数字信号处理-第六章
数字信号处理第六、七章教案
教案（第23次课2学时）一、授课题目第六章无限脉冲响应数字滤波器的设计§6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器§6.5 数字高通滤波器的设计二、教学目的和要求掌握用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器；掌握利用低通滤波器设计数字高通滤波器的方法。
三、教学重点和难点用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器；利用低通滤波器设计数字高通滤波器。
四、教学过程（包含教学内容、教学方法、辅助手段、板书、学时分配等）复习：本章主要介绍无限脉冲响应数字滤波器的设计。
无限脉冲响应数字滤波器的特点是单位脉冲响应是无限长的，这主要是由于它的系统函数中含有反馈，即差分方程中含y(n-i)项。
对于无限脉冲响应数字滤波器我们主要是利用技术已经非常成熟的模拟滤波器的设计进行的，由于我们这本书主要是讨论具有单调下降的幅频特性的滤波器的设计，所以我们介绍了具有单调下降特性的巴特沃斯模拟滤波器的设计。
掌握了它之后，利用模拟滤波器进行设计，只要找出频率以及系统函数之间的关系，就可以设计出需要的数字滤波器。
由于它是借助模拟滤波器进行的，所以他保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性，但涉及种植考虑复读特性，没考虑相位特性，所设计的滤波器一般是某种确定的非线性相位特性。
我们一般用到的是脉冲响应不变法和双线性变换法来设计无限脉冲响应数字滤波器。
上节课中我们介绍了双线性变换法设计数字滤波器。
设计时我们只需要先利用频率之间的关系将我们要设计的数字滤波器的技术指标转换为对应的模拟滤波器的技术指标，之后利用我们之前讲的模拟滤波器的设计，求出模拟滤波器的系统函数，然后利用系统函数之间的关系得到数字滤波器的系统函数。
脉冲响应不变法进行设计时，模拟滤波器的系统函数Ha （s ）与数字滤波器的系统函数H(z)之间的关系是 若∑=-=N i ii s s A s H 1a )(，则对应的数字滤波器的系统函数为 ∑=--=N i T s i z A z H i 11e1)(，即H a(s )的极点si 映射到z 平面的极点为T s i e ，系数A i 不变。
数字信号处理第三版 教材第六章习题解答
6.2 教材第六章习题解答1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率6p f kHz =，通带最大衰减3p a dB =，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减3s a dB =。
求出滤波器归一化传输函数()a H p 以及实际的()a H s 。
解：（1）求阶数N 。
lg lg sp spk N λ=-0.10.30.1 2.51011010.0562101101p s asp a k --==≈--332121022610s sp p πλπΩ⨯⨯===Ω⨯⨯将sp k 和sp λ值代入N 的计算公式得lg 0.05624.15lg 2N =-=所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。
） （2）求归一化系统函数()a H p ，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()a H p 为54321() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611a H p p p p p p =+++++或 221()(0.6181)( 1.6181)(1)a H p p p p p p =+++++ 当然，也可以按（6.12）式计算出极点:121()22,0,1,2,3,4k j Nk p ek π++==按（6.11）式写出()a H p 表达式41()()a k k H p p p ==-代入k p 值并进行分母展开得到与查表相同的结果。
（3）去归一化（即LP-LP 频率变换），由归一化系统函数()a H p 得到实际滤波器系统函数()a H s 。
