第六章参数估计和假设检验(精)

第六章参数估计和假设检验

教学目的及要求：了解参数的点估计、区间估计的含义，掌握区间估计的几个概念，包括置信水平、置信区间、小概率事件，熟练掌握参数区间估计的计算方法，了解不同抽样组织形式下的参数估计，掌握参数估计中样本量的确定。了解假设检验的原假设和备择假设的含义，假设检验的两类错误，掌握总体均值的检验方法。

本章重点与难点：区间估计的计算与总体均值的假设检验方法。

计划课时：授课6课时；技能训练2课时。

授课特点：案例教学

第一节点估计和区间估计

一、总体参数估计概述

•1、总体参数估计定义

•就是以样本统计量来估计总体参数，总体参数是常数，而统计量是随机变量。

•2、参数估计应满足的两个条件

二、参数的点估计

•用样本的估计量直接作为总体参数的估计值

例如：用样本均值直接作为总体均值的估计

例如：根据一个抽出的随机样本计算的平均分数为80分，我们就用80分作为全班考试成绩的平均分数的一个估计值，这就是点估计。

再例如，要估计一批产品的合格率，根据抽样结果合格率为96%，将96%直接作为这批产品合格率的估计值，这也是点估计

三、参数的区间估计

（一）参数的区间估计的含义

•区间估计：计算抽样平均误差，指出估计的可信程度，进而在点估计的基础上，确定总体参数的所在范围或区间。

（二）有关区间估计的几个概念 置信水平

1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平

2. 表示为 (1 - α% )

α 为是总体参数未在区间内的比例

3. 常用的置信水平值有

99%, 95%, 90%

相应的显著性水平α 为0.01，0.05，0.10

置信区间

1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间

2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间

3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值

我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个

4. 由样本均值的抽样分布可知，在重复抽样或无限总体抽样的情况下，样本均值的数学期望等于总体均值，

5. 样本均值的标准差为

由此可知样本均值落在总体均值μ的两侧各为一个抽样标准差范围内的概率为0。6873

落在总体均值两个抽样标准差范围内的概率为0。9545 落在总体均值三个抽样标准差范围内的概率为0。9973 影响区间宽度的因素

1.总体数据的离散程度，用 σ 来测度

2.样本均值标准差

3.置信水平 (1 - α)，影响 z 的大小 评价估计量的标准

x n

x σ

σ=

无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数

有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效 一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数 总体均值的区间估计（用Z 统计量） 1. 假定条件

总体服从正态分布,且方差(σ２) 未知

如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n ≥ 30) 2.使用正态分布统计量 z

)1,0(~N n

x z σμ

-=

3.总体均值 μ 在1-α 置信水平下的置信区间为

)(2

未知或σσ

ααn

s

z x n

z x ±± 总体均值的区间估计例题分析

【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g 。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95% （属正态总体、σ２已知，用统计量Z ）

解：已知Ｘ~N (μ，102)，n =25, 1-α = 95%，z α/2=1.96。根据样本数据计算得： 总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为

()

28.109,44.10192.336.10525

1096.136.1052

=±=⨯±=±n

z x σ

α

该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g 总体均值的区间估计（用 t 分布统计量） (小样本) 1. 假定条件

总体服从正态分布,且方差(σ２) 未知 小样本 (n < 30) 2.使用 t 分布统计量

3。总体均值 μ 在1-α置信水平下的置信区间为

n

s

t x 2α±

总体均值的区间估计（t 统计量例题分析)

【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间

解：已知Ｘ~N (μ，σ2)，n =16, 1-α = 95%，t α/2=2.131 根据样本数据计算得： ， 总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为

()

2.1503,8.14762

.13149016

77.24131.214902

=±=⨯±=±n

t x σ

α

该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时 t 分布

x n

x σσ=