2020年高考数学分类汇编：统计概率与排列组合
2020年高考数学一轮复习第九章概率与统计第1讲计数原理与排列组合课件理
(8)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的 排法有多少种？
(10)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (11)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (12)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (13)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (14)甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻的 排法共有多少种？
2.排列与排列数
(1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺
序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
(2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列
的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用
n！ (n－m)！
n！
1
3.组合与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
答案：12
(2)(2018 年浙江)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中 任取 2 个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四 位数.(用数字作答)
答案：1260
【规律方法】在排列组合中由于某个元素的原因而导致其 他元素位置的选取出现变化，故出现了分类讨论，分类讨论既 不能重复，又不能遗漏，这样才能保证考虑事情的严谨性.
【互动探究】
4.现安排 4 名老师到 3 所不同的学校支教，每所学校至少 安排一名老师，其中甲、乙两名老师分别到不同的学校的安排
方法有( C ) A.42 种
B.36 种
C.30 种
D.25 种
5.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大 学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现 有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去 任教，有___9_0___种不同的分派方法.
2020年高考数学试题分项版—统计概率(原卷版)
2020年高考数学试题分项版——统计概率（原卷版）一、选择题1．(2020·全国Ⅰ理，5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋bx 2 C ．y ＝a ＋b e xD ．y ＝a ＋b ln x2.(2020·全国Ⅰ理，8)⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．203．(2020·全国Ⅱ理，3)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( ) A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名4．(2020·全国Ⅲ理，3)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑i ＝14pi ＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A ．p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4B ．p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1C ．p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3D ．p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.25．(2020·新高考全国Ⅰ，3)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种6．(2020·新高考全国Ⅰ，12)信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1,2，…，n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑( )A ．若n ＝1，则H (X )＝0B ．若n ＝2，则H (X )随着p i 的增大而增大C ．若p i ＝1n(i ＝1,2，…，n )，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n ＝2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2，…，m ，且P (Y ＝j )＝p j ＋p 2m ＋1－j (j ＝1,2，…，m )，则H (X )≤H (Y )7．(2020·北京，3)在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．108．(2020·新高考全国Ⅱ，6)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有( ) A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．8种9．(2020·新高考全国Ⅱ，9)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C ．第3天至第11天复工复产指数均增大都超过80%D ．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量10．(2020·天津，4)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47]内的个数为( )A ．10B ．18C ．20D ．3611．(2020·全国Ⅰ文，4)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( ) A.15 B.25 C.12 D.4512．(2020·全国Ⅰ文，5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋bx 2 C ．y ＝a ＋b e xD ．y ＝a ＋b ln x13．(2020·全国Ⅱ文，3)如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12.若k －j ＝3且j －i ＝4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k －j ＝4且j －i ＝3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( )A ．5B ．8C ．10D ．1514．(2020·全国Ⅱ文，4)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( ) A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名15．(2020·全国Ⅲ文，3)设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1,10x 2，…，10x n 的方差为( )A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10 二、填空题1．(2020·全国Ⅱ理，14)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种． 2.