离散数学迪杰斯特拉算法最短路径教案
单源最短路径Dijkstra算法详解与教学设计
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６—０ ９— ２ ２
作者简介 ： 杜衡 吉 ， 曲靖 师范学院信 息工程 学院讲师 ， 主要从事计算数 学及计 算机应 用研 究
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６ ６・
杜衡 吉： 单源最短路径 Ｄ ｉ ｊ ｋ ｓ ｔ ｒ ａ 算 法详 解与教 学设计
与 中顶点 ｋ 相邻 ， 则ｄ ｉ ｓ ｔ （ ｋ ） ＝ （ 。 ， ｋ ） 正常
有 权值 ， 若 ％与 ｋ 点 不相邻 ， 则ｄ ｉ ｓ ｔ （ ｋ ）＝ 。 。 ．
（ ２ ） Ｓ ＝｛ Ａ， Ｃ ｝ ， Ｕ＝｛ Ｂ ， Ｄ ， Ｅ ， Ｆ ｝ ， 此时最短 路径 ： Ａ － ＋ Ａ： ０ Ａ ． ＋ ｃ： ３ ．
假 设 Ｐ（ ｉ ， ）＝ ｛ … ． ． ． … ｝ 是从 顶
点 到 的最短路 径 ， 则有 Ｐ（ ｉ ， ）＝ Ｐ（ ｉ ， ． 】 ｝ ）＋
径． Ｄ ｉ ｊ ｋ ｓ ｔ ｒ ａ 算法求最短 路径 在很 多专业课程 中
都有 介绍 ， 如《 离散数 学 》 、 《 数 据结构 》 等 课程 ．
｛ … ． ． ． … ｝ 是从顶点 Ｖ ｉ 到 的最短路 径， 和 是 这 条 路 径 上 的 中 间 顶 点 ， 那么 Ｐ
（ ｜ ｉ ｝ ， ｓ ） 必 定 是从 到 的最短 路径 ．
下面证明该性质 的正确性 ：
①初始时 ， ． ｓ 只包含源点， 即 Ｓ＝｛ ｝ ， 。 的 距离为 ０ ． Ｕ包 含 除 外 的其 他 顶 点 ， 即： Ｕ：｛ ｝ ． 定 义集 合 中的顶 点 的距 离 ： 若
的递增次序依次把第二个集合 中的顶点加人 ５
２ 最短 路 径 的 最优 子 结 构性 质
最优 子 结 构 性 质 描 述 ： 如 果 Ｐ（ ， ）＝
人教版初二数学上册《最短路径优化》教案
人教版初二数学上册《最短路径优化》教案您好！下面是初二数学上册《最短路径优化》教案的文档内容：一、教学目标1. 了解什么是最短路径问题并能描述其应用场景。
2. 掌握求解最短路径的算法——迪杰斯特拉算法。
3. 能运用迪杰斯特拉算法解决实际问题。
二、教学重点1. 掌握迪杰斯特拉算法的基本原理和步骤。
2. 学会应用迪杰斯特拉算法求解最短路径。
三、教学内容与步骤第一节：最短路径问题1. 引入最短路径问题的背景和定义。
2. 分析最短路径问题的应用场景，如交通网络、电信网络等。
3. 引导学生思考最短路径问题的解决方法。
第二节：迪杰斯特拉算法的原理与步骤1. 讲解迪杰斯特拉算法的基本原理，即从起点出发逐步确定各点到起点的最短路径信息。
2. 分步教授迪杰斯特拉算法的具体步骤：- 初始化：设定起点和各个点的初始距离。
- 遍历节点：循环遍历所有节点并更新距离信息。
- 选定最短路径：选择未访问节点中距离最短的节点，更新相关距离信息。
- 循环迭代：重复上述步骤直至找到终点或所有节点被遍历。
- 输出最短路径：根据记录的距离和路径信息输出最短路径。
第三节：应用迪杰斯特拉算法求解最短路径问题1. 提供实际问题案例，如求解某城市交通网络中的最短路径。
2. 引导学生运用迪杰斯特拉算法解决实际问题。
3. 结合具体案例进行演示和讲解。
四、教学提示1. 提前准备好案例材料和计算工具，方便学生进行实践操作。
2. 在讲解算法原理时，尽量通过简单的图示和实例来帮助学生理解。
3. 鼓励学生积极思考和提出问题，引导他们主动参与探索过程。
五、教学评价1. 设计合适的小组活动，让学生在小组中互相交流、合作，提高彼此的理解和应用能力。
2. 结合实际案例，布置课后练和作业，检验学生对迪杰斯特拉算法的掌握情况。
该教案主要通过引入最短路径问题及其应用场景，讲解迪杰斯特拉算法的原理和步骤，并提供实际问题案例进行实践操作，旨在帮助学生掌握最短路径优化的基本概念和解决方法。
最短路问题Dijkstra Floyd 算法PPT学习教案
在所有vj∈X2中， ∵ u2= 6 ，u3+w32=3+2=5， 即 u3+w32< u2
∴ 修改临时标号u2= 5 ，2=3 ，其余标号不变。
