内蒙古赤峰市乌丹一中高中数学 圆的一样方程学案
圆的一般方程导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.4.2 圆的一般方程学习目标：1.探索并掌握圆的一般方程.2.能判断圆的一般方程并求圆心及半径.3.会利用待定系数法求圆的一般方程.重难点：重点：求圆的一般方程及其圆心半径难点：圆的一般方程的探究过程探索新知：活动一 探究圆的一般方程复习：圆的标准方程是什么？写出以C(1，-2)为圆心，2为半径的圆的标准方程是什么？思考1►►►将以上圆的标准方程展开后可得到什么式子？那么二元二次方程与圆有着怎样的关系呢？是否所有的二元二次方程表示的就是圆呢？(1) x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋8＝0；(2) x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋2＝0；(3) x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0.探究►►►形如022=++++C Ey Dx y x 的方程，它要表示圆，系数D 、E 、F 需要满足什么条件呢？方程022=++++C Ey Dx y x 配方得(1)当 时，方程表示一个点，该点的坐标为 .(2)当 时，方程不表示任何图形.(3)当 时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为 ，半径为 .上述方程称为圆的一般方程.思考2►►►圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？活动二巩固圆的一般方程，能由圆的一般方程确定圆心和半径例1 下列方程是否表示圆？若表示圆，写出其圆心的坐标和半径．（1）x2+2y2－6x+4y-1=0（2）x2+y2－12x+6y+50=0（3）x2+y2－3xy+5x+2y=0（4）2x2+2y2－12x+4y=0（5）x2+y2－2x+4y-4=0活动三能根据已知条件求圆的方程例2 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的一般方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．思考3►►►确定一个圆的一般方程需要几个独立条件？方法点拨：用待定系数法求圆的方程的步骤：(1) 设：根据题意，设圆的标准方程或一般方程；(2) 列：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3) 解：解方程组得到a，b，r或D，E，F的值；(4) 代：代入圆的标准方程或一般方程，即可得解；练习△ABC的三个顶点分别为A(0，0)，B(1,0)，C(0,-1)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．课堂小结这节课你学到了什么？有什么收获？。
新教材高中数学第二章直线和圆的方程4-2圆的一般方程学案新人教A版选择性必修第一册
圆的一般方程【学习目标】1.圆的一般方程的概念当时,二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．其中圆心为,圆的半径为r ＝.2.对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的讨论①D 2＋E 2－4F ＞0时表示圆．②D 2＋E 2－4F ＝0时表示点.③D 2＋E 2－4F ＜0时,不表示任何图形．思考：方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？【小试牛刀】1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )2.二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程.( )3.若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆,则E ≠0.( )4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( )【经典例题】题型一圆的一般方程的认识 注意：判断方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆,关键是将其配方⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4,最后转化为判断D 2＋E 2－4F 的正负问题．例1 若方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆,则a 的取值范围是________．[跟踪训练]1下列方程各表示什么图形？若表示圆,求出其圆心坐标和半径长．①x 2＋y 2－4x ＝0；②2x 2＋2y 2－3x ＋4y ＋6＝0；③x 2＋y 2＋2ax ＝0.题型二求圆的一般方程注意：确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)；(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组；(3)解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(－2,3),C(4,－5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[跟踪训练]2 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0,圆心在直线x＋y－1＝0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程．题型三与圆有关的轨迹问题注意：求涉及到曲线的轨迹问题时,一般有两种方法：一是直接法,即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法,代入法也叫相关点法,就是把动点(x,y)与相关点(x0,y0)建立等式,再把x0,y0用x,y 表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制．例3 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；[思路探究](1)设点P坐标→用P，A坐标表示点M坐标→求轨迹方程(2)求BP 的中点E 的轨迹方程．[跟踪训练]3 设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ,点P 在圆上,则PA 的中心M 的轨迹方程是________．【当堂达标】1．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( )A ．一个点B ．一个圆C ．一条直线D ．不存在 2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆,则实数m 的取值范围是( )A ．m ＜12B ．m ≤12C ．m ＜2D ．m ≤23.圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的面积为( )A.8πB.4πC.2πD.π 4．