计量经济学习题第4章 异方差性
计量经济学Stata软件应用4-【Stata软件之异方差】-1次课
e 2 0 1 X 1 2 X 2 3 X 3 4 X 1 2 5 X 2 2 6 X 3 2 7 X 1 X 2 8 X 1 X 3 a 9 X 2 X 3
H 0 :12 a 9 0
原假设实际上是对模型进行回归总体显著性检验 (F检验)，
如果拒绝原假设，则存在异方差，如果不能拒绝原假设，
P>|t|
-.2244643 -.1118717 -.0010955
.0033752 -3.51e-07
.0009005 -.0001233
-.000147 .6133288
[95% Conf. Interval]
-.081382 .0003771 .0052239 .0085688 1.60e-06 .0076082 .0000182 .0000395 1.726195
则不存在异方差。
容易看出，用于怀特一般检验的模型会包含很多解释变量；
例如如果原模型有3个解释变量，那么怀特一般检验的模型
将包含9个解释变量，而如果原模型有6个解释变量，那么怀
特一般检验的模型将包含27个解释变量。这样对于样本容量
不大的数据，使用怀特一般检验会使得估计的时候自由度偏
少。
为此，怀特特殊检验使用了一个节省自由度的回归模型，即：
Stata软件操作实例
实验 1 工资方程中异方差的检验和修正
本例使用“工资方程1.dta”数据文件介绍异方差的检验和修 正。
1、打开数据文件。直接双击“工资方程1.dta”文件；或者点
击Stata窗口工具栏最左侧的Open键，然后选择“工资方程
1.dta”即可；
2、估计工资方程： l n w a g e 0 1 e d u 2 e x p 3 e x p s q + u ( 2 )
计量经济学 4放宽基本假定的模型
1 1
1 f ( X ji ) X ki
X 1i 2 1 f ( X ji )
1 f ( X ji )
X 2i
f ( X ji )
i
新模型中，存在
1 Var ( i ) E( i ) E ( i ) 2 2 f ( X ji ) f ( X ji ) f ( X ji )
第四章
经典单方程计量经济学模型：放宽基 本假定的模型
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4
异方差性 序列相关性 多重共线性 随机解释变量问题
• 基本假定违背主要 包括：
（1）随机误差项序列存在异方差性；
（2）随机误差项序列存在序列相关性；
（3）解释变量之间存在多重共线性；
（4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关 的随机解释变量问题；
X2
Y
2703.36 1550.62 1357.43 1475.16 1497.52 1098.39 1336.25 1123.71 1331.03 1127.37 1330.45 1388.79 1350.23 2703.36 1550.62
估计量 （注意， 该估计量是不严格的） 我们称之为 ， “近
~ ei 似估计量” ，用
表示。于是有
~ Var ( i ) E ( i2 ) ei 2
~ ei yi ( yi ) 0ls
几种异方差的检验方法：
1. 图示法 （1）用X-Y的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂 型趋势（即不在一个固定的带型域中）
六、异方差的修正
模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘 法（Weighted Least Squares, WLS）进行估计。
异方差性的概念、类型、后果、检验及其修正方法含案例
Yi和Xi分别为第i个家庭的储蓄额和可支配收入。
在该模型中，i的同方差假定往往不符合实际情况。对高收 入家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律 性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。
因此，i的方差往往随Xi的增加而增加，呈单调递增型变化 。
– 在选项中，EViews提供了包含交叉项的怀特检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”和没有交叉项的怀特检 验“White Heteroskedasticity（no cross terms）” 这样两个 选择。
• 软件输出结果：最上方显示两个检验统计量：F统计 量和White统计量nR2；下方则显示以OLS的残差平 方为被解释变量的辅助回归方程的回归结果。
随机误差项具有不同的方差，那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解
释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。 • 各种检验方法正是在这个共同思路下发展起来的。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
问题在于：用什么来表示随机误差项的方差？ 一般的处理方法：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2.图示检验法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
3.模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；
【书上这句话有点问题】
其中 所以，当模型出现异方差性时，Y预测区间的建立将发生困 难，它的预测功能失效。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
三、异方差性的检验（教材P111）
1.检验方法的共同思路 • 既然异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，
（注意：其中的2完全可以是1）
第四讲之二： 异方差问题
xi
异方差情型
f(Yi)
.
x11 x12 x13
.
