最短路径数学建模案例及详解
最短路径问题数学建模分析
径上的边权之和称为该路径的权,记为w(P). 从u到v
的路径中权最小者 P*(u,v)称为u到v的最短路径.
2
8 177
33 54
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9 62
5 10 11
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7 2 10
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最短路径算法
Dijkstra算法
使用范围:
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61 1
9 9
6 2 5 12 11
输入加权图的带权邻接矩阵w=[w(vi,vj)]nxm. 1) 初始化 令l(v0)=0,S=; vv0 ,l(v)=; 2) 更新l(v), f(v)
寻找不在S中的顶点u,使l(u)为最小.把u加入到S中, 然后对所有不在S中的顶点v,如l(v)>l(u)+w(u,v),则 更新l(v),f(v), 即 l(v)l(u)+w(u,v),f(v)u; 3) 重复步骤2), 直到所有顶点都在S中为止.
②
ins=0;
for j=1:length(s)
if i==s(j)
ins=1;
end, end
if ins==0
v=i;
if k>label(v)
k=label(v); v1=v;
end, end, end
s(length(s)+1)=v1;
u=v1;
end
最短路径算法
Dijkstra算法程序的使用说明：
廉价路线航费表。
0 50 40 25 10 50 0 15 20 25
15 0 10 20 40 20 10 0 10 25
最短路径问题的算法分析及建模案例
最短路径问题的算法分析及建模案例最短路径问题的算法分析及建模案例一.摘要 (3)二.网络最短路径问题的基础知识 (5)2.1有向图 (7)2.2连通性................... 错误！未定义书签。
2.3割集....................... 错误！未定义书签。
2.4最短路问题 (8)三．最短路径的算法研究.. 错误！未定义书签。
3.1最短路问题的提出 (9)3.2 Bellman最短路方程错误！未定义书签。
3.3 Bellman-Ford算法的基本思想错误！未定义书签3.4 Bellman-Ford算法的步骤错误！未定义书签。
3.5实例....................... 错误！未定义书签。
3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例错误！未定义3.7 Dijkstra算法的基本思想 (9)3.8 Dijkstra算法的理论依据 (9)3.9 Dijkstra算法的计算步骤 (9)3.10 Dijstre算法的建模应用举例 (10)3.11 两种算法的分析错误！未定义书签。
1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法思想有很大的区别错误！未定义书签。
Bellman-Ford算法在求解过程中，每次循环都要修改所有顶点的权值，也就是说源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman-Ford算法结束才确定下来。
...................... 错误！未定义书签。
2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法的限制.................. 错误！未定义书签。
3.Bellman-Ford算法的另外一种理解错误！未定4.Bellman-Ford算法的改进错误！未定义书签。
摘要近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等诸多领域。
而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的一个典型例子。
初中数学：最短路径求最值12个模型详解
初中数学：最短路径求最值12个模型详解姓名： __________指导: ___________日期： __________初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由給点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：①确定起，点的最短路径问题・即已知起始结点，求嚴短路径的问题.②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求锻短路径的问题.③确定起点终点的最短路径问题・即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.④全局嚴短路径问题・求图中所有的最短路径.【问题原型】''将军饮马”，“造桥选址“，''费马点'、.【涉及知识】“两点之间线段最短“，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”,“平移【岀题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折"转“直“，近两年出现“三折线”转“直"等变式问题考查.【例题及解析】例I 如图1,在直角梯形 A BCD 中，ZABC=90。