(2020·全国Ⅲ理，14)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是________．(用数字作答) 3．(2020·天津，11)在⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数是________． 4．(2020·天津，13)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．5．(2020·江苏，3)已知一组数据4,2a,3－a,5,6的平均数为4，则a 的值是________． 6．(2020·江苏，4)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．7．(2020·浙江，12)二项展开式(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 4＝________，a 1＋a 3＋a 5＝________.8．(2020·浙江，16)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2 个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ＝0)＝________，E (ξ)＝________. 三、解答题1．(2020·全国Ⅰ理，19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．2．(2020·全国Ⅱ理，18)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i iy==∑，2021)80i ix x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800ii ix y x y =--=∑（（．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r))niix y x y --∑（（，2≈1.414.3．(2020·全国Ⅲ理，18)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，4．(2020·新高考全国Ⅰ，19)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，5．(2020·新高考全国Ⅱ，19)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，6．(2020·北京，18)某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．(1)分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率；(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小．(结论不要求证明)7．(2020·江苏，23)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n.(1)求p1，q1和p2，q2；(2)求2p n＋q n与2p n－1＋q n－1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示)．8．(2020·全国Ⅰ文，17)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？9．(2020·全国Ⅱ文，18)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i iy==∑，2021)80i ix x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800ii ix y x y =--=∑（（．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r))niix y x y --∑（（，2≈1.414.10．(2020·全国Ⅲ文，18)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，。
2020年全国及各省市高考数学试题分类汇编(11 排列组合与概率统计)
全国及各省市高考数学试题分类汇编（11 排列组合与概率统计）1.（2019·全国I 文·6）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,,1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）.A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生答案：C解析：从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为106(099,)n n n N +≤≤∈，可得出616号学生被抽到.2.（2019·全国I 理·6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）A.516B.1132C.2132D.1116 答案：A 解析：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有62种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有36C 种，所以36620526416C P ===.3.（2019·全国II 文·4）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ） A.23 B.35 C.25 D.15答案：B解析：计测量过的3只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A 、B 则3只兔子的种类有(1,2,3)(1,2,)A (1,2,)B (1,3,)A (1,3,)B (1,,)A B ()()()()2,3,2,3,2,,3,,A B A B A B 则恰好有两只测量过的有6种，所以其概率为35. 4.（2019·全国II 理·5）演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。
2020高考数学冲刺 排列组合二项式定理、概率统计
排列组合二项式定理、概率统计知识点总结精华1．抽样方法;⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会 ，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为 ；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
③从含有N 个个体的总体中,抽取n 个体,则每个体第一次被抽到概率1N,第二次被抽到概率1N,…,故每个个体被抽到的概率为n N,即每个个体入样的概率为n N.⑵系统抽样：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ；④按预先制定规则抽取样本。
⑶分层抽样：当总体差异比较明显，将总体分成几部分，然后按照各部分 进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数⨯Nn ; 2. 总体特征数的估计：⑴样本平均数x = ；⑵方差222121[()()nS x x x x =-+-+2()]n x x ⋅⋅⋅+-去估计总体方差。
⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+⋅⋅⋅+-+-==21)(1x x nni i-∑=3.(理科)排列数公式:!!()!(1)(1)(,,*)mn n m n m A n n n m m n m n N -=--+=≤∈L ,!n n A n =.组合数公式：(1)(1)()!(1)(2)321mm n nA n n n m C m n m m m m ⋅-⋅⋅⋅--==≤⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅,01nn n C C ==. 组合数性质：m n m n n C C -=；11r r r n n n C C C -++=.4. (理科)二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)r n r rr nT C a b r n -+==； ⑵注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别. 6. 线性回归相关系数：=7．独立性检验（分类变量关系）：22()()()()()χ-=++++n ad bc a b c d a c b d .()20χ≥P x0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0x2.7063.8415.0246.6357.87910.828随机变量2χ越大，说明两个分类变量，关系 ，反之，经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635。
2020高考数学二轮复习 专题8 排列组合与概率统计 精品
2020届高考数学二轮复习专题八排列组合与概率统计【重点知识回顾】排列组合二项式定理两个计数原理排列组合排列概念排列数公式组合概念组合数公式组合数性质应用通项公式二项式定理二项式系数性质应用二、重点知识回顾 1.排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶ 排列与组合的主要公式①排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=m n n n m n n A mn (m ≤n)A=n! =n(n ―1)(n ―2) ·…·2·1. ②组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=m m m n n n m n m n C mn (m ≤n).③组合数性质：①m n n m n C C -=(m ≤n). ②nn n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++ ③1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n n C C C C C2.二项式定理 ⑴ 二项式定理(a +b)n =Ca n +Ca n －1b+…+Ca n －r b r +…＋Cb n，其中各项系数就是组合数C ，展开式共有n+1项，第r+1项是T r+1 =Ca n －r b r.⑵ 二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项T r+1=Ca n －r b r(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。
⑶ 二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即C= C rn n - (r=0,1,2,…,n).②若n 是偶数，则中间项(第12+n 项)的二项公式系数最大，其值为C 2nn ；若n 是奇数，则中间两项(第21+n 项和第23+n 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C 21-n n = C 21+n n .③所有二项式系数和等于2n，即C+C ＋C+…+C=2n.④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C+C+…=C+C+…=2n ―1. 3.概率（1）事件与基本事件：:S S S ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩随机事件在条件下,可能发生也可能不发生的事件事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件确定事件必然事件:在条件下,一定会发生的事件基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化． （3）互斥事件与对立事件：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例． 两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个． （5）古典概型与几何概型的概率计算公式： 古典概型的概率计算公式：()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．几何概型的概率计算公式：()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)．两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同． （6）概率基本性质与公式①事件A 的概率()P A 的范围为：0()1P A ≤≤．②互斥事件A 与B 的概率加法公式：()()()P A B P A P B =+U ． ③对立事件A 与B 的概率加法公式：()()1P A P B +=．（7） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率是p n (k) = Cp k (1―p)n ―k . 实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n的展开式的第k+1项. （8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)(012)k kn k n P X k C p p k n -==-=L ，，，，，．此时称随机变量X 服从二项分布，记作~()X B n p ，，并称p 为成功概率．4、统计（1）三种抽样方法 ①简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．②系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k ，当N n（Ｎ为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时，Nk n =；当N n不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n 整除，这时N k n '=；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号，再按事先确定的规则抽取样本．通常是将加上间隔k 得到第2个编号()l k +，将()l k +加上k ，得到第3个编号(2)l k +，这样继续下去，直到获取整个样本． ③分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本． （2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度，其计算公式为s =． 有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，两者实质上是一样的．（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程．在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器． （4）求回归直线方程的步骤：第一步：先把数据制成表，从表中计算出211nni i i i i x y x y x ==∑∑，，，；第二步：计算回归系数的a ，b ，公式为1112211()()()n n ni i i i i i i n ni i i i n x y x y b n x x a y bx =====⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑，；第三步：写出回归直线方程$y bx a =+． （4）独立性检验①22⨯列联表：列出的两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为12{,}x x 和12{,}y y 的样本频数表称为22⨯列联表1构造随机变量22()()()())n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）得到2K 的观察值k 常与以下几个临界值加以比较：如果 2.706k >，就有0090的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；如果 3.841k > 就有0095的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；如果 6.635k > 就有0099的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系； 如果低于 2.706k ≤，就认为没有充分的证据说明变量X 和Y 是有关系． ②三维柱形图：如果列联表1的三维柱形图如下图由各小柱形表示的频数可见，对角线上的频数的积的差的绝对值 ||ad bc -较大，说明两分类变量X 和Y 是有关的，否则的话是无关的．重点：一方面考察对角线频数之差，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思路方法。
