高考数学复习-指数函数

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高考数学一轮复习课件指数函数

2.结果要求 (1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； (2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂.
化简下列各式(其中各字母均为正数).
(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算； (2)、(3)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求.
1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同； (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y＝af(x)的值域.
2.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性； ( 4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).
()
3.设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，f(2)＝4，则 ( )
A.f(－2)＞f(－1)
B.f(－1)＞f(－2)
C.f(1)＞f(2)
D.f(－2)＞f(2)
解析：由a－2＝4，a＞0，得a＝， ∴f(x)＝( )－|x|＝2|x|. 又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|，即f(－2)＞f(－1). 答案：A
4.已知
(a>0)，则log a＝
.
解析：
答案：3
5.函数y＝
的值域是
.
解析：∵3－2x－x2＝－(x2＋2x＋1－1)＋3
＝－(x＋1)2＋4≤4，
∴0<y＝
≤24＝16.

4.2 指数函数课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第四章指数函数与对数函数

A
B
C
D
【解析】 ∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，y＝x＋a与y轴的交点
在(0，1)点的下方，(0，0)点的上方，故选C.
10．函数 f(x)＝22xx－＋11是( A )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【解析】该函数的定义域是 R，f(1)＝22－＋11＝13，f(－1)＝22－－11－＋11＝1212－＋11
因为a0＝1，令x＋2＝0，即x＝－2时，y＝a0＋1＝1＋1＝2，则定点
为(－2，2)，故选B.
【融会贯通】函数y＝ax－3＋5(a＞0且a≠1)恒过的定点是__(_3_，__6_)_ _．【解析】因为a0＝1，令x－3＝0，即x＝3时，y＝a0＋5＝1＋5＝6，即定点为(3，6)．
1．下列函数中，指数函数的个数是( B )
2．下列函数在其定义域内单调递增的是( A )
A．＝3x
B．y＝－3x
C．y＝3－x
D．y＝x2
【解析】 y＝－3x，y＝3－x均为单调递减函数；y＝x2先减后增；y＝
3x为单调递增函数，故选A.
3．已知方程3x－3－3＝0，则x＝___4___．【解析】 3x－3－3＝0⇒3x－3＝3⇒x－3＝1⇒x＝4.
＝－13，f(－1)＝－f(1)，则函数为奇函数，故选 A.
二、填空题
11．若 f(3x)＝2x，则 f(9)＝___8___．【解析】令 3x＝9，∴x＝3，则 f(9)＝23＝8.
12．已知 f(x)是偶函数，且 x≥0 时，f(x)＝2x，则 f(－2)＝___4___．【解析】 x≥0 时，f(x)＝2x，∴f(2)＝22＝4.∵f(x)是偶函数，∴f(－2) ＝f(2)＝4.

2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第五讲指数与指数函数课件

7－2－1＝98.
3212
54
(2)原式＝
a2 a
b b2
2
a6
1
a3
b6
1
b3
a3 b3
27
a3 b3
a. b
【题后反思】指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.
解析：因为函数 y＝ax－b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数 y＝ax－b 单调递减且其图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴
上.令 x＝0，则 y＝a0－b＝1－b，由题意得01＜－ab＜＜10，，
解得0b＜＞a1＜，1，故 ab∈(0，1). 答案：(0，1)
考点三指数函数的性质及应用考向 1 利用指数函数的单调性比较大小通性通法：比较指数式的大小时，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入 “1”等中间量比较大小.
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理问题.
解指数函数的概念.
2.题型一般为选择、填空
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数题，若题型为解答题，
的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点则题目中等偏难
1.根式 (1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.
即函数 f(x)在定义域 R 上单调递增.
(3)解：f(2x－1)＋f(x－2)＞0，且 f(x)为奇函数， ∴f(2x－1)＞f(－x＋2)， ∵函数 f(x)在 R 上单调递增， ∴2x－1＞－x＋2，∴x＞1， ∴不等式的解集为(1，＋∞).