由于本题中3p a dB =，即32610/c p rad s πΩ=Ω=⨯⨯，因此()()a a cH s H p s p ==Ω5542332453.2361 5.2361 5.2361 3.2361c c c cc cs s ss s Ω=+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω对分母因式形式，则有()()a a cH s H p s p ==Ω52222(0.6180)( 1.6180)()c c c c cc s s s s s Ω=+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω如上结果中，c Ω的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB 截止频率对归一化系统函数的改变作用。
数字信号处理ppt第六章
一、DF按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通，
其特点为：
（1）频率变量以数字频率 ω 表示，ω = ΩT ，
Ω 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 ωs = 2πfs ⋅T = 2π 为周期； （3）频率特性只限于 ω ≤ ω s / 2 = π 范围，这
3、由 A2 (Ω) = H a ( jΩ) 2 确定 H a (s)的方法
（1）求 H a (s)H a (−s) = A2 (Ω) Ω2 =−S 2
（2）分解 Ha (S)Ha (−S),得到各零极点，将左半面的 极点 归于 Ha (S)，对称的零点任一半归 Ha (S)。若要求 最小相位延时，左半面的零点归 Ha (S)（全部零极点 位于单位圆内）。
将2、技Q∴计术算2H指0所a标l(g需j，ΩH的代)a阶2入( j=数Ω上1及式)/[3=1，d+B−可截(1得Ω0Ω止lC频g)[21率N+]Ω(CΩΩC )2N ]
{−10lg[1+ ( 2π×103 )2N ] ≥ −1 −10lg[1+ (3π×Ω1C03 )2N ] ≤ −15 ΩC
解上述两式得：
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。
四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
五、IIR数字filter的设计方法
1、借助模拟filter的设计方法 （1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； （2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 Ha (s)； （3）将 H a (s) → H (z) （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通
精品课件-数字信号处理—理论与实践-第6章
第 6 章 数字滤波器的结构
因而在设计具体的实现算法时要分析和考虑选择什么样的网 络结构才合适。
一般来说， 设计好数字滤波器的结构后， 我们就可以通过 两种方法来具体实现数字滤波器：
（1） 将数字滤波器所要完成的运算编成程序， 利用计算 机进行软件实现；
（2） 设计专用的数字硬件、 专用的数字信号处理器或采 用通用数字信号处理器（DSP）进行硬件实现。
y(n)=a1y(n－1)+a2y(n－2)+b0x(n) 它对应的方框图结构如图6-3所示。
第 6 章 数字滤波器的结构
图6-2 基本运算的方框图表示法
第 6 章 数字滤波器的结构
图6-3 二阶数字滤波器的方框图结构
第 6 章 数字滤波器的结构
2. 信号流图法的特点是简单、 方便。 和方框图法相对应，
三种基本运算的信号流图表示如图 6-4 所示。
图6-4 基本运算的信号流图表示法
第 6 章 数字滤波器的结构
信号流图在本质上与方框图表示法等效， 只是符号上有差 异。 比如， 图6-3的二阶数字滤波器用信号流图表示的结 构如图6-5所示。 图中， 1， 2， 3， 4， 5称为网络节点， x(n)处为输入节点或称源节点， y(n)处为输出节点或称阱节点。 节点之间用有向支路相连接， 支路上的传输系数如果为常数， 则表示乘法运算； 如果没有标注传输系数， 则表示其传输系数 为1； 如果是延时算子z－1， 则表示单位延时。
第 6 章 数字滤波器的结构
图6-5 图6-3的二阶数字滤波器的信号流图结构
第 6 章 数字滤波器的结构
源节点没有输入支路， 阱节点没有输出支路， 其余网络节 点均可以有多条输入支路和多条输出支路。 每一个节点的节点 值都等于它的所有输入支路的信号之和。 这样， 通过分析各节 点的值， 就可以清楚地得到该网络的传输特性。 比如图6-5所 表示的二阶数字滤波器的各节点的值为
数字信号处理(曹成茂)第六章 数字信号处理系统的实现
y(n) a0 x(n) a1 x(n 1) b1 y(n 1)
第6章 数字信号处理系统的实现
