现代控制理论-期末试卷
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华南农业大学期末考试试卷（A卷）2007 学年第1 学期考试科目：自动控制原理II
考试类型：闭卷考试时间：120 分钟
学号姓名年级专业
题号12345678910总分得分
评阅人
1、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。并画出相应的模拟结构图。（10分）
解：（1）由电路原理得：
1
1
2
2
12
1
111
2
22
11
1
11
L
L c
L
L c
c
L L
di R
i u u
dt L L L
di R
i u
dt L L
du
i i
dt c c
=--+
=-+
=-
22
2
R L
u R i
=
11221
111
22
21011000110L L L L c c R i i L L L R i i u L L u u c
c
⎡⎤
--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢
⎥⎣⎦
g
g g []1222
00L R L c i u R i u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2）模拟结构图为：
2、建立下列输入－输出高阶微分方程的状态空间表达式。（8分）
322y y y y u u u +++=++&&&&&&&&&
解：方法一：
12301233,2,10,1,2,1
a a a
b b b b =======
()001110221120331221300
1301
231201
13121102
b b a b a a b a a a ββββββββββ===-=-⨯==--=-⨯-⨯=-=---=-⨯--⨯-⨯=
()010100111232100x x u y x ⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪
---⎝⎭⎝⎭⎪
⎪=⎩& 方法二：
()23221
321
s s g s s s s ++=+++系统的传递函数为
()010000101231121x x u
y x ⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪
⎪=⎩&能控型实现为
()00111
0220
131001x x u
y x
⎧-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=-+⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎪
⎪=⎩&或能观型实现为
3、将下列状态空间表达式化为对角标准型，并计算其传递函数（10分）
解：（1）
[]11202ˆˆˆ013ˆˆ11P AP P Bu u y CP ---⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦==x x x x
x &
（2）[]1
12114
()()1023132s s G s C SI A B s s s ---⎡⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦
()011,10231x x u y x ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭&
4、求定常控制系统的状态响应（10分）
()()()
()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≥== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
& 解：
11t t t At t t
t t t
t e te te e e t t te e te -------+⎛⎫+⎛⎫== ⎪ ⎪----⎝⎭
⎝
⎭ ()()()()0
100t A t s At
x t e x e
bu s ds -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
⎰
5、设系统的状态方程及输出方程为
110001010111x x u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
& []001y x = 试判定系统的能控性和能观性。（10分）
解：（1） 2c u B
AB
A B ⎡⎤=⎣⎦
012111101⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，秩为2， 系统状态不完全能控。
（2）2001011021o C u CA CA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣⎦，秩为2 系统状态不完全能观。
6、已知系统 u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011&
试将其化为能控标准型。（10分）
解：1210c u ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
，1
1
12201c u -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
[][][]1
1
1
12
21122010101c p u -⎡⎤===-⎢⎥-⎣⎦
[
][]1111212
2
2
2
1100p p A ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦
112
211
12
211,11P P --⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
能控标准型为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010&
7、应用Lyapunov 第一方法分析非线性系统在平衡状态的稳定性（10分）
11
32122
x x x x x x =-=--&& 解：（1）求平衡点
1200
x x ==&&
所以平衡点为：(0,0)
（2）雅克比矩阵为1
11
22110(,)113n T
n n n f f x x f x t x x f f x x ∂∂⎡⎤
⎢⎥
∂∂⎢
⎥-⎡⎤
∂==⎢⎥⎢⎥∂--⎢
⎥
⎣⎦∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦
L M L M L 对平衡点(0,0)，系数矩阵1011A -⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
，其特征值为：－1,－1，所以平衡点(0,0)