第七章均匀设计

注意：水平必须按顺序排列
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4．选择均匀设计表，利用使用表进行表头设计 由于这里考察六个因子，每一因子取17个水平，可以用 表U17（1716），六个因子按使用表的规定分别置于1，2， 3，5，7，8列上，得到试验计划（见表7.3.6），表中括号 内的数据是水平编号，括号外的数据是水平取值。
个数。 此线性变换为： i ? 2i ? 1，i ? 1,2,? , n
2n
Un(n m)中n个试验点变换成C m=[0，1]m中的n个点。
考虑Un(n m)中n个试验点的均匀性等价于考虑在 [0，1]m中 的均匀性。
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Hale Waihona Puke Baidu
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（3）设
是[0，1]m中任一点，则
为多维矩形的体积，且 0 ? V(x。) ? 1
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7.1.2 均匀设计表 均匀设计表是均匀设计的基本工具，它是用数论方
法编制的。
1. 均匀设计表 Un(qm) 均匀设计表用代号 Un(qm)表示， U表示均匀设计 表，它有n行，m列，每列的水平数为 q。
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均匀设计表U7(76)
该表的每一列都是?1,2,3,4,5,6的,7?一个特定排列。
, p k 为素
数，l1 , l2 ,? , lk 为正整数，那么列数为
n????1 ?
1 p1
????????1
?
1 p2
?????
????1 ?
1 pk
????
譬如n=9，由于9=32，所以列数为 9 ? ??1 ? 1 ?? ? 6 列。
? 3?
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2.另一类均匀设计表
U
* n
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7.3.1 试验设计
1．明确试验目的：了解六种重金属Cd、Cu、Zn、Ni、 Cr、Pb对老鼠寿命的影响。
2．明确试验指标：老鼠体内某种细胞的死亡率。 3．确定因子与水平：这里因子都是定量的。水平可以 是等间隔的，也可以是不等间隔的。 本例中有六种重金属可看作六个因子，每一因子取17个 水平，其水平值均为：（单位：ppm） 0.01，0.05，0.1，0.2，0.4，0.8，1，2，4，5，8，10， 12，14,16，18，20
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7.3.4 SAS回归分析
ZnCr=Zn*Cr; ZnPb=Zn*Pb; NiCr=Ni*Cr; NiPb=Ni*Pb; CrPb=Cr*Pb; Cd2=Cd*Cd; Cu2=Cu*Cu; Zn2=Zn*Zn; Ni2=Ni*Ni; Cr2=Cr*Cr; Pb2=Pb*Pb;
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若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使用， 把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 U 7 (7及4 )其使用表。
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均匀设计表 U 7 (74 ) 及其使用表
使用表说明：当安排两个因子时，第1、3列是最佳的选择， 若安排4个因子，第1、2、3、4是最佳选择。
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7.3.4 SAS回归分析
Cards; … ； Proc Reg data=sasuser.DOE346; Model Y = Cd Cu Zn Ni Cr Pb CdCu CdZn CdNi CdCr CdPb CuZn CuNi CuCr CuPb ZnNi ZnCr ZnPb NiCr NiPb CrPb Cd2 Cu2 Zn2 Ni2 Cr2 Pb2/selection=stepwise sls=0.05 sle=0.05; Run;
(q
m
)
对于n为合数的表，一般列数较少，不太适用。
譬如n=6时，由于n=2×3，经计算 6 ? ??1 ? 1 ??? ??1 ? 1 ?? ? 2 ，所
以列数只有2列。
? 2? ? 3?