第6章 数字信号处理系统的实现
y(n) a0 x(n) a1 x(n 1) b1 y(n 1)
只有输出支路的节点称为输入节点或源点； 只有输入支路的节点称为输出节点或阱点； 既有输入支路又有输出支路的节点叫做混合节点。 通路是指从源点到阱点之间沿着箭头方向的连续的一串支路。通路增益是该通 路上各支路增益的乘积。如7-1-3-4-8；7-1-2-6-3-4-8； 回路是指从一个节点出发沿着支路箭头方向到达同一个节点的闭合通路，它象 征着系统中的反馈回路。组成回路的所有支路增益的乘积通常叫做回路增益。 如：3-4-5-6-3
第6章 数字信号处理系统的实现
上述结构缺点： ①需要2N个延迟器（z-1），太多。 ②系数ai、bi对滤波器性能的控制不直接，对 极、零点的控制难，一个ai、bi的改变会影响系统 的零点或极点分布。
③对字长变化敏感（对ai、bi的准确度要求严
格）。
④易不稳定，阶数高时，上述影响更大。
第6章 数字信号处理系统的实现
第6章 数字信号处理系统的实现
第六章 数字信号处理系统的实现
数字信号处理系统的实现方法： a. 利用专用计算机或FPGA等专用硬件； b. 直接利用计算机和通用软件编程实现。 一个数字滤波器的系统函数一般可表示为有理函数形式：
H ( z)
i a Z i i 0
N
1 bi Z i
第6章 数字信号处理系统的实现
信号流图转置的作用：
①转变运算结构；
②验证计算流图的系统函数的正确与否。
运算结构对滤波器的实现很重要，尤其对于一
些定点运算的处理机，结构的不同将会影响系统的
《数字信号处理》第六章 Z变换
第一节 Z变换的定义
例1：求 x(n)=(1/2)nu(n) 的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
(1)nu(n)zn
z
n
n
n 2
n0 2
例2：求 x(n)=-(1/2)nu(-n-1)的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
A( z )
1 za
1 a
1 1 1
z
a
按等比级数有
A(z)
1 a
(1
1 a
z
1 a2
z2
)
at
{
1 a
,
1 a2
,
1 a3
,, ,
1 a n 1
,)
第四节 Z反变换
当 a 1时，
A( z )
z
1 a
11 z 1 az 1
按等比级数有
A(z) 1 (1 az1 a2 z2 ) z
解：
Z [u(n)] 1 , z 1
1 z
Z [u(n 3)] z3
1
z3 ,
z 1
1 z 1 z
Z [x(n)] 1 z3 z2 z 1, z 1 1 z 1 z
例4 已知序列x(n)的z变换为X(Z)，求
7X(z)+3zX(z)+8z2X(z) +z3X(z) +6z5X(z)所对应的信号
k
zk
k 0
1 1 z
这是一个等比级数，当|z|<1时，该级数收敛。
数字信号处理：第6章上-z变换、IIR、L变换
k0
有：(D) (D)x(n) (D)x(n)
1 a(1)D a(M )DM h(0) h(1)D h(2)D2 b(0) b(1)D b(N )DN
由该式可解出前面若干个h(n)的值及h(n)的一系列递推关系， 可见h(n)是无限长的。
10
z变换的提出
考虑最简反馈系统的级联
C
F
(
s)e
st
ds,
2j C
t 0
其中，s为一复变量 s j
对比z变换
正变换
X (z) x(n) x(n)zn n
反变换
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j C
28 拉普拉斯变换的图像
拉普拉斯变换将系统冲激响应h(t)投影到复频率s域形成H(s) ，H(s)是复变量s的函数，由于Re[H(s)]处处连续、处处不可 导，下面显示|H(s)|的图像：
δ(n)
h(n)
22 IIR滤波器具有无限长冲激响应
M阶IIR滤波器是无限长因果系统，其z域传递函数的 系数a(k)不为0；
该M阶IIR滤波器的差分方程为：
N
M
y(n) x(n k)b(k) y(n k)a(k)
k 0
k 1
IIR滤波器为有反馈的离散时间系统。
23 IIR滤波器冲激响应怎么求？
16
z变换的零、极点
z域传递函数
对分子、分母进行因式分解分别得到传递函数的零点和极点；
17
z变换的零、极点
不同z域极点位置对应的冲激响应
单位圆外的极点意味着系统不稳定
18 单位圆、极点、ROC
极点在单位圆内，系统是稳定的；
对于无限长因果系统，ROC内沿在最外面的极点以外， 若该极点在单位圆内，则该系统稳定；
数字信号处理教学课件第六章
14
为偶数——2型 （2）h(n)=h(N-1-n)，N为偶数 ） ， 为偶数 型
