2018高考数学(文科)习题 第二章 函数的概念及其基本性质课时撬分练2-3 Word版含答案
[精品]2018高考数学(文科)习题第二章函数的概念及其基本性质241和答案
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1.如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为() 点击观看解答视频A ．16B ．18C ．25 D.812答案 B解析 由已知得f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8，又对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f ′(x )≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0f，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，n ≥0m ＋2n ≤182m ＋n ≤12，画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0，当n ≠0时，m ＝tn .由线性规划的相关知识知，只有当直线2m ＋n ＝12与曲线m ＝tn相切时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧－t n 2＝－126－12n ＝tn，解得n ＝6，t ＝18，所以(mn )max ＝18，选B.2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，选A.3．两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b2a，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b 2a 与－a2b 同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧，只有D 满足．故选D.4．若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，2]解析 f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，结合抛物线图象可知，a 4≤12，所以a ≤2.5.已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈时有最大值2，则a 的值为________．点击观看解答视频答案 2或－1解析 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，在x ∈时， 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，1－a ＝2.解得a ＝2或a ＝－1.6．对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．答案 －2解析 设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，由已知得关于b 的方程(t －b )2－b (t －b )＋4b 2－c ＝0有解，即6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0有解．故Δ＝9t 2－24(t 2－c )≥0，所以t 2≤85c ，所以|t |max ＝210c 5，此时c ＝58t 2，b ＝14t ，2a ＝t －b ＝3t4，所以a ＝3t8.故3a －4b ＋5c ＝8t －16t ＋8t2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－1t＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122－2≥－2. 7．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y＝a|x－1|的图象，由图知，当a＝0时，两函数的图象只有2个交点，当a<0时，两图象没有交点，故必有a>0.若曲线y＝－x2－3x(－3≤x≤0)与直线y＝－a(x－1)(x≤1)相切，联立方程得x2＋(3－a)x＋a＝0，则由Δ＝0得a＝1(a＝9舍去)，因此当0<a<1时，f(x)的图象与y＝a|x－1|的图象有4个交点；若曲线y＝x2＋3x(x>0)与直线y＝a(x－1)(x>1)相切，联立方程得x2＋(3－a)x＋a＝0，则由Δ＝0可得a＝9(a＝1舍去)，因此当a>9时，f(x)的图象与y＝a|x－1|的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数根时，实数a的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．。
高考数学异构异模复习第二章函数的概念及其基本性质课时撬分练2.1函数的概念及其表示文
2018高考数学异构异模复习考案 第二章 函数的概念及其基本性质课时撬分练2.1 函数的概念及其表示 文时间：45分钟基础组1.[2016·枣强中学周测]已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x答案 D解析 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．2. [2016·冀州中学预测]函数f (x )＝＋1－2x的定义域是( )A ．(－3,0)B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)答案 A解析 ∵f (x )＝＋1－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x>0，即－3<x <0.3．[2016·冀州中学猜题]设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x≥0，－x ，x<0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1答案 D解析 当a ≥0时，f (a )＝a ，由已知得a ＋1＝2，得a ＝1；当a <0时，f (a )＝－a ，由已知得－a ＋1＝2，得a ＝－1，综上a ＝±1.4．[2016·武邑中学仿真]已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n≥10，＋，n<10.其中n ∈N *，则f (6)的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 由函数解析式，可知f (6)＝f (f (11))＝f (8)＝f (f (13))＝f (10)＝10－3＝7.5．[2016·衡水中学模拟]已知函数g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x2x2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30答案 C解析 令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C.6．[2016·冀州中学期中]函数f (x )＝11－－的最大值是( )A.45B.54 C.34D.43 答案 D解析 1－x (1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以0<11－－≤43.7．[2016·衡水中学仿真]已知函数f (x )的定义域为(0,2]，则函数f (x ＋1)的定义域为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1,3]C ．[5，3)D ．(0，5)答案 B解析 根据题意，得0<x ＋1≤2，即0<x ＋1≤4，解得－1<x ≤3，故选B.8．[2016·枣强中学预测]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x<0，则f (f (－4))＝________.答案 4解析 因为x ＝－4<0，所以f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，因为x ＝16>0，所以f (16)＝16＝4.9．[2016·冀州中学一轮检测]函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________．答案 (－∞，1]解析 函数的定义域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12，令t ＝1－2x(t ≥0)，则x ＝1－t22.∴y ＝1－t22＋t ＝－12(t －1)2＋1(t ≥0)，故t ＝1(即x ＝0)时，y 有最大值1，故值域为(－∞，1]．10．[2016·武邑中学一轮检测]已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.。