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k=2 +1=3 ∵ min{u5，u6，u7，u8，u9} =min{6，11， ，，}
=6= u5
∴ 点v5得永久标号， 5=2 ，
X4={v1，v4 ，v3 ，v2， v5}， X4={v6 ，v7，v8 ，v9}， 在所有vj∈X4中， ∵ u6= 11 ，u5+w56=6+4=10， 即 u5+w56< u6 u7= ，u5+w57=6+3=9， 即 u5+w57< u7 u8= ，u5+w58=6+6=12， 即 u5+w58< u8
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迪杰斯特拉算法最短路径求解
迪杰斯特拉算法最短路径求解【最新版】目录一、迪杰斯特拉算法简介二、迪杰斯特拉算法原理三、迪杰斯特拉算法应用实例四、迪杰斯特拉算法的优缺点五、总结正文一、迪杰斯特拉算法简介迪杰斯特拉算法，又称 Dijkstra 算法，是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于 1959 年提出的一种求解最短路径的算法。
该算法主要应用于有向图中最短路径问题的求解，其特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra 算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率较低。
二、迪杰斯特拉算法原理迪杰斯特拉算法的核心思想是贪心，每次都查找与该点距离最近的点。
算法的基本流程如下：1.创建一个集合 S，用于存储已确定最短路径的顶点；2.初始化源顶点到其他所有顶点的距离为无穷大，源顶点到自身的距离为 0；3.从未确定最短路径的顶点中选择距离源顶点最近的顶点，将其加入集合 S；4.更新与该顶点相邻的顶点的距离：如果从源顶点经过这个被访问的顶点可以更新它们的距离，则更新它们的距离；5.重复步骤 3 和 4，直到所有顶点的最短路径都确定为止。
三、迪杰斯特拉算法应用实例迪杰斯特拉算法可以应用于各种最短路径问题的求解，例如：1.在社交网络中，找到两个用户之间的最短路径；2.在地图导航系统中，为用户规划最短行驶路线；3.在物流配送中，计算货物从起点到终点的最短运输距离等。
四、迪杰斯特拉算法的优缺点迪杰斯特拉算法的优点是能得出最短路径的最优解，可靠性较高。
然而，它也存在以下缺点：1.算法需要遍历计算的节点较多，效率较低；2.由于算法是以贪心思想为基础，因此无法解决存在负权边的图的最短路径问题。
五、总结迪杰斯特拉算法是一种求解最短路径的经典算法，它适用于有向图中最短路径问题的求解。
虽然该算法的效率较低，但在一些特定的应用场景中，它仍然具有较高的实用价值。
数据结构教学课件5-16迪杰斯特拉算法思路及步骤
荷兰计算机科学家迪杰斯特拉（Dijkstra）提出来一种按路径长 度递增的顺序产生各顶点最短路径的算法。该算法要求图中边上的 权值必须是非负实数。
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1.6 迪杰斯特拉算法思路及步骤
二、迪杰斯特拉算法
设G=(V,E)是含有n个顶点的带权图，s为源点，另设顶点集S和T=V-S，S用于存放已找到最 短路径的顶点，T用于存放当前还未找到最短路径的顶点。
③重新估计：顶点vj加入S后，对 T中的每个顶点vk，从源点s到顶点vk 的估计D[k]或者是原来的D[k]；或者 是经过S的路径(s,vj,vk)，此时 D[k]=D[ j]+边(vj,vk)或弧<vj,vk>上 的权值，这时vj是vk的前驱，用vj修 正P[k]。转向④。
步骤
④若T为空，算法结束，此时，S 中的顶点序列便是按最短路径递增顺 序产生的顶点序列，向量D中各元素 的值就是从源点s到V中各顶点最短路 径的权值，向量P记录了从源点s到V 中各顶点最短路径；否则，转向②。
权值，从一个顶点到另一个顶点路
径权值最小的路径，称为最短路径
。
2. 源点和终点 路径的开始顶点称为源点(Source)， 路径的最后一个顶点称为终点
