第8章 相量法总结
第8章 相量法
Chapter 8 相量法主要内容：1.复数；2.正弦量；3.相量、相量法；4.电路定律的相量形式。
§8-1复数一、复数的几种表示形式1. 代数形式：jb a F +=2. 三角形式：)sin cos ( θθj F F += 欧拉公式 θθθsin cos j e j +=3. 指数形式：θj eF F =4. 极坐标形式：θ∠=F F二、复数的运算1.相等若两复数的实部和虚部分别相等，则这两复数相等；若它们的模相等，辐角相等，则这两复数相等。
2.加减运算)()()()(2121221121b b j a a jb a jb a F F ±+±=+±+=±复数的加减运算可以在复平面上用图形来表示。
求复数之和的运算在复平面上符合平行四边形求和法则。
3.乘法运算)(2122121211θθθθ+==j j j eF F eF eF F F)arg()arg()arg( , 21212121F F F F F F F F +==∴复数相乘时，其模相乘，其辐角相加。
4.除法运算)arg()arg(arg,212121212121221121F F F F F F F F F F F F F F -==∴-∠=∠∠=θθθθ复数相除时，其模相除，其辐角相减。
5.旋转因子 ①)( , ,1θθθθθθ+==∠=a aj j j j eA eA eA A e则若② 1 ,1 , ,222=-=-==-ππππj j jjeej e j e例8-1：设 212121,13510,43F F F F F j F 和求+︒∠=-=。
解：)252543135104321j j j F F +-+-=︒∠+-=+（ ︒∠=+=1435.13.07-4.07j︒∠=︒-∠=︒∠︒-∠=︒∠-=9.1715.01.1885.0135101.535135104321j F F§8-2 正弦量一、正弦量时变电压和电流：随时间变化的电压和电流。
第8章-相量法
拉 cos ej e-j
公
2
式
sin
ej
e-j 2
F* a jb F ej F
2. 复数运算
设 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 ①加减运算 —— 采用代数形式
F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im F2
F1+F2
Im
F1+F2
F2
o 图解法
F1 Re o
F1
Re
F1-F2 -F2
②乘除运算 —— 采用极坐标形式
设 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则:
F1F2 F1 ej1
F2 ej2 F1
F ej(1 2 ) 2
F1
F2 1 2
模相乘 角相加
F1F2 F1 F2
Im F1F2
argF1F2 argF1 argF2
F2 θ2 θ1 F1
2
2
us
2Us cos wt u
1 2
U sme jwtu
U
e-jwt
sm
u
i
2I cos wt i
1 2
I
m
e
jwt
i
Ime-jwti
取Usmejwtu
Imejwti
代入方程
Ri L
di dt
1 C
idt us
RImejwti jwLImejwti
1
jwC
Ime jwti
高频
HF
330MHz
短波
100m10m 天波与 地波
甚高频 VHF 30-
300MHz 米波
[理学]第08章 相量法_OK
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即表示 di/dt 的相量为
•
j I I /i / 2
32
3、正弦量的积分
设i 2I cos(t i ), 则
•
idt Re[ 2 I e jt ]dt
•
Re[ ( 2 I e jt )dt]
•
Re[ 2 ( I e jt )]
j
2
I
c os (t
i
/
2)
即表示 ∫idt 的相量为
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos( t+ ), I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
t
Ψ
)
dt
T cos2( t Ψ ) dt
T 1 cos 2( t Ψ ) 1
dt t
T 1T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
23
二、正弦量的相量
如果复数 F | F | e j中的辐角 t ,
则F 就是一个复指数函数。