高考数学(文科)习题 第二章 函数的概念及其基本性质2-1-2 word版含答案
1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 22－x ，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12答案 C解析 由于f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ． C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．＝sgn xB ．sgn ＝－sgn xC ．sgn ＝sgnD ．sgn ＝－sgn 答案 B解析 因为f (x )是R 上的增函数，又a >1，所以当x >0时，f (x )<f (ax )，即g (x )<0；当x ＝0时，f (x )＝f (ax )，即g (x )＝0；当x <0时，f (x )>f (ax )，即g (x )>0.由符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0知，sgn ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x >0，0，x ＝0，1，x <0∴sgn ＝－sgn x .4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为 B ． C ． D ．答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45 C ．2 D ．9答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ，∴a ＝2. 故应选C.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg x 2＋1，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.。
2018高考数学复习函数的概念及其基本性质2.2.2函数的最值撬题理
2018高考数学异构异模复习考案 第二章 函数的概念及其基本性质2.2.2 函数的最值撬题 理1．执行如图所示的程序框图．如果输入的t ∈[－2,2]，则输出的S 属于()A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4,5]D ．[－3,6] 答案 D解析 由程序框图可得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t 2＋1－3，t ∈[－2，0t －3，t ∈[0，2]，其值域为(－2,6]∪[－3，－1]＝[－3,6]，故选D.2．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．5或8B ．－1或5C ．－1或－4D ．－4或8 答案 D解析 ①当a <2时，－1<－a 2， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －a －1，x <－1，－x ＋1－a ，－1≤x ≤－a 2，3x ＋a ＋1，x >－a 2. ②当a >2时，－1>－a 2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x <－a 2，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，3x ＋a ＋1，x >－1， 对于①，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2＋1－a ＝3，∴a ＝－4. 对于②，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2＋a －1＝3，∴a ＝8. 3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1,2]解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，所以当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3＋log a 2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]． 4．函数f (x )＝log 2x ·log2 (2x )的最小值为________．答案 －14 解析 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 5.函数y ＝log 3(2cos x ＋1)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，2π3的值域是________． 答案 (－∞，1]解析 ∵－2π3<x <2π3，∴－12<cos x ≤1. ∴－1<2cos x ≤2.∴0<2cos x ＋1≤3.令u ＝2cos x ＋1，y ＝log 3u 是增函数，又u ∈(0,3]，故当u ＝3时，y 取得最大值为1，∴函数值域为(－∞，1]．。
2018年高考数学总复习课时作业第二章 函数概念与基本初等函数1 第2讲 函数的单调性与最值 Word版含答案
基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题.若函数()＝＋的单调递增区间是[，＋∞)，则的值为( ).－ .－解析由图象易知函数()＝＋的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝，∴＝－.答案.(·北京卷)下列函数中，在区间(－，)上为减函数的是( )＝＝＝(＋) ＝－解析∵＝与＝(＋)在(－，)上为增函数，且＝在(－，)上不具备单调性.∴，，不满足题意.只有＝－＝在(－，)上是减函数.答案.定义新运算“⊕”：当≥时，⊕＝；当<时，⊕＝，则函数()＝(⊕)－(⊕)，在区间[－，]上的最大值等于( ).－解析由已知得当－≤≤时，()＝－，当<≤时，()＝－.∵()＝－，()＝－在定义域内都为增函数.∴()的最大值为()＝－＝.答案.已知函数＝()的图象关于＝对称，且在(，＋∞)上单调递增，设＝，＝()，＝()，则，，的大小关系为( )<<<<<<<<解析∵函数图象关于＝对称，∴＝＝，又＝()在(，＋∞)上单调递增，∴()<<()，即<<.答案()是定义在(，＋∞)上的单调增函数，满足()＝()＋()，()＝，当()＋(－)≤时，的取值范围是( ).(，＋∞) .(，].[，] .(，)解析＝＋＝()＋()＝()，由()＋(－)≤，可得[(－)]≤()，因为()是定义在(，＋∞)上的增函数，所以有解得<≤.答案二、填空题.(·宁波调研)设函数()＝若(())＝，则实数＝，函数()的单调增区间为.解析∵()＝∴()＝＋＝，(())＝()＝＋，由(())＝，∴＋＝，∴＝.当≤时，()在(－∞，]上递减，在[，]上递增，且()＝；当>时，()＝＋在(，＋∞)上递增，令＝时()＝＋＝，故()的单调增区间为[，]∪(，＋∞)＝[，＋∞).答案[，＋∞).(·绍兴调研)函数()＝－(＋)在区间[－，]上的最大值为.解析由于＝在上递减，＝(＋)在[－，]上递增，所以()在[－，]上单调递减，故()在[－，]上的最大值为(－)＝.答案.(·潍坊模拟)设函数()＝若函数＝()在区间(，＋)上单调递增，则实数的取值范围是.解析作出函数()的图象如图所示，由图象可知()在(，＋)上单调递增，需满足≥或＋≤，即≤或≥.答案(－∞，]∪[，＋∞)三、解答题.已知函数()＝－(>，>).()求证：()在(，＋∞)上是增函数；()若()在上的值域是，求的值.()证明设>>，则－>，>，∵()－()＝－＝－＝>，∴()>()，∴()在(，＋∞)上是增函数.()解∵()在上的值域是，又由()得()在上是单调增函数，∴＝，()＝，易知＝..已知函数()＝－的定义域为(，](为实数).()当＝时，求函数＝()的值域；()求函数＝()在区间(，]上的最大值及最小值，并求出当函数()取得最值时的值.解()当＝时，()＝－，任取≥＞＞，则()－()＝(－)－＝(－).。