2020年中学数学30 排列、组合(原卷版)
考点30 排列、组合1、掌握分布计数原理和分类计数原理；2、能运用计数原理解决简单的排列与组合问题；1、从2020年高考情况看，考题难度以中档题目为主，主要以选择题、填空题的形式出现，分值为5分；2、本章内容在高考中以排列组合的综合应用为主；1、从2020年高考情况来看，考查的方式及题目的难度与往年变化不大，延伸以前的考试风格；2、考查内容主要体现以下几个方面：利用排列组合解决实际问题；利用排列着解决概率有关的问题；1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种2、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1183、【2020年高考全国II 卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）5、【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________．5、【2018年高考浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)题型一 排列组合的简单运用1、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少．．．出现两次（如0020020、2020200、0220220等），则这样的数码的个数是（ ）A ．54B ．44C ．32D ．222、（2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题）甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( )A ．24B ．12C ．8D ．63、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考数学（理)试题）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )A ．3600种B ．1440种C ．4820种D ．4800种4、（2020届北京市通州区高三第一学期期末）某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（ ）A ．80种B ．90种C ．120种D ．150种5、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（ ）个A ．120B ．132C ．144D ．1566、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种7、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）将,,,,,A B C D E F 六个字母排成一排，若,,A B C 均互不相邻且,A B 在C 的同一侧，则不同的排法有________种．（用数字作答）8、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有______种不同分配方案.（用具体数字作答）9、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为____.（用数字作答）题型二、排列组合的综合运用1、（2020·浙江高三）从集合{A ，B ，C ，D ，E ，F }和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85 B ．95 C ．2040 D ．22802、（2020届北京市陈经纶高三上学期开学）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A ．46B ．44C ．42D ．403、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_____个．4、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件“a b c d e <<>>”的五位数的个数有____.5、（2020届北京市东城区五中高三开学）某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是_________________（用数字作答）.6、（2019年北京市清华大学附属中学高三月考）对于各数互不相等的整数数组()12,,,n i i i （其中n 是不小于3的正整数），若{},1,2,,p q n ∀∈⋅⋅⋅，当p q <时，有p q i i >，则称p i ，q i 为该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组()2,3,1的逆序数等于2. （1）数组()5,2,4,3,1的逆序数等于______.（2）若数组()12,,,n i i i 的逆序数为n ，则数组()11,,,n n i i i -的逆序数为______.7、（2019年清华大学附属中学高三月考）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）题型三、运用排列组合解决概率问题1、（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ）A ．166B ．155C ．566D ．5112、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．3203、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）将1,2,3,4,5,6随机排成一列，记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，则abc def +是偶数的概率为______4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）海面上漂浮着A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七个岛屿，岛与岛之间都没有桥连接，小昊住在A 岛，小皓住在B 岛.现政府计划在这七个岛之间建造n 座桥（每两个岛之间至多建造一座桥）.若1n =，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为______；若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为______.5、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有_______种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为_______.6、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）。
2020年全国各地高考真题分类汇编—排列组合、概率统计(含答案)