பைடு நூலகம்
.
Var(i) = E(i2)
= i2
income
x1i
东北财经大学数量经济系
Heteroscedastic pattern of errors
.
yi
Small i associated with small value of Xi
东北财经大学数量经济系
Detection of heteroscedasticity
1. Graphical method :
^ plot the estimated residual ( ^i ) or squared (i 2 ) against the ^ predicted dependent Variable (Yi) or any independent variable(Xi).
东北财经大学数量经济系
三、怀特检验（2）
3.求辅助回归方程的R2值。在零假设:不存在异方差 2 下，怀特证明了R2值与样本容量n的乘积服从 分布:
nR 2 ~ 2 (d . f .)
自由度等于辅助回归方程中解释变量的个数,不包 括截距项。
4.如果从辅助回归方程中计算得到的统计量值大于 所选显著水平下分布的临界值，则拒绝零假设，表 示存在异方差。如果计算的统计量的值小于临界值， 则不能拒绝零假设。 东北财经大学数量经济系
^ 2
yes
^ Y
^ Y
^ Y
东北财经大学数量经济系
Yes, heteroscedasticity
Yes, heteroscedasticity
6、计量经济学【异方差】
给定显著性水平 下的 F 临界值），则表明第二 部分的误差项方差大于第一部分的误差项方差，即 两个子样本的方差水平显著不同，于是拒绝 H 0 ， 接受 H1 ，即随机误差项存在异方差性。若 F F 则接受 H 0 ，即不存在异方差性。 例4.1.2：下面我们用戈德菲尔德—匡特检验法来 Y 检验例 4.1.1中模型： i 0 1 X i i 是否存在异方差 性。在例 4.1.1中，样本数据个数为 n 28 ，c n 4 为了使两个子样本的容量相同，从中间去掉 8 个数据
一、异方差性的含义与产生的原因
异方差性在许多应用中均存在，但主要出现在横断
面数据的分析中。例如，在考虑到了公司规模上的差 别之后，大公司比那些小公司有更大的利润方差。另 外，利润方差也可能取决于产品多样化、研究与开发 支出和产业特点，因此，类似规模的公司的利润方差 也可能不同。在分析家庭支出模式时，我们发现由于 更高的收入而允许更大的选择自由，高收入家庭通常 比低收入家庭对某些商品组的支出有更大的变差。
已学知识回顾：经典线性回归模型的基本假定
1、解释变量是确定性变量并且相互独立； 2、零均值同方差假定。随机误差项 i 的方差与 i 无关，为一个常数 2 ，即： E(i ) 0
Var ( i ) E i E ( i ) E ( i 2 ) 2
2
由于存在异方差 2 不再是常数，所以最小二乘估计 量不再是有效的。 （二）无法正确估计参数的标准误差
ˆ S (0 ) ˆ
2
n ( X i X )
X
2 i
2
ˆ S ( 1 )
( X i X )2
ˆ 2
二、异方差性的影响
（三）t 检验的可靠性降低 在异方差情况下，无法正确估计系数的标准误差 ˆ ˆ ˆ ˆ S (1 ) ， S (1 ) 有偏误，用 t 统计量为 t ( 1 ) 1 来 ˆ) S ( 1 判断解释变量对被解释变量影响的显著性将失去意 义。 （四）模型的预测失效 随机误差项的方差与模型的预测区间密切相关； ˆ ˆ ˆ ˆ 预测区间：Y0 t 2 S (Y0 Y0 ), , Y0 t 2 S (Y0 Y0 ) 1 其中 ( X 0 X )2 2 ˆ
试题标题计量经济学中如何处理异方差问题
试题标题计量经济学中如何处理异方差问题试题标题：计量经济学中如何处理异方差问题计量经济学是经济学中的一个重要分支，研究经济现象的测量和分析方法。
在实际研究中，我们常常会遇到异方差（heteroscedasticity）问题。
异方差是指随着自变量的变化，随机误差的方差也随之变化的一种现象。
在进行计量经济分析时，我们需要采取适当的方法来处理异方差问题。
一、异方差的检验方法在处理异方差问题之前，首先需要进行异方差性的检验。