2018届高考(新课标)数学(文)大一轮复习检测第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-3Word版含答案
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·安徽合肥一中期中)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )A ．f (x )－1为奇函数B ．f (x )－1为偶函数C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数【解析】 ∵对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，∴令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝－1.令x 1＝x ，x 2＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＋1.∴f (x )＋1＝－f (－x )－1＝－，∴f (x )＋1为奇函数．故选C.【答案】 C2．(2016·湖南常德一中第五次月考)若f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，则f (x －1)＜e －1e的解集为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，1)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞)【解析】 因为f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，所以f (0)＝1－a ＝0，即a ＝1，则f (x )＝e x－e －x 在R 上单调递增，且f (1)＝e －1e .则由f (x －1)＜e －1e，得f (x －1)＜f (1)，即x －1＜1，解得x ＜2，所以不等式f (x －1)＜e －1e的解集为(－∞，2)．故选A. 【答案】 A3．(2017·湖南岳阳平江一中期中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 017)＝( ) A ．4 B ．2C ．－2D ．log 27【解析】 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，∴f (2 017)＝f (4×504＋1)＝f (1)＝－f (－1)．∵－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，∴f (－1)＝log 2＝2， ∴f (2 017)＝－f (－1)＝－2.【答案】 C4．(2017·福建三明一中第一次月考)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x，则当x ＞0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x【解析】 x ＞0时，－x ＜0，∵x ＜0时，f (x )＝2x ，∴当x ＞0时，f (－x )＝2－x. ∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .故选C.【答案】 C5．(2016·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________． 【解析】 ∵函数f (x )为奇函数，且周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)，∴f (1)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 【答案】 －26．(2017·山东东营广饶一中诊断)若f (x )＝2x ＋2－x ·lg a 是奇函数，则实数a ＝________．【解析】 ∵函数f (x )＝2x ＋2－x lg a 是奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝0，∴2x ＋2－xlg a ＋2－x ＋2x lg a ＝0，即2x ＋2－x ＋lg a (2x ＋2－x )＝0，∴lg a ＝－1，∴a ＝110. 【答案】 1107．(2017·长春质检)已知定义在R 上的偶函数f (x )在∪∪上单调递增，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1， 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)．【解析】 (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)∵x ∈，∴－x ∈，∴4－x ∈，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈．(3)∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝f (2 016)＋f (2 017)＝f (0)＋f (1)＝1.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2016·山东)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1C ．0D ．2【解析】 ∵当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，∴f (x )＝f (x ＋1)，∴当x ＞12时，函数f (x )以T ＝1为周期．故f (6)＝f (1)．∵当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (1)＝－f (－1)．又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＝2.故选D.【答案】 D12．(2016·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（4a －3）x ＋3a ，x ＜0，log a （x ＋1）＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________．【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜11≤3a ＜2－4a －32≥0，解得13≤a ＜23. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 13．(2017·郑州模拟)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间上与x 轴的交点个数为________．【解析】 因为当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图象在区间上与x 轴的交点个数为7.【答案】 714．(2017·湛江月考)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在上是增函数，给出下列关于f (x )的结论：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③f (x )在上是增函数；④f (x )在上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确结论的序号是________．