若方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆,则λ的取值范围是( )A ．(1,＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1C ．(1,＋∞)∪⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15 D ．R 5．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ,点P 在圆上,则PA 的中心M 的轨迹方程是________．6.若点M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0内一点,则过点M (3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )A.x ＋y －3＝0B.x －y －3＝0C.2x－y－6＝0D.2x＋y－6＝07.如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.【参考答案】【自主学习】D 2＋E 2－4F ＞0⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E212D 2＋E 2－4F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2 A ＝C ≠0,B ＝0且D 2＋E 2－4F ＞0.【小试牛刀】(1)√ (2)× (3)√ (4)√【经典例题】例1 (－∞,1) [把方程配方得(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1－a ,由条件可知1－a ＞0,即a ＜1.][跟踪训练]1[解] ①方程可变形为(x －2)2＋y 2＝4,故方程表示圆,圆心为C (2,0),半径r ＝2.②方程可变形为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋2(y ＋1)2＝－238,此方程无实数解．故方程不表示任何图形．③原方程可化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2.当a ＝0时,方程表示点(0,0),不表示圆；当a ≠0时,方程表示以(－a,0)为圆心,|a |为半径的圆．例2 [解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,∵A ,B ,C 在圆上,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0,即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴外心坐标为(1,－1),外接圆半径为5.法二：∵k AB ＝4－31＋2＝13,k AC ＝4＋51－4＝－3,∴k AB ·k AC ＝－1,∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形,∴外心是线段BC 的中点,坐标为(1,－1),r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.[跟踪训练]2 [解] 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2,∵圆心在直线x ＋y －1＝0上,∴－D 2－E2－1＝0,即D ＋E ＝－2. ①又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2,∴D 2＋E 2＝20. ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限,∴－D 2＜0,即D ＞0.则⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.例3 [解] (1)设线段AP 的中点为M (x ,y ),由中点公式得点P 坐标为(2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上,∴(2x －2)2＋(2y )2＝4,故线段AP 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.（2）设点E(x,y),P(x0,y0)．∵B(1,1),∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x0＋12，y ＝y0＋12.整理得x0＝2x －1,y0＝2y －1,∵点P 在圆x2＋y2＝4上,∴(2x－1)2＋(2y －1)2＝4,整理得点E 的轨迹方程为x2＋y2－x －y －12＝0. [跟踪训练]3 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 [由条件知A (2,－1),设M (x ,y ),则P (2x －2,2y ＋1),由于P 在圆上, ∴(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0,整理得x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.]【当堂达标】1.A [方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0,可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0,即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0,∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1,－2)．]2. A [由D 2＋E 2－4F ＞0得(－1)2＋12－4m ＞0,解得m ＜12,故选A.] 3. C 解析 原方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2,∴半径r ＝2,∴圆的面积为S ＝πr 2＝2π.4. A [因为方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆,所以D 2＋E 2―4F ＞0,即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0,解不等式得λ＞1,即λ的取值范围是(1,＋∞)．故选A.] 5. x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0由条件知A (2,－1),设M (x ,y ),则P (2x －2,2y ＋1),由于P 在圆上,∴(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0,整理得x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.6. C 解析 圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0的圆心坐标为(4,2),则过点M (3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由k ＝2－04－3＝2,可知C 正确. 7. 解 设B 点坐标是(x ,y ),点A 的坐标是(x 0,y 0),由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点,所以4＝x 0＋x 2,3＝y 0＋y 2,于是有x 0＝8－x ,y 0＝6－y .①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动,所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4,即(x0＋1)2＋y20＝4,②把①代入②,得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4,整理,得(x－9)2＋(y－6)2＝4. 所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.。
