(完整版)鸟头模型
几何图形模型二--鸟头模型
D
E
B C
3、在三角形ABC中，DE分别是AB、AC上的点，并且有AD：AB=2：3，
AE：AC=3：4,三角形ADE的面积为60平方厘米,求四边形DEBC的面积。
A
D
E
BC
【问题2】已知三角形DEF的面积为7，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求三角形ABC的面积。
A
F
D
B E C
【问题3】如下图，正方形的边长为6厘米，并且有AE= EC,CF= BC,求三角形DEF的面积。
的面积是35，求三角形ABC的面积。
4、如下图，在三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求四边形DGFE面积占三角形ABC的
几分之几？
5、如下图，三角形ABC的面积为1，将AB延长至D，使AB=BD,将BC延长至E，使CE=2BC,
将CA延长至F,使AF=3CA,求三角形DEF的面积。
角形ADE的面积为12，求三角形ABC的面积。
D
A
E
BC
【练习】1、如下图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB,BD=2BC,求三角形BDE的面积。
ABE
C
D
2、在三角形ABC中，DE分别是AB、AC上的点，并且有AD：AB=2：5，
AE：AC=4：7,三角形ADE的面积为12,求三角形ABC的面积。
AD
E
B F C
独立练习：
1、图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，则梯形ABCD的面积为______．
2、图中，在长方形内画了一些线，已知边上三块面积分别为13,25,49。
那么图中阴影部分的面积是________________
小学奥数-鸟头模型含解析
模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．三角形等高模型与鸟头模型【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D C B A A B C D E【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCB【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．BDCA【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．。
六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型
六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制几何五大模型——鸟头模型一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型”。
然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。
最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。
最后按一下，出公式。
）△ADE △ABC S AD ×AE =S AB ×ACE DC BA二一点在边上，一点在边的延长线上：△CDE △ABC S CD ×CE =S BC ×ACED C BA本讲要点如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ ABC的面积是平方厘米．例2 （1）如图在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC 的面积是16平方厘米，求△ABC 的面积。
（2）如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC 的面积。
例2例1已知△DEF 的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。
三角形ABC 面积为1，AB 边延长一倍到D ，BC 延长2倍到E ，CA 延长3倍到F ，问三角形DEF 的面积为多少？ F E DC B A例4例3长方形ABCD 面积为120，EF 为AD 上的三等分点，G 、H 、I 为DC 上的四等分点，阴影面积是多大？如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？ DE F P例6例51. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求CDE △的面积。
最新几何五大模型之二(鸟头定理)资料
三角形之鸟头模型共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则AC AB AE AD AC AE AB AD S S ABC ADE ⨯⨯=⨯=∆∆ (夹角两边：大大小小⨯⨯) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 例题讲解：1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2，平方厘米12=∆ADE S ，求△ABC 的面积．4、 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA AB CDE【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙5、 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA6、 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？7、 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA8、 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECDDC EB A9、 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A10、如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且13BE AB =，已知四边形EDAC 的面积是35，求三角形ABC 的面积。
小升初几何模型微课(3)——鸟头模型
几何模型突破——鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，