高考数学专题复习题：指数函数

高考数学专题复习题：指数函数一、单项选择题（共8小题）1．若命题“,a b ∀∈R ，22b a a b -<-”为真命题，则a ，b 的大小关系为（）A ．a b C ．a b≤D ．a b ≥2．已知函数()2121x f x =-+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()2f x f x -+=D ．()()2f x f x --=3．已知()e e x x x f x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．设函数2()21x f x =+，求得(5)(4)(0)(4)(5)f f f f f -+-+++++ 的值为（）A ．9B ．11C ．92D ．1125．如果定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x a f x =+，那么()1f =（）A ．2B ．4C ．2-D ．4-6．函数2()2|e 1|x x f x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．设函数()()12x x a f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间0,1单增，则a 的取值范围是（）A ．(],2∞--B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞8．已知函数()20252025x x f x -=-，若0a >，0b >，且()()20f a f b -+=，则3111a b +++的最小值为（）AB ．1C ．1D ．二、多项选择题（共2小题）9．已知函数()312x f x x +=-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的值域是{}2y y ≠B ．()f x 图象的对称中心为()2,3C ．()()202620226f f +-=D ．()2x f -的值域是14,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭10．已知函数e 1()e 1x x f x +=-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞C ．()()0f x f x +-=D ．函数()f x 为减函数三、填空题（共2小题）11．设函数()331x f x =+，则()()()()()54045f f f f f -+-+++++= ________．12．函数2x y m m =-+在(],2-∞上的最大值为4，则m 的取值范围是________．四、解答题（共2小题）13．已知函数2()12x xb f x a +=+⋅，若()f x 是定义域为R 的奇函数．（1）求出函数()f x 的解析式；（2）求不等式2(1)(35)0f x f x ++-<的解集．14．已知函数11()22x x f x a -=⋅+是定义域为R 的偶函数．（1）求实数a 的值；（2）若对任意x ∈R ，都有(2)()f x kf x ≥成立，求实数k 的取值范围．。

