第八章 相量法
合集下载
第八章相量法
ρ = a2 + b2
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思
第八章 相量法(Phasor method
k =1
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
第八章相量法.ppt
第八章
正弦i、u 本章内容
相量法
正弦i、u的相量表示法、相量法 KCL、KVL的相量形式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4
复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
一、复数表示方法：
（1）直角坐标形式：
A = a + jb
说明：
a = Re A ...... 实部
b = Im A
§8-3
相量法的基础
２、相量法分析思路
时域模型——相量模型——时域模型
举例说明相量法分析思路
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式 二、R、L、C元件VAR的相量形式
三、相量法分析思路
四、举例说明相量法的简单应用
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式
1、KCL：
（1）时域形式
i(t) 为 2 I e jωt + φ 在实轴上的波形
+1
i
i = 2 Icos(ωt + )
+j
2I
φ
O
O
t
§8-3
相量法的基础
二、相量法 1、引入相量法优点 （1）正弦量加减运算 * 时域运算 i = i1 t + i2 t + i3 t （必须利用三角函 数变换公式） * 相量运算： I = I1 + I2 + I3 * 推广： i = i1 - i2 I = I1 - I 2
i t
= 0
i1 ( t )
i2 ( t )
i1 ( t ) 2 3cos(314t 30) i2 ( t ) 2 4cos(314t 60) 求i3 ( t ) ?
正弦i、u 本章内容
相量法
正弦i、u的相量表示法、相量法 KCL、KVL的相量形式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4
复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
一、复数表示方法：
（1）直角坐标形式：
A = a + jb
说明：
a = Re A ...... 实部
b = Im A
§8-3
相量法的基础
２、相量法分析思路
时域模型——相量模型——时域模型
举例说明相量法分析思路
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式 二、R、L、C元件VAR的相量形式
三、相量法分析思路
四、举例说明相量法的简单应用
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式
1、KCL：
（1）时域形式
i(t) 为 2 I e jωt + φ 在实轴上的波形
+1
i
i = 2 Icos(ωt + )
+j
2I
φ
O
O
t
§8-3
相量法的基础
二、相量法 1、引入相量法优点 （1）正弦量加减运算 * 时域运算 i = i1 t + i2 t + i3 t （必须利用三角函 数变换公式） * 相量运算： I = I1 + I2 + I3 * 推广： i = i1 - i2 I = I1 - I 2
i t
= 0
i1 ( t )
i2 ( t )
i1 ( t ) 2 3cos(314t 30) i2 ( t ) 2 4cos(314t 60) 求i3 ( t ) ?
第08章 相量法
α= π
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
第八章相量法
i i
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
第八章 相量法
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
(j 1 为虚数单位)
2.电感
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
U L wLI L i 2
相量关系:
相量形式:
3.电容
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
I C wCU C u 2
相量关系:
(j 1 为虚数单位)
上式表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示 时仍满足KCL；任一回路所有支路正弦电压用相量表 示时仍满足KVL.
2. 电路的相量模型（phasor model)
(j 1 为虚数单位) 时域电路
的相量模型:电压、电流用相量；元件用相量模型。
4.指数形式
F Fe
j
极坐标形式 F F
(j 1 为虚数单位) 二、复数运算
1.加减运算----代数形式
2.乘除运算----极坐标形式
(j 1 为虚数单位)
解：
(j 1 为虚数单位)
Im 3.旋转因子 F• ej
O
F Re
(j 1 为虚数单位)
所以，电流表4的读数为5A；电流表5的读数为7.07A。
小结：
1. 求正弦稳态解是求微分方程的特解，应 用相量法将该问题转化为求解复数代数方程 (j 1 为虚数单位) 问题。 2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微 分方程，而直接列写相量形式的代数方程。
(j 1 为虚数单位)
注意：
1. 只有正弦量才能用相量表示,非正弦量 不可以.
(j 相量只是表示正弦量 1 为虚数单位) ,不是等于正弦量. 2.
3. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量 图上,不同频率不行.