则这两个角叫做共角三角形。
所以
鸟头模型也叫做共角模型。
模型结论：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
相等角AC AB
AE AD S S ABC ADE ⨯⨯=∆∆
互补角AC AB
AE AD S S ABC ADE ⨯⨯=∆∆
例题如图，已知三角形A B C 面积为1，
延长A B 至D ，使B D =A B ，延长
B C 至E ，使C E =2B C ，延长C A
至F ，使A F =3A C ，求三角形
D E F 的面积。
1
1421
1231
131⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=∆∆∆∆∆∆CA CB CF CE S S AB AC AD AF S S BC BA BE BD S S ABC CEF ABC AFD ABC BDE
如图，三角形A B C面积为1．延长B A至D，使得D A=A B，延长C A至E，使E A=2A C，延长
C B至F，使F B=3B C，求三角形
D
E F的面积
课后作业如图，四边形A B C D的面积是10平方米，E A=A B，F B=B C，G C=C D，H D=D A，求四边形E F G H的面积。
(完整word版)几何五大模型之二(鸟头定理)
三角形之鸟头模型共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角 ( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比．如图在△ ABC 中， D,E 分别是 AB,AC 上的点如图 ( 或D 、 E 分别在 BA 、CA 延伸线上 ) ，则S S ADEABCAD AE AD AE(夹角两边：小小AB AC AB AC)大大即，共角三角形的面积比等于对应角 ( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比率题解说：1、如图， BD 长 12 厘米， DC 长 4 厘米， B、C 和 D 在同一条直线上。
求三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？2、如右图，已知在△ ABC中， BE=3AE，CD=2AD．若△ ADE的面积为 1 平方厘米．求三角形ABC 的面积．、如图在△ ABC 中， D 在 BA 的延伸线上， E 在AC 上，且 AB:AD= 5 : 2，AE:EC= 3: 2，3S ADE12平方厘米，求△ABC的面积．4、如图在△ABC中， D , E 分别是 AB, AC 上的点，且AD : AB2:5 ， AE : AC4:7 ，S△ADE16 平方厘米，求△ ABC 的面积．ADEB C【坚固】如图，三角形ABC 中， AB 是 AD 的5倍， AC 是 AE 的3倍，假如三角形ADE 的面积等于1，那么三角形 ABC 的面积是多少？A ADE D EB CB C【坚固】如图，三角形ABC 被分红了甲 ( 暗影部分 ) 、乙两部分，BD DC 4 ， BE 3 ， AE 6 ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？A AE乙E乙甲甲B C CD B D5、如图在△ABC中，D在BA的延伸线上， E 在 AC 上，且 AB : AD5: 2 ，AE : EC 3: 2 ，S△ADE12 平方厘米，求△ABC的面积．D DA AEEB C B C6、以以以下列图，在平行四边形ABCD 中， E 为 AB 的中点，AF 2CF ，三角形AFE(图中暗影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？D CFA E B7、已知△DEF的面积为7平方厘米，BE CE, AD 2BD , CF 3 AF ，求△ABC的面积．AFDBEC8、如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，此中AB : BE 2:5 ， BC :CD 3: 2，三角形 BDE 的面积是多少？ABE ABEC CD D9、 ( 2007 年”走美”五年级初赛试题) 以以以下列图，正方形ABCD 边长为6厘米，11AE AC ， CF BC ．三角形 DEF 的面积为_______平方厘米．33A DEBF C10、如图，在三角形 ABC中，D为 BC的中点， E 为 AB上的一点，且BE1 AB ，已知四边形EDAC3的面积是 35，求三角形 ABC的面积。
小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)
模型二 鸟头模型如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那三角形等高模型与鸟头模型么三角形ABC 的面积是多少？EDC B AA B C DE【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDES S=，5S S =乙甲．【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CBAA BCDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【例 14】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．B DCEA【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
鸟头模型
专题解析
基本形式
SADE AD AE ，从公共点所引出的两条线段的乘积比等于面积比 SABC AB AC
专题解析
基本形式
证 明 ： 连 接BE；
在ABE中 ，SADE AD ， 在ABC中 ，SABE AE ；
SABE AB
SABC AC
SADE SABE SADE ， 则SADE AD AE AD AE .
主讲老师：匠心
日期：2020.02.02
目 录
专题解析 例题讲解 总结归纳 巩固提升
专题解析
专题解析
鸟头模型 鸟头模型（共角模型）作为比例模型中基础的一种，可以通过等高模型进行推导，其主要研究的 是三角形面积比与对应线段乘积比之间的关系.
基本要求 存在公共角或互补角，总共有四种基本形式，下面分类列出，并进行证明.
专题解析
基本形式
证 明 ： 将ADE绕 点A旋 转180， 得到AD' E'；
同 第 一 种 类 型 ， 证 明 方法 同 第 一 种 类 型.
证 明 ： 将ADE绕 点A顺 时 针 旋 转90， 得到AD' E'；
同 第 二 种 类 型 ， 证 明 方法 同 第 二 种 类 型.