2 (Destination)。
04
1.6 迪杰斯特拉算法思路及步骤
3. 最短路径问题
【示例5-15】某交通网络由若干个城市和多条道路组成，从一个城市到另一个城市可能有多条 道路，现有如下问题需要解决。
①初始化：初始时S只包含源点s； T包含其它所有顶点；D[0]为从源点s 到s的估计设为0，D[i]为从源点s到顶 点vi的估计设为：若从源点s到顶点vi 有边或弧，则D[i]为边(s,vi)或弧 <s,vi>上的权值，否则为∞；P[i]（ 1≤i<n）均为源点s。转向②。
dijkstra最短路径算法详解
dijkstra最短路径算法详解
Dijkstra最短路径算法是一种常用的图算法，用于求解带权图中的单源最短路径问题，即从一个固定的源节点到图中的其他节点的最
短路径。
以下是详细的算法步骤：
1. 初始化
一开始，将源节点的距离设为0，其余节点的距离设置为正无穷，在未访问的节点集合中把源节点压入堆中。
2. 确定最短路径
从堆中取出未访问节点集合中距离源节点最近的节点v，标记其
为已访问。
之后，对于v的邻居节点w，计算从源节点到v再到w的距离，如果经过v的路径比已经计算得到的路径短，则更新路径。
更新
后的距离先暂时放入堆中，如果后边有更短的路径，则更新。
3. 重复第2步
重复第2步，直到取出的节点为终点节点，或者堆为空。
4. 算法结束
算法结束后，各节点的距离就是从源节点到它们的最短距离。
Dijkstra算法的复杂度是O(NlogN)，其中N是节点个数。
其优
势在于只需要算一次即可得到所有最短路径，但是要求所有边的权值
必须非负，否则会导致算法不准确。
总之，Dijkstra算法是一种简单有效的最短路径算法，其实现也比较直观。
在处理如飞机和火车等交通路径规划问题中有较好的应用。
13.4课题学习最短路径问题 教案 2022-2023学年人教版八年级数学上册
13.4 课题学习最短路径问题教案课时安排本节课为数学上册第4节课，预计耗时1个课时。
教学目标1.了解最短路径问题的概念和应用背景；2.学习使用迪杰斯特拉算法解决最短路径问题；3.能够灵活运用迪杰斯特拉算法解决实际问题。
教学重点1.理解最短路径问题的概念；2.掌握迪杰斯特拉算法的基本思想；3.能够运用迪杰斯特拉算法解决实际问题。
教学难点1.理解迪杰斯特拉算法的具体实现过程；2.能够独立运用迪杰斯特拉算法解决复杂问题。
教学准备1.教材：人教版八年级数学上册；2.教具：黑板、粉笔。
教学步骤第一步：导入•老师出示一张地图，并指出现实生活中常见的最短路径问题，如小明从家里到学校的最短路径、货车从仓库送货的最短路径等。
•引导学生思考，如何才能找到这些最短路径。
第二步：引入最短路径问题•老师通过具体实例引入最短路径问题。
如小明从家里到学校，家与学校之间有多条道路可选，每条道路都有不同的长度。
问小明应该选择哪条路程最短。
•提醒学生思考如何寻找最短路径。
第三步：迪杰斯特拉算法的基本思想•老师简要介绍迪杰斯特拉算法的基本思想：从起点出发，逐步找到离起点最近的顶点，然后根据该顶点更新其他顶点的最短路径。
重复这个过程，直到找到终点。
第四步：迪杰斯特拉算法的具体实现过程1.初始化：首先，将起点距离设置为0，其余顶点距离设置为无穷大。
2.选择距离最短的顶点：从尚未访问的顶点中选择一个距离起点最近的顶点，并将该顶点标记为已访问。
3.更新顶点的距离：对于与选定顶点相连的顶点，计算经过选定顶点到达它们的距离。
如果经过选定顶点到达一个顶点的距离小于该顶点当前的最短距离，则更新该顶点的最短距离。
4.重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问。
第五步：实例演示•老师通过具体实例演示迪杰斯特拉算法的具体实现过程。
•老师解释每一步的操作，让学生理解算法的原理。
第六步：课堂练习•将学生分成小组，给每组一个最短路径问题，要求他们运用迪杰斯特拉算法解决问题。
人教版初二数学上册《最短路径应用》教案
人教版初二数学上册《最短路径应用》教案一、教学目标- 理解最短路径的概念和应用场景。
- 学会使用迪杰斯特拉算法解决最短路径问题。
- 能够解决实际生活中的最短路径问题。
二、教学内容1. 最短路径的概念介绍。
2. 迪杰斯特拉算法的原理和步骤。