第八章 相量法
上 页 下 页
2.正弦信号是一种基本信号， 2.正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂 正弦信号是一种基本信号 的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。 的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
f (t ) = ∑ Ak cos(kωt + θ k )
k =1
n
结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。 论价值和实际意义。
复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
上 页
下 页
若 则 Im
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) A1+A2
Im
A1+A2
A2
A2 A1 A1 0 Re
0 图解法
Re
A1-A2
-A2
上 页
下 页
②乘除运算 —— 采用极坐标式 若 则:
A1=|A1| θ 1 ，A2=|A2| θ 2
上 页
下 页
2. 正弦量的相量表示 造一个复函数
无物理意义
j(ω t +Ψ)
A(t) = 2Ie
= 2Icos(ωt + Ψ ) + j 2Isin(ωt +Ψ )
对 A(t) 取实部 Re[ A(t)] = 2Icos(ω t +Ψ ) = i(t)
是一个正弦量 有物理意义
j(ω t+Ψ )
结论 任意一个正弦时间函数都
=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
=182.5 + j132.5 = 225.5∠36
上 页 下 页
③旋转因子 复数
2.正弦信号是一种基本信号， 2.正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂 正弦信号是一种基本信号 的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。 的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
f (t ) = ∑ Ak cos(kωt + θ k )
k =1
n
结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。 论价值和实际意义。
复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
上 页
下 页
若 则 Im
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) A1+A2
Im
A1+A2
A2
A2 A1 A1 0 Re
0 图解法
Re
A1-A2
-A2
上 页
下 页
②乘除运算 —— 采用极坐标式 若 则:
A1=|A1| θ 1 ，A2=|A2| θ 2
上 页
下 页
2. 正弦量的相量表示 造一个复函数
无物理意义
j(ω t +Ψ)
A(t) = 2Ie
= 2Icos(ωt + Ψ ) + j 2Isin(ωt +Ψ )
对 A(t) 取实部 Re[ A(t)] = 2Icos(ω t +Ψ ) = i(t)
是一个正弦量 有物理意义
j(ω t+Ψ )
结论 任意一个正弦时间函数都
=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
=182.5 + j132.5 = 225.5∠36
上 页 下 页
③旋转因子 复数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不适于瞬时值关系。
U LI i u 2
U L jL I L jX L I L
相量模型：
u, i
u
0
i
t
波形图
+j
UL
u
L
IL
+
jXL
IL
i
+1
U
O
相量图
3、电容元件
瞬时值表达式：
+
iC
C
uC
-
duC iC C dt
cos x j sin x
j (t )
对于同频 正弦量而 言相同
u 2U cos ( t ) Re[ 2Ue
时域 一 一 对 应
] Re[ 2Ue j e jt ]
复域
正弦时间函数
复常数 （包含有效值、初相）
u 2U cos ( t )
相量
三、相量与正弦量的关系
The Phasor
相量法即用复数为工具来表示正弦量。 正弦量 相量(或复数)
变换的思想
相量是一个包含正弦量“幅值”和“相 位”信息的复数。
一、复习复数：
(review the complex number) b
+j
F
r
θ
0 a +1
1.复数的表示形式