常见的异方差检验方法有帕克-白杰斯检验（Park-White test）、布里士-普根检验（Breusch-Pagan test）和考克斯-斯图尔特检验（Cooks-Weisberg test）等。
这些检验方法基于不同的统计原理，可以帮助我们确定自变量是否存在异方差问题。
二、处理异方差的方法当我们确定存在异方差问题时，就需要采取相应的方法来处理。
下面介绍几种常用的异方差处理方法。
1. 权重最小二乘法（Weighted Least Squares，WLS）权重最小二乘法是一种常用的处理异方差问题的方法。
其基本思想是根据异方差项的方差结构，赋予不同观测值不同的权重，使得方差较小的观测值具有更高的权重，方差较大的观测值具有较低的权重。
通过对数据进行加权处理，可以得到异方差问题下的有效估计。
2. 方差差异函数（Generalized Least Squares，GLS）方差差异函数是处理异方差问题的一种更一般的方法，其思路是通过建立误差项方差与自变量之间的函数关系，对原始方程进行变换，使得变换后的方程不存在异方差问题。
该方法在一些情况下可以提供更有效的估计。
3. 偏差校正法（Heteroscedasticity Consistent Standard Errors，HCSEs）偏差校正法是一种相对简单且应用广泛的异方差处理方法。
该方法基于异方差的一致性标准误差估计，通过对标准误差进行修正，得到在异方差存在时的有效估计。
计量经济学知识点整理：异方差
(2)X-~e i2的散点图进行判断异方差性1、定义：如果出现即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性。
同方差性：σi2 = 常数 ≠ f(Xi)异方差时：σi2 = f(Xi) 2、后果：参数估计量非有效OLS 估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性 因为在有效性证明中利用了 E(μμ’)=σ2I而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。
变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验中，构造了t 统计量如果出现了异方差性，估计的S 出现偏误则t 检验失去意义。
其他检验也是如此。
模型的预测失效一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；另一方面在预测的置信区间中，同样包含参数方差的估计量。
所以，当模型出现异方差性时，参数OLS 估计值的变异程度增大，从而造成对Y 的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。
3、检验：检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。
图示法（1）用X-Y 的散点图进行判断，看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）看是否形成一斜率为零的直线 帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验偿试建立方程：i ji i X f e ε+=)(~2Var i i ()μσ=2i ji i X e εασ++=ln ln )~ln(22i e X X f jiji εασ2)(=)12,12(~)12(~)12(~2122------------=∑∑k c n k c n F k c n e k c n e F i i 选择关于变量X 的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。
如： 帕克检验常用的函数形式：若α在统计上是显著的，表明存在异方差性。
