第8章_相量法

R
W直 =I 2RT
T i 2 ( t ) Rd t R W交 0
例 周期电压如图所示。求其有效值U。 u(t)/V 2 1 0
1 2 3 4 5 6
t/s
解 根据有效值的定义，有
1 U T

T 0
u 2 ( t )dt
2 3 1 1 2 2 2 0 1 dt 1 2 dt 2 0 dt 1.29 V 3
有效值也称均方根值(root-mean-square，简记为 rms。)
正弦电压有效值与最大值的关系： 1 U Um 或 U m 2U 2
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是 最大值。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 * 注意区分电压、电流的瞬时值、有效值、最大值的符号。
频率f : 每秒钟完成循环的次数，单位：Hz(赫兹) 。
关系 : f 1 T
2f
2 T
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz
美国 、日本 60 Hz * 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz
i(t)=Imcos( t + φ)
例 + u + u1
U1 U2 U3
u1 (t ) 3 2 cos 314t V
-
u2 (t ) 4 2 cos (314t 90o ) V 求u。 + u2 u(t ) u (t ) u (t ) 5 2 cos (314t 53.1o ) V 1 2 U2 490 V U1 30o V
u, i u i O
φu φi
若 <0， i 超前 u 角，
t
(i 比 u 先到达最大值)。

特例：
u, i u i
O u, i
=0， 同相：
t
= (180 ) ，反相：
o
u
O i t
= /2，正交
u, i
u i
0
t
四、周期性电流、电压的有效值 1、 有效值(effective value)定义 定义 周期性电流i 流过电阻R在一周期T 内消耗的电能， 等于一直流电流I 流过R在时间T 内消耗的电能，则 称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 I i(t)
B C = C， 称为容纳，单位为 S
容抗的物理意义 |XC| (1) 0， |XC| 直流开路(隔直) (2) ，|XC|0 高频短路(旁路作用)

三、小结 元件 i(t) + uR(t) i(t) + uL(t) u, i 关系
波形
i
0
φ
t
Im , , φ ——正弦量的三要素
i(t)=Imcos( t+ φ) 二、正弦量的三要素 1、 幅值 （振幅、 最大值）Im
φ
i
T=2
0
t
2、 角频率 ： 反映正弦量变化的快慢。 =d( t+ φ )/dt 单位时间内变化的角度。 单位： rad/s，弧度/秒
周期T : 完成一个循环变化所需时间，单位 s。
若 则 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
加减法可用图解法。 +j A2 A1
(2) 乘除运算——用极坐标 若 则 A1=|A1| 1 ，若A2=|A2| 2 A1 A2 =| A1 | | A2| 1 2
O
+1
乘法：模相乘，角相加；
8 相量法
8-1 复数 8-2 正弦量 8-3 相量法的基础 8-4 电路定律的相量形式
本章作业：8-10
8-1 复数
一、复数F 表示形式 （1）代数形式 +j (2) 向量表示 b F=a+jb
(j 1 为虚单位)
F

(3) 三角表示
O
a
+1
2 2 其模为|F|， F a b b 辐角为 θ arctag a
u i U I U m Im
8-3 相量法基础
一、问题的提出：
i
灯管
镇流器
u
uR
uL
uR 95 2 cos314tV , uL 185 2 cos(314t 82)V 问，u ?
u uR u L
如何计算？ 电路中的电流？功率？
u R u L u C u S di 1 Ri L idt u S dt c
或 I GU

I
φu= φi
UR
I
+

UR
R
-
相量图
相量模型
2. 电感
i(t) + uL(t) L
设 i(t ) 2I cos t
di(t ) 则 uL (t ) L 2 LI sin t dt U
2U cos(t ) 2

(1) u, i同频
UL
五、复数相等----一个复数方程可分解为两个实数方程
若F1=F2,则有 Re[F1]= Re[F2] , Im[F1]= Im [F2]
F1 F 2
arg(F1) arg(F 2)
交流电能的传输的基本环节
升压变压器
发电站
用户
降压变压器
高压输电
8-2 正弦量
一、正弦量 大小和方向随时间按正弦规律变化的电压、电流。 瞬时值表达式 i(t)=Imcos( t+φ)
2、正弦电流、电压的有效值(effective value) 设电流 i(t)=Imcos( t+ i)
1 T 2 I I m cos 2 ( t i )dt T 0
或 I 0.707 I m Im 2I
即
i(t ) Im cos(t i ) 2I cos(t i )
u (t ) 2U cos(t ) U U

正弦量 相量
例1 已知 i 141.4cos(314t 30o )A
u 311.1cos(314t 60 )V
o
试用相量表示i, u 。 有效值相量 最大值相量
解：
I 10030o A U 220 60o V
四、共轭复数
F * a jb 或 F * F
例 计算
(10 j6.28)( 20 j31.9) 10 j6.28 20 j31.9
11 .81 32.13 o 37.65 57.61o 39.45 40.5 o
10.89 j2.86
A1 | A1 | θ1 | A1 | e jθ1 | A1 | j( θ1θ2 ) | A1 | e jθ 2 A2 | A2 | θ2 | A2 | e | A2 | | A2 |
除法：模相除，角相减。
θ1 θ2
三、 旋转因子
复数 ej =1∠ A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。
( t + φ) ：相位(相位角)
3、初相位 正弦量在 t0时的相位角，反映正弦量的初始值，
当t 0时 i(t ) I mcos
初相位φ 和计时起点有关，计时起点不同初相位不同。 i
0 则 i I mcost
φ
0
φ=/2
t


2
则 i I m cos(t ) 2
IC
φu
U
(3)相位关系： i 超前 u 90°
相量图

IC
相量表达式
1 jω C
1 1 U IC j I C jX C I C j C C
+ U -
相量模型
I C jC U jBC I


令XC=-1/ C， 称为容抗，单位为 (欧姆)
二、电阻、电容、电感元件的VCR的相量形式 1. 电阻 已知 i(t ) 2I cos(t i ) i(t) + uR(t) R
则
uR (t) Ri(t) 2RI cos(t i )
(1)u， i 同频 (2)相位关系：u, i 同相
(3)有效值关系：UR=RI
相量表示式： U R RI
a | F | cos Re[ F ] b | F | sin Im[ F ]
F | F | (cos j sin )
j cos j sin 由欧拉公式 e
（4）指数形式或极坐标形式
F=|F|ej =|F|
二、复数运算
(1)加减运算——用直角坐标
XL (3)BL=-1/ L ， 感纳，单位为 S (同电导)

3. 电容 iC(t) + u(t) -
u(t ) 2U cos t
iC (t ) C du( t ) 2 CU sin t dt 2 CU cos( t ) 2

C (1) u, i同频
(2)有效值关系： IC= CU
已知激励电压源
uS
uR
uL
i
uC
uS 2U S COS(t u )
线性非时变正弦交流电路中，稳态时，响应与激励是同频率 的正弦量。响应之间、响应与激励之间仅在有效值、初相位 上存在差异。 教材中p208-210运用数学的理论推证了上述结果，涉及欧 拉公式及复指函数的内容。
1、相量----表示正弦量的复数 称 I I 为正弦量 i(t) 对应的相量。 复数的模正弦量大小（有效值或最大值） 复数的辐角正弦量初相位 可以建立正弦电压与相量的对应关系：