例题讲解
例题讲解
SCDE SCBA
CD CE CB CA
11 32
1 6
，则SCDE
1 6
例题讲解
练一练1：如图，D、E分别在BA、CA的延长线上，且AD：AB=1:2，AE：AC=1:3，已知阴影部分 的面积是10，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例2：如图，三角形ABC的面积是1平方分米，D为AB的三等分点，E、F为BC、AC的中点，求图 中阴影部分的面积.
爱提分几何第02讲鸟头模型资料
精品文档鸟头模型讲_几何第02知识图谱-一、鸟头模型三角形中的鸟头四边形中的鸟头02讲_鸟头模型几何第一：鸟头模型知识精讲两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三我们把这样的（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．角形的面积比等于对应角．的面积是：ADE的面积比△ABC图形，称为鸟头模型．如图所示，△三点剖析进而利用鸟头模型的结论简单化复杂问题，：复杂图形如何构造鸟头模型，重难点进而解决它们．题模精讲三角形中的鸟头题模一、例1.1.1面积ABCADE，，那么三角形占三角形如图，．________的精品文档．精品文档答案：解析：．根据鸟头模型，1.1.2、例ABC，中，，已知已知三角形，ABC在三角形．的面积是，那么三角形24DEF_______面积是答案：7解析：精品文档．精品文档所占比例分别为根据鸟头模型，、、．因此，、、．1.1.3例、，求阴影部BD=2AD 中，，，AG=2CGABC如图，在△面积的几分之几？分的面积占△ABC答案：解析：，故BG；．，故连结，．同理，，即．面积的ABC，故阴影部分的面积占△精品文档．精品文档四边形中的鸟头题模二、例1.2.1．三角形48，，如图，长方形ABCD的面积是．__________CEF的面积是答案：10解析：面积是△．根据鸟头模型，△CEF是CE连接BD，是BC的，CF的CD．的面积是CEFBCD面积的．那么△、例1.2.2精品文档．精品文档边上，且的面积是如图，长方形ABCD1N，是AD边的中点，在AB．．那么，阴影部分的面积为答案：解析：．．连结例1.2.3、在边DC上，，ADABCD如图，正方形中，点E在边上，点F ．_____的面积的比值是的面积与正方形，则ABCD精品文档．精品文档答案：解析：和、三块空白的面积分别占总面积的的面积的比值是，因此ABCD的面积与正方形．、例1.2.4，那60的面积是，E是CD边上的中点，ABCD 如图所示，长方形．__________的面积是么三角形AEF答案：精品文档．精品文档27解析：的面积ABF，ABCD△CEF的面积占长方形△面积的，连接BD面积的ABCD的面积占长方形ABCD面积的，△ADE占长方形面积的的面积占长方形ABCD．所以△AEF．，面积是例1.2.5、的面的面积相等．△AEFADFABCD如图在长方形中，△ABE、△、四边形AECF面积的几分之几？ABCD积是长方形答案：解析：精品文档．，同ABCD面积的，故与△ABE等底等高的长方形面积占面积的CEF面积占ABCD理．因此，，△．ABCD面积的，△AEF的面积是长方形1.2.6、例平方厘米，右上如图，长方形面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5__________角直角三角形面积为7那么中间三角形平方厘米．面积是（阴影部分）平方厘米．答案：15.5解析：，由两个直角三角形面积可设，则．阴影得，所以．面积精品文档．精品文档、例1.2.7，DE，分别为，，为正六边形．如图，ABCDEFG，HI，JK，LAB，BCCD，．请问：小正六边形占大正EF，FA边上的三等分点，形成了正六边形GHIJKL六边形面积的几分之几？答案：解析：，根；，S设正六边形ABCDEF的面积为，则；小正六边形是，因此据鸟头模型，，一样的三角形得到的，面积为大正六边形减去六个和．小正六边形占大正六边形面积的精品文档．精品文档随堂练习随练1.1、三倍．倍，中，AD的长度是BD的3AC的长度是EC的3在三角形如图，ABC．角形AED的面积是10，那么三角形ABC的面积是__________答案：20解析：面面积是△ABC是AC．根据鸟头模型，有△的ADE是ADAB的，AE．的面积是ABC20．那么△积的随练1.2、，甲乙两个图形面积的，在右图的三角形ABC中，．比是_________精品文档．精品文档答案：解析：．根据鸟头模型，，所以甲、乙两个图形面积的比是随练1.3、，，，12的面积是．已知△DEF如图所示，的面积是多少？那么△ABC答案：36解析：精品文档．