概率论与数理统计6-2

牡丹江师范学院教案

教研室：教师姓名：授课时间:课程名称概率论与数理统计授课专业和班级

授课内容二维随机变量的联合分布授课学时2学时教学目的掌握二维随机变量的联合分布

教学重点二维随机变量的联合分布函数

教学难点二维随机变量的联合概率密度

教具和媒体使用板书

教学方法讲授法、研讨法、读书指导法

教学过程包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布

置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容

时间分配

(90分钟) 复习旧课

本课程知识的引入

重点和难点讲授

1、二维离散随机变量的联合概率分布

2、二维随机变量的联合分布函数

3、二维连续随机变量的联合概率密度

本节小结

作业布置

10分钟

10分钟

20分钟

20分钟

20分钟

5分钟

5分钟

板书设计

第二章随机变量及其分布

§2.9二维随机变量的联合分布

1、二维离散随机变量（X，Y）的联合概率

分布

2、二维随机变量的联合分布函数

3、二维连续随机变量的联合概率

密度

4、例题

讲授新

拓展内容

课后总结

教研室主任签字年月日

讲 稿

讲 授 内 容

备注

一、复习旧课

上节课我们重点学习了连续随机变量的分布： 均匀分布 指数分布

以及随机变量函数的分布： 离散随机变量函数的分布 连续随机变量函数的分布 这节课我们将学习二维随机变量。 二、授课内容

§2.9二维随机变量的联合分布

定义：由二个、三个或更多个随机变量构成的随机变量组，它们的值分别由二个、三个或更多个数来确定，这样的随机变量分别叫做二维、三维或多维随机变量。例如，射击时击中点的坐标；在平面上画线时定位点的坐标等等。在进行理论研究时，我们把二维随机变量（X ，Y ）看作是平面上的随机矢量或平面上具有随机坐标（X ，Y ）的点。

1. 二维离散随机变量（X ，Y ）的联合概率分布 ①概率分布表

Y X

1y

2y

…

n y

…

j

∑

1x 11(,)P x y 12(,)P x y … 1(,)n P x y … 1()X p x 2x

21(,)P x y 22(,)P x y … 2(,)n P x y

… 2()X p x … …

… … …

… … m x

1(,)m P x y 2(,)m P x y … (,)m n P x y

… ()X m p x … … …

… …

... (i)

∑

1

()Y p y

2()Y p y

… ()Y n p y

…

1

()X i P x =

1

(,)i

j

j P x y ∞

=∑

()Y j P y =

1

(,)i

j

i P x y ∞

=∑

②概率函数：概率(,)i j P x y （i ＝1，2，…，m ，…；j ＝1，2，…，n ，…）

表示试验结果中随机变量X 取值x i ，同时随机变量Y 取值y j 的概率： (,)(,)i j i j P x y P X x Y y === 称为随机变量（X ，Y ）的联合概率函数。 ③性质：（1）联合概率函数是非负函数，即

(,)0i j P x y ≥ 其中i ＝1，2，…； j ＝1，2，… （2）（X ＝x i ，Y ＝y j ）的一切可能的组合构成完备事件组，有

(,)1i j i j P x y =∑∑

例1（67页）已知10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，从这批产品中任取4件产品，求其中一等品、二等品件数的二维联合概率分布。

解 设X 及Y 分别是取出的4件产品中一等品及二等品的件数，则联合概率函数：

4352

4

10

(,)i j i j

C C C P X i Y j C --=== 其中i ＝0，1，2，3；j ＝0，1，2，3，4；2≤i ＋j ≤4，则

Y

X

0 1 2 3 4

0 0 0

10210 20210 5

210

1 0 15210 60210 30

210

0 2 3210 30210 30

210

0 0 3 2210 5

210

0 0 0 2．二维随机变量的联合分布函数

①定义：设（X ，Y ）是二维随机变量，（x ，y ）∈R 2，则称 (,){,}F x y P X x Y y =≤≤

为（X ，Y ）的分布函数或X 与Y 的联合分布函数。

②几何意义： 二维随机变量（X ，Y ）看作是平面上具有随机坐标（X ，Y ）的

点，则二维联合分布函数F （x ，y ）就是随机点（X ，Y ）落在以点

（x ，y ）为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率，图27。 ③性质：

（1） 归一行：对任意（X ，Y ）∈R 2，

0(,)1F x y ≤≤

(,)lim (,)1x y F F x y →+∞→+∞

+∞+∞==

(,)lim (,)0x y F F x y →-∞→-∞

-∞-∞==

(,)lim (,)0x F y F x y →-∞

-∞==

(,)lim (,)0y F x F x y →-∞

-∞==

（2） 单调不减性：

对任意y ∈R ，当x 1＜x 2时，F （x 1，y ）≤F （x 2，y ）； 对任意x ∈R ，当y 1＜y 2时，F （x ，y 1）≤F （x ，y 2）。

（3） 右连续：对任意x ∈R ，y ∈R

00(,0)lim (,)(,)y y F x y F x y F x y +→+==

00(0,)lim (,)(,)x x F x y F x y F x y +

→+== （4） 矩形不等式：

对任意（x 1，y 1），（x 2，y 2）∈R 2（x 1＜x 2，y 1＜y 2），有

22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥

3．二维连续随机变量的联合概率密度

定义：二维随机点（X ，Y ）落在矩形域(,,)x x x y y y +∆+∆；内的概率：

P(,)x X x x y Y y y <<+∆<<+∆

＝F(,)F(,)F(,)F(,)x x y y x x y x y y x y +∆+∆-+∆-+∆+ 当0,0x y ∆→∆→时，上述概率与矩形域面积x y ∆∆的比的极限叫做二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度，记作f （x ，y ）：

00

P(,)

f(x, y)=lim

x y x X x x y Y y y x y ∆→∆→<<+∆<<+∆∆∆

有

()(,)X F x F x =+∞

i ij x x

j

P ≤=∑∑

()(,)Y F y F y =+∞

j ij i y y

P ≤=∑∑

二维离散随机变量的联合分布函数F （x ，y ）对单变量x 或y 来说是右连续的。

①对于二维随机变量的分布函数F （x ，y ），如果存在非负函数f （x ，y ），使对于任意x 与y ，有 F （x ，y ）＝ ∫y －∞∫x

－∞

f （x ，y ）dxdy ，则称（X,Y ）是连续型的二维随机变量，函数f （x ，y ）称为二维随机变量（X ，Y ）的概率密度或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度。 ②关系：

''(,)

(,)

xy f x y F x y =

(,)(,)y x

F x y f x y dxdy

-∞-∞

=

⎰⎰

③联合概率密度性

质： 1．

f （x ，y ）≥0 2．