因为均匀设计表U7(76)最后一行全是“7”组成的，故划
去这一行，相当于减少一个水平。所以建议用U7(76)划去
7.3.2 进行试验，获得试验结果
本例在每一水平组合下进行三次重复试验，试验结果列 在表7.3.6的最后三列上。
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7.3.6
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7.3.3 数据分析
对均匀设计所得到的试验结果通常采用回归分析方法， 建立回归方程。
设在一个试验中有p个因子 x1, x2 ,。? , xp 若只考虑 y 关于的线性关系，则可用多元线性回归方法 建立回归方程，并对每一系数作显著性检验，然后逐个删 去不显著的变量，直到所有系数显著为止。 若考虑 y 关于的二次回归，除每一变量的线性项外，还 要考虑变量间的二次项、乘积项，那么回归系数就有
与均匀设计几乎同期出现在西方流行的 “拉丁 超立方体抽样”与均匀设计在本质上是一致的。
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王元
方开泰
中国科学院数学研究所 中国科学院院士
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中国科学院应用数学研究所 北京师范大学－ 香港浸会大学联合国际学院 美国数理统计科学院终身院士 美国统计学会终身院士
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§7.1 均匀设计表
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均匀设计 是用均匀设计表安排试验，而用回归 分析进行数据分析的一种试验设计方法。
基本想法是要使试验点在因子空间中具有较好 的均匀分散性。
均匀设计同正交设计一样，也是部分因子设计 的只要方法之一，是一种稳健试验设计。
适用范围： 试验因子多、因子取值范围大、因 子水平多（不少于 5），而试验次数相对较少的 情况。因子一般需要是连续性的 数值变量 ，若有 个别为定性的 分类变量 可以采用虚拟哑变量法。
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该表的特点是：
（1）对任意的n都可以构造均匀设计表，并且行数n可以
与水平数q相同，因此试验次数少；
（2）列数可按下面规则给出：
当n为素数时，列数最多等于n-1；
譬如上面n=7，所以列数最多为n-1=6列；
当n是合数时，设 n ?
p l1 1
p l2 2
?
p lk k
，其中 p1 , p 2 ,?
（4）记 n为x n个点 x1, x2落,? 在, x多n 维矩形的个数，则 表
示有n x多/ n少比例的点落在矩形中。 若此n个点在[0，1]m中均匀散布，则 n与x /该n 多维矩形
的体积 相差不大。
（5）设 x1, x2 ,?是,[x0n，1]m中的n个点，则称
为点集{ x1, x2 ,? , xn}在[0，1]m中的偏差(D)，或星偏差。
2p?
C
2 p
?1?
(p
? 1)(p 2
?
2)
在本例中p=6，回归系数有28个，超过试验次数n=17，这 时可采用筛选变量的方法建立合适的回归方程。
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在本例中，根据背景知识，认为死亡率与含量的对数有 关，因此先将含量进行变换（这里将六个自变量分别取 对数），并考虑其的二次项、交叉乘积项等，用逐步回 归或向前、向后回归的方法，在显著性水平0.05上挑选变 量，所建立的方程如下 ：
此方程对应的误差标准差的估计为 ?? ? 21.5，? 决4.6定33系 数是0.948。
此方程反映了该种细胞的死亡率与六种重金属的关系。 从方程可以看出Cd、Cu、Ni的含量增加会增加该种细胞 的死亡率，Zn与Cd、Ni、Cr、Pb的结合对该种细胞的死 亡率有较大影响。
若要寻找最优的工艺参数，可通过求极值的方法获得。
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7.3.4 SAS回归分析
Data sasuser.DOE346; Input Cd Cu Zn Ni Cr Pb Y; CdCu=Cd*Cu; CdZn=Cd*Zn; CdNi=Cd*Ni; CdCr=Cd*Cr; CdPb=Cd*Pb; CuZn=Cu*Zn; CuNi=Cu*Ni; CuCr=Cu*Cr; CuPb=Cu*Pb; ZnNi=Zn*Ni;
泰教授新研制的均匀设计表大都基于最小的CD2偏差。
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7.2.3 使用均匀设计表
偏差D可对任一均匀设计表 U或n 中U任n* 意二列、任意三 列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使用列， 从而形成使用表。
如下表就是 U 7 (的76使) 用表，s表示因子数。 均匀设计表U 7 (76 的) 使用表
第七章 均匀设计
§7.1 均匀设计表 §7.2 均匀设计的使用表 §7.3 均匀设计的数据分析 §7.4 均匀混料设计
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前言
