电路原理(邱关源)习题答案第八章 相量法
《电路》邱关源第五版课后习题解答
电路习题解答第一章 电路模型和电路定律【题1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。
【题2】：D 。
【题3】：300；-100。
【题4】：D 。
【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S SS 1。
【题6】：3；-5；-8。
【题7】：D 。
【题8】：P US1=50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315=- W 。
【题9】：C 。
【题10】：3；-3。
【题11】：-5；-13。
【题12】：4（吸收）；25。
【题13】：0.4。
【题14】：3123I +⨯=；I =13A 。
【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。
【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245W 。
【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。
【题18】：P P I I 12122222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-=I I ；I 185=A ；U I I S =-⨯=218511V 或16.V ；或I I 12=-。
⑵ KCL ：43211-=-I I ；I 18=-A ；U S =-24V 。
第二章电阻电路的等效变换【题1】：[解答]I=-+9473A=0.5A；U Ia b.=+=9485V；IU162125=-=a b.A；P=⨯6125.W=7.5W；吸收功率7.5W。
电路邱关源版第08章
– 相量的模表示正弦量的有效值 – 相量的幅角表示正弦量的初相位 – 同理可得正弦电压与相量的关系 – 振幅相量
i(t) = 2I cos(ωt +φi ) ⇔ I = I ∠φi
u(t) = 2U cos(ωt +φu ) ⇔ U = U∠φu
i(t) = Im cos(ωt +φu ) ⇔ I m = Im∠φu u(t) = Um cos(ωt +φi ) ⇔ Um = Um∠φi
R
i
L
+
us
uC
- C
i = 2I cos(ωt +φi )
1 2I sin(ωt +φi ) = 2Us cos(ωt +φu ) ωC
8.3 相量法的基础
• 为什么要用相量表示正弦量？ 为什么要用相量表示正弦量？
两个正弦量的相加： 两个正弦量的相加： i1 = 2 I1 cos(ωt +ψ1) i2 = 2 I2 cos(ωt +ψ2 )
U= 1 2 Um 或 Um = 2U u(t) = Um cos(ωt +ψu ) = 2U cos(ωt +ψu )
• 注意： 注意：
– 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值， 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的 是最大值。因此， 是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最 大值考虑。 大值考虑。(U=220V, Um=311V U=380V, Um=537V) – 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 – 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
电路邱光源第八章
T
2
I m 2I
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
i(t ) I m cos(w t Ψ ) 2I cos(w t Ψ )
第8章 向量法
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U Um 2
或
U m 2U
第8章 向量法
注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
i
y =0
一般规定：|y | 。
o
y y =/2
wt
y =－/2
第8章 向量法
例
解
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
i(t ) 100 cos( 10 t y ) t 0 50 100 cosy
相量图
在复平面上用向量表示相量的图
IΨ i(t ) 2Icos( ω t Ψ ) I Uθ u (t ) 2Ucos(w t θ ) U
+j
U
I
+1
第8章 向量法
4. 相量法的应用
①同频率正弦量的加减
u1 (t ) 2 U1 cos(w t Ψ 1) Re( 2 U 1 e jw t ) u2 (t ) 2 U 2 cos(w t Ψ 2) Re( 2 U 2 e )
第8章 向量法
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+y)
(1) 幅值 (振幅、最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
邱关源《电路》第八章相量法2
17
例1: 已知: R1 1000 , R2 10 , L 500mH , C 10F , BUCT
U 100V , 314rad / s , 求:各支路电流。
i2 R1 i1
i3 C
+
R2
_u
L
I1
I2 R1
I3
j 1 C
+
R2
_ U
Z1
Z2
jL
解：画出电路的相量模型
0.5770
A
瞬时值表达式为：
i1 0.6 2 sin(314 t 52.3 ) A i2 0.181 2 sin(314t 20 ) A i3 0.57 2 sin(314 t 70 ) A
解毕！
20
9. 2 阻抗（导纳）的串联和并联
一． RLC串联电路
用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。
2I R
.
.