【解析】 对于①，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－＝f (x )，故2是函数f (x )的一个周期，故①正确；对于②，由于函数f (x )是偶函数，且函数f (x )是以2为周期的函数，则f (2－x )＝f (x －2)＝f (x )，即f (2－x )＝f (x )，故函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故②正确；对于③，由于函数f (x )是偶函数且在上是增函数，根据偶函数图象的性质可知，函数f (x )在上是减函数，故③错误；对于④，由于函数f (x )是以2为周期的函数且在上为增函数，由周期函数的性质知，函数f (x )在上是增函数，故④错误；对于⑤，由于函数f (x )是以2为周期的函数，所以f (2)＝f (0)，故⑤正确．综上所述，正确结论的序号是①②⑤.【答案】 ①②⑤15．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【解析】 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明 令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)＜2⇔f (|x －1|)＜f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∴0＜|x －1|＜16，解之得－15＜x ＜17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17且x ≠1}．。
高考数学(文科)习题 第二章 函数的概念及其基本性质2-2-1 word版含答案
1．设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案 A解析 由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，易知y ＝21－x－1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数，又f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，选A.2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a 答案 C解析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1.当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝2x －1递增，又a ＝f (log 0.53)＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0<log 23<log 25，则f (0)<f (log 23)<f (log 25)，即c <a <b .3．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．f (x )＝3x 答案 D解析 f (x )为指数函数模型，排除A 、B.又∵f (x )为单调递增函数，排除C ，故选D.4.已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) 点击观看解答视频A.1x2＋1>1y2＋1B．ln (x2＋1)>ln (y2＋1)C．sin x>sin yD．x3>y3答案 D解析根据x>y，函数f(x)＝x3单调递增，故x3>y3，故选D.5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．答案(－1,3)解析∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)，又∵f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(|x－1|)>f(2)，∴|x－1|<2，∴－2<x－1<2，∴－1<x<3，∴x∈(－1,3)．。
【最新】高中数学-2018高考数学(文科)习题 第二章 函数的概念及其基本性质课时撬分练2-1 wo
………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.已知集合A ＝，集合B ＝，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( ) A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x答案 D解析 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．2. 函数f (x )＝lnx ＋31－2x的定义域是( )点击观看解答视频A ．(－3,0)B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)答案 A解析 ∵f (x )＝lnx ＋31－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x>0，即－3<x <0.3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1答案 D解析 当a ≥0时，f (a )＝a ，由已知得a ＋1＝2，得a ＝1；当a <0时，f (a )＝－a ，由已知得－a ＋1＝2，得a ＝－1，综上a ＝±1.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f f n ＋5，n <10.其中n ∈N *，则f (6)的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 B解析 由函数解析式，可知f (6)＝f (f (11))＝f (8)＝f (f (13))＝f (10)＝10－3＝7. 5．已知函数g (x )＝1－2x ，f ＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( ) A ．1 B ．3 C ．15 D ．30答案 C解析 令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C.6．函数f (x )＝11－x 1－x的最大值是( )A.45B.54C.34D.43 答案 D解析 1－x (1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以0<11－x 1－x ≤43.7．已知函数f (x )的定义域为(0,2]，则函数f (x ＋1)的定义域为( ) A ． C ．[5，3) D ．(0，5)答案 B解析 根据题意，得0<x ＋1≤2，即0<x ＋1≤4，解得－1<x ≤3，故选B.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <0，则f (f (－4))＝________.答案 4解析 因为x ＝－4<0，所以f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，因为x ＝16>0，所以f (16)＝16＝4.9．函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________． 答案 (－∞，1]解析 函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，令t＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22.∴y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1(t ≥0)，故t ＝1(即x ＝0)时，y 有最大值1，故值域为(－∞，1]．10．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .11．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解 当x ∈，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x ；当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈时，设y ＝k 2x ＋b 2，由⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈30，40，110x －2，x ∈[40，60].12．