高中数学高考总复习指数与指数函数习题及详解

高中数学高考总复习指数与指数函数习题及详解一、选择题1．(2010·陕西文)下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数[答案] C[解析] ∵(x ＋y )α≠x α·y α，log a (x ＋y )≠log a x ＋log a y ，a x ＋y ＝a x ·a y ，cos(x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y ≠cos x cos y ，∴选C.2．(2010·南充市)若A ＝{x ∈Z |2≤22－x <8}，B ＝{x ∈R ||x －1|>1}，则A ∩(∁R B )的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由2≤22－x <8得，1≤2－x <3，∴－1<x ≤1，∵x ∈Z ，∴x ＝0或1，∴A ＝{0,1}；由|x －1|>1得，x >2或x <0，∴B ＝{x |x >2或x <0}，∴∁R B ＝{x |0≤x ≤2}， ∴A ∩∁U B ＝{0,1}．3．(文)(2010·北京崇文区)设a ＝⎝⎛⎭⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a 12>0.3，∴1>a >b ，又y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，∴b <a <c .(理)(2010·重庆诊断)设00，∴ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数得，当0⎝⎛⎭⎫12b >⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫121，即12<⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．综上所述，选B.[点评] 可利用a ，b 取值的任意性取特值检验，令b ＝14，a ＝12可得，14>18>116，∴a 2>ab >b 2，排除A 、C ；log 1214＝2，log 1212＝1，∴log 12b >log 12a ，排除D ，故选B.4．(文)(2010·泰安质检)某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为( )A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨[答案] C[解析] 设年增长率为x ，则由题意知40(1＋x )10＝50，∴(1＋x )10＝54，∴2010年的年产量为40(1＋x )20＝40×⎝⎛⎭⎫542＝2504≈63万吨．(理)(2010·安徽安庆联考)如图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为3时，输出y 的结果恰好为13，则？处的关系式是( )A ．y ＝log 9xB ．y ＝3xC ．y ＝3－xD ．y ＝x 13[答案] B[解析] 输入x ＝3≤0不成立，故x ＝3－2＝1,1≤0不成立，故x ＝1－2＝－1，－1≤0成立，执行？后输出y ＝13，故选B.5．(2010·安徽理，6)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a <0，则只能是 A 或B 选项，A 中－b2a <0，∴b <0，从而c >0与A 图不符；B 中－b2a >0，∴b >0，∴c <0与B 图也不符；若a >0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，则当b >0时，有c >0与C 、D 不符．当b <0时，有c <0，此时－b2a >0，且f (0)＝c <0，故选D.6．(文)(2010·山东理，4)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3[答案] D[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，即0＝20＋b ，∴b ＝－1，故f (1)＝2＋2－1＝3，∴f (－1)＝－f (1)＝－3.(理)(2010·辽宁省实验中学)已知函数f (x )＝2x －1，对于满足0<x 1<x 2<2的任意实数x 1，x 2，给出下列结论：(1)(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； (2)x 2f (x 1)<x 1f (x 2)； (3)f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； (4)f (x 1)＋f (x 2)2>f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是( ) A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(2)(4)D ．(3)(4)[答案] C[解析] ∵f (x )为增函数，x 1<x 2，∴f (x 1)<f (x 2)，∴(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，故(1)错；排除A 、B ；A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是f (x )＝2x －1在(0,2)上任意两点，则k AB ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1不总大于1，故(3)错，排除D ，选C.7．(文)(2010·重庆南开中学)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．0<a 1>a >0[答案] D[解析] ∵f (x 1)＝g (x 2)＝3，∴ax 1＝bx 2＝3， ∴x 1＝log a 3，x 2＝log b 3，当b >1>a >0时，x 1<0，x 2>0不满足x 1>x 2.(理)(2010·辽宁文，10)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100[答案] A[解析] ∵2a ＝5b ＝m ∴a ＝log 2m b ＝log 5m ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2 ∴m ＝10 选A.8．(文)(2010·吉林市质检、上海松江市模拟)若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴k ＝2，f (x )＝a x －a －x ，又f (x )为减函数，∴0<a <1， ∴g (x )＝log a (x ＋2)的图象为A.(理)(2010·烟台中英文学校质检、海淀期中)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )[答案] D[解析] 对于A ，y ＝x ＋a 中，0<a <1，故y ＝log a x 单减，与图象不符，排除A ；对于B 、C 由y ＝x ＋a 知，a >1，∴y ＝log a x 单调增，与图象不符，排除B 、C ，因此选D.9．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( )A ．a 3＋a 7>2a 5B ．a 3＋a 7<2a 5C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 [答案] A[解析] 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，所以有a n＝a n ，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 10＝2a 5，∴a 3＋a 7>2a 5(因为a >0，a ≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.10．(文)(2010·青岛市质检)过原点的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是( )A ．(1,2)B ．(2,4)C ．(12，2)D ．(0,1) [答案] A[解析] 设A (x 0，y 0)，则y 0＝2x 0，由条件知C (x 0,4x 0)，∴y B ＝4x 0＝22x 0，∴B (2x 0,22x 0)，∵直线AB 过原点，∴k OA ＝k OB ，∴22x 02x 0＝2x 0x 0，∴x 0＝1，∴A (1,2)．(理)(2010·湖南八校联考)已知函数f (x )＝log 12(4x －2x ＋1＋1)的值域是[0，＋∞)，则它的定义域可以是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0] [答案] A[解析] 由题意知，log 12(4x －2x ＋1＋1)≥0，则有0<4x －2x ＋1＋1≤1，解得x ≤1且x ≠0，排除C 、D.