根据欧拉公式可展开为
F F e j(t ) F cos(t ) j F sin(t )
显然有 Re[F] F cos(t )
所以正弦量可以用上述形式的复指数函数描述， 使正弦量与其实部一一对应起来。 如以正弦电流 i 2I cos(t i ) 为例
解：求复数的代数和用代数形式：
F2 = 10 /135°=10（cos135°+jsin135°)
= -7.07 + j7.07
F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )
第八章相量法
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思
第08章 相量法
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
电路分析相量法
量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；
第8章( 8.1-8.3) 相量及相量分析法
例
i(t)
+ u(t) -
R
已知： u( t ) U m sin(wt y u ) 解: L
求：稳态解 i(t)
1. 经典法: 一阶常系数 di(t ) Ri (t ) L U m sin(wt y u ) 线性微分方程 dt 自由分量(齐次方程通解)： A e-(R/L) t
全解：
第8章 相量及相量分析法 8.1-8.3 重点：
复数及其运算 相位差
相量和相量图 正弦量的相量表示
电路元件VCR 的相量形式
电路定律的相量形式
8 .1 .1 正弦量的基本概念 正弦交流电路
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
u (t ) 2U cos(wt y ) U Uy
例1. 已知
解： I 10030o A
o
i 141.4 cos(314t 30 ) A u 311.1cos(3 14t 60o )V
试用相量表示 i, u 。
U 220 60o V
14
例2. 已知 I 5015o A, f 50Hz . 试写出电流的瞬时值表达式。
y
Re
a
Re
A a jb
A A e jy | A | y
11
2. 复数运算
(1)加减运算——直角坐标
(2) 乘除运算——极坐标 3. 旋转因子
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 A2 A1 A2 y 1 y 2
复数 e jy = cos y + jsin y = 1∠y A e jy A逆时针旋转一个角度y ，模不变
第八章 相量法
Um U= = 0.707U m 2
1 T u2dt （8-14） T 0
或者： Um = 2U
#
（8-15）
u = 2U cos(t + u )
§8.2 正弦量 相位差：两正弦量间的相位之差称为相位差。 线性电路中，如果全部激励都是同一频率的正弦量，则电路 中的响应一定是同一频率的正弦量 。因此，在正弦交流电路中， u,i 常常遇到同频率的正弦量，设 任意两个同频率的正弦量 Im u =Umcos(ωt+φu ) Um i = Imcos(ωt+φi ) 从波形图中可看出u和i的频 率相同，而振幅、初相不同。
T
V
R
i 在一T内所产生的热量为： Q~= i2Rdt (J)
0
-
I 在一T内所产生的热量为： Q-= I2RT (J)
T
按定义两者的Q应相等，即
0
i2Rdt= I2RT
+ uS -
i
R
由此得有效值定义式：
I=
1 T i2dt T 0
（8-12）
§8.2 正弦量 将有效值定义用于正弦电流。 设：i =Imcos(ωt+φi )， 由（8-12）式得：
§8.3 相量法基础 Im= Ime jφi = Im φi 有效值相量为： I= Ie jφi = I φi （8-18）
（e jφi为旋转因子） （8-19）
任何一个正弦量通过上述变换都可以对应得到（8-19）式。 有效值相量与最大值相量的关系为：I = 2I m 例如： 已知正弦电压 u = 220 2 cos( 314t + 450 )V 所对应的有效值相量为： U= 220 450
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第八章 相量法由于工业中电力系统的电压电流均采用正弦形式，且在电子线路中，往往各点电位与各处电流均为同频率的正弦量，同时非正弦形式的周期函数均可通过傅立叶变换分解为频率成整数倍的正弦函数的无穷级数，……因此，正弦交流电路的特殊分析方法具有十分重要的意义。
