴的度数为25°，∴的度数为50°。
解法二：（用圆周角求）如图2－2，延长AC交⊙C于点E，连结ED图2－2∵AE是直径，∴∠ADE＝90°∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠E＝∠B＝25°∴的度数为50°。
解法三：（用圆心角求）如图2－3，连结CD图2－3∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝65°∴∠ACD＝50°，∴的度数为50°。
例3. 已知：如图3，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。
析：因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。
略解：（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。
如图3，由AB＝AC，可知点A是优弧的中点，因为OD⊥BC且AB＝AC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO∵BO＝6，OD＝2∴在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8∴图3 图3－1（2）若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，如图3－1添加辅助线及求出，在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4∴AB综上所述AB＝小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。
例4. 已知：如图4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CD延长线上一点，AF交⊙O 于E。
求证：AE·EF＝EC·ED图4分析：求证的等积式AE·EF＝EC·ED中，有两条线段EF、ED在△EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证明△FED∽△CEA即可。
证明：连结AC∵四边形DEAC内接于圆∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA∵直径AB⊥CD，∴∴∠DCA＝∠CEA，∴∠FED＝∠CEA∴△FED∽△CEA∴，∴AE·EF＝EC·ED小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。
例5. 已知：如图5，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E。
图5（1）如果CD⊥AB，求证：EN＝NM；（2）如果弦CD交AB于点F，且CD＝AB，求证CE2＝EF·ED；（3）如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F，且CD＝AB，那么（2）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
证明：（1）连结BM（如图5－1）图5－1∵AM是直径，∴∠ABM＝90°∵CD⊥AB，∴BM∥CD∴∠ECN＝∠MBN，又AM⊥BC，∴CN＝BN∴Rt△CEN≌Rt△BMN，∴EN＝NM（2）连结BD，BE，AC（如图5－2）图5－2∵点E是BC垂直平分线AM上一点，∴BE＝EC∵CD＝AB，∴∴∠ACD＝∠BDC，又AB＝AC，AE＝AE∴△ABE≌△ACE，∴∠ABE＝∠ACD＝∠BDC∵∠BED是公共角，∴△BED∽△FEB∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED（3）结论成立。
如图5－3图5－3证明：仿（2）可证△ABE≌△ACE∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE又∵AB＝CD ，∴∴∠ACB＝∠DBC，∴BD∥AC∴∠BDE＋∠ACE＝180°而∠FBE＋∠ABE＝180°∴∠BDE＝∠FBE，而∠BED是公共角∴△BED∽△FEB∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED（二）直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系直线和圆的位置相离相切相交公共点的个数0 1 2公共点名称无切点交点直线名称无切线割线圆心到直线的距离d与半径r的关系2. 切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3. 切线的性质（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（3）推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心。
4. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
5. 弦切角定理（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
6. 和圆有关的比例线段（1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；（3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
7. 三角形的内切圆（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；（2）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。
［例题分析］例6. 已知：如图6，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CG切⊙O于D，DE⊥AB于E。
图6求证：∠CDB＝∠EDB。
分析：由AB是⊙O的直径，联想到直径的三个性质：图6－1 图6－2 图6－3（1）直径上的圆周角是直角。
若连结AD，则得Rt△ABD；（2）垂径定理。
如图6－2，若延长DE交⊙O于F，则可得DE＝EF，；（3）过直径外端的切线与直径垂直。
如图6－3，若过B点作⊙O的切线BM，则AB⊥BM。
由CD是⊙O的切线，联想到切线的三个性质：（1）过切点的半径垂直于切线。
如图6－1，若连结OD，则OD⊥CD；（2）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
若连结AD，则∠CDB＝∠A；（3）切割线定理。
如图6，CD2＝CB·CA。
由DE⊥AB于E，联想到以下一些性质：（1）Rt△DEB中两锐角互余，即∠EDB＋∠EBD＝90°；（2）垂径定理。
如图6－2，只要延长DE交⊙O于F，则可得到相等的线段，相等的弧；（3）构造与射影定理相关的基本图形。
即连结AD，则可得到△ADB是直角三角形，DE是斜边上的高，又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形，还可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。
证明：连结AD，如图6，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°。
∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠A∵CD是⊙O的切线，∴∠CDB＝∠A，∴∠CDB＝∠EDB此例题还有许多证法，比如连结OD，如图6－1，利用切线的定义；又比如延长DE交⊙O 于F，连结BF，如图6－2，利用垂径定理；还可以过点B作⊙O的切线交CD于点M，如图6－3，利用切线长定理，等等，这诸多证法，读者不妨试证之。