经检验，当x ∈(0,1]时，f (x )的值域是[0，＋∞)．故选A.[点评] 由函数f (x )的值域为[0，＋∞)知，令u ＝4x －2x ＋1＋1，则log 12u ≥0，∴0<u ≤1，而u ＝(2x －1)2，∴x ≤1且x ≠0，而当x ＝1时，u ＝1，当x ＝0时，u ＝0，故0<x ≤1时，0<u ≤1，因此集合{x |x ≤1且x ≠0}的所有包含{x |0<x ≤1}的子集都可以取作该函数的定义域．二、填空题11．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x x ∈[－1，0]3x x ∈(0，1]，则f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________. [答案] 2[解析] ∵－1<log 312<0，∴f (log 312)＝⎝⎛⎭⎫13log 312＝(3log 312)－1＝2. (理)(2010·北京东城区)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x x ≤0f (x －1)－f (x －2) x >0，则f (－1)＝______，f (33)＝________.[答案] 4，－2 [解析] f (－1)＝21－(－1)＝4，f (33)＝f (32)－f (31)＝f (31)－f (30)－f (31)＝－f (30)，同理f (30)＝－f (27)，∴f (33)＝f (27)，∴f (33)＝f (3)＝－f (0)＝－2.12．(文)(2010·常德市检测)定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________，最小值为________．[答案] 4 2[解析] 由3|x |＝1得x ＝0，由3|x |＝9得x ＝±2，故f (x )＝3|x |的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m ]，0≤m ≤2或[n,2]，－2≤n ≤0都可以，故区间[a ，b ]的最大长度为4，最小长度为2.(理)(2010·柳州市模考)已知⎝⎛⎭⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x 的值为________．[答案] －13[解析] T 7＝C 96(2x )3·⎝⎛⎭⎫－226＝212×8x ＝214， ∴3x ＝－1，∴x ＝－13.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x x ≤1log 2(x －1) x >1，则f (x )≤12的解集为________．[答案] [1，2＋1] [解析] 由f (x )≤12得，⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ≤12x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x －1)≤12x >1， ∴x ＝1或1<x ≤2＋1，∴1≤x ≤2＋1，故解集为[1，2＋1]．14．函数f (x )的定义由程序框图给出，程序运行时，输入h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，φ(x )＝log 2x ，则f (12)＋f (4)的值为________．[答案] －1516[解析] 由程序框图知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧φ(x ) h (x )>φ(x )h (x ) h (x )≤φ(x )，∵h ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＝22，φ⎝⎛⎭⎫12＝－1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－1， ∵h (4)＝116，φ(4)＝2，∴f (4)＝116，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (4)＝－1＋116＝－1516. 三、解答题15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)， ∴f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x1＋4x，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x1＋4x ，∴f (x )在(－1,1)上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)－2x 4x＋1 x ∈(－1，0)0 x ＝0.(2)当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1)，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(0,1)上是减函数．16．已知关于x 的方程9x －2×3x ＋(3k －1)＝0有两个实数根，求实数k 的取值范围． [解析] 令3x ＝t ，则方程化为t 2－2t ＋(3t －1)＝0，①要使原方程有两个实数根，方程①必须有两个正根所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－2)2－4(3k －1)≥0t 1t 2＝3k －1>0t 1＋t 2＝2>0解得13<k ≤23.[点评] ∵t ＝3x >0，∴原方程有两个实数根x 1、x 2，则对应的方程①应有两个正根t 1＝3x 1，t 2＝3x 2，而不是两个任意实数根．17．(文)(2010·辽宁省锦州市通考)已知函数f (x )＝m ·2x ＋t 的图象经过点A (1,1)，B (2,3)及C (n ，S n )，S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)若数列{c n }满足c n ＝6na n －n ，求数列{c n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵函数f (x )＝m ·2x ＋t 的图象经过点A 、B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋t ＝14m ＋t ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1t ＝－1，∴f (x )＝2x －1， ∴S n ＝2n －1，∴a n ＝2n －1.(2)c n ＝3n ·2n －n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝3×(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )－(1＋2＋…＋n )，令P n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n ① 则2P n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1② ①－②得－P n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2×(2n －1)2－1－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴P n ＝(n －1)2n ＋1＋2， ∴T n ＝3(n －1)2n ＋1＋6－n (n ＋1)2.(理)(2010·浙江台州模拟)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x . 因为f (x )在(－∞，0)上递减，所以f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M >0，使|f (x )|≤M 成立．所以函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立． ∴－3≤f (x )≤3，即－4－⎝⎛⎭⎫14x≤a ·⎝⎛⎭⎫12x ≤2－⎝⎛⎭⎫14x ， ∴－4·2x －⎝⎛⎭⎫12x≤a ≤2·2x－⎝⎛⎭⎫12x 在[0，＋∞)上恒成立，设2x ＝t ，h (t )＝－4t －1t ，p (t )＝2t －1t ，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，设1≤t1<t2，h(t1)－h(t2)＝(t2－t1)(4t1t2－1)t1t2>0p(t1)－p(t2)＝(t1－t2)(2t1t2＋1)t1t2<0所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5,1]．。