新教材高中数学第2章直线和圆的方程2 42 4 2圆的一般方程学案新人教A版选择性必修第一册
2.4.2 圆的一般方程学 习 任 务核 心 素 养1.掌握圆的一般方程及其特点．(重点)2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，会由一般式求圆心和半径．(易混点)3.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程．(重点、难点)1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养.2. 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.把圆的标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝9中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？知识点 圆的一般方程 (1)圆的一般方程当D 2＋E 2－4F >0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆． (2)方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形 条件 图形 D 2＋E 2－4F <0 不表示任何图形 D 2＋E 2－4F ＝0 表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2 D 2＋E 2－4F >0表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆 已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，当点M 在圆外、圆上、圆内时，x 0，y 0满足怎样的关系式？〖提示〗 点M 在圆外⇔x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0；点M 在圆上⇔x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0；点M 在圆内⇔x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <0.(1)圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标是________．(2)若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F ＝________. (1)(3,0) (2)4 〖(1)方程x 2＋y 2－6x ＝0可化为(x －3)2＋y 2＝9，则圆心坐标为(3,0)．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－D2＝2，－E2＝－4，12D 2＋E 2－4F ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝8，F ＝4.〗类型1 圆的一般方程满足的条件〖例1〗 (1)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(2)若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆． ①求实数m 的取值范围； ②写出圆心坐标和半径．(1)(－2，－4) 5 〖方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则a 2＝a ＋2，故a ＝－1或2.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，亦即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54，不成立，故舍去；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.〗(2)〖解〗 ①法一：根据D 2＋E 2－4F >0求解． 由表示圆的条件，得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，解得m <15，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，15. 法二：化为圆的标准方程求解．方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0可化为 (x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m . 由题意知1－5m >0，即m <15.所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，15. ②将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，故圆心坐标为(－m ,1)，半径r ＝1－5m .二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法：(1)计算D 2＋E 2－4F ，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形．(2)将该方程配方为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E22＝D 2＋E 2－4F 4，根据圆的标准方程来判断．〖跟进训练〗1．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．〖解〗 法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2.因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝5|m －2|. 类型2 求圆的一般方程〖例2〗 (对接教材P 86例题)已知△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点分别是D (5,3)，E (4,2)，F (1,1)．(1)求△ABC 的边AB 所在直线的方程及点A 的坐标； (2)求△ABC 的外接圆的方程．〖解〗 (1)由题意可知k ED ＝k AB ＝3－25－4＝1，又F (1,1)为AB 的中点，∴AB 所在直线的方程为y －1＝1·(x －1)，即x －y ＝0.① 同理CA 所在直线的方程为x －2y ＝0，② 联立①②，得A (0,0)．