高考数学指数指数函数
高考数学——指数与指数函数考点复习
∴t≥1，
9
∴0＜y≤( 1 )1， 2
故所求函数的值域为 (0, 1 ]． 2
6．若关于 x 的不等式 2x+1 − 2−x − a > 0 的解集包含区间 (0,1) ，则 a 的取值范围为
A．
−∞,
7 2
C．
−∞,
7 2
B． (−∞,1] D． (−∞,1)
考点冲关
−1
1．计算： 2x 3
【答案】C 【解析】当 x=1 时，y=a1－a=0，所以 y=ax－a 的图象必过定点(1，0)，结合选项可知选 C.
2．函数
（ 且 ）与函数
A．
在同一个坐标系内的图象可能是 B．
6
C．
D．
考向三 指数函数单调性的应用
1．比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
4
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算． (6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，
要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
形如 y = a f (x) 的函数的定义域就是 f (x) 的定义域． 求形如 y = a f (x) 的函数的值域，应先求出 f (x) 的值域，再由单调性求出 y = a f (x) 的值域．若 a 的范
高考数学中的指数函数与对数函数题详解
高考数学中的指数函数与对数函数题详解指数函数和对数函数是高考数学中的重要内容，涉及到的题型和考点较多。
本文将对指数函数和对数函数的基本定义、性质以及解题方法进行详细解析。
一、指数函数指数函数是以指数为自变量的函数，其一般形式为y = a^x （其中a>0且a≠1）。
下面，我们来讨论指数函数的基本性质。
1. 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0, +∞)。
2. 指数函数的图像特点当指数a>1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐增大，形状呈现递增趋势；当0<a<1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐减小，形状呈现递减趋势。
3. 指数函数的性质(1) 指数函数在定义域内具有严格单调性，即当a>1时为严格递增函数，当0<a<1时为严格递减函数。
(2) 指数函数在定义域内具有连续性，无间断点。
(3) 指数函数在定义域内具有无界性，即当x趋向于正无穷时，函数值也趋向于正无穷。
(4) 指数函数具有经过点(0, 1)的特点。
接下来，我们通过解题的方式来进一步认识指数函数。
例题1：已知方程2^x = 4的解为x = 2，则方程e^(x-1) = 1的解为多少？解题思路：首先，根据指数函数的性质可知，2^x = 4 等价于 x = 2。
然后，代入方程e^(x-1) = 1，得到e^(2-1) = 1，即e^1 = 1，因此方程e^(x-1) = 1的解为x = 1。
二、对数函数对数函数是指以对数为自变量的函数，其一般形式为y = loga(x)（其中a>0且a≠1，x>0）。
下面，我们来探讨对数函数的基本性质。
1. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集R。
2. 对数函数的图像特点当0<a<1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐减小，形状呈现递减趋势；当a>1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐增大，形状呈现递增趋势。
幂函数、指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
高考数学 指数函数、对数函数 讲解
logbN= loga N (a,b均大于0且不等于1,N>0)
logab
相关结论:logab= 1 ;logab·logbc·logcd=logad
logba
(a,b,c均大于0且不等于1,d>0)
条件
a>0且a≠1,M>0,N>0
结论
loga(MN)=logaM+logaN
M
loga N =logaM-logaN logaMn=nlogaM(n∈R)
1
1
+m=-
2
1 x
1
+m+1,因为函数y=2x+1为R上的
增函数,所以y=- 1 为R上的增函数,所以f(x)在R上单调递减是不正确
2x 1
的,所以C不正确;
对于D,当m=0时,f(x)= 2x =1- 1 ,
2x 1 2x 1
由2x+1>1,可得-1<- 1 <0,所以1- 1 ∈(0,1),即函数f(x)的值域为(0,1),
a>1 图象
0<a<1
定义域 值域 性质
过定点(1,0),即当x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 在(0,+∞)上是增函数
(0,+∞) R
当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是减函数
3.反函数 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反 函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称.
故a的取值范围为[36,+∞).