1 UR UC
24
BUCT
练习：P188 8—11 12
25
作业
BUCT
习题：8-16 9-1 (b)、(f) 9-5 预习：第9章
26
j
G 导纳三角形
（二） R、L、C 元件的阻抗和导纳
（1）R：ZR R , YR 1 R G
（2）L：Z L jL jX L ,
1
1
YL
j
jL
L
jBL
（3）C：ZC
j 1
C
jX C ,
YC jC jBC
15
（三）阻抗和导纳的等效互换
º R
Z
18
I1
I2 R1
电路分析基础 邱关源 第八章
i(t ) 2I cos(w t Ψ ) I IΨ
注意
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
例1 已知
试用相量表示i, u . 解
例2
试写出电流的瞬时值表达式。 解
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相量图
在复平面上用向量表示相量的图
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相量模型
波形图 uR
i
o 相量图
wt
u=i
同 相 位
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2. 电感元件VCR的相量形式
i(t) 时域形式： L 相量形式： +
+ uL(t) -
-
jw L 相量关系：
U L jwL I jX L I
u=i +90°
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|XC| 容抗和频率成反比
w
相量表达式
w0， |XC| 开路 w ，|XC|0 短路
返 回
上 页
下 页
波形图
iC
o 电流超前 电压900
u
wt
相量图
u
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4. 基尔霍夫定律的相量形式
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下 页
例1 试判断下列表达式的正、误。
L
返 回
上 页
下 页
例2 i
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
规定： |j | (180°)
电路邱关源第三版第八章
2
1 T
1 T
∫
T
0
T
i 2 ( t ) dt
均方根值
∫
0
2 I m cos 2 (ω t + ψ i ) dt ∴I m = 2I
∫
T
0
1 + cos2( ω t + ψ i ) dt 2
=
Im T ⋅ T 2
2
Im = 2
I = 0.707Im
6
3、变化进程和相位差： 、变化进程和相位差： ①相位： 相位： ωt ＋ψi 反映正弦量在交变过程中瞬时值的变化进程。 反映正弦量在交变过程中瞬时值的变化进程。 Ψi 反映初值 i (0)=Imcos ψi 。 ②初相位： 初相位： 图8-5，左正右负，通常 ，左正右负， ③相位差： 相位差： 两个同频率正弦量的相位之差。 两个同频率正弦量的相位之差。 其实为初相位之差，与时间无关。 其实为初相位之差，与时间无关。 它反映两个正弦量在变化进程上的差异，并非波形产生的先后。 它反映两个正弦量在变化进程上的差异，并非波形产生的先后。 正交。 规定： 超前、 、 滞后、 、 、 超前、 滞后 同相、 同相 反相、 反相 正交。 规定： ϕ ≤ π
点
正弦量的微分为同频正弦量， 正弦量的微分为同频正弦量，对应的相量为原相量乘以 jω。 。 3. 正弦量的积分： 正弦量的积分：
1、变化的快慢： 、变化的快慢： 频率f：每秒变化的次数。单位： ①频率 ：每秒变化的次数。单位：Hz ②周期T： 周期 ： 变化一次所需的时间。单位：s 变化一次所需的时间。单位：
i (t ) = I m cos(ωt + ψ i )
③角频率ω： 角频率 ： 每秒变化的弧度数。单位： 每秒变化的弧度数。单位：rad/s 2、大小及有效值： 、大小及有效值： 小写，任一时刻的实际值。 ①瞬时值： 瞬时值： 小写，任一时刻的实际值。 幅值，最大的瞬时值。 ②最大值： 最大值： 幅值，最大的瞬时值。峰峰值
邱关源《电路》第五版 第八章 相量法
电力系统简介
HVDC Rectifier(整流器)
相量法
Inverter(逆变器)
Power Line(输电线) Power Plant Generator 电厂(发电机) Transformer 变电站（变压器）
第八章 复数（自学） 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
相量法
§8-1 复数（自学）
Charles Proteus Steinmetz
(1865～1923)
§8-3 相量法的基础
一、正弦量的相量
i 2I cos(t i )
设有一个复指数函数
2 Ie j( t i )
2 Ie j( t i ) 2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i ) Re[ 2 Ie j( t i ) ] 2 I cos( t i ) i
1 I T
T
0
1 i dt T
2
T
0
2 I m cos2 ( t i )dt
Im 0.707 I m 2
I m 2I
i I m cos( t i ) 2I cos(t i )
§8-2 正弦量
四、同频正弦量的相位差 同频正弦量相角之差称为相位差。用 表示。
i
u
反 相
t
u
正 交 0
i t 0
1 2
i
t
电 压 超 前 电 流
§8-3 相量法的基础
The notion of solving ac circuits using phasors
was first introduced by Charles Proteus Steinmetz
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法第8章 相量法● 本章重点1、正弦量的两种表示形式；2、相量的概念；3、KVL 、KCL 及元件VCR 的相量形式。