因此直线AB 的方程为x －y ＝0，点A 的坐标为(0,0)．(2)由线段AB 的中点F (1,1)及A (0,0)得B (2,2)，由线段AC 的中点E (4,2)及A (0,0)得C (8,4)， 设△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 的坐标代入圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋4＋2D ＋2E ＋F ＝0，64＋16＋8D ＋4E ＋F ＝0，解方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－16，E ＝12，F ＝0，∴圆的方程为x 2＋y 2－16x ＋12y ＝0.试总结用待定系数法求圆的一般方程的步骤．〖提示〗 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. (2)根据已知条件，建立关于D ，E ，F 的方程组． (3)解此方程组，求出D ，E ，F 的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．〖跟进训练〗2．(1)圆心在直线y ＝x 上，且经过点A (－1,1)，B (3，－1)的圆的一般方程是________． (2)已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求△ABC 的外接圆的方程． (1)x 2＋y 2－4x －4y －2＝0 〖设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心是⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－D2＝－E2，2－D ＋E ＋F ＝0，10＋3D －E ＋F ＝0，解得D ＝E ＝－4，F ＝－2，即所求圆的一般方程是x 2＋y 2－4x －4y －2＝0.〗(2)〖解〗 设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 类型3 求动点的轨迹方程〖例3〗 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，点B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．线段的中点，直角三角形斜边的中点，圆中弦的中点都有怎样的性质？由此你能得到什么结论？〖解〗 (1)设线段AP 的中点M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋x 02，y ＝0＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y .又P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， ∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，∴(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ (图略)， ∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， ∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：若动点P (x ，y )依赖圆上的某一个动点Q (x 0，y 0)而运动，找到两点的关系，把x 0，y 0用x ，y 表示，再将点Q 的坐标代入到已知圆的方程中得P 点的轨迹方程．提醒：注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的．〖跟进训练〗3．(1)已知圆x 2＋y 2＝1，点A (1,0)，△ABC 内接于圆，且∠BAC ＝60°，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点D 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝12B ．x 2＋y 2＝14C ．x 2＋y 2＝12⎝⎛⎭⎫x <12 D ．x 2＋y 2＝14⎝⎛⎭⎫x <14 (2)已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线为定长3，求顶点C 的轨迹方程． (1)D 〖设D (x ，y )，由∠BAC ＝60°知∠BOD ＝60°，在Rt △BOD 中， ∠DBO ＝30°，则OD ＝12OB ＝12，∴x 2＋y 2＝14，当C →A 时，∠DAO ＝30°，AD ＝32，此时x ＝14， ∴BC 中点D 的轨迹方程是x 2＋y 2＝14⎝⎛⎭⎫x <14，故选D ．〗(2)〖解〗 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ② 将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36. ∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为( ) A ．(4，－6)，16 B ．(2，－3)，4 C ．(－2,3)，4D ．(2，－3)，16C 〖圆的方程可化为(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，因此圆心坐标为(－2,3)，半径r ＝4，故选C ．〗 2．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )D 〖原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a ＝0，y ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b .∴方程表示点(－a ，－b )．〗3．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( ) A ．m <12 B ．m >12C ．m <1D ．m >1A 〖由二元二次方程表示圆的充要条件可知，(－1)2＋12－4m >0，解得m <12，故选A ．〗4．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________． x 2＋y 2－2x ＝0 〖设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋02＋2D ＋0＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0， 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.〗5.长度为6的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为________．x 2＋y 2＝9 〖设M (x ，y )，因为△AOB 是直角三角形，所以|OM |＝12|AB |＝3为定值，故M的轨迹为以O 为圆心，3为半径的圆，故x 2＋y 2＝9即为所求．〗回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)试写出圆的一般方程.〖提示〗 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0).(2)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，需满足什么条件？ 〖提示〗 A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0. (3)求动点的轨迹方程有哪些常用方法？ 〖提示〗 直接法、定义法、相关点法.。