指数与指数函数高考知识点
指数与指数函数高考知识点指数和指数函数是高考数学中的重要知识点，涉及到数学中的指数概念、指数运算、指数函数及其性质等内容。
本文将以深入浅出的方式，详细介绍指数与指数函数的相关知识。
一、指数的概念及性质指数是数学中常用的表示方式，用于表示一个数的乘方。
指数的定义为：若a为非零实数，n为自然数（n≠0），则aⁿ称为以a为底的指数。
其中，a称为底数，n称为指数。
指数的性质有以下几点：1. 任何非零数的0次方都等于1，即a⁰=1（a≠0）；2. 任何非零数的1次方都等于它本身，即a¹=a（a≠0）；3. 指数相同、底数相等的两个指数相等，即aⁿ=aᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 任何数的负整数次方都可以表示为其倒数的相应正整数次方，即a⁻ⁿ=1/(aⁿ)（a≠0，n≠0）；5. 不同底数、相同指数的指数大小可以通过底数的大小来判断，当0<a<b时，aⁿ<bⁿ（a，b，n都是实数且n>0）。
二、指数运算法则指数运算是指在进行乘方运算时，如何将指数进行运算。
在指数运算中，有以下几条法则：1. 乘法法则：同底数的指数相加，保持底数不变，指数相加，即aⁿ⋅aᵐ=aⁿ⁺ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；2. 除法法则：同底数的指数相减，保持底数不变，指数相减，即aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；3. 乘方法则：一个数的乘方再乘以另一个数的乘方，底数不变，指数相乘，即(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 开方法则：一个数的乘方再开方，底数不变，指数取两个数的最小公倍数，即(aⁿ)^(1/ᵐ)=aⁿ/ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）。
三、指数函数的定义与图像指数函数是一种特殊的函数形式，具有以下定义：形如y=aᵘ（a>0，且a≠1）的函数称为指数函数。
在指数函数中，a称为底数，u称为自变量，y称为因变量。
指数函数的图像特点如下：1. 当底数0<a<1时，函数图像呈现下降趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；2. 当底数a>1时，函数图像呈现上升趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；3. 当底数a=1时，函数图像为水平直线y=1，与自变量无关。
高考数学中的指数函数基本性质及应用
高考数学中的指数函数基本性质及应用数学是一门高考的重要科目，其中指数函数是重点考察的内容之一。
指数函数在应用中有着广泛的用途，因此，了解指数函数的基本性质和应用是做好高考数学的关键。
本文将介绍指数函数的定义、性质和应用，帮助大家全面地了解指数函数。
1. 定义指数函数是一种以常数a为底的数学函数，其形式为y=a^x，其中x为自变量，y为因变量，a为正实数，且a≠1。
指数函数的定义域为实数集，其值域为正实数集。
2. 基本性质2.1 增减性当0<a<1时，指数函数y=a^x呈现为递减函数；当a>1时，指数函数y=a^x呈现为递增函数。
这是因为指数函数具有单调性，当底数a>1时，指数函数单调递增，当底数0<a<1时，指数函数单调递减。
2.2 奇偶性当指数函数满足a=-1时，指数函数为奇函数；当指数函数满足a=1时，指数函数为常函数；当指数函数满足a>1或0<a<1时，指数函数为偶函数。
2.3 对数函数的性质指数函数与对数函数是相互关联的，其性质如下：（1）指数函数和对数函数互为反函数。
（2）logaA=x 的意义是a^x=A，其中A>0，a>0且a≠1。
（3）对数函数与指数函数具有相同的基本性质。
3. 应用指数函数在实际应用中有着广泛的用途，如：3.1 复利问题在投资、贷款等领域中，复利问题是比较常见的，此时就可以利用指数函数的性质求解。
例如，在一年后，本金10000元，年利率为5%的情况下，3年后的本金是多少？根据复利公式，得到本金为10000 ×（1+0.05）^3 ≈ 11576.25。
3.2 科学计数法指数函数常常被用于科学计数法中。
科学计数法是一种标识极大或极小的物理数值的方法，特点是用10^x的形式表示数值。
例如，太阳距离地球约为1.496×10^8千米。
3.3 生物增长模型在生物学中，指数函数也有着重要应用。
高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数
高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数一样地，形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数，下面是高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数，期望对考生有关心。
指数函数的一样形式为，从上面我们关于幂函数的讨论就能够明白，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小阻碍函数图形的情形。
能够看到：(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，那个地点的前提是a大于0，关于a不大于0的情形，则必定使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3) 函数图形差不多上下凹的。
(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
(5) 能够看到一个明显的规律，确实是当a从0趋向于无穷大的过程中(因此不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
(7) 函数总是通过(0，1)这点。
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
高考数学复习第二章基本初等函数导数及其应用第5课时指数与指数函数理市赛课公开课一等奖省优质课获奖
39/41
◆一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以 相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
40/41
◆两个防范 (1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像和性质与a的取值有关， 要特别注意区分a>1与0<a<1来研究． (2)对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方 程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范 围．
为偶数时，n an＝|a|＝ －a a<0 .⑤负数没有偶次方根．
5/41
2．有理数指数幂
6/41
(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s (a>0，r、s∈Q)；②(ar)s＝ars (a>0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
7/41
3．指数函数的图像与性质
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式
1 a
x＋
1 b
x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实
数m的取值范围．
解析：(1)因为f(x)的图像过A(1,6)，B(3,24)，则
b·a＝6， b·a3＝24.