(1)代数形式
F a jb
(2)三角形式 (3)指数形式 (4)极坐标形式
同频的正弦量。
例： 计算 i
i
U m cos( t i )
+ _ R1
i2
i1
C
Um i1 cos( t i ) R1 du s (t ) i2 C U mC cos( t i 90) dt
Um i i1 i2 cos( t i ) U mC cos( t i 90) R1 U m (1 / R1 ) 2 (C ) 2 cos[ t i arctg (R1C )]
I )e j t ] Re[ 2 ( I1 2
I I1 I2 I1 I 2 2
（2）微分特性
u 2U cos(t i )
du d Re[ dt dt
2U e
j t
d ] Re dt
2U e
jt
i2
i i1 i2 对应的相量形式为
I I1 I 2 =10 /60° + 22 /-150 °
=(5 + j8.66) + ( -19.05 - j11) = -14.05 - j2.34 = 14.24 /-170.54° A i = 14.24
2cos(314t - 170.54 °)A
F r
a b
2
2
F r cos jr sin
F re F r
j
b arctan a
例：
3+j4= 5 /53.1° -3+j4= 5 /-53.1 °
10 /30 °
=10(cos30 °+ jsin30 °) =8.66+j5
×
=5 /126.9 °
Charles Steinmetz:
德裔美国电机工程师。
在1893年提出了相量法。
In 1901, he became the president of the IEEE ( Institute of Electrical and Electronics Engineers)
§8-2 正弦信号的相量表示法
正弦电压：
u 2U cos ( t )
表示u的相量有：
Ue j U
U e j Um m
或
正弦量的运算转换为相对应的相量运算
加法特性
u u1 u2 U U1 U 2
微分特性
du jU dt
j----旋转90o因子
du Re[ 2 ( j U )e jt ] dt
du jU dt
时域 复域
（3）积分特性
U udt j
五、相量图
在复平面上按各正弦量的大小和初始 位置画的有向线段。
Ψ
例1
用有效值相量表示下列正弦量， 并画相量图
i (t ) 10 2 sin( t 60 )
积分特性
U udt j
正弦量相应符号的正确表示
瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 最大值 Im= 10A 变量，小写字母 常数，大写字母
10 A 有效值 I = 2
最大值相量 I m 10 /30 A 有效值相量 I 10 / 30 A 2
| i |
（3）同频率正弦量的相位差
设: f1(t)= A1 cos(t+ 1) , f2(t)= A2 cos(t+ 2) 则相位差: 12= 1- 2 = (t+ 1) -( t+ 2)= 1 - 2
相位关系： ① 12 = 0 1 = 2 称f1与f2 同相
有效值
？
j45
45
I m 10 e
？
正误判断
已知：
u 2 10 cos ( t 15 )
则：
U 10 ？
10 e j15 U
15
？
正误判断
已知：
10050 U
则：
u Hale Waihona Puke 100 cos( t 50 )？
最大值
100 2
§8-3 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
时 域
u=0 i=0
u、i均为
(KVL) (KCL)
相量 形式
同频正弦量
U 0 I 0
（证明略）
例
已知：f=50Hz,I1=10A,θ1=60o, I2=5A, θ2= -90o 求：I3, θ3, i3, 并画相量图
I3 I1 I2 5 j3.66 6.236
u(t ) 2U cos( t u )
uR
-
2U cos(t u ) 2RI cos(t i )
U RI u i
U RI
相量形式： 相量模型：
U RI
+j
I
+
U
R
I
O 相量图
U
i u
+1
2、电感元件
瞬时值表达式：
+
iL
L
di uL L dt
相量形式：
uL
-
U L jL I L
U L LI L u i 2
U LI ＝X L I i u 2
定义：
X L＝L＝2fL
称
感抗
(1）XL 与ω 有关。
（2）XL 为电压与电流有效值之比，
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
统一用cosine 函数
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅（最大值） Im：表示大小 Amplitude