高一数学圆的一般方程教案..
课题：圆的一般方程1、知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
会求动点M 的坐标),(y x 满足的关系式。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
2、过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
3、情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
1、本节教材的理论知识有问题提出、探索研究、思考交流三个板块组成。
编写形式上采用了特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。
第一板块 问题提出解读 方程对给出的方程通过配方，化成圆的标准方程的形式，第一个方程为4)2()1(22=++-y x ，它表示以(1，-2)为014222=++-+y x y x 表示什么图形？方程064222=+--+y x y x 表示什么图形？圆心，2为半径的圆；第二个方程为1)2()1(22-=-+-y x ，由于不存在点的坐标),(y x 满足这个方程，所以它不表示任何图形。
第二板块 探索研究解读 方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++。
(1)当0422>-+F E D 时，方程表示以)2,2(E D --为圆心，F E D 42122-+为半径的圆； (2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点 )2,2(E D --； (3) 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图 形。
关于y x ,的二元二次方程 022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 成为圆方程的充要条件是(1)2x 和2y 的系数相同且不等于0，即A=C ≠0；(2)没有xy 这样的二次项，即B=0；(3) 0422>-+AF E D 。
高一数学《圆标准方程》教学设计
高一数学《圆的标准方程》教课方案【小编寄语】查词典数学网小编给大家整理了高一数学《圆的标准方程》教课方案，希望能给大家带来帮助!教课目的(一 )知识目标1.掌握圆的标准方程：依据圆心坐标、半径娴熟地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中娴熟地求出圆心坐标和半径;2.理解并掌握切线方程的研究过程和方法。
(二 )能力目标1.进一步培育学生用坐标法研究几何问题的能力;2.经过教课，使学生学习运用察看、类比、联想、猜想、证明等合情推理方法，提升学生运算能力、逻辑思想能力;3.经过运用圆的标准方程解决实质问题的学习，培育学生察看问题、发现问题及剖析、解决问题的能力。
(三 )感情目标经过运用圆的知识解决实质问题的学习，理解理论根源于实践，充足调换学生学习数学的热忱，激发学生自主研究问题的兴趣，同时培育学生勇于研究、坚毅不拔的意志质量。
教课重、难点(一 )教课要点圆的标准方程的理解、掌握。
(二 )教课难点圆的标准方程的应用。
教课方法采纳指引―研究式的教课方法。
教课手段借助多媒体进行协助教课。
教课过程Ⅰ.复习发问、引入课题师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。
请同学们考虑：如何求合适某种条件的点的轨迹?生：①成立合适的直角坐标系，设曲线上任一点M 的坐标为 (x， y); ②写出合适某种条件 p 的点 M 的会合 P={M ︳p(M) ｝ ;③用坐标表示条件，列出方程 f(x,y)=0; ④化简方程f(x,y)=0 为最简形式。
⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点(一般省略 )。
[ 多媒体演示 ]师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。
用这四步曲我们能够求合适某种条件的任何曲线方程，今日我们来看圆这类曲线的方程。
[ 给出标题 ]师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为 5 的圆的方程：x2+y2=52即x2+y2=25.若半径发生变化，圆的方程又是如何的?可否写出圆心在原点，半径为r 的圆的方程 ?生： x2+y2=r2.师：你是如何获得的?(指引启迪 )圆上的点知足什么条件?生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。
高中数学《圆的方程》教案
高中数学《圆的方程》教案作为一位默默奉献的教育工作者，常常会需要准备好教案，通过教案准备可以更好地根据具体情形对教学进程做适当的必要的调剂。
优秀的教案都具有一些什么特点呢?这里给大家分享一些关于高中数学圆的方程教案，方便大家学习。
高中数学《圆的方程》教案1、教学目标(1)知识目标：1、在平面直角坐标系中，探索并掌控圆的标准方程;2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程;3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。
(2)能力目标：1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的知道;3、增强学生用数学的意识。
(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交换的意识，在体验数学美的进程中激发学生的学习爱好。
2、教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其运用。
(2)教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程②挑选恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3、教学进程(一)创设情境(启发思维)问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。
7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?[引导]：画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0)将x=2。
7代入，得即在离隧道中心线2。
7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程?答：x2+y2=r22、如果圆心在，半径为时又如何呢?[学生活动]：探究圆的方程。
