椭圆面积公式的推导
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椭圆面积公式的推导
韩贞焱 （贵州省遵义四中 563000）
椭圆面积公式S=πab （其中a 、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中学数学教材中，仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过，直到高等数学的定积分学习时才给出定积分推导.现用初等数学方法作两种推导，供读者参考.
定理1. 若夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于两条平行直线的任一直线所截，如果截得的两条线段长的比例总相等，那么这两个平面图形的面积比等于截得线段长的比 .
注：此定理相当于祖暅原理的推论，故证明从略.
方法一：设椭圆C 的方程为122
22=+b
y a x （a>b>0）,辅助圆C '的方程
为x 2+y 2=b 2,且一直线L ：y = m （b m b ≤≤-）与两曲线相交,交点分别为M （x 1 , m ）、 N （x 2 , m ）及P （x 3 , m ）、Q(x 4, m)，如图1.
由⎪⎩⎪
⎨⎧=+=1
2222b y a x m
y 解得 x 2
1、=22m b b a -±， 此时，21x x - =
22
2m b b
a -； 由⎩⎨⎧=+=2
22b
y x m y 解得x 4,3=±22m b -, （图1）
此时， 43x x -=222m b -.
01、当2m b =,即b=|m|时，交点为（0，b ）或（0，-b ）；
02、当2
2m b ≠，即b ≠|m|时，有
b
a
x x x x =
--4
321 . 显然01是一种特殊情况，即直线L 与两曲线C 、C ' 交于一点，此时与求椭圆C 的面积无影响，故可忽略；在情况02下，即椭圆C 的弦长|MN|与圆C '的弦长|PQ|比恒为定值
b
a
时，则当设椭圆C 与圆C '的面积分别为S 、S '时，由定理1得'S S =b
a ，又圆C '的面积S '=π
b 2
，故有 S =b a S '=b a π
b 2=πab .
所以椭圆C 的面积公式为S =πab （其中a 、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.
注：此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形，若被平行于两
平行直线的任一条直线所截得的线段长成相等比例，当已知线段长的比值时，则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积.
定理2.若一平面图形M '是另一凸平面图形M 的射影，且凸平面图
形M 与射影平面图形M '所成角为α, 则射影平面图形M '的面积与凸平面图形M 的面积比为cos α.
证明：设平面图形M '是平面图形M 的射影 .10当平面图形M 是凸
曲边行时，如图2，将平面图形M的边缘进行n+1等分，设分点分别为
A
1、A
2
、A
3
、…、A
i
、A
1+i
、
…、A
n 、A
1+
n
，它们分别在平
面图形M'上的射影为A'
1、A'
2
…、A'
i 、A'
1+i
、…、A'
n
、A'
1+
n
,
则分别连结点A
1、A
2
、A
3
、…
、A
i 、A
1+i
、…、A
n
、A
1+
n
，然
后再将点A
1分别与点A
2
、A
3
、
…、A
i 、A
1+i
、…、A
n
、A
1+
n
(图2)
连结得△A
1A
2
A
3
、△A
1
A
3
A
4
、…△A
1
A
i
A
1+i
、…、△A
1
A
n
A
1+
n
.显然
它们在平面图形M'上的射影分别是对应的△A'
1A'
2
A'
3
、△A'
1
A'
3
A'
4
、…、
△A'
1A'
i
A'
1+i
、…、△A'
1
A'
n
A'
1+
n
由于平面M与平面M'所成角为α，则
△A
1A
2
A
3
、△A
1
A
3
A
4
、…、△A
1
A
i
A
1+i
、…、△A
1
A
n
A
1+
n
所在平
面与△A'
1A'
2
A'
3
、△A'
1
A'
3
A'
4
、…、△A'
1
A'
i
A'
1+i
、…、△A'
1
A'
n
A'
1+
n
所
在平面所成角均为α，现分别记△A
1A
2
A
3
、△A
1
A
3
A
4
、…、△
A
1A
i
A
1+i
、…、△A
1
A
n
A
1+
n
及△A'
1
A'
2
A'
3
、△A'
1
A'
3
A'
4
、…、△
A'
1A'
i
A'
1+i
、…、△A'
1
A'
n
A'
1+
n
的面积为S
1
、S
2
、…、S
i
、…、S
n
及S'
1
、
S'
2、…、S'
i
、…、S'
n
. 则有S
'
1
= S
1
conα、S'
2
= S
2
conα、…、S'
i
=
S
i conα、…、S'
n
= S
n
cosα.
当分点无限增加时, 则S
1
、S
2
、…、S
i
、…、S
n
及S'
1
、S'
2
、…、