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R . (1)若函数的值域为函数y ＝log 12x 2－1的定义域是( )A ．B ．(－3，－1)∪(1，2)C ．D ．(－2，－1)∪(1,2)答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log 12x 2－1≥0，x 2－1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤1，x 2－1>0，也就是1<x 2≤2，所以x∈．14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ex －1， x <1，x 13 ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析 f (x )≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，e x －1≤2或⎩⎨⎧x ≥1，x 13 ≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x ≤ln 2＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤8⇒x <1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]．15．若函数f (x )满足f (x )＋2f (1－x )＝x ，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝23－x解析 ∵f (x )＋2f (1－x )＝x ，① ∴f (1－x )＋2f (x )＝1－x .②①－2×②，得f (x )＝－x ＋23.16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1 0<x <c ，2－xc 2＋1c ≤x <1满足f (c 2)＝98.(1)求常数c 的值； (2)解不等式f (x )>28＋1. 点击观看解答视频解 (1)∵0<c <1，∴0<c 2<c ， 由f (c 2)＝98得c 3＋1＝98，解得c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1 ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12，2－4x＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ＜1.由f (x )>28＋1，得 当0<x <12时，则有12x ＋1>28＋1，解得24<x <12；当12≤x <1时，则有2－4x＋1>28＋1，解得12≤x <58. 所以f (x )>28＋1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪24<x <58.。
2018高考数学异构异模复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.7.2 函数图象的应用撬题 理
2018高考数学异构异模复习考案 第二章 函数的概念及其基本性质2.7.2 函数图象的应用撬题 理1．函数f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 答案 C 解析 ∵f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图象与x ，y 轴分别交于N ，M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴x ＝－b a>0，y ＝b c2>0，故a <0，b >0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c >0，故c <0，故选C.2．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln (x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C.⎝⎛⎭⎪⎫－1e，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e 答案 B解析 由已知得函数f (x )的图象关于y 轴对称的函数为h (x )＝x 2＋e －x－12(x >0)．令h (x )＝g (x )，得ln (x ＋a )＝e －x －12，作函数M (x )＝e －x－12的图象，显然当a ≤0时，函数y ＝ln (x ＋a )的图象与M (x )的图象一定有交点．当a >0时，若函数y ＝ln (x ＋a )的图象与M (x )的图象有交点，则ln a <12，则0<a < e.综上a < e.故选B.3．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}答案 C解析 在平面直角坐标系中作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示．所以f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是{x |－1<x ≤1}，所以选C.4.已知函数y ＝f (x )的大致图象，如图所示，则函数y ＝f (x )的解析式应为( ) A ．f (x )＝e xln x B ．f (x )＝e －xln (|x |) C ．f (x )＝e xln (|x |) D ．f (x )＝e |x |ln (|x |) 答案 C解析 由定义域是{x |x ∈R ，且x ≠0}，排除A ；由函数图象知函数不是偶函数，排除D ；当x →＋∞时，f (x )＝ln |x |ex→0，排除B ，故选C. 5.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 D解析 f (x )为奇函数，所以不等式f x －f －x x <0化为f xx<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．6．对实数a 和b ，定义运算“□”：a □b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)□(x－1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1] 答案 B解析 令(x 2－2)－(x －1)≤1， 得－1≤x ≤2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2.若y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，画函数f (x )的图象知实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2014x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2014)B ．(1,2015)C ．(2,2015)D ．[2,2015]答案 C解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2014x ，x >1的图象如下图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2014.所以2<a ＋b ＋c <2015，故选C.。
[精品]2018高考数学(文科)习题第二章函数的概念及其基本性质271和答案