【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第二章 2.5指数函数-(学生版+教师版)

指数函数判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)分数指数幂m na 可以理解为mn个a 相乘．( )(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( ) (5)函数21x y a +=(a >1)的值域是(0，＋∞)．( )(6)函数y ＝2x －1是指数函数．( )无题型一指数幂的运算例1 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a23÷(a23-－23b a )×a ·3a 25a ·3a.化简(14)12-·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________. 题型二指数函数的图象及应用例2 (1)已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b ，下列五个关系式：①0f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2(1)已知函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象可能是()(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．题型三指数函数的性质及应用命题点1指数函数单调性的应用例3(1)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．命题点2 复合函数的单调性例4 (1)已知函数f (x )＝22x m-(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12221x x -+-的单调减区间为_____________________________________．引申探究函数f (x )＝142x x +-的单调增区间是________．例5 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(12)x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}(2)已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m na-＝1m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质典例已知函数y ＝b ＋22x xa+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52，则a ，b 的值分别为________．1．已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为( ) A ．(0,1) B ．(2,3) C ．(3,2) D ．(2,2)2．已知a ＝(35)13-，b ＝(35)14-，c ＝(32)34-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <b ．a <b <c C ．b <a <c．c b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9]D ．[1，＋∞)5．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)*6.已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(0,1]D ．(－∞，1]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．8．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 9．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝(23)|x |－a .(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．12．已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．指数函数判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)nan＝(na)n＝a.(×)(2)分数指数幂可以理解为mn个a相乘．(×)(3)(－1) ＝(－1) ＝－1.(×)(4)函数y＝a－x是R上的增函数．(×)(5)函数(a>1)的值域是(0，＋∞)．(×)(6)函数y＝2x－1是指数函数．(×)无题型一指数幂的运算例1化简下列各式：(1)[(0.064 )－2.5] －3338－π0；(2)a －8a b4b ＋23ab＋a ÷(a －23ba)×a•3a25a•3a.解(1)原式＝{[(641 000) ] } －(278) －1＝[(410)3] －[(32)3] －1＝52－32－1＝0.(2)原式＝a [ a 3－2b 3] a 2＋a •2b ＋2b 2÷a －2b a×a•a a •a＝a (a －2b )×aa －2b ×a a＝a ×a×a ＝a2.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．化简(14) •4ab－130.1－1•a3•b－3＝________.答案85解析原式＝2×23•a •b 10•a •b ＝21＋3×10－1＝85.题型二指数函数的图象及应用例2(1)已知实数a，b满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2答案(1)B(2)D解析(1)如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)已知函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象可能是()(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案(1)A(2)[－1,1]解析(1)由f(x)的单调性知0<a<1，又x＝0时，a－b>1，x＝1时，a1－b<1，∴0<b<1，对照图象知g(x)的图象可能是A.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．题型三指数函数的性质及应用命题点1指数函数单调性的应用例3(1)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1(2)设函数f(x)＝12x－7，x<0，x，x≥0，若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．答案(1)B(2)(－3,1)解析(1)选项B中，∵y＝0.6x是减函数，∴0.6－1>0.62.(2)当a<0时，不等式f(a)<1可化为(12)a－7<1，即(12)a<8，即(12)a<(12)－3，∴a>－3.又a<0，∴－3<a<0.当a≥0时，不等式f(a)<1可化为a<1.∴0≤a<1，综上，a的取值范围为(－3,1)．命题点2复合函数的单调性例4(1)已知函数f(x)＝2 (m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．(2)函数f(x)＝12 的单调减区间为_____________________________________．答案(1)(－∞，4](2)(－∞，1]解析(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[m2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2 在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝12u在R上为减函数，∴函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f(x)的减区间为(－∞，1]．引申探究函数f(x)＝的单调增区间是________．答案[0，＋∞)解析设t＝2x，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，∴函数f(x)＝的单调增区间是[0，＋∞)．命题点3函数的值域(或最值)例5(1)函数y＝14x－12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．答案(1)34，57(2)13或3解析(1)令t＝12x，因为x∈[－3,2]，所以t∈14，8，故y＝t2－t＋1＝t－122＋34.当t＝12时，ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为34，57.(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[1a，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在1a，a上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当0<a<1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[a，1a]，又函数y＝(t＋1)2－2在[a，1a]上单调递增，则ymax＝(1a＋1)2－2＝14，解得a＝13(负值舍去)．综上，a＝3或a＝13.思维升华(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解．(1)已知函数f(x)＝－12x，a≤x＜0，－x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3] B．[－3,0)C．[－3，－1] D．{－3}(2)已知函数f(x)＝2x－12x，函数g(x)＝f x，x≥0，f－x，x<0，则函数g(x)的最小值是________．答案(1)B(2)0解析(1)当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x＜0时，f(x)∈[－(12)a，－1)，所以[－12a，－1)[－8,1]，即－8≤－12a＜－1，即－3≤a＜0，所以实数a的取值范围是[－3,0)．