2020年全国各地⾼考真题分类汇编—排列组合、概率统计1．（2020•海南）要安排3名学⽣到2个乡村做志愿者，每名学⽣只能选择去⼀个村，每个村⾥⾄少有⼀名志愿者，则不同的安排⽅法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种2．（2020•天津）从⼀批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31，5.33），[5.33，5.35），…，[5.45，5.47），[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直⽅图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47）内的个数为（）A．10B．18C．20D．36 3．（2020•北京）在（﹣2）5的展开式中，x2的系数为（）A．﹣5B．5C．﹣10D．10 4．（2020•新课标Ⅲ）设⼀组样本数据x1，x2，…，x n的⽅差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n 的⽅差为（）A．0.01B．0.1C．1D．10 5．（2020•新课标Ⅰ）某校⼀个课外学习⼩组为研究某作物种⼦的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进⾏种⼦发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20）得到下⾯的散点图：由此散点图，在10℃⾄40℃之间，下⾯四个回归⽅程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归⽅程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx6．（2020•新课标Ⅰ）设O为正⽅形ABCD的中⼼，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A．B．C．D．7．（2020•新课标Ⅲ）在⼀组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且p i＝1，则下⾯四种情形中，对应样本的标准差最⼤的⼀组是（）A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2 8．（2020•新课标Ⅱ）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通⽹上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量⼤幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货⼯作．已知该超市某⽇积压500份订单未配货，预计第⼆天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每⼈每天能完成50份订单的配货，为使第⼆天完成积压订单及当⽇订单的配货的概率不⼩于0.95，则⾄少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名9．（2020•⼭东）6名同学到甲、⼄、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，⼄场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排⽅法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种10．（2020•新课标Ⅰ）（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．20 11．（2020•天津）已知甲、⼄两球落⼊盒⼦的概率分别为和．假定两球是否落⼊盒⼦互不影响，则甲、⼄两球都落⼊盒⼦的概率为；甲、⼄两球⾄少有⼀个落⼊盒⼦的概率为．12．（2020•上海）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab＝．13．（2020•浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个⻩球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为⽌．设此过程中取到⻩球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝，E（ξ）＝．14．（2020•上海）从6个⼈挑选4个⼈去值班，每⼈值班⼀天，第⼀天安排1个⼈，第⼆天安排1个⼈，第三天安排2个⼈，则共有种安排情况．15．（2020•浙江）⼆项展开式（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝，a1+a3+a5＝．16．（2020•江苏）已知⼀组数据4，2a，3﹣a，5，6的平均数为4，则a的值是．17．（2020•新课标Ⅱ）4名同学到3个⼩区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个⼩区，每个⼩区⾄少安排1名同学，则不同的安排⽅法共有种．18．（2020•江苏）将⼀颗质地均匀的正⽅体骰⼦先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是．19．（2020•上海）已知A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a、b∈A，则|a|＜|b|的情况有种．20．（2020•上海）已知⼆项式（2x+）5，则展开式中x3的系数为．21．（2020•新课标Ⅲ）（x2+）6的展开式中常数项是（⽤数字作答）．22．（2020•天津）在（x+）5的展开式中，x2的系数是．23．（2020•北京）某校为举办甲、⼄两项不同活动，分别设计了相应的活动⽅案；⽅案⼀、⽅案⼆．为了解该校学⽣对活动⽅案是否⽀持，对学⽣进⾏简单随机抽样，获得数据如表：男⽣⼥⽣⽀持不⽀持⽀持不⽀持⽅案⼀200⼈400⼈300100⼈⼈⽅案⼆350⼈250⼈150250⼈⼈假设所有学⽣对活动⽅案是否⽀持相互独⽴．（Ⅰ）分别估计该校男⽣⽀持⽅案⼀的概率、该校⼥⽣⽀持⽅案⼀的概率；（Ⅱ）从该校全体男⽣中随机抽取2⼈，全体⼥⽣中随机抽取1⼈，估计这3⼈中恰有2⼈⽀持⽅案⼀的概率；（Ⅲ）将该校学⽣⽀持⽅案⼆的概率估计值记为p0．假设该校⼀年级有500名男⽣和300名⼥⽣，除⼀年级外其他年级学⽣⽀持⽅案⼆的概率估计值记为p1．试⽐较p0与p1的⼤⼩．（结论不要求证明）24．（2020•海南）为加强环境保护，治理空⽓污染，环境监测部⻔对某市空⽓质量进⾏调研，随机抽查了100天空⽓中的PM2.5和SO2浓度（单位：µg/m3），得下表：[0，50]（50，150]（150，475] SO2PM2.5[0，35]32184（35，75]6812（75，115]3710（1）估计事件“该市⼀天空⽓中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下⾯的2×2列联表：[0，150]（150，475]SO2PM2.5[0，75]（75，115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市⼀天空⽓中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2＝P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828。
2020版高考数学大二轮复习专题四概率与统计第一讲排列、组合与二项式定理课件理
互不相邻的停放方法有( )
A．1 880 种
B．1 440 种
C．720 种
D．360 种
解析：由题意可知，白颜色汽车按 3 辆，2 辆分为 2 组，先从 5 辆白色汽车选 3 辆全排列共有 A35种， 再将剩余的 2 辆白色汽车全排列共有 A22种，再将这两个整体全 排列，共有 A22种，排完后有 3 个空， 3 辆不同的红颜色汽车插空共有 A33种， 由分步计数原理得共有 A35A22A22A33＝1 440 种， 故选 B.
排列、组合数公式 (1)排列数公式 Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)＝n－n！m！. (2)组合数公式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1·…m·！n－m＋1＝m！nn！ －m！.