戈德菲尔德-奎恩特(Goldfeld-Quandt)检验①将n 对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi 的大小排队②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2,即3n/8③对每个子样分别进行OLS 回归，并计算各自的残差平方和④在同方差性假定下，构造如下满足F 分布的统计量⑤给定显著性水平α，确定临界值F α(v1,v2)，若F> F α(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，表明存在异方差。
计量经济学习题参考答案
第一章练习题：一、选择题：1.下面属于截面数据的是：（ D ）A. 1991—2003年各年某地区20个乡镇的平均工业产值。
B. 1991—2003年各年某地区20个乡镇的各镇工业产值。
C. 某年某地区20个乡镇工业产值的合计数。
D. 某年某地区20个乡镇各镇的工业产值。
2.一个模型用于预测前必须经过的检验有：（ ABCD ） A. 经济准则检验。
B. 统计检验。
C. 计量经济学准则检验。
D. 模型预测检验。
E. 实践检验。
3.对计量经济模型的统计准则检验包括：（ BDE ） A.估计标准误差评价。
B.拟合优度检验。
C.预测误差程度评价。
D.总体线性关系显著性检验。
E.单个回归系数的显著性检验。
4.对计量经济模型的计量经济学准则检验包括：（ BCE ） A.误差程度检验。
B. 异方差检验。
C. 序列相关性检验。
D.超一致性检验 E.多重共线性检验。
5.计量经济分析工作的四个步骤是：（BCDE ） A.理论研究。
B. 设定模型。
C. 估计参数。
D.检验模型. E.应用模型。
二、简答题：1.下面设计的计量经济模型是否合理，为什么？（不合理，GDP 在这里是定义方程）μ+⋅+=∑=i 31i i GDP b a GDP，其中，i GDP 是第一产业、第二产业和第三产业增加值。
μ为随机误差项。
第二章 练习题一、选择题：1.变量之间的关系可以分为两大类，它们是：（ A ）A.函数关系和相关关系B.线性相关关系和非线性相关关系C.正相关关系和负相关关系D.简单相关关系和复杂相关关系2.相关关系是指：（ D ）A.变量间的非独立关系B.变量间的因果关系C.变量间的函数关系D.变量间的不确定的依存关系 3.进行相关分析时，假定相关的两个变量 （ A ）A. 都是随机变量B.都不是随机变量C. 一个是随机变量，一个不是随机变量D. 随机的或非随机都可以4.参数β的估计量βˆ具有有效性是指 （ B ） A. ()0v ar =βˆ B. ()βˆv ar 为最小 C. ()0=-ββˆ D. ()ββ-ˆ为最小 5.对于i i 10ie X βˆβˆY ++=，以σˆ表示估计标准误差，iY ˆ表示回归值。
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第4章 异方差性
一、单项选择
1.Goldfeld-Quandt方法用于检验（ ）
A.异方差性 B.自相关性
C.随机解释变量 D.多重共线性
2.在异方差性情况下，常用的估计方法是（ ）
A.一阶差分法 B.广义差分法
C.工具变量法 D.加权最小二乘法
3.White检验方法主要用于检验（ ）
A.异方差性 B.自相关性
C.随机解释变量 D.多重共线性
4.Glejser检验方法主要用于检验（ ）
A.异方差性 B.自相关性
C.随机解释变量 D.多重共线性
5.下列哪种方法不是检验异方差的方法 （ ）
A.戈德菲尔特——匡特检验 B.怀特检验
C.戈里瑟检验 D.方差膨胀因子检验
6.当存在异方差现象时，估计模型参数的适当方法是 （ ）
A.加权最小二乘法 B.工具变量法
C.广义差分法 D.使用非样本先验信息
7.加权最小二乘法克服异方差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数，从而提高估
计精度，即 （ ）
A.重视大误差的作用，轻视小误差的作用
B.重视小误差的作用，轻视大误差的作用
C.重视小误差和大误差的作用
D.轻视小误差和大误差的作用
8.如果戈里瑟检验表明，普通最小二乘估计结果的残差ie与ix有显著的形式
iii
vxe28715.0
的相关关系（iv满足线性模型的全部经典假设），则用加权最小二