[教师预设]：方法一：坐标法如图，设M(x，y)是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M合适的条件可表示为①把①式两边平方，得(x―a)2+(y―b)2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法(三)运用举例(巩固提高)I.直接运用(内化新知)问题三：1、写出下列各圆的方程(课本P77练习1)(1)圆心在原点，半径为3;(2)圆心在，半径为(3)经过点，圆心在点2、根据圆的方程写出圆心和半径II.灵活运用(提升能力)问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
圆的一般方程学案
4.1.2圆的一般方程学案预习案（限时20分钟）学习目标：掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程；相关点法求曲线轨迹方程．学习重点：待定系数法求圆的方程．预习指导：阅读课本第121页--第123页思考一： 二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？________________________ 下列方程中表示圆的是______，表示点的是______，不表示任何图形的是______①222460x y x y +--+=；②222410x y x y +-++=；③2262100x y x y ++++=思考二： 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 思考三： 课本P122例4你还有什么方法可以求解？自学总结：待定系数法求圆的方程基本步骤：1.2.3.预习检测：1．圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为 （ ）A ．（-2，3），13B ．（-2，3C ．（2，-3D ．（2，-3），13 2．方程022=++-+c by ax y x 表示圆心为（1，2），半径为1的圆，则c b a ,,的值依次为 （ ）A ．-2，-4，4B ．2，-4，4C ．2，-4，-4D ．-2，4，-43．在平面直角坐标系中，经过A （5，1），B （6，0），C （-1，1）三点的圆的方程为 ．4．当动点P 在圆222=+y x 上运动时，它与定点A （3，1）连线的中点Q 的轨迹方程是 ．5．已知△ABC 的顶点为A （0，5），B （1，-2），C （-3，-4）．（1）求AB 边上的高所在的直线方程； （2）求△ABC 外接圆的标准方程．巩固练习1．与圆036422=++-+y x y x 同圆心，且过（1，-1）的圆的方程是 （ ） A ．086422=-+-+y x y x B ．086422=++-+y x y xC ．086422=+-++y x y xD ．086422=--++y x y x2．方程01222=++-+y ax y x 不能表示圆，则实数a 的值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．23．点M ，N 是圆04222=-+++y kx y x 上的不同两点，且点M ，N 关于直线01=+-y x 对称，则该圆的半径等于 （ ）A ．BC ．3D ．1 4．一束光线从点A （4，1）出发，经x 轴反射到圆2)2()2(:22=-+-y x C 上的最短路程是 （ ）A B ． C D5．若方程04222=+-++a y x y x 表示圆，则实数a 的取值范围是 ，它的圆心坐标是 ．6．已知圆经过点A （2，4）、B （3，5）两点，且圆心C 在直线022=--y x 上．求圆C 的方程．7．已知两点A （-2，0），B （2，0），动点P 与A ，B 连线斜率之积为定值1-．（1）求动点P 的轨迹方程； （2）求动点P 到直线250x y -+=距离的最小值．。
高一数学圆的一般方程学案
圆的一般方程班级： 姓名： 组内评价： 教师评价：【学习目标】1、掌握圆的一般方程，会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程2、能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程.【重难点】会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程.【自主预习案】知识回顾：圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程: 问题：在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？如ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆方程．这道题怎样求？有几种方法？问题：若圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，动手试试展开后的方程的结构形式?圆的一般方程为：问题：若方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程，有什么要求？规律总结：①2x 和2y 的系数相同②没有xy 项③确定圆的一般方程只需要确定方程中,,D E F④方程Ey Dx y x +++22+F =0不一定表示圆【合作探究案】例1、已知ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．变式训练：已知ABC ∆的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．例2、某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3需要一个支柱支撑，求该圆拱所在圆的方程例3、（1）方程2240x y x +-=是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
（2）已知方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，求m 的取值范围．【当堂检测案】1、二元一次方程044222=-+-+y x y x 是否表示圆？如果是求出圆心坐标和半径？2、如果方程Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直线x y =对称，那么必有3、求经过点)14( ，A ，)36( -，B ，)03( ，C 的圆的方程．学习反思：。
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内蒙古赤峰市乌丹一中高中数学圆的一样方程学案新人教A版必修2 课题圆的一般方程主备人
学习重点：1.会用待定系数法求圆的一般方程
2.标准方程与一般方程互化
学习难点：通过对含参数的二元二次方程的研究，探索二元二次方程表示圆的充要条
件。
学习方法：
学习过程：
认真阅读教材P121-P122内容，完成下列问题
【基础知识】 22222222221.x +y +Dx+Ey+F=0_____.
D +
E -4F=0D +E -4F<0..x +y -2x+4y=02.x +y -4x 250k ____y ++=二元二次方程，在什么情况下叫圆的一般方程，
其圆心为______，半径为当时，表示_____________________
当时，表示_____________________
2基础训练
（1）圆圆心坐标为_________
（）表示圆，则的范围_________
【例
题讲解】
时间 安
排 学习小结：
备
注。