有效值: 电器铭牌上标示的都是有效值。
在一个周期内， i(t)流过R所作的功与直流I流过同 一R所作的功相等，则此I称为i(t)的有效值。
电路分析研究的主要内容：
1. 电阻电路分析（1-4）；
2. 动态电路分析（6-7）； 3. 正弦稳态电路分析（8-12）。
激励为正弦量时对电路物理参量的分析
研究正弦电路的意义 （1）正弦电路在电力系统和电子技术领域中广泛应用。 发电厂发出的电压是正弦电压； 常用的音频信号发生器输出的信号是正弦信号； 语音广播及电视广播技术中所用的“（超）高频 载波”是正弦波等等。
1．用相量可以唯一地表征一个的正弦量，
即：若 I1＝I 2 则 i1 i2 , 反之亦然。
2．相量能表示一个正弦量，但不等于正弦量；
i I
相量只能用来比较相同频率的正弦量； 相量加上频率才能求得正弦量；
物理意义： 唯一对应
正弦时间函数 正弦量的计算
复指数函数 相量 相量计算
四、正弦量的运算转换为相对应的相量运算
2 2 f T
f: 频率
单位：rad/s
其中：T: 周期
单位：秒（S） 单位：赫兹（Hz）
1 f T
i(t ) I m cos( t i )
3. 初相位i ： (Phase angle)
（1）相位：
t i
表示进程（电角度）
（2）初相位i ： 正弦量在t=0时的相位， 与时间起点的选取有关。
T
0
i (t ) Rdt I RT
2 2
1 T 2 I 0 i (t )dt T
(1)式中代入
(1)式
i(t ) I m cos( t i ) 得
Im I 2
i(t ) I m cos( t i )
2.角频率（周期T、频率f）：表示变化快慢 Angular frequency(period, frequency) 定义：相角(t+i)随时间变化的速度（rad/s）
相位差为 12= 1- 2 = (t+ 1) -( t+ 2)= 1 - 2 ② 12 > 0 1 > 2 称f1超前f2
U LI i u 2
U L jL I L jX L I L
相量模型：
u, i
u
0
i
t
波形图
+j
UL
u
L
IL
+
jXL
IL
i
+1
U
O
相量图
3、电容元件
瞬时值表达式：
+
iC
C
uC
-
duC iC C dt
cos x j sin x
j (t )
对于同频 正弦量而 言相同
u 2U cos ( t ) Re[ 2Ue
时域 一 一 对 应
] Re[ 2Ue j e jt ]
复域
正弦时间函数
复常数 （包含有效值、初相）
u 2U cos ( t )
相量
三、相量与正弦量的关系
The Phasor
相量法即用复数为工具来表示正弦量。 正弦量 相量(或复数)
变换的思想
相量是一个包含正弦量“幅值”和“相 位”信息的复数。
一、复习复数：
(review the complex number) b
+j
F
r
θ
0 a +1
1.复数的表示形式
(1)代数形式
F a jb
(2)三角形式 (3)指数形式 (4)极坐标形式
同频的正弦量。
例： 计算 i
i
U m cos( t i )
+ _ R1
i2
i1
C
Um i1 cos( t i ) R1 du s (t ) i2 C U mC cos( t i 90) dt
Um i i1 i2 cos( t i ) U mC cos( t i 90) R1 U m (1 / R1 ) 2 (C ) 2 cos[ t i arctg (R1C )]
I )e j t ] Re[ 2 ( I1 2
I I1 I2 I1 I 2 2
（2）微分特性
u 2U cos(t i )
du d Re[ dt dt
2U e
j t
d ] Re dt
2U e
jt
i2
i i1 i2 对应的相量形式为
I I1 I 2 =10 /60° + 22 /-150 °
=(5 + j8.66) + ( -19.05 - j11) = -14.05 - j2.34 = 14.24 /-170.54° A i = 14.24
2cos(314t - 170.54 °)A
F r
a b
2
2
F r cos jr sin
F re F r
j
b arctan a
例：
3+j4= 5 /53.1° -3+j4= 5 /-53.1 °
10 /30 °
=10(cos30 °+ jsin30 °) =8.66+j5
×
=5 /126.9 °
Charles Steinmetz:
德裔美国电机工程师。
在1893年提出了相量法。
In 1901, he became the president of the IEEE ( Institute of Electrical and Electronics Engineers)
§8-2 正弦信号的相量表示法
正弦电压：
u 2U cos ( t )
表示u的相量有：
Ue j U
U e j Um m
