实变函数与泛函分析

《实变函数与泛函分析》教学大纲统计学（非师范类）专业用

一、说明部分

（一）课程性质、目的和教学任务

本课程为统计学专业的专业限选课。

实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。

本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函

分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。

（二）课程的教学原则和方法

本课程的教学原则：理论课与习题课并重的原则：单项训练与综合训练相互结合的原则：经典的、基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则：直觉想象和审慎推敲相互结合和转化的原则。

教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。

（三）课程的主要内容学时分配

《实变函数与泛函分析》安排授课共90学时。

第一章集合与测度12学时第二章可测函数12学时第三章Lebesgue积分16学时第四章线性赋范空间24学时第五章内积空间16学时第六章有界线性算子与有界线性泛函10学时

二、正文部分

第一章集合与测度

（一）教学的目的和要求

1.了解集族的交并关系，映射及其性质，集的对等，可数集

合；

2.掌握度量空间的概念和度量空间中的点集

3.理解直线上的测度和可测集

4.掌握Lebesgue测度及相关理论；

（二）教学重点

集族的交并关系

（三）教学难点

度量空间的概念和测度及可测集的概念。

（四）主要教学内容及学时分配

1. 集合与映射4学时

2. 度量空间4学时

3. Lebesgue可测集4学时

第二章可测函数

（一）教学的目的和要求

1.理解简单函数和可测函数；

2.了解可测函数的性质和构造；

3.了解可测函数列的极限。

（二）教学重点

可测函数

（三）教学难点

Lebesgue定理，Riesz定理。

（四）主要教学内容及学时分配

1. 简单函数与可测函数4学时

2. 可测函数的性4学时

3. 可测函数列的收敛性4学时

第三章Lebesgue积分

（一）教学的目的和要求

1.了解Lebesgue积分的概念与性质；

2.掌握积分收敛定理；

3.理解Lebesgue积分与Riemann积分的关系，积分与微分，Fubini定理；

4.理解Lebesgue积分的概念与性质，掌握Fubini定理。

（二）教学重点

Lebesgue控制收敛定理

（三）教学难点

Riemann可积的充要条件

（四）主要教学内容及学时分配

1.Lebesgue积分的概念与性质4学时

2.积分收敛定理4学时

3.Lebesgue积分与Riemann积分的关系4学时

4.积分与微分4学时

5.Fubini定理

第四章线性赋范空间

（一）教学的目的和要求

1.了解线性赋范空间的各有关知识和概念；

2.掌握收敛性，完备性，列紧性，不动点定理和拓扑空间。

（二）教学重点

Hölder不等式和Minkowski不等式

（三）教学难点

Cauchy列，Banach空间，子空间的完备性和赋范线性空间的完备化

（四）主要教学内容及学时分配

1.线性空间2学时

2.线性赋范空间4学时

3.线性赋范空间中的收敛4学时

4.空间的完备性4学时

5.列紧性与有限维空间4学时

6.不动点定理4学时

7. 拓扑空间简介2学时

第五章内积空间

（一）教学的目的和要求

1.理解内积和内积空间的定义；

2.理解Hilbert空间；

3.了解正交与正交补；

4.了解正交分解定理；

5.了解内积空间中的Fourier级数。

（二）教学重点

内积空间与Hilbert空间，正交与正交补，正交分解定理（三）教学难点

内积空间中的Fourier级数

（四）主要教学内容及学时分配

1.内积空间与Hilbert空间4学时

2.正交与正交补4学时

3.正交分解定理4学时

4.内积空间中的Fourier级数4学时第六章有界线性算子与有界线性泛函

（一）教学的目的和要求

1.理解有界线性算子的概念

2.理解共轭空间与共轭算子的概念；

3.掌握几种收敛性；

4.理解泛函三大定理。

（二）教学重点

有界线性算子，泛函三大定理。

（三）教学难点

共轭空间与共轭算子以及几种收敛性。

（四）主要教学内容及学时分配

1.有界线性算子2学时

2.三大定理2学时

3.共轭空间与共轭算子2学时

4.几种收敛性4学时

三、参考书目

教材：

宋叔尼，张国伟，王晓敏编著，《实变函数与泛函分析》，北京科学出版社，2007年。

主要参考书：

[1]程其襄等，《实变函数论与泛函分析基础》，北京：高等教育出版社，1983年。

[2]郭大钧等，《实变函数与泛函分析》，济南：山东大学出版社，1986年。