(2)当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－12x为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－12－x为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝1 (a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质y＝ax a>1 0<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数典例已知函数y＝b＋(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52，则a，b的值分别为________．错解展示解析令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵－32≤x≤0，∴－1≤t≤0.∵1a≤at≤1，∴b＋1a≤b＋at≤b＋1，由b＋1a＝52，b＋1＝3，得a＝2，b＝2.答案2,2现场纠错解析令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵x∈[－32，0]，∴t∈[－1,0]．①若a>1，函数f(x)＝at在[－1,0]上为增函数，∴at∈[1a，1]，b＋∈[b＋1a，b＋1]，依题意得b＋1a＝52，b＋1＝3，解得a＝2，b＝2.②若0<a<1，函数f(x)＝at在[－1,0]上为减函数，∴at∈[1，1a]，则b＋∈[b＋1，b＋1a]，依题意得b＋1a＝3，b＋1＝52，解得a＝23，b＝32.综上①②，所求a，b的值为a＝2，b＝2或a＝23，b＝32. 答案2,2或23，32纠错心得与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论. 1．已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为() A．(0,1) B．(2,3) C．(3,2) D．(2,2)答案 B解析由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3)．2．已知a＝(35) ，b＝(35) ，c＝(32) ，则a，b，c的大小关系是()A．c<a(35) >(35)0，即a>b>1，又c＝(32) <(32)0＝1，∴c<b<a.3．计算：32 ×－760＋8 ×42－＝________.答案 2解析原式＝23 ×1＋2 ×2 －23 ＝2.4．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．答案[0,8)解析∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8)．1．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y的值为()A．18 B．21 C．24 D．27答案 D解析∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3，∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.2．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()答案 B解析∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除C、D.又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除A.故选B.3．已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>c>a答案 A解析由0.2<0.8，底数0.4<1知，y＝0.4x在R上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b>c.又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为() A．[9,81] B．[3,9]C．[1,9] D．[1，＋∞)答案 C解析由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.故选C.5．若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为() A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案 C解析∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1，∴f(x)＞3即为2x＋12x－1＞3，当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3•2x－3，解得0<x<1；当x<0时，2x－1<0，∴2x＋1<3•2x－3，无解．∴x的取值范围为(0,1)．*6.已知g(x)＝ax＋1，f(x)＝2x－1，0≤x≤2，－x2，－2≤x<0，对任意x1∈[－2,2]，存在x2∈[－2,2]，使g(x1)＝f(x2)成立，则a的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．[－1,1]C．(0,1] D．(－∞，1]答案 B解析由题意可得g(x)，x∈[－2,2]的值域为f(x)，x∈[－2,2]的值域的子集．经分析知f(x)，x∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a＝0时，g(x)＝1，符合题意；当a>0时，g(x)，x∈[－2,2]的值域是[－2a＋1,2a＋1]，所以－2a＋1≥－4，2a＋1≤3，则0<a≤1；当a<0时，g(x)，x∈[－2,2]的值域是[2a＋1，－2a＋1]，所以2a＋1≥－4，－2a＋1≤3，则－1≤a<0.综上可得－1≤a≤1.7．设函数f(x)＝ex－1，x<1，x ，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．答案(－∞，8]解析当x<1时，由ex－1≤2，得x≤1＋ln 2，∴x<1时恒成立；当x≥1时，由x ≤2，得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是(－∞，8]．8．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．答案(0，12)解析(数形结合法)由图象可知0<2a<1，∴0<a<12.9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝－14x＋12x，则此函数的值域为________．答案[－14，14]解析设t＝12x，当x≥0时，2x≥1，∴0<t≤1，f(t)＝－t2＋t＝－(t－12)2＋14.∴0≤f(t)≤14，故当x≥0时，f(x)∈[0，14]．∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f(x)∈[－14，0]．故函数的值域为[－14，14]．10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)•4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案(－1,2)解析原不等式变形为m2－m<12x，因为函数y＝12x在(－∞，－1]上是减函数，所以12x≥12－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<12x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.11．已知函数f(x)＝(23)|x|－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值等于94，求a的值．解(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝(23)t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y＝(23)t是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是94，且94＝(23)－2，所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，即g(0)＝－2，从而a＝2.12．已知函数f(x)＝.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．解(1)当a＝－1时，f(x)＝，令t＝－x2－4x＋3，由于t在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝13t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝13g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有a>0，3a－4a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.*13.已知函数f(x)＝14x－λ2x－1＋3(－1≤x≤2)．(1)若λ＝32，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．解(1)f(x)＝14x－λ2x－1＋3＝(12)2x－2λ•(12)x＋3(－1≤x≤2)．设t＝(12)x，得g(t)＝t2－2λt＋3(14≤t≤2)．当λ＝32时，g(t)＝t2－3t＋3＝(t－32)2＋34(14≤t≤2)．所以g(t)max＝g(14)＝3716，g(t)min＝g(32)＝34.所以f(x)max＝3716，f(x)min＝34，故函数f(x)的值域为[34，3716]．(2)由(1)得g(t)＝t2－2λt＋3＝(t－λ)2＋3－λ2(14≤t≤2)．①当λ≤14时，g(t)min＝g(14)＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合，舍去；②当14<λ≤2时，g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合，舍去)；③当λ>2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合，舍去．综上所述，实数λ的值为2.。