1．如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 由于f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝22<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故排除选项C 、D ；当点P 在BC 上时，f (x )＝BP ＋AP ＝tan x ＋4＋tan 2x⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π4，不难发现f (x )的图象是非线性的，排除选项A ，故选B.2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )点击观看解答视频A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误．对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误，对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x x ，log 13x x，则y ＝f (1－x )的图象是( )答案 C解析 画出y ＝f (x )的图象，再作其关于y 轴对称的图象，得到y ＝f (－x )的图象，再将所得图象向右平移1个单位，得到y ＝f ＝f (－x ＋1)的图象，故选C.4．函数y ＝x |x |的图象大致是( )答案 A解析 y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ，－x 2x，借助二次函数的图象易知应选A.5.函数y ＝x ln |x ||x |的图象可能是( )点击观看解答视频答案 B解析 显然函数y ＝x ln |x ||x |为定义域上的奇函数，可排除选项A 、C ，而当x >0时，y ＝x ln xx＝ln x ，排除选项D ，所以答案选B.6．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )答案 B解析 自变量x 满足x －1x ＝x 2－1x>0，当x >0时可得x >1，当x <0时可得－1<x <0，即函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A 、D.函数y ＝x －1x单调递增．故函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．故选B.7．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )A．f(x)＝ln |x|xB．f(x)＝e x xC．f(x)＝1x2－1D．f(x)＝x－1x答案 A解析由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B、C；若函数图象对应解析式为f(x)＝x－1x，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D.故选A.。
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………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝2|x |C ．y ＝log 21|x |D ．y ＝sin x答案 C解析 函数y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数；函数y ＝2|x |在(－∞，0)上是减函数；函数y ＝log 21|x |＝－log 2|x |是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y ＝sin x 不是偶函数．综上所述，选C.2. 函数f (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ＋4(a ，b ∈R )，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12014＝2013，则f (lg 2014)＝( )点击观看解答视频A ．2018B ．－2009C ．2013D ．－2013答案 C解析 g (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (－x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (x )＝g (－x )，g (x )为偶函数，f ⎝⎛⎭⎪⎫lg12014＝f (－lg2014)，f (－lg 2014)＝g (－lg 2014)＋4＝g (lg 2014)＋4＝f (lg 2014)＝2013，故选C.3．若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则一定成立的是( ) A ．函数f (g (x ))是奇函数 B ．函数g (f (x ))是奇函数 C ．函数f (f (x ))是奇函数 D ．函数g (g (x ))是奇函数答案 C解析 由题得，函数f (x )，g (x )满足f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，则有f (g (－x ))＝f (g (x ))，g (f (－x ))＝g (－f (x ))＝g (f (x ))，f (f (－x ))＝f (－f (x ))＝－f (f (x ))，g (g (－x ))＝g (g (x ))，可知函数f (f (x ))是奇函数，故选C.4．定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )不恒为0，且对于定义域内的任意实数x ，y 都有f (xy )＝f y x ＋f x y成立，则f (x )( )A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数 答案 A解析 令x ＝y ＝1，则f (1)＝f1＋f1，∴f (1)＝0. 令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f －－1＋f －－1，∴f (－1)＝0.令y ＝－1，则f (－x )＝f －x＋f x－1，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． 又∵f (x )不恒为0，∴f (x )不是偶函数．故选A.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2}答案 B解析 当x <0时，－x >0，∵f (x )是偶函数， ∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0，∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3－8，x ≥2，－x －3－8，x <2，由f (x －2)>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x －3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－x －3－8>0，解得x >4或x <0.故选B.6. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间上是增函数，则( )点击观看解答视频A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析 由函数f (x )是奇函数且f (x )在上是增函数可以推知，f (x )在上递增， 又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)<f (80)<f (11)．7．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (m )＝2，则f (－m )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2答案 B解析 把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x ，令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－m )－1＝－，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0.8．设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.答案 32解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32.9．