或
正弦量的运算转换为相对应的相量运算
加法特性
u u1 u2 U U1 U 2
微分特性
du jU dt
j----旋转90o因子
du Re[ 2 ( j U )e jt ] dt
du jU dt
时域 复域
（3）积分特性
U udt j
五、相量图
在复平面上按各正弦量的大小和初始 位置画的有向线段。
Ψ
例1
用有效值相量表示下列正弦量， 并画相量图
i (t ) 10 2 sin( t 60 )
积分特性
U udt j
正弦量相应符号的正确表示
瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 最大值 Im= 10A 变量，小写字母 常数，大写字母
10 A 有效值 I = 2
最大值相量 I m 10 /30 A 有效值相量 I 10 / 30 A 2
| i |
（3）同频率正弦量的相位差
设: f1(t)= A1 cos(t+ 1) , f2(t)= A2 cos(t+ 2) 则相位差: 12= 1- 2 = (t+ 1) -( t+ 2)= 1 - 2
相位关系： ① 12 = 0 1 = 2 称f1与f2 同相
有效值
？
j45
45
I m 10 e
？
正误判断
已知：
u 2 10 cos ( t 15 )
则：
U 10 ？
10 e j15 U
15
？
正误判断
已知：
10050 U
则：
u Hale Waihona Puke 100 cos( t 50 )？
最大值
100 2
§8-3 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
时 域
u=0 i=0
u、i均为
(KVL) (KCL)
相量 形式
同频正弦量
U 0 I 0
（证明略）
例
已知：f=50Hz,I1=10A,θ1=60o, I2=5A, θ2= -90o 求：I3, θ3, i3, 并画相量图
I3 I1 I2 5 j3.66 6.236
u(t ) 2U cos( t u )
uR
-
2U cos(t u ) 2RI cos(t i )
U RI u i
U RI
相量形式： 相量模型：
U RI
+j
I
+
U
R
I
O 相量图
U
i u
+1
2、电感元件
瞬时值表达式：
+
iL
L
di uL L dt
相量形式：
uL
-
U L jL I L
U L LI L u i 2
U LI ＝X L I i u 2
定义：
X L＝L＝2fL
称
感抗
(1）XL 与ω 有关。
（2）XL 为电压与电流有效值之比，
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
统一用cosine 函数
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅（最大值） Im：表示大小 Amplitude
有效值: 电器铭牌上标示的都是有效值。
在一个周期内， i(t)流过R所作的功与直流I流过同 一R所作的功相等，则此I称为i(t)的有效值。
电路分析研究的主要内容：
1. 电阻电路分析（1-4）；
2. 动态电路分析（6-7）； 3. 正弦稳态电路分析（8-12）。
激励为正弦量时对电路物理参量的分析
研究正弦电路的意义 （1）正弦电路在电力系统和电子技术领域中广泛应用。 发电厂发出的电压是正弦电压； 常用的音频信号发生器输出的信号是正弦信号； 语音广播及电视广播技术中所用的“（超）高频 载波”是正弦波等等。
1．用相量可以唯一地表征一个的正弦量，
即：若 I1＝I 2 则 i1 i2 , 反之亦然。
2．相量能表示一个正弦量，但不等于正弦量；
i I
相量只能用来比较相同频率的正弦量； 相量加上频率才能求得正弦量；
物理意义： 唯一对应
正弦时间函数 正弦量的计算
复指数函数 相量 相量计算
四、正弦量的运算转换为相对应的相量运算
2 2 f T
f: 频率
单位：rad/s
其中：T: 周期
单位：秒（S） 单位：赫兹（Hz）
1 f T
i(t ) I m cos( t i )
3. 初相位i ： (Phase angle)
（1）相位：
t i
表示进程（电角度）
（2）初相位i ： 正弦量在t=0时的相位， 与时间起点的选取有关。
T
0
i (t ) Rdt I RT
2 2
1 T 2 I 0 i (t )dt T
(1)式中代入
(1)式
i(t ) I m cos( t i ) 得
Im I 2
i(t ) I m cos( t i )
2.角频率（周期T、频率f）：表示变化快慢 Angular frequency(period, frequency) 定义：相角(t+i)随时间变化的速度（rad/s）
相位差为 12= 1- 2 = (t+ 1) -( t+ 2)= 1 - 2 ② 12 > 0 1 > 2 称f1超前f2