均匀设计 (Uniform Design )是由中国数学家王元 和方开泰于 1978年首次提出的 ,采用均匀设计表 来安排试验的方法。其最初在我国导弹设计中应 用，经过 20多年的发展和推广，均匀设计已在 我国有较广泛的普及，并在医药、生物、化工、 航天、电子、军事工程等诸多领域中使用，取得 了显著的经济和社会效益。
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偏差(D)的缺点 用（星）偏差来度量均匀性的缺点之一是不够灵敏，
有时明显不同的两个均匀设计会出现相同的偏差； 缺点之二是与原点有关，所有矩形都从原点开始。 为了克服上述偏差的缺点，人们有研究出很多其它的
偏差度量方法。
其它的偏差 CD2——中心化L2偏差 WD2——可卷的L2偏差 MD2——修正的L2偏差 SD2——对称化L2偏差 其中，用的最多的是CD2偏差和WD2偏差。后来方开
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对方程作失拟检验与显著性检验的方差分析表如下：
6.3.7
在显著性水平0.05下，Flf=1.24<F0.95(6,34)=2.40，失拟 检验的结果是上述方程是合适的，又F=72.83>F0.95(10,40) =2.10，因而此回归方程是显著的。
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对每一项回归系数的检验在显著性水平0.05下都是显著 的。所以上面所得到的方程是可信的。
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§7.3 均匀设计数据分析
均匀设计的试验数据的处理通常采用回归分析的方法， 回归分析模型可采用线性回归模型、二次回归模型或其 它非线性回归模型，可以通过逐步回归的方法筛选变量。 下面通过一个例子来说明均匀设计及其数据的分析步骤。
例7.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重 金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，为 此考察老鼠体内某种细胞的死亡率，为了了解误差，每 一水平组合重复三次。
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均匀设计表U7(74)与
U
* 7
(7
4
)
的使用表
由表上的D值可知，在表上加“*”的比不加“*”的均匀， 因此在实际中我们首先使用加“*”的均匀设计表。但是可 安排的因子较少。
对于各因子不等水平的均匀设计，可以直接采用混合水平 均匀设计表，或者采用拟水平法设计。
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7.2.4 新均匀设计表
7.1.1 均匀设计概述
例7.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重金 属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察 老鼠体内某种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个 因子，每一因子取17个水平。试验如何设计？
如果采用正交设计，那么至少要进行172=289次试验。 如果采用二次回归正交设计那么也至少要进行26-1+2×6 +1=45次试验，试验次数都较多。能否减少试验次数？均 匀设计便是针对这种情况提出的一种设计方法。
由于基于CD2偏差和WD2偏差的均匀设计表具有更好的均 匀性，方开泰教授在2000年左右研制了2580多张新的均匀 设计表。
参见本章提供给大家的附件文件夹“第七章 均匀设计表 UniformDesign”。或登录方开泰教授的“均匀设计网站”： http://www.math.hkbu.edu.hk/UniformDesign/查询。
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7.2.2 “均匀性”的度量
通常用“偏差”来度量均匀性，偏差愈小均匀性愈好。 （1）把均匀设计表Un(n m)中每一行看成m维空间中的一个
点，其m个坐标必是集合 ?1,2中,? 的, n某? 个数。
（2）用线性变换将 ?1,2,?均, 匀n?地变换到区间[0，1]中的某
y? ? 27.9 ? 4.83ln Cd ? 5.27 ln Cu ? 2.29ln Ni ? 0.670(ln Cd )2 ? 0.367(ln Cu)2 ? 0.710(ln Ni)2 ? 0.576 ? ln Cd ? ln Zn ? 0.393 ? ln Zn? ln Ni ? 0.401? ln Zn? ln Cr ? 0.384 ? ln Zn? ln Pb
最后一行的方法得到，为区别起见，记为U
* 6
(6
6
)
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§7.2 均匀设计的使用表
7.2.1 均匀设计表的使用
在用均匀设计表安排试验时，因为任意两列的均匀性是不同 的，用哪些列是有讲究的。
譬如用 U 6*安(66排) 两个因子时，用1,3列与用1,6列的均匀性是 不同的，试验点在平面上的分布见图7.2.1。前者分布比较均 匀。