乘法估计模型参数时，权数应为 （ ）
A. ix B. 21ix C. ix1 D. ix1
9.如果戈德菲尔特——匡特检验显著，则认为什么问题是严重的 （ ）
A.异方差问题 B.序列相关问题
C.多重共线性问题 D.设定误差问题
10.设回归模型为iiiubxy，其中iixuVar2)(，则b的最有效估计量为（ ）
A. 2ˆxxyb B. 22)(ˆxxnyxxynb
C. xybˆ D. xynb1ˆ
二、多项选择
1.下列计量经济分析中那些很可能存在异方差问题（ ）
A.用横截面数据建立家庭消费支出对家庭收入水平的回归模型
B.用横截面数据建立产出对劳动和资本的回归模型
C.以凯恩斯的有效需求理论为基础构造宏观计量经济模型
D.以国民经济核算帐户为基础构造宏观计量经济模型
E.以30年的时序数据建立某种商品的市场供需模型
2.在异方差条件下普通最小二乘法具有如下性质（）
A、线性 B、无偏性 C、最小方差性
D、精确性 E、有效性
3.异方差性将导致
A、普通最小二乘法估计量有偏和非一致
B、普通最小二乘法估计量非有效
C、普通最小二乘法估计量的方差的估计量有偏
D、建立在普通最小二乘法估计基础上的假设检验失效
E、建立在普通最小二乘法估计基础上的预测区间变宽
4.下列哪些方法可用于异方差性的检验（）
A、DW检验 B、方差膨胀因子检验法 C、判定系数增量贡献法 D、样本分段比较法
E、残差回归检验法
5.当模型存在异方差现象进，加权最小二乘估计量具备（ ）
A、线性 B、无偏性 C、有效性 D、一致性 E、精确性
6.下列说法正确的有（）
A、当异方差出现时，最小二乘估计是有偏的和不具有最小方差特性
B、当异方差出现时，常用的t和F检验失效
C、异方差情况下，通常的OLS估计一定高估了估计量的标准差
D、如果OLS回归的残差表现出系统性，则说明数据中不存在异方差性
E、如果回归模型中遗漏一个重要变量，则OLS残差必定表现出明显的趋势
三、名词解释
1.异方差性 2.格德菲尔特-匡特检验 3.怀特检验
4.戈里瑟检验和帕克检验
四、简答题
1.什么是异方差性？试举例说明经济现象中的异方差性。
2.产生异方差性的原因及异方差性对模型的OLS估计有何影响。
3.检验异方差性的方法有哪些？
4.异方差性的解决方法有哪些？
5.什么是加权最小二乘法？它的基本思想是什么？
6.样本分段法（即戈德菲尔特——匡特检验）检验异方差性的基本原理及其使用条件。
五、计算题
1.设消费函数为01iiiybbxu，其中iy为消费支出，ix为个人可支配收入， iu为
随机误差项，并且22()0,()iiiEuVarux（其中2为常数）。试回答以下问题：
（1）选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；
（2）写出修正异方差后的参数估计量的表达式。
2.检验下列模型是否存在异方差性，列出检验步骤，给出结论。
0112233ttttt
ybbxbxbxu
样本共40个，本题假设去掉c=12个样本，假设异方差由1ix引起，数值小的一组残差平方和
为10.46617RSSE，数值大的一组平方和为20.3617RSSE。
0.05
(10,10)2.98F
3.假设回归模型为：iiyau，其中：2(0,);()0,iiijuNxEuuij；并且
i
x
是非随机变量，求模型参数b的最佳线性无偏估计量及其方差。
4.现有x和Y的样本观测值如下表:
x 2 5 10 4 10
y 4 7 4 5 9
假设y对x的回归模型为01iiiybbxu，且22()iiVarux，试用适当的方法估计
此回归模型。
5.某人根据某区的有关资料作如下的回归模型，结果为：
ii
2
i
i
ii
ˆ
lnY=10.0930.239X
t = (54.7) (12.28) R=0.803ˆlnY1=9.9320.2258XXX t = (47.87) (15.10)
其中，Y表示人口密度，X表示离中心商业区的距离（英里）
(1)如果存在异方差，异方差的结构是什么？（2）从变换后的（WLS）回归函数中，你如何
知道异方差已被消除或减弱了？（3）你如何解释回归结果？它是否有经济意义？