二次函数与反比例函数初步总结

题型7:二次函数与二次方程与二次不等式的关系

1.直线与抛物线的交点

（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2

得交点为(0, c ).

（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2

有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2

).

（3）抛物线与x 轴的交点

二次函数c bx ax y ++=2

的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程

02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判

定：

①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标

为k ，则横坐标是k c bx ax =++2

的两个实数根.

（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02

≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组

c

bx ax y n kx y ++=+=2

的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只

有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.

（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴两交点为()()0021，，，

x B x A ，由于1x 、2x 是方程02

=++c bx ax 的两个根，故

a

c

x x a b x x =

⋅-=+2121,()

()

a a ac

b a

c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭

⎫

⎝⎛-=--=

-=

-=44422

212

212

2121

例1,画出y=2x 2+3x -2与 y ＇= -2x +1的图象并解答下列问题： ①试写出方程2x 2+3x -2=0的解：

②试写出不等式2x 2+3x -2＞0的解：

③试写出不等式2x 2+3x -2＜0的解：

④试根据图象写出方程2x 2+3x -2= -2x +1的解：

⑤试写出不等式2x 2+3x -2＞-2x +1的解： ⑥试写出不等式2x 2+3x -2＜-2x +1的解：

例2.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精

确到1米）．

解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 109

2

＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25

，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．

因此所求函数解析式为)25

25(109125182≤≤-x x y ＋＝－．

（2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245

±＝x ．

所以点D 的坐标为（24

5－，

209），点E 的坐标为（245

，209）． 所以2

2

5)245(245＝－＝

-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为

385227501.0110002

2

5≈⨯⨯＝（米）．

题型8:二次函数对称轴的应用

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

b

x 2-

=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形式，得到顶点为(h ,k )，对

称轴是直线h x =.

（3）运用抛物线的对称性：设A(x 1

，y a

），B (x 2

，y b

）是抛物线上的两点，且y a

=y b

，则抛物线

的对称轴为直线12

2

x x x +=

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

例1(2010年浙江省金华)若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程:022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解=2x -1 ；

（2010年日照市）如图，是二次函数y=ax 2

+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为

A （3，0），则由图象可知，不等式

ax 2+bx+c

＜0的解集

是 .

y

(第15题图)

O

x

1 3