，同理的面积是△ABC面积的根据鸟头模型，△AEF ABCDEF的面积是△CDE的面积都是△ABC面积的．所以△和△可得△BDF．的面积是．所以△面积的ABC、随练1.4．请问：三角形，16如图，已知长方形ADEF的面积是，．__________BCE的面积是答案：3解析：．那么△DEF面积是△面积的BCEDF连接，根据鸟头模型，可知△．BCE的面积是精品文档．精品文档、1.5随练，如果阴影的面积是在长方形如图所示，ABCD6中，，，．的面积是__________ABCD那么长方形答案：18解析：．那么阴影部分的BCD根据鸟头模型，可知△CEF面积是△面积的．阴影的面积是△BCD面积的，是长方形ABCD面积的．ABCD，那么长方形的面积是6面积是1.6随练、精品文档．精品文档的面积是中，ABCD，长方形ABCD如图，在长方形．________AEF48，那么三角形的面积是答案：12解析：ADF的面积是长方形面积的根据一半模型和等高模型，△ABE，△的面积是长方形面积的，△CEF的面积是长方形面积的，面积AEF的面积是长方形面积的，所以△是．课后作业作业1、如图所示，已知，，而且△ABC的面积是60．那．么△__________的面积是ADE 精品文档．精品文档答案：12解析：的面积是，即△的面积是△ABCADE面积的ADE根据鸟头模型，△．、作业2倍．如果△ACBDAB的长度是的4倍，的长度是EC的3中，如图，在△ABC 的面积是多少平方厘米？20平方厘米，那么△ADE的面积为ABC答案：10解析：精品文档．精品文档．由鸟头模型可知，由题意知，，平方厘米．3、作业，上的一点，且中，如右图，在三角形为为的中点，．已知四边形的面积为的面积是35，则三角形_____答案：42解析：．，易知，，故4作业、的值？如图，已知，，试求，精品文档．精品文档答案：解析：，根据鸟头模型，，同理．，因此、5作业点的四等分AAC边上靠近EAB如图所示，D是边上靠近A点的三等分点，是，那么三C是FBC边上靠近点的五等分点．如果三角形ABC的面积是24点，．的面积是DEF__________角形答案：5.6精品文档．精品文档解析：，由鸟头模型可得，，，所以．、作业6是的三等分点，边靠近CF是是如图，三角形ABC中，DAB边的中点，EAC 的面积是多少？三角形ABC边靠近BCB的四等分点，三角形的面积为1．DEF答案：解析：，，同理根据鸟头模型，．的面积是：DEF，所以三角形精品文档．精品文档7、作业如CE中，AF的长度是FD的2倍，的长度等于ED．ABCD如图，在平行四边形的面积是多少平方厘果平行四边形ABCD的面积为FDE120平方厘米，那么△米？答案：10解析：．由鸟头模型可知，，由题意知，AC连接，平方厘米．8、作业点的三等分点，边上靠近DAD96长方形ABCD的面积是平方厘米，E是如图，平方厘米．__________CCDF是边上靠近点的四等分点．阴影部分的面积是精品文档．精品文档答案：平方厘米40解析：，分别求出它们的面积．，△考虑空白△AEB，△BFCEDF，AD的；它的高为AB首先求△AEB的面积．它的底为AE，是长方形的长与长方形的宽相等．的面积是长方形面积的，即AEB所以△平方厘米．，BF 同样可求得平方厘米的面积是长方形面积的平方厘米．，即△EDF的面积是长方形面积的，阴影部分的面积为所以空白部分的总面积为作业9、精品文档．精品文档ACF2，三角形ADBADEF如图，已知长方形的面积是16，三角形的面积是ABC的面积是4．请问：三角形的面积是多少？答案：7解析：，；；，；因此，；．精品文档．。
爱提分几何第02讲鸟头模型
知识图谱几何第02讲_鸟头模型-一、鸟头模型三角形中的鸟头四边形中的鸟头一：鸟头模型知识精讲两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．我们把这样的图形，称为鸟头模型．如图所示，△ADE的面积比△ABC的面积是：．三点剖析重难点：复杂图形如何构造鸟头模型，进而利用鸟头模型的结论简单化复杂问题，进而解决它们．题模精讲题模一三角形中的鸟头例1.1.1、如图，，，那么三角形ADE占三角形ABC面积的________．答案：解析：根据鸟头模型，．例1.1.2、在三角形ABC中，已知，，，已知三角形ABC 面积是24，那么三角形DEF的面积是_______．答案：7解析：根据鸟头模型，、、所占比例分别为、、．因此，．例1.1.3、如图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，，求阴影部分的面积占△ABC面积的几分之几？答案：解析：连结BG．，故；，故，即．同理，，，故阴影部分的面积占△ABC面积的．题模二四边形中的鸟头例1.2.1、如图，长方形ABCD的面积是48，，．三角形CEF的面积是__________．