所
以a2＝4，又a>0，所以a＝2，则b＝3.所以f(x)＝3·2x.
33/41
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
1/41
第 5 课时 指数与指数函数
2/41
1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂 的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数 函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
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2.9 指数 指数函数——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一一、明确复习目标1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算；2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。
二．建构知识网络1.幂的有关概念(1)正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n48476Λ个零指数幂)0(10≠=a a ； 负整数指数幂()10,nn aa n N a-*=≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m nm na a a m n N n *=>∈>；(3)负分数指数幂()10,,,1mnm nmnaa m n N n a a-*==>∈>(4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质：()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3.根式（1）根式的定义:如果a x n=()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用na 表示,na 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
(2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =；当n 是偶数，⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a nn②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数：（1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。
（2）图象：（3）性质：定义域(-∞,+ ∞)；值域 (0,+ ∞)；过定点（０，1）；单调性 a > 1时为增函数 ０＜a <1时为减函数值分布：x 取何值时，y>1,0<y<1? (分a >1和0<a <1两种情况说明)三、双基题目练练手1.3a ·6a -等于 （ ）A.－a -B.－aC.a -D.a2.当10<<a 时，aa aaa a ,,的大小关系是 （ ） A ．a a aaa a >> B ．a aa aa a >>C ．aa a a aa>>D ．aa aaa a>>3.下图是指数函数（1）y =a x ，（2）y =b x ，（3）y =c x ，（4）y =d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是O xy1(1) (2) (3) (4)A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c4.如果函数f(x)=a x (a x -3a 2-1)(a>0且a ≠1),在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数a 的取值范围是 ( )A.2(0,]3B.3[,1) C.(1,3] D.3[,)2+∞5.计算：()0.7522310.25816--⎛⎫+- ⎪⎝⎭=_____________6.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则a 、b 、c 的大小顺序是 简答.精讲: 1-4. ABBB; 1. 3a ·6a-=a 31·（－a ）61=－（－a ）6131+=－（－a ）21;3. 令x =1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1;4.记u=a x ,则 f(x)=u[u-(3a 2+1)]=g(u)对称轴为u=(3a 2+1)/2,要使f(x)在x ∈[0,+∞)时递增,当0<a<1时u=a x ∈(0,1]且递减,只须1≤(3a 2+1)/2,1a ≤<;当a>1时无解.故选B; 5.12;6.只须看1113522,3,5的大小,把11322,36次乘方, 把11522,510次乘方可知c<a<b四、经典例题做一做【例1】已知9x －10·3x +9≤0，求函数y =（41）x －1－4（21）x +2的最大值和最小值. 解：由9x －10·3x +9≤0得（3x －1）（3x －9）≤0，解得1≤3x ≤9.∴0≤x ≤2.令（21）x=t ，则41≤t ≤1，y =4t 2－4t +2=4（t －21）2+1.当t =21即x =1时，y min =1；当t =1即x =0时，y max =2.方法提炼 1.由不等式求x 的范围;2.换元法转化为地次函数的闭区间上的最值问题..【例2】已知44221)31)(21(,31aa a a aa a a aa +++++=+求的值.