(1)已知 5 辆不同的白颜色汽车和 3 辆不同的红颜色汽
车停成一排，则白颜色汽车至少 2 辆停在一起且红颜色的汽车
3．二项式系数的性质
(1)Crn＝Cnn－r，Cnr ＋Crn－1＝Crn＋1. (2)二项式系数最值问题
当
n
为偶数时，中间一项即第n2＋1项的二项式系数
n C2n
最大；
当
n
为奇数时，中间两项即第n＋2 1，n＋2 3项的二项式系数
n－1 C2
n，Cn＋2 1n 相等且最大．
(1)(2018·高考全国卷Ⅲ)x2＋2x5 的展开式中 x4 的系数
答案：1 080
3．(2017·高考浙江卷)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人， 副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至 少有 1 名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
解析：法一：分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生， 故有 C48－C46＝55 种不同的选法；第二步，从 4 人中选出队长、 副队长各 1 人，有 A24＝12 种不同的选法．根据分步乘法计数 原理知共有 55×12＝660 种不同的选法． 法二：不考虑限制条件，共有 A28C26种不同的选法， 而没有女生的选法有 A26C24种， 故至少有 1 名女生的选法有 A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．
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训练一：2020年高考文科数学新课标Ⅰ卷第4题：设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A、51B、52C、21D、54本题解析：整体事件：在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点。
),,(B A O ，),,(C A O ，),,(D A O ，),,(C B O ，),,(D B O ，),,(D C O ，),,(C B A ，),,(D B A ，),,(D C A ，),,(D C B 。
整体事件中一共包含10个基本事件。
所求事件：取到的3点共线。
O 为正方形ABCD 的中心O ⇒为对角线AC 和BD 的中点。
),,(O C A ，),,(O D B 。
所求事件中一共包含2个基本事件。
概率：取到的3点共线的概率：51102==P 。
训练二：2020年高考数学新课标Ⅰ卷文科第5题理科第5题：某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C 0）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据),(i i y x （20,...,2,1=i ）得到下列的散点图：由此散点图，在C 010至C 040之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A、bxa y +=B、2bxa y +=C、xbea y +=D、xb a y ln +=本题解答：A 选线：一次函数bx a y +=的图像：B 选项：二次函数2bx a y +=的图像：C 选项：指数函数xbe a y +=的图像：D 选项：对数函数x b a y ln +=的图像：根据散点图的特点只有D 选项对数函数x b a y ln +=符合条件。
训练三：2020年高考文科数学新课标Ⅰ卷第17题：某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分别为A，B，C，D 四个等级，加工、业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D 级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工费为25元/件，乙分厂加工费20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工100件这种产品。
甲分厂产品等级的频数分布表：等级A B C D 频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表：等级A B C D 频数28173421（Ⅰ）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（Ⅱ）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？本题解答：（Ⅰ）甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率：52100401==P ；乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率：257100282==P 。
（Ⅱ）甲分厂每件加工费25元，A 级品加工费每件90元A ⇒级品利润每件65元；甲分厂每件加工费25元，B 级品加工费每件50元B ⇒级品利润每件25元；甲分厂每件加工费25元，C 级品加工费每件20元C ⇒级品每件亏损5元；甲分厂每件加工费25元，D 级品赔付原料费50元D ⇒级品每件亏损75元。
如下表所示：等级A B C D 频数40202020单件利润6525-5-75利润的平均值：151001500100)75(20)5(20252065401==-⨯+-⨯+⨯+⨯=x 元/件。
乙分厂每件加工费20元，A 级品加工费每件90元A ⇒级品利润每件70元；乙分厂每件加工费20元，B 级品加工费每件50元B ⇒级品利润每件30元；乙分厂每件加工费20元，C 级品加工费每件20元C ⇒级品利润每件0元；乙分厂每件加工费20元，D 级品赔付原料费50元D ⇒级品每件亏损70元。
如下表所示：等级A B C D 频数28173421单件利润703070利润的平均值：101001000100)70(21034301770281==-⨯+⨯+⨯+⨯=x 元/件。
所以：根据甲、乙分厂单件的利润，应该选择甲厂承接加工业务。
训练四：2020年高考理科数学新课标Ⅰ卷第8题：52))((y x xy x ++的展开式中33y x 的系数为（）A.5B.10C.15D.20本题解答：52552)()()(y x xy y x x y x x y x +++=++。