答案：10解析：连接BD，CE是BC的，CF是CD的．根据鸟头模型，△CEF面积是△BCD面积的．那么△CEF的面积是．例1.2.2、如图，长方形ABCD的面积是1，是AD边的中点，N在AB边上，且．那么，阴影部分的面积为．答案：解析：连结．．例1.2.3、如图，正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边DC上，，，则的面积与正方形ABCD的面积的比值是_____．答案：解析：三块空白的面积分别占总面积的、和，因此的面积与正方形ABCD的面积的比值是．例1.2.4、如图所示，长方形ABCD的面积是60，E是CD边上的中点，，那么三角形AEF的面积是__________．答案：27解析：连接BD，△CEF的面积占长方形ABCD面积的，△ABF的面积占长方形ABCD面积的，△ADE的面积占长方形ABCD面积的．所以△AEF的面积占长方形ABCD面积的，面积是．例1.2.5、如图在长方形ABCD中，△ABE、△ADF、四边形AECF的面积相等．△AEF的面积是长方形ABCD面积的几分之几？答案：解析：与△ABE等底等高的长方形面积占ABCD面积的，故，同理．因此，，△CEF面积占ABCD面积的，△AEF的面积是长方形ABCD面积的．例1.2.6、如图，长方形面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5平方厘米，右上角直角三角形面积为7平方厘米．那么中间三角形（阴影部分）面积是__________平方厘米．答案：15.5解析：设，则，由两个直角三角形面积可得，所以．阴影面积．例1.2.7、如图，ABCDEF为正六边形．G，H，I，J，K，L分别为AB，BC，CD，DE，EF，FA边上的三等分点，形成了正六边形GHIJKL．请问：小正六边形占大正六边形面积的几分之几？答案：解析：设正六边形ABCDEF的面积为S，则；，，根据鸟头模型，，因此；小正六边形是大正六边形减去六个和一样的三角形得到的，面积为，小正六边形占大正六边形面积的．随堂练习随练1.1、如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍．三角形AED的面积是10，那么三角形ABC的面积是__________．答案：20解析：AD是AB的，AE是AC的．根据鸟头模型，有△ADE面积是△ABC面积的．那么△ABC的面积是20．随练1.2、在右图的三角形ABC中，，，甲乙两个图形面积的比是_________．答案：解析：根据鸟头模型，，所以甲、乙两个图形面积的比是．随练1.3、如图所示，，，．已知△DEF的面积是12，那么△ABC的面积是多少？答案：36解析：根据鸟头模型，△AEF的面积是△ABC面积的，同理可得△BDF和△CDE的面积都是△ABC面积的．所以△DEF的面积是△ABC 面积的．所以△ABC的面积是．随练1.4、如图，已知长方形ADEF的面积是16，，．请问：三角形BCE的面积是__________．答案：3解析：连接DF，根据鸟头模型，可知△BCE面积是△DEF面积的．那么△BCE的面积是．随练1.5、如图所示，在长方形ABCD中，，，如果阴影的面积是6，那么长方形ABCD的面积是__________．答案：18解析：根据鸟头模型，可知△CEF面积是△BCD面积的．那么阴影部分的面积是△BCD面积的，是长方形ABCD面积的．阴影的面积是6，那么长方形ABCD的面积是．随练1.6、如图，在长方形ABCD中，，长方形ABCD的面积是48，那么三角形AEF的面积是________．答案：12解析：根据一半模型和等高模型，△ABE的面积是长方形面积的，△ADF 的面积是长方形面积的，△CEF的面积是长方形面积的，所以△AEF的面积是长方形面积的，面积是．课后作业作业1、如图所示，已知，，而且△ABC的面积是60．那么△ADE的面积是__________．答案：12解析：根据鸟头模型，△ADE的面积是△ABC面积的，即△ADE的面积是．作业2、如图，在△ABC中，AB的长度是BD的4倍，AC的长度是EC的3倍．如果△ABC的面积为20平方厘米，那么△ADE的面积是多少平方厘米？答案：10解析：由题意知，，．由鸟头模型可知，平方厘米．作业3、如右图，在三角形中，为的中点，为上的一点，且，已知四边形的面积是35，则三角形的面积为_____．答案：42解析：易知，，故，．作业4、如图，已知，，，试求的值？答案：解析：根据鸟头模型，，同理，，因此．作业5、如图所示，D是AB边上靠近A点的三等分点，E是AC边上靠近A点的四等分点，F是BC边上靠近C点的五等分点．如果三角形ABC的面积是24，那么三角形DEF的面积是__________．答案：5.6解析：由鸟头模型可得，，，，所以．