七年级数学解答题专题训练 (15)(含答案解析)

七年级数学解答题专题训练 (15)

1.若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范

围的“友好代数式”.例如：关于x的代数式x2，当−1≤x≤1时，代数式x2在x=±1时有最大值，最大值为1；在x=0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在−1～1(含端点)这个范围内，则称代数式x2是−1≤x≤1的“友好代数式“．

(1)若关于x的代数式|x−1|，当−2≤x≤2时，取得的最大值为______；最小值为______；代

数式|x−1|______(填“是“或“不是”)−2≤x≤2的“友好代数式”；

(2)以下关于x的代数式，是−2≤x≤2的“友好代数式”的是______；

①−x+1；②−x2+2：③x2+|x|−4；

(3)若关于x的代数式|x−1|+|x−3|是0≤x≤m的“友好代数式”，则m的值是______；

(4)若关于x的代数式a

|x|+1

−2是−2≤x≤2的“友好代数式”，求a的最大值和最小值．

2.古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数(三边形数)；类似的，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数(四边形数)．

(1)请你写出既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为______；

(2)记第n个k边形数为N(n,k).例如N(1,3)=1，N(2,3)=3，N(2,4)=4．

①N(3,3)=______，N(n,3)=______，N(n,4)=______．

②通过进一步研究发现N(n,5)=3

2n2−1

2

n，N(n,6)=2n2−n，请你推测N(n,k)(k≥3)的表

达式，并由此计算N(10,24)的值．

3.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购

进同一种商品40件．如果商店销售这些商品时，每件定价为x元，可获得大于12%的利润，用不等式表示问题中的不等关系，并检验x=14(元)是否使不等式成立？

4.问题情境：如图1，AB//CD，∠A=30°，∠C=40°，求∠AEC的度数．

小明的思路是：

(1)初步尝试：按小明的思路，求得∠AEC的度数；

(2)问题迁移：如图2，AB//CD，点E、F为AB、CD内部两点，问∠A、∠E、∠F和∠D之间有

何数量关系？请说明理由；

(3)应用拓展：如图3，AB//CD，点E、F为AB、CD内部两点，如果∠E+∠EFG=160°，请

直接写出∠B与∠D之间的数量关系．

5.南浔区某校组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有120千

米，队伍乘大巴车8:00从学校出发．苏老师因有事情，8:30从学校自驾小汽车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地．问：

(1)设大巴车的平均速度是x(km/ℎ)，利用速度、时间和路程之间的关系填写下表．(要求：填上

适当的代数式，完成表格)

速度(km/ℎ)路程(km)时间(ℎ)

大巴车x120_____

小汽车_____120_____

(2)列出方程，并求出大巴车与小汽车的平均速度．

(3)当苏老师追上大巴车时，大巴车离基地还有多远？

6.如图，在△ABC中，点D为线段BC上一点(不含端点)，AP平分∠BAD交BC于E，PC与AD的

延长线交于点F，连接EF，且∠PEF=∠AED．

(1)求证：AB=AF；

(2)若△ABC是等边三角形．

①求∠APC的大小；

②想线AP，PF，PC之间满足怎样的数量关系，并证明．

7.已知：如图1，直线AB//CD，EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交

于点K．

(1)求∠EKF的度数．(计算过程不准用三角形内角和)

(2)如图2，∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关

系？写出结论并证明．

(3)在图2中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，

依此类推，作∠BEK n、∠DFK n的平分线相交于点K n+1，请用含的n式子表示∠K n+1的度数．(直接写出答案，不必写解答过程)

8.如图，以的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为m轴和y轴建立平面直角坐

标系，点A(0,a)，C(b,0)，满足√a−b+2+|b−8|=0．

(1)点A的坐标为______________;点C的坐标为_____________．

(2)已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从C点出发沿m轴负方向以每秒3个单位长度

的速度匀速移动，Q点从O点出发沿(50−m)轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，当点Q到达点A时，整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是(4,3)，设运动时间为t秒.问：是否存在这样的t，使得ΔODP与ΔODQ的面积相等?若存在，请求出t的值;若不存在，请说明理由．

(3)若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，y轴平分∠GOD.点E是线段OA上一动点，连接

CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，试猜想∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并说明理由．

9.对称拼图游戏

(1)游戏准备

①如图，有5种同样大小的画有阴影的小方块，每种各5块，共25

块．

②含有25个方格的大正方形板，每一方格与①中的小方块同样大小．

③有如下成绩表：

姓名

点数

将你所拿到的25个画有阴影的小方块一块块地放在大正方形板上，注意最后要使你所放的所有小方块(连同它的阴影)在大正方形板上出现一个对称图形，一直放到你无法放上为止，你的成绩点数就是你放上去的小方块

数．谁的点数高，谁就是最后的胜者．

怎么样？与你的小伙伴们比比看!

10.请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：

(1)如图①如果AB//CD，求证：∠APC=∠A+∠C．