5)(y x x +的展开式中其中一项为r r r r r r y x C y x xC -+-=51555。
假设：33231y x r r ⇒=⇒=+的系数为1025=C 。
52)(y x x y +的展开式中其中一项为r r r r r r r r r y x C y x C x y y x C x y -----==7155512552。
假设：431=⇒=-r r 33y x ⇒的系数为545=C 。
所以：33y x 的系数为15510=+。
训练五：2020年高考文科数学新课标Ⅰ卷第19题：甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束。
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是21。
（Ⅰ）求甲连胜四场的概率；（Ⅱ）求需要进行第五场比赛的概率；（Ⅲ）求丙最终获胜的概率。
本题解答：（Ⅰ）每场比赛双方获胜的概率都是21⇒甲连胜四场的概率161)21(4==P 。
（Ⅱ）分类讨论：第一种情况：前三场甲、乙、丙各负一场。
321)21(51==P 。
第二种情况：前三场比赛乙淘汰（其中甲胜一场），最后两场比赛结束，又分为甲胜或丙胜。
161)21(252=⋅=P 。
第三种情况：前三场比赛乙淘汰（甲连胜三场），最后两场比赛结束，又分为甲胜或丙胜。
16121(253=⋅=P 。
第四种情况：前三场比赛甲淘汰（其中乙胜一场），最后两场比赛结束，又分为乙胜或丙胜。
161)21(254=⋅=P 。
第五种情况：前三场比赛甲淘汰（乙连胜三场），最后两场比赛结束，又分为乙胜或丙胜。
161)21(255=⋅=P 。
所以：需要进行第五场比赛的概率329161161161161321=++++=P 。
（Ⅲ）分类讨论：第一种情况：前三场甲、乙、丙各负一场，最后两场丙胜。
321)21(51==P 。
第二种情况：前三场比赛乙淘汰（其中甲胜一场），最后两场比赛结束，丙胜。
321)21(52==P 。
第三种情况：前三场比赛乙淘汰（甲连胜三场），最后两场比赛结束，丙胜。
32121(53==P 。
第四种情况：前三场比赛甲淘汰（其中乙胜一场），最后两场比赛结束，丙胜。
321)21(54==P 。
第五种情况：前三场比赛甲淘汰（乙连胜三场），最后两场比赛结束，丙胜。
32121(55==P 。
第六种情况：前三场比赛丙连续胜两场，第四场比赛丙与第一场甲、乙比赛胜者比赛，丙胜。
81)21(246=⋅=P 。
所以：需要进行第五场比赛的概率32981321321321321321=+++++=P 。
训练六：2020年高考数学新课标Ⅱ卷文科第4题理科第3题：在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通晚上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅度增加，导致订单积压。
为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为05.0。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于95.0，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名本题解答：第二天需要完成的订单21005001600=+份，超市每天可以完成的订单1200份⇒需要志愿者完成的订单90012002100=-份，志愿者每人每天完成50份订单⇒需要志愿者的人数1850900=名。
训练七：2020年高考数学新课标Ⅱ卷文科第18题理科第18题：某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加。
为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据),(i i y x （20,...,2,1=i ），其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得60201=∑=i i x ，1200201=∑=i i y ，80)(2201=-∑=i i x x ，9000)(2201=-∑=i iy y ，800)(201=--∑=i iiy y x x 。
（Ⅰ）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（Ⅱ）求样本),(i i y x （20,...,2,1=i ）的相关系数（精确到01.0）；（Ⅲ）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。
附：相关系数∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()()(，414.12≈。
本题解答：（Ⅰ）样区这种野生动物数量的平均数601200201201201=⨯=∑=i iy ，地块数：200⇒该地区这种野生动物数量的估计值1200020060=⨯。
（Ⅱ）相关系数94.03414.123222600800900080800)()()((20122012201≈⨯≈===----=∑∑∑===i ii ii iiy y x x y y x x r 。
（Ⅲ）由于各地块间植物覆盖面积差异很大，需要选择分层抽样方法。
第一步：先将植物覆盖面积按大，中，小分为三层；第二步：各层按照比例计算每一层抽取的数目；第三步：在每一层按照简单随机抽样进行抽样。
训练八：2020年高考理科数学新课标Ⅱ卷第14题：4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种。
本题解答：第一步：4名同学分为三组，其中2名同学一组。
624=C 。
第二步：把三组同学分给三个不同小区。
633=A 。
所以：不同的安排方法共有3666=⨯种。
训练九：2020年高考文科数学新课标Ⅲ卷第3题：设一组样本数据1x ，2x ，...，n x 的方差为01.0，则数据110x ，210x ，...，n x 10的方差为（）A.01.0 B.1.0 C.1D.10本题解答：样本数据1x ，2x ，...，n x 的平均数：nx x x x n+++=...21；方差：01.0)(...)((22221=-++-+-nx x x x x x n 。