解：719)1(312=+⇒=+⇒=+aa aa aa Θ， 47149)1(222=+⇒=+∴aa a a ，])())[((1221212122121212323a aa a a a aa aa a a +⋅-+=+=+∴---1863)11)(1(=⨯=+-+=a a aa ，而512)1(124444=++=+=+aa aa aa ，5200550205)347()218(=⨯=+⨯+=∴原式方法归纳 1.用好2211a a a a++与的关系.2.根式化分数指数幂再计算. 【例3】（2004全国Ⅲ）解方程4x +|1－2x |=11.解：当x ≤0时，1－2x ≥0. 原方程⇔4x －2x －10=0⇔2x =21±241⇔2x =21－241＜0（无解）或2x =21+241＞1知x ＞0（无解）.当x ＞0时，1－2x ＜0.原方程⇔4x +2x －12=0⇔2x =－21±27⇔2x =－4（无解）或2x =3⇔x =log 23（为原方程的解）.思想方法 1.分类讨论——分段去绝对值；2。
换元法。
【例4】设函数()221xxf x a -=+⋅-(a 为实数)．⑴若a <0，用函数单调性定义证明：()y f x =在(,)-∞+∞上是增函数;⑵若a ＝0，()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线y ＝x 对称，求函数()y g x = 的解析式．解： (1)设任意实数x 1<x 2，则f(x 1)－ f(x 2)＝1122(221)(221)x x x x a a --+⋅--+⋅-＝1212(22)(22)x x x x a ---+-＝1212122(22)2x x x x x x a++--⋅121212,22,220;xxxx x x <∴<∴-<Q 120,20x x a a +<∴->Q ．又1220x x +>，∴f(x 1)－ f(x 2)<0，所以f(x)是增函数．(2)当a ＝0时，y ＝f(x)＝2x －1，∴2x ＝y ＋1， ∴x ＝log 2(y ＋1)， y ＝g(x)＝ log 2(x ＋1)．【研究.欣赏】（2002上海）已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+ （1）证明f (x)在（-1，+∞）上为增函数； （2）用反证法证明方程f (x )=0没有负数根。
证明（1）设－1<x 1<x 221211212121212121212122()()1122113()(1)(1)(1)x x x x x x x x x f x f x a a x x x x a a x x x x a a x x ----=+--++--=-+-++-=-+++∵x 2-x 1>0,又a >1, ∴211x x a ->,而－1<x 1<x 2，∴x 1+1>0, x 2+1>0, ∴f (x 2)－f (x 1)>0,f (x )在(－1,+∞)上为增函数。
（2）设x 0为方程f (x )=0的负根，则有000201xx a x -+=+即00000023(1)31111x x x a x x x --+===-++++ 显然，01x ≠-，若00003301,110,3,1211x x x x >>->+>>-+>++则 与011x a a<<矛盾； 若x 0<-1则，x 0+1<0,00130,1111x x <-+<-++,而00x a >矛盾，即不存在x 0<－1的解，综上知，不存在负根。
提炼方法： 1.方法：单调性定义，反证法，分类讨论；2.反证法推矛盾时,体现了明确的目的性和数式变换的技巧和能力.五．提炼总结以为师1.根式的运算——根据分数指数幂的意义，转化为分数指数幂的运算；2.指数函数的定义重在“形式”，像y =2·3x ，12,xy y ==，y =3x +1等都不是指数函数，是复合函数.3.指数函数y =a x （a ＞0，a ≠1）的图象和性质，要分a ＞1与0＜a ＜1来研究.4.对于含有字母参数的指数式，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论，用好用活指数函数单调性，还要注意换元的灵活运用。
同步练习 2.9 指数 指数函数【选择题】 1.若∈n N *，则=+-+++----12412411n n n n ( ）A ．2B ．n-2C ．n-12D ．n22-2. ( 2005全国卷III )设173x =，则 ( )（A ）-2<x <-1 （B ）-3<x <-2 （C ）-1<x <0 （D ）0<x <13.若函数y =a x +b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有 ( )A.0＜a ＜1且b ＞0B.a ＞1且b ＞0C.0＜a ＜1且b ＜0D.a ＞1且b ＜04. 已知13x x-+=，A =1122x x -+，B =3322x x -+，则,A B 的值分别为（ ）A ．±B ．±C ．D ，【填空题】5.函数y =（21）222+-x x 的递增区间是___________. 6.求值：bc a c a b c b c a b a xx 11x x 11x x 11------++++++++=________ 简答提示: 1-4.AACD; 5. （－∞，1］;6. 1;【解答题】7. (1)求值÷（2）若42121=+-a a ，求21212323----aa a a 的值解(1)213134245555÷-÷21315534241245555--=-=-=（2）原式=1111331222211112222()()()(1)a a a a a a a aa a-------++=--1115a a -=++=8．函数y=a 2x +2a x -1(a>0,a ≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a 的值。