高考数学(文)大一轮复习课件：第2章第5节指数函数

[ 变式训练 2] (1)函数 f(x)＝ax b 的图象如图 251，其中 a，b 为常数，则下
－
列结论正确的是(
) 【导学号：31222045】
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)方程 2x＝2－x 的解的个数是________．
图 251
(1)D (2)1 [(1)由 f(x)＝ax b 的图象可以观察出，函数 f(x)＝ax b 在定义域上
1．根式的性质
a (1)( a)n＝__.
n
a (2)当 n 为奇数时， an＝__.
n n
(3)当 n 为偶数时，
aa≥0， n a ＝|a|＝－aa＜0.
无意义． (4)负数的偶次方根________ 都等于零． (5)零的任何次方根__________
2．有理指数幂 (1)分数指数幂
4．(教材改编)已知 0.2m＜0.2n，则 m________n(填“＞”或“＜”)．
＞ [设 f(x)＝0.2x，f(x)为减函数，由已知 f(m)＜f(n)，∴m＞n.]
5．指数函数 y＝(2－a)x 在定义域内是减函数，则 a 的取值范围是________． (1,2) [由题意知 0＜2－a＜1，解得 1＜a＜2.]
x2＋1
(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(
[ 答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．化简[(－2)6] －(－1)0 的结果为( A．－9 C．－10
)
B．7 D．9
B [原式＝(26) －1＝8－1＝7.]
3．函数 y＝ax－a(a＞0，且 a≠1)的图象可能是(
) 【导学号：31222044】

指数函数高考知识点总结

指数函数高考知识点总结指数函数是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中经常涉及到的知识点之一。

指数函数是指以常数 e（自然对数的底数）为底数的函数，其形式可以写作 f(x) = a^x，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的实数，x 是变量。

一、指数函数的定义和性质指数函数的定义是 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。

它的定义域是实数集，值域是正实数集。

指数函数的图像随着底数的不同而变化，底数 a 大于 1 时，图像呈现上升趋势；底数是 (0, 1) 之间的小数时，图像呈现下降趋势。

指数函数具有以下性质：1. 指数函数的导数等于其本身乘以常数 ln(a)（自然对数的底）。

2. 指数函数的导数在正实数上是严格递增的。

3. 当底数 a 大于 1 时，指数函数是增函数且过点 (0, 1)；当底数 a 是 (0, 1) 之间的小数时，指数函数是减函数且过点 (0, 1)。

4. 指数函数是奇函数，即 f(-x) = 1 / a^x，其图像关于 y 轴对称。

5. 指数函数的图像在横轴上的渐近线为 y = 0，即当 x 趋近负无穷时，函数值趋近于 0。

二、指数函数的特殊情况1. 当底数 a 等于 e（自然对数的底数）时，指数函数称为自然指数函数，记作 f(x) = e^x。

自然指数函数具有特殊的性质，其导数和原函数等于它本身，即 f'(x) = e^x，∫ e^x dx = e^x + C。

2. 当指数 x 为 0 时，任何底数的指数函数的值都等于 1，即 a^0 = 1。

三、指数函数的应用指数函数广泛应用于各个领域，以下列举几个常见的应用：1. 经济增长模型：指数函数可以描述经济增长模型中的指数增长。

在经济学中，常用指数函数来预测人口增长、物价上涨以及国内生产总值的增长等。

2. 物质衰变模型：指数函数可以用来描述放射性物质的衰变过程。

放射性衰变的速率与剩余物质的量成正比，因此可以用指数函数来描述物质衰变的速度。

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. . .页脚指数函数 A组 1．(2010年模拟)若a>1，b<0，且ab＋a－b＝22，则ab－a－b的值等于________．解析：∵a>1，b<0，∴01.又∵(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2.答案：－2 2．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________. 解析：由图象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，∴a＝3，则f(3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－3

3．函数y＝(12)2x－x2的值域是________．解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， ∴(12)2x－x2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值围是________．

解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0点，故a>1. 答案：(1，+∞)

5．(原创题)若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．

解析：由题意知 0



 a>1

a0－1＝0

a2－1＝2

⇒a＝3.答案：3

6．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值； . . .页脚 (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值围．解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1.

从而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2. (2)法一：由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0⇔f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.

即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－13.