而相量法正是正弦交流电路主要分析方法，其意义与拉氏变换有类似之处。
意于用相量代换电路中的电量，将电路方程的性质从微分方程变为代数方程，从而简便地求取以正弦函数作为输入函数的微分方程的特解。
◆ 重点：1． 正弦量的三要素及其表示方法 2． 基尔霍夫定律的向量形式 3． 电路元件的VCR 的相量表示8.1 有关的数学知识复习8.1.1 与电路分析相关的正弦函数的有关知识一、正弦函数的表示形式（以电流为例）i (t (rad )1．代数形式：)cos()(φ+ω=t I t i m2．正弦函数的三要素◆变化的幅度——幅值（最大值）、有效值幅值（最大值）——m I ，工程中所指的耐压值指最大值。
有效值——均方根值⎰=T dt i T I 021，与正弦量的相位及频率无关。
工程中所指的正弦电压电流大小均指有效值。
幅值（最大值）、有效值的关系（学生自行推导）I I m 2= ◆ 变化的快慢——周期、频率、角频率周期T ——最小正周期T ：)()(t T f t f += 频率f ——周期函数每秒变化的次数角频率ω——相角（φ+ωt ）随时间变化的速度ω=φ+ωdt t d )(周期T 、频率f 、角频率ω之间的关系：f T 1=，T f π=π=ω22变化的计时起点——相位、初始相位、初始相角正弦量的相位：φ+ωt 正弦量的初始相位：φ相位超前（滞后）：)sin(a m t A a φ+ω=，)sin(b m t B b φ+ω=，b a φ>φ，即相位差b a φ-φ=φ∆时，称正弦量a 超前于b ，正弦量b 就滞后于a ，；同相：同频率的正弦量相位差为零时，称“同相”；反相：同频率的正弦量相位差为180度时，称“反相”；8.1.2 复数的有关知识一、复数的表示形式 1．代数形式：jb a +=A2．三角形式：ϕ+ϕ=sin cos A A A j 。
其中A为复数A 的模（幅值），它恒大于零。
两种形式之间的变换：ϕ=cos A a ，ϕ=sin A b ，即22b a +=A ，a b tg =ϕ3．指数形式利用欧拉公式：ϕ+ϕ=ϕsin cos j ej ，可以直接将复数的三角形式转化为指数形式：ϕ=j e A A4．极坐标形式当然也就可以很容易写为极坐标形式：ϕ∠=A A二、复数的运算 1．加、减法设21ja a +=A ，21jb b +=B ，则)()()()(22112121a b j a b ja a jb b ±+±=+±+=±=A B C直接用相量图的平行四边形法则或三角形法则求解复数的加减法：A AA2．乘、除法设21ja a +=A ，21jb b +=B ，则)()(12212211b a b a j b a b a ++-==AB C ，2221211222212211211 b b b a b a j b b b a b a jb a jb a +-+++=++==B A C由此可见，当使用复数的代数形式时，进行复数的乘除法运算比较复杂。
如果设a ϕ∠=A A ，b ϕ∠=B B ，则)(b a b a ϕ+ϕ∠=ϕ∠⨯ϕ∠=B A B A AB ，)(b a b a ϕ-ϕ∠=ϕ∠÷ϕ∠=B A B A B A由此可见，当使用复数的极坐标形式时，进行复数的乘除法运算比较简单，只需将复数的模相乘（除），复数的幅角相加（减）就可以了。
+j图10-4 复数的乘法示意+j图10-5 复数的除法示意j 图10-6 旋转因子示意图旋转因子——j 与j -对于任意相量ϕ∠=||A A ，o90||+ϕ∠=A A j ，也就是说，旋转因子j （j -）与任意相量的乘积的结果，即为该相量逆（顺）时针旋转90度。
8.2相量法的基本思想注意“向量”与“相量”的不同，前者用来表征具有大小及方向的物理量，比如例速度等等，后者往往用于表征一定振幅及相位的正弦量。
如果一个模与相角一定的相量，可以唯一地与一个频率确定，幅值等于相量的模，而相位等于相量的相角的正弦量，简单说，就是可以用一个向量来唯一地代换一个正弦量，那么就可以用相量的计算代换正弦量的计算，从而大大简化计算过程。
以下将以电压为例。
8.2.1 正弦电量的相量表示1．正弦量与相量 以电压为例，])Re[(])Re[(]Re[)cos()()(t j m t j j m t j m m e U e e U e U t U t u ωωϕϕ+ωϕ∠===ϕ+ω=其中指数函数tj eω实际上是以ω为角频率旋转的旋转相量，由此可见，在角频率ω一定的情况下，正弦量)(t u 与相量m U之间可以建立起一一对应的关系，其中ϕ∠=m m U U 。
注意：这里的相量与正弦量不能划等号，只不过用相量与正弦量表示同一个物理量而已，这样的概念与后面将要讲到的拉氏变换的意义相同。