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 答案 4解析 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)， 得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.10．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (2)>1，f (2014)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23解析 ∵f (2014)＝f (1)＝f (－2)＝－f (2)<－1， ∴2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23. 11．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足： ①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2. (1)判断函数f (x )是否为周期函数； (2)求f (5.5)的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝f －x ，f x ＝f －x⇒f (－x )＝f (2－x )⇒f (x )＝f (x ＋2)⇒f (x )是周期为2的周期函数．(2)f (5.5)＝f (4＋1.5)＝f (1.5)＝f (2－1.5)＝f (0.5)＝0.25.12．已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )． (1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<3－2x <2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，12<x <52，解得12<x <52，故函数g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0. ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．又∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)，而f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥2x －3，12<x <52，解得12<x ≤2，∴不等式g (x )≤0的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 能力组13.已知y ＝f (x )是偶函数，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，且对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615的大小关系是( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <c <bD ．a <b <c答案 B解析 因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，① 因为y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝－f (2－x )，② 所以f (－x )＝－f (2－x )，即f (x )＝f (x ＋4)．所以函数f (x )的周期为4.又因为对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，所以函数在上单调递增，又因为函数y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以函数在上单调递增，又a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219，b＝f ⎝⎛⎭⎪⎫10117＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1415＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，即c <a <b .14．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 答案 －1解析 设h (x )＝f (x )＋x 2为奇函数， 则h (－x )＝f (－x )＋x 2，∴h (－x )＝－h (x )，∴f (－x )＋x 2＝－f (x )－x 2， ∴f (－1)＋1＝－f (1)－1，∴f (－1)＝－3， ∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.15. 定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)．点击观看解答视频(1)判断k 为何值时f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0，令x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，∴k ＝0.证明：令a ＝b ＝0，由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. 令a ＝x ，b ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， ∴f (x )是奇函数．(2)∵f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.∴f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立． 又f (x )是R 上的增函数，∴mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立， 当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1.∴实数m 的取值范围是已知函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，又f (1)＝－2.(1)判断f (x )的奇偶性； (2)求证：f (x )是R 上的减函数； (3)求f (x )在区间上的值域；(4)若∀x ∈R ，不等式f (ax 2)－2f (x )<f (x )＋4恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)取x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝2f (0)，∴f (0)＝0. 取y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )为奇函数．(2)证明： 任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<－f (－x 1)，又f (x )为奇函数， ∴f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )是R 上的减函数．(3)由(2)知f (x )在R 上为减函数， ∴对任意x ∈，恒有f (3)≤f (x )≤f (－3)，∵f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝－2×3＝－6， ∴f (－3)＝－f (3)＝6，f (x )在上的值域为．(4)f (x )为奇函数，整理原式得f (ax 2)＋f (－2x )<f (x )＋f (－2)， 则f (ax 2－2x )<f (x －2)，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax 2－2x >x －2， 当a ＝0时，－2x >x －2在R 上不是恒成立，与题意矛盾；当a >0时，ax 2－2x －x ＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a <0，即a >98；当a <0时，ax 2－3x ＋2>0在R 上不是恒成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞.。