法二：由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2，又由题设条件得－2t2－2t＋12t2－2t＋1＋2＋－22t2－k＋122t2－k＋1＋2<0 即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0 整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0

上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13. B组 1．如果函数f(x)＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________． ①00 ②01且b<0 ④a>1且b>0 解析：当0b－1<0，即02．(2010年模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值围是________．解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，所以f(x)在[a，＋∞)上为减函数， . . .页脚又f(x)，g(x)都在[1,2]上为减函数，所以需

 a≤1

a＋1>1

⇒0

3．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f (x)＝ax·g(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；若f(1)g(1)＋f(－1)g(－1)＝52，则a等于________．

解析：由f(x)＝ax·g(x)得f(x)g(x)＝ax，所以f(1)g(1)＋f(－1)g(－1)＝52⇒a＋a－1＝52，解得a＝2或12.答案：2或12 4．(2010年模拟)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，其反函数为f－1(x)．若f(2)＝9，则f－1(13)＋f(1)的值是________．

解析：因为f(2)＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，则f(x)＝3x＝13，∴x＝－1，故f－1(13)＝－1.又f(1)＝3，所以f－1(13)＋f(1)＝2.答案：2 5．(2010年质检)已知f(x)＝(13)x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．解析：设y＝g(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x＝1的对称点P′(2

－x，y)在f(x)＝(13)x上，∴y＝(13)2－x＝3x－2.答案：y＝3x－2(x∈R)

6．(2009年高考卷改编)函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为________．

解析：∵f(－x)＝e－x＋exe－x－ex＝－ex＋e－xex－e－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④.

又∵y＝ex＋e－xex－e－x＝e2x＋1e2x－1＝e2x－1＋2e2x－1＝1＋2e2x－1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：① . . .页脚 7．(2009年高考卷改编)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝(12)x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________. 解析：∵2<3<4＝22，∴1

＝f(3＋log23)＝f(log224)＝(12)log224＝2－log224＝2log2124＝124.答案：124 8．(2009年高考卷改编)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝ f(x)，f(x)≤K，K， f(x)>K.取函数f(x)＝2－|x|，当K＝12时，函数fK(x)的单调递增区间为________．解析：由f(x)＝2－|x|≤12得x≥1或x≤－1，∴fK(x)＝

 2－|x|，x≥1或x≤－1，12，－1

则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] 9．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，当a变动时，函数b＝g(a)的图象可以是________．

解析：函数y＝2|x|的图象如图．当a＝－4时，0≤b≤4，当b＝4时，－4≤a≤0，答案：② 10．(2010年模拟)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，数a的值．解：f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，∵x∈[－1,1]，

(1)当0. . .页脚 ∴(1a＋1)2－2＝14，∴1a＝3，∴a＝13. (2)当a>1时，1a≤ax≤a，∴当ax＝a时，f(x)取得最大值． ∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.综上可知，实数a的值为13或3. 11．已知函数f(x)＝－22x－a＋1.(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，－1)对称； (2)若f(x)≥－2x在x≥a上恒成立，数a的取值围．解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y＝－22x－a＋1， P(x，y)关于点M(a，－1)的对称点为P′(2a－x，－2－y)．

∴－2－y＝－2＋22x－a＋1＝－2·2x－a2x－a＋1＝－21＋2－(x－a)＝－22(2a－x)－a＋1，

说明点P′(2a－x，－2－y)也在函数y＝－22x－a＋1的图象上，由点P的任意性知，f(x)的图象关于点M(a，－1)对称． (2)由f(x)≥－2x得－22x－a＋1≥－2x，则22x－a＋1≤2x，化为2x－a·2x＋2x－2≥0，则有(2x)2＋2a·2x－2·2a≥0在x≥a上恒成立．令g(t)＝t2＋2a·t－2·2a，则有g(t)≥0在t≥2a上恒成立．∵g(t)的对称轴在t＝0的左侧，∴g(t)在t≥2a上为增函数． ∴g(2a)≥0.∴(2a)2＋(2a)2－2·2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，则a≥0.即实数a的取值围为a≥0. 12．(2008年高考)若f1(x)＝3|x－p1|，f2(x)＝2·3|x－p2|，x∈R，p1、p2为常数，且

f(x)＝ f1(x)，f1(x)≤f2(x)，f2(x)，f1(x)>f2(x).(1)求f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充

要条件(用p1、p2表示)；(2)设a，b是两个实数，满足af(a)＝f(b)，求证：函数f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为b－a2(闭

区间[m，n]的长度定义为n－m)．解：(1)f(x)＝f1(x)恒成立⇔f1(x)≤f2(x)⇔3|x－p1|≤2·3|x－p2|⇔3|x－p1|－|x－