● 本章难点1、 正确理解正弦量的两种表示形式的对应关系；2、 三种元件伏安关系的相量形式的正确理解。
● 教学方法本章是相量法的基础，对复数和正弦量两部分内容主要以自学为主，本章主要讲授相量法的概念、电路定律的相量形式以及元件V AR 的相量形式。
讲述中对重点内容不仅要讲把基本概念讲解透彻，而且要讲明正弦量的相量与正弦时间函数之间的对应关系；元件V AR 的相量形式与时域形式之间的对应关系，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章对元件的功率和能量这部分内容作了简单讲解，以便为下一章的学习打下基础。
本章共用4课时。
● 授课内容8.1复数1. 复数的三种表示bj a A += 直角坐标=θ∠r 极坐标 =θj re 指数形式θθθsin cos 22r b r a ab arctgb a r ==⇒=+=⇒直极极直θθsin cos jr r A += 三角表示形式欧拉公式：θθθsin cos j e j +=2. 复数的运算已知：11111θ∠=+=r jb a A ，22222θ∠=+=r jb a A求：212121,,A AA A A A ⋅±i()()212121b b j a a A A ±+±=±212121212121θθθθ+∠=+∠=⋅r r A A r r A A 8.2正弦量一、正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。
周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。
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第八章 相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。
引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。
这就是用相量分析电路的理论根据。
8－1 将下列复数化为极坐标形式：（1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=；（4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。
解：（1）a j F =--=551θ∠25)5()5(22=-+-=a13555arctan -=--=θ(因1F 在第三象限)故1F 的极坐标形式为 135251-∠=F（2） 13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二象限）（3） 43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F（4） 9010104∠==j F（5） 180335∠=-=F（6） 19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：2221a a a += 12arctan a a =θ和 θcos 1a a = θsin 2a a =需要指出的，在转换过程中要注意F 在复平面上所在的象限，它关系到θ的取值及实部1a 和虚部2a 的正负。
8－2 将下列复数化为代数形式：（1） 73101-∠=F ；（2） 6.112152∠=F ；（3） 1522.13∠=F ；（4） 90104-∠=F ；（5） 18051-∠=F ；（6） 135101-∠=F 。
解：（1）56.992.2)73sin(10)73cos(1073101j j F -=-⨯+-⨯=-∠=（2）85.1376.56.112sin 156.112cos 156.112152j F +-=+=∠= （3）56.006.1152sin 2.1152cos 2.11522.13j F +-=+=∠= （4）1090104j F -=-∠=（5）518051-=-∠= F（6）07.707.7)135sin(10)135cos(10135101j F --=-+-=-∠=8－3 若ϕ∠=∠+∠175600100 A 。
求A 和ϕ。
解：原式=ϕϕsin 175cos 17560sin 60cos 100j ja A +=++ 根据复数相等的定义，应有实部和实部相等，即ϕcos 17510060cos =+ A虚部和虚部相等ϕsin 17560sin = A 把以上两式相加，得等式020*******=-+A A解得⎩⎨⎧-=⨯+±-=069.20207.10222062541001002A所以 505.01752307.10217560sin sin =⨯==A ϕ34.30=ϕ8－4 求8－1题中的62F F •和62F F 。
解： 19.7361.913.1435)20.978.2()34(62∠⨯∠=+⨯+-=⨯j j F F68.14305.4832.21605.48-∠=∠=94.6952.019.7361.913.143520.978.23462∠=∠∠=++-=j j F F8－5 求8－2题中的51F F +和51F F 。
解： 1805731051-∠+-∠=+F F5)73sin(10)73cos(10--+-= j 27.10278.956.908.2-∠=--=j10721807321805731051∠=+-∠=-∠-∠=F F8－6若已知。
,)60314sin(10,)60314cos(521A t i A t i +=+-=A t i )60314cos(43+= （1） 写出上述电流的相量，并绘出它们的相量图；（2） 1i 与2i 和1i 与3i 的相位差；（3） 绘出1i 的波形图；（4） 若将1i 表达式中的负号去掉将意味着什么？（5） 求1i 的周期T 和频率f 。
解：（1）)120314cos(5)18060314cos(5)60314cos(51 -=-+=+-=t t t i)30314cos(10)60314sin(102 -=+=t t i故1i ，2i 和3i 的相量表达式为A I A I A I 6024,30210,12025321∠=-∠=-∠=其相量图如题解图（a ）所示。