N −1 1 1 当 H， ) = ω n=0 ， （） ω = π时(cos[ω(n−h()]) cos[( − n)ω ] 2 n= 0 2 H z 即 (ω) = 0, H(z)在 = −1 ， 然 一 零 。 处 必 有 个 点
16
为偶数——4型 （4）h(n)=-h(N-1-n)，N为偶数 ） ， 为偶数 型
1 H(ω) = ∑d(n)sin(n− )ω 2 n=1 N N n = 1,2,3,L , 其 ： (n) = 2h( − n) 中 d 2 2 由 看 ： 此 出
N/ 2
1 1 ω ， 为， π （ 由 sin(n− )ω在 = 0 2 处 0 ） 于 2 即 (ω)在 = 0,2 处 零 即 (z)在 = 1处 一 点 H z ω π 为 。 H 有 零 。 H(ω)对 = 0 2π处 奇 称 对 = π呈 对 。 偶 称 ω ， 呈 对 ， ω （ 此 型 能 于 计通 带 滤 器 ） 类 不 用 设低 、 阻 波 。 2
n=0
一项（ ），其余组合后共有 一项（ n = ），其余组合后共有 项，得 2 由于cosnω对ω=0、π、2π这些点偶对称，因此 (ω)关于 这些点偶对称， 由于 对 、 、 这些点偶对称 2 因此H 关于 ( N − 1 ) / 2 −1 N −1 N −1 H偶对称。 (ω ) = h( ) + 2 ∑ h( n) cos[( n − )ω ] ω=0、π、2π偶对称 、 、 偶对称。 2 2 n= 0 N − 1 ( N −1 ) / 2 N −1 令m=(N-1)/2-n ) + ∑ 2h( = h( − m ) cosm ω 2 2 m =1
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第六章 数字滤波器结构
6.1：级联的实现
num = input('分子系数向量 = ');
den = input('分母系数向量 = ');
[z,p,k] = tf2zp(num,den);
sos = zp2sos(z,p,k)
Q6.1使用程序P6.1，生成如下有限冲激响应传输函数的一个级联实现:
H1(z)=2+10z^(-1)+23z^(-2)+34z^(-3)+31z^(-4)+16 z^(-5)+4z^(-6)
画出级联实现的框图。H1(z)是一个线性相位传输函数吗?
答：
运行结果：
sos = zp2sos(z,p,k)
Numerator coefficient vector = [2,10,23,34,31,16,4]
Denominator coefficient vector = [1]
sos =
2.0000 6.0000 4.0000 1.0000 0 0
1.0000 1.0000 2.0000 1.0000 0 0
1.0000 1.0000 0.5000 1.0000 0 0
级联框图：
H1（z）不是一个线性相位传输函数，因为系数不对称。
Q6.2使用程序P6.1，生成如下有限冲激响应传输函数的一个级联实现:
H2(z)=6+31z^(-1)+74z^(-2)+102z^(-3)+74z^(-4)+31 z^(-5)+6z^(-6)
画出级联实现的框图。H2(z)是一个线性相位传输函数吗?只用4个乘法器生成H2(z)的一级
联实现。显示新的级联结构的框图。
Numerator coefficient vector = [6,31,74,102,74,31,6]
Denominator coefficient vector = [1]
sos =
6.0000 15.0000 6.0000 1.0000 0 0
1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 0 0
1.0000 0.6667 0.3333 1.0000 0 0
级联框图：
H2（z）是一个线性相位传输函数。
只用四个乘法器生成级联框图：
6.2：级联和并联实现
Q6.3使用程序P6.1生成如下因果无限冲激响应传输函数的级联实现：
画出级联实现的框图。
答：
Numerator coefficient vector = [3,8,12,7,2,-2]
Denominator coefficient vector = [16,24,24,14,5,1]
sos =
0.1875 -0.0625 0 1.0000 0.5000 0
1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 0.5000 0.2500
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.5000 0.5000
级联实现框图：