作业6、如图，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边靠近C的三等分点，F是BC边靠近B的四等分点，三角形ABC的面积为1．三角形DEF的面积是多少？答案：解析：根据鸟头模型，，同理，，所以三角形DEF的面积是：．作业7、如图，在平行四边形ABCD中，AF的长度是FD的2倍，CE的长度等于ED．如果平行四边形ABCD的面积为120平方厘米，那么△FDE的面积是多少平方厘米？答案：10解析：连接AC，由题意知，，．由鸟头模型可知，平方厘米．作业8、如图，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD边上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是__________平方厘米．答案：40平方厘米解析：考虑空白△AEB，△BFC，△EDF，分别求出它们的面积．首先求△AEB的面积．它的底为AE，是长方形的长AD的；它的高为AB，与长方形的宽相等．所以△AEB的面积是长方形面积的，即平方厘米．同样可求得△BFC的面积是长方形面积的，即平方厘米．△EDF的面积是长方形面积的，即平方厘米．所以空白部分的总面积为，阴影部分的面积为作业9、如图，已知长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是2，三角形ACF 的面积是4．请问：三角形ABC的面积是多少？答案：7解析：；，；，；因此，；．。
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两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC
上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
图⑴ 图⑵
E
D
C B A
D
E C
B A
E
D
C B A
例题1
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且
:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求
ABC △的面积．
第 5 讲
【巩固】 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE
的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？
【巩固】 如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，
乙部分面积是甲部分面积的几倍？
【巩固】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面
E
D C B
A
E
D
C B A
乙甲
E
D C B A
例题3 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，
三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形
的面积是多少平方厘米？
例题2 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求
ABC △的面积．
积．
【巩固】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
【习题1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且178:：=AB AD ，
32:：=AC AE ，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
F
E D
C B
A
F
E D C B
A
H
G A
B C D
E F E
D
C B A
例题4 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，
求三角形DEF 的面积．
【习题2】如图16-4，已知．AE=
15AC ，CD=14BC ，BF=16
AB ，那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?
【习题3】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？
【习题4】如图，把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?
A B E C D
D C
E B
A。