题解8－6图（2） 90)30(1202112-=---=-=ϕϕϕ180601203113-=--=-=ϕϕϕ（3）1i （t ）的波形图见题解图（b ）所示。
（4）若将1i （t ）中的负号去掉，意味着1i 的初相位超前了180。
即1i 的参考方向反向。
（5）1i （t ）的周期和频率分别为ms s T 2002.031422====πωπHz T f 5002.0121====πω注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差，因此在比较相位差时，两个正弦量必须满足（1）同频率；（2）同函数，即都是正弦或都是余弦；（3）同符合，即都为正号或都为负号，才能进行比较。
8－7 若已知两个同频正弦电压的相量分别为V U 30501∠=V U 150100,2-∠-=，其频率Hz f 100=。
求：（1）写出1u ， 2u 的时域形式；（2）1u 与2u 的相位差。
（1）V t ft t u )30628cos(250)302cos(250)(1 +=+=πV t ft t u )180150628cos(2100)1502cos(2100)(2 =-=--=πV t )30628cos(2100 +=（2）因为V U 30501∠=V V U 30100150100,2∠=-∠-=故相位差为 03030=-=ϕ，即1u 与2u 同相位。
8－8 已知：V t t u )120314cos(2220)(1 -=V t t u )30314cos(2220)(2 +=（1） 画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率f 和周期T ；（2） 写出它们的相量和画出其相量图，求出它们的相位差；（3） 如果把电压2u 的参考方向反向，重新回答（1），（2）。
解：（1）波形如题解8－8图（a ）所示。
题解8－8图有效值为 V u u 22021==2u频率 Hz f f 502314221====ππω周期 s f T T 02.0501121====（2）1u 和2u 的相量形式为V U 1202201-∠= V U 302202∠=故相位差为 1503012021-=--=-=ϕϕϕ相量图见题解图（b ）所示。
（3）2u 的参考方向反向，2u （t ）变为－2u （t ），有效值、频率和周期均不变，－2u （t ）的相量为V U 150200*********-∠=-∠=故 1u 和 2u 的相位差为 30)150(12021=---=-=ϕϕϕ波形图和向量图见题解图（a ）和（b ）。
8－9 已知一段电路的电压、电流为：V t u )2010sin(103 -=A t i )5010cos(23 -=（1） 画出它们的波形图和向量图；（2）求出它们的相量差。
解：（1）V t t u )11010cos(10)2010sin(1033 -=-=，故u 和i 的相量分别为V U 110210-∠= A I 5022-∠=其波形和相量图见题解图(a)和图（b ）所示。
题解8－9图（2）相位差 60)50(110-=---=-=i u ϕϕϕ，说明电压落后于电流 60。
8－10 已知图示三个电压源的电压分别为：V t u a )10cos(2220 +=ω，V t u b )110cos(2220 -=ω，V t u c )130cos(2220 +=ω，求：（1）3个电压的和；（2）bc ab u u ,；（3）画出它们的相量图。
题解8－10图解：a u ，b u ，c u 的相量为V U a 10220∠=V U b 110220-∠=V U c 130220∠=（1）应用相量法有13022011022010220∠+-∠+∠=++c b a U U U0=即三个电压的和 0)()()(=++t u t u t u c b a（2） 11022010220-∠-∠=-=b a ab U U UV 403220∠=130220110220∠--∠=-=c b bc U U UV 803220-∠=（3）相量图如题解8－10图所示。
题解8－10图8－11 已知图（a ）中电压表读数为V V 30:1； V V 60:2；图（b ）中的V V 15:1；V V 80:2； V V 100:3。
（电压表的读数为正弦电压的有效值。
）求图中电压s U 。
题8－11图解法一：（a ） 图：设回路中电流 0∠=I I，根据元件的电压、电流相量关系，可得题8－11图V RI I R U R 0300∠=∠==V I X I jX U L L L 906090∠=∠==则总电压 V j U U U L R S 6030+=+=所以s u 的有效值为V U S 08.67603022=+= （b ） 图：设回路中电流相量A I I0∠=，因为 V RI I R U R 0150∠=∠==V I X I jX U L L L 908090∠=∠==V I X I jX U C C C 9010090-∠=-∠=-=所以总电压 V j j j U U U U C L R S 20151008015-=-+=++=故s u 的有效值为V U S 25201322=+= 解法二： 利用相量图求解。
设电流 0∠=I I 为参考相量，电阻电压R U 与I同相位，电感电压L U 超前I 90，电容电压c U 要滞后I 90，总电压s U 与各元件电压向量构成一直角三角形。
题解8-11图（a ）和（b ）为对应原图（a ）和（b ）的相量图。
由题解图（a ）可得V U U U L R S 08.6760302222=+=+= 由题解图（b ）可得V U U U U L C R S 258)80100(15)(2222=-+=-+=题解8－11图注：这一题的求解说明，R ，L ，C 元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系（如下表所示）是我们分析正弦稳态电路的基础，必须很好地理解和掌握。