2．旋转相量与正弦量的图示+3．幅值相量与有效值相量由于前面讲到过有效值与幅值之间的关系，因此正弦量的相量表示既可以用幅值相量，也可以用有效值相量，只不过要注意它们之间的转换，而且在分析中最好用同一种相量形式（建议使用有效值相量）。
ϕ∠=ϕ∠=U U U m m 2 ϕ∠=U U4．相量图图10-8 有效值相量的相量图1）用带有正弦量信息的相量表示正弦量 2）计算中，同一相量图中相量必须同频率8.2.2 正弦量的计算1．加减法同频率的正弦量的线性组合，可以用相应的相量的线性组合计算。
即)cos(2)cos(2)cos(22221112211n n n n n t I A t I A t I A i A i A i A i ϕ+ω++ϕ+ω+ϕ+ω=++=⇓n n A A A I I I I +++=22112．微分计算)2cos(2)]cos(2[π+ϕ+ω⋅ω=ϕ+ω=t I t I dt d dt di⇓)2( π+ϕ∠ω=ωI j I3．积分计算)2cos(21)cos(2π-ϕ+ω⋅ω=ϕ+ω=⎰⎰t I dt t I idt⇓)2( 11π-ϕ∠ω=ωI j I8.2.3 相量法求解动态电路的特解有以下微分方程：)cos(11110ϕ+ω=++++---t A x a dt dxa dt x d a dt x d a m n n n n n n其中1a 2a …n a 及m A 、ω、ϕ均为实常数。
由于，其中]Re[)cos(t j m e t A ω=ϕ+ωm A ，ϕ∠==ϕm j m A e A m A如果ωj 不是特征方程的根，则方程的特解可以设为同频率的正弦量，即 ]Re[)cos()(t j m m e t X t x ω=ψ+ω=X ，其中ψ∠==ψm j m X e X m X 将上述式子代入原微分方程：]Re[]Re[]Re[]Re[10t j mt j m n t j m n t j m n ne e a e dt d a e dt d a ωωω-ω=+++A X X X将求到的运算纳入求实部的符号内，则]Re[]Re[]Re[]Re[10t j m t j m n t j m n t j m nne e a e a dt d e a dt d ωωω-ω=+++A X X X]Re[]Re[])(Re[])(Re[10t j m t j m n t j m n t j m n e e a e j a e j a ωωω-ω=+ω++ωA X X X]Re[]])()()(Re[[100t j m t j m n n n n e e a j a j a j a ωω-=+ω++ω+ωA X这样就可以得到关于原微分方程的代数方程：（复数方程）m m n n n n a j a j a j a A X =+ω++ω+ω-])()()([100所以：n n nn mma j a j a j a +ω++ω+ω=-)()()(100 A X由于25533124422]][ -ω+ω-ω+-ω+ω-=-----n n n n n n mm a a a a a a A X-ω+ω--ω+ω-ω-ϕ=ψ-----442255331arctgn n n n n n a a a a a a这样就求出了特解]Re[)cos()(t j m m e t X t x ω=ψ+ω=X对于正弦激励下的动态电路的解而言，一个线性非时变电路的通解总是一个随着时间不断衰减的暂台分量，而其特解即为稳态分量，因此，用相量法可以十分简单地求解正弦电路的稳态响应。
8.2.4 电路定理的相量形式1．KCL 与KVL 定律0=∑i ⇒0=∑I0=∑u ⇒0=∑U2．电阻元件R R i R u ⋅=⇒R R R I U ⋅=可见电阻元件两端的电压与流过它的电流同频、同相，且电压振幅为电流振幅的R 倍。
图10-9 电阻元件VCR 的波形示意及相量图3．电感元件dt di Lu LL =⇒2π∠ω=⋅ω=LL L L L j I I U 可见电感元件两端的电压与流过它的电流同频，电压超前电流90o ，且电压振幅为电流振幅的L ω倍。
图10-10 电感元件VCR 的波形示意及相量图4．电容元件dt du Ci CC =⇒2π∠ω=⋅ω=CC C C C j U U I 可见电感元件两端的电压与流过它的电流同频，电压滞后电流90o ，且电压振幅为电流振幅的C ω1倍。
图10-10 电容元件VCR 的波形示意及相量图5．相量形式的欧姆定律R R R R I Z I U R ⋅=⋅= L L L L L jX L j I Z I I U L ⋅=⋅=⋅ω= 1 CC C C C C jX C j I Z I I U ⋅=⋅-=⋅ω=1。