3. 实际案例分析和解决。
三、教学过程1. 导入新知：通过与学生讨论交通路线选择的问题，引入最短路径的概念。
2. 概念解释：向学生解释最短路径的定义和应用场景，例如如何选择最短路线来减少时间和距离。
3. 理论研究：介绍迪杰斯特拉算法的原理和步骤，让学生了解如何通过该算法求解最短路径问题。
4. 实例演示：通过一个实际案例，展示如何运用迪杰斯特拉算法来解决最短路径问题。
让学生参与其中，理解算法的运作过程。
5. 练巩固：提供一些练题目让学生自主尝试解决，并与同学共同讨论答案。
6. 拓展应用：引导学生思考最短路径在其他领域的应用，如物流配送、网络寻路等，并与学生分享一些相关实例。
7. 总结回顾：对本节课的内容进行总结，强调最短路径概念和迪杰斯特拉算法的重要性。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与和理解情况。
2. 练成绩：评估学生在完成练题目时的准确性和独立性。
3. 案例解决：考察学生对实际案例的分析和解决能力。
4. 反馈评价：根据学生对课堂内容的理解和掌握程度，给予相应的反馈和评价。
五、教学反思本节课通过引入最短路径概念和迪杰斯特拉算法，帮助学生了解了最短路径的应用场景和解决方法。
通过实例演示和练习巩固，学生对这一概念有了更深入的理解，并掌握了迪杰斯特拉算法的步骤。
在今后的教学中，可以进一步拓展最短路径的应用领域，提供更多实例让学生进行探索和思考。
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离散数学迪杰斯特拉算法最短路径教案
一、教学目标
1.理解迪杰斯特拉算法的原理和基本思想；
2.掌握迪杰斯特拉算法的具体步骤；
3.能够运用迪杰斯特拉算法求解给定图中的最短路径问题。
二、教学过程
1.算法介绍
首先，简要介绍迪杰斯特拉算法的基本思想：在带权有向图中，迪杰斯特拉算法用于求解单源最短路径问题，即从起点到其他所有顶点的最短路径。
迪杰斯特拉算法采用贪心策略，逐步扩展最短路径，直到达到终点或者无法扩展为止。
2.算法步骤
（1）创建两个集合，一个为已确定最短路径的集合S，一个为未确定最短路径的集合V-S；
（2）初始化起点到所有顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0；
（3）循环进行以下步骤，直到V-S为空集合：
a.选择V-S中距离起点最近的顶点u，将其加入集合S；
b.更新起点到V-S中所有顶点的距离，若经过顶点u到达顶点v 的距离更短，则更新距离值；
（4）输出起点到各顶点的最短路径。
3.算法实现
（1）设计一个函数Dijkstra(graph, start)用于实现迪杰斯特拉算法，输入参数为带权有向图和起点。
（2）创建两个集合S和V-S，初始时S为空集合，V-S为图中所有顶点的集合；
（3）初始化起点到所有顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0；
（4）循环进行以下步骤，直到V-S为空集合：
a.选择V-S中距离起点最近的顶点u，将其加入集合S；
b.更新起点到V-S中所有顶点的距离，若经过顶点u到达顶点v 的距离更短，则更新距离值；
（5）输出起点到各顶点的最短路径。
4.算法应用
以一个具体的图为例，演示迪杰斯特拉算法的应用过程：
（1）展示给定的带权有向图，并说明起点和终点；
（2）根据迪杰斯特拉算法的步骤，逐步展示算法的执行过程，包括加入集合S、更新距离值等；
（3）计算得出起点到各顶点的最短路径，并进行展示。
5.实例练习
给定一个带权有向图，要求学生用迪杰斯特拉算法求解起点到各顶点的最短路径，并输出结果。
可以提供一些带权图的实例供学生练习。
6.总结与讨论
回顾迪杰斯特拉算法的基本思想和步骤，总结算法的特点和适用范围，并与其他最短路径算法进行比较和讨论。
三、教学评估
1.举办小测验，测试学生对迪杰斯特拉算法的理解程度；
2.布置作业，要求学生运用迪杰斯特拉算法求解一个具体图的最短路径问题，并提交解答。
3.教师讲解解答过程，并评价学生的解答。
四、参考资料
1.《离散数学及其应用》
2.网络资源：迪杰斯特拉算法相关教学视频。