，AD〃BC, AD=4, AB=5, BC=6,点P是AB上一个动点.当PC + PD的和最小时，PB的收为( )(A)l (B)2 (C)2.5 (D)3DM D C图1分析此题首先要确定P点的位置，可以延长CB (或DA)的一倍，即CB=BM,再连接MD交AB于点P(大家可以思考一下P点的正确性与合理性一可运用两点之间，线段谥短这一性质〉.我们可以通过△MFBsADPA,从而求出FB的圮故选D.例2如图2, AABC中，AB = AC=I31 BC=10, AD是BC边上的中线，F为AD上的动点，E为AC边上的动点，则CE + EF的最小值为______ •分析显然，本题需要确定两个动点E和F,那么，怎样确定这两个点呢？我们可以过点B 作BE丄AC 交AD于点F,从而确定了E和卜点(大家可以用从直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短来加以说明).此时,CF + EF = BE.用S舛=• BC = -BE•祀■构逍方程■求出BE二罟.即CE七EF的艰小伉为罟.例3如图3,已知平面直角坐标系中，A (2, —3), B(4, —1)・(1) 若点卩仕，0)是x轴上的一个动点，当APAB的周长最短时，求x的值；(2) 若C、D是x轴上的两个动点，且D(a, 0), CD=3,当四边形ABCD的周长最短时, 求a的值；(3) 设M, N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M(m, 0)和N(0, n), 使得四边形ABMN的周长巌短？若存在，求岀n的值.若不徉在，请说明理由.分析与解(1)如图3,找岀A (或B)关于x轴的对称点Ai,连结AiB交x轴于点P・设直线AiB的解析式为y =kix+bi・将A】(2, 3)、B(4, -1)代入，得严:+ 6.仏+ 6, 解之码l k'=-2'16, =7. 故〉=-2x+7,(2)如图4,过A点作x轴的平行线，井戳取AA】=3・画点A,关于x轴的对称点A?,连结・dB交x紬于点C.再在x轴上截取「1) = 3,可得周长最短的四边形ABCD (大家也可以利用两点之间，线段最短，来证明最短周长的正确性).由题厳,町知4,(53).设A2B的直线解析式为y = k込4 by将人(5.3)出(4.・1)代人■得当时“殳八”3诗(3) 如图5t我们可以先分别找岀A、B关于y轴和x轴的对称点片和B b再连结AiB u分别交x袖和y轴于点M与N,此时，四边形ABMN的周长是最短的(同样, 可以用两点之间，线段最短来加以证明).设A I B I的直线解析式为y=bx + bs・将 4,(-2. -3) A(4.1)代入•得= 1 •1 ・ 2k 、+ by = - 3,2 5故 y = y * - y. 当 x = OHhy S -y,当y «0时/ •壬・ 所以・m.n 的值分别为手•■斗例4如图6,四边形ABCD 是正方形，M 是对角线BD 上的任意一点.(1)当点M 在何处时.AM+CM 的值最小？(2)当点M 在何处时，AM + BM + CM 的值最小？并说明理由.分析(1)(如图6,显然，连结AC 与BD 的交点即为M 点(可利用两点之间，线段最短来证明).⑵如图7,以AB 为边在正方形外画等边三角形ABE.连结EC 交BD 于点M ・此时， MA-I MB 4-MC-EC(M 中，A UMN 为等边三焦形，且 VEBN^ACBM,所以 MA I MB-EM). 若在BD 上(除N4点之外)任取一点卜1八过点Mi 作M1N1//MN 交BN 或延长线于点 连结ENi.可利用两点之间线段嚴短，证明MiA + M 】B+MK>EC,从而得岀MA+MB + Mca 短.解之得H s y-。
最短路径问题例题与讲解
13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如下图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如下图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA －CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。
最短路径的数学模型
最短路径的数学模型最短路径的数学模型：从A到B的最短路径问题引言：在现实生活中，我们常常需要找到两个地点之间的最短路径，比如从家里到公司的最短路线，或者从一个城市到另一个城市的最短航线。
这种最短路径问题在数学中有一种通用的数学模型，被广泛应用于计算机科学、运筹学以及交通规划等领域。
本文将介绍这个数学模型，并通过一个具体的例子来说明其应用。
一、问题描述：最短路径问题可以被定义为：给定一个图G，其中包含一些节点和连接这些节点的边，每条边都有一个权重（或距离）值，我们希望找到从节点A到节点B的最短路径。
二、数学模型：为了解决最短路径问题，我们需要构建一个数学模型。
这个模型可以使用图论中的图和路径的概念来描述。
1. 图的定义：在最短路径问题中，图G可以被定义为一个由节点和边组成的集合。
其中节点表示地点或位置，边表示连接这些地点的路径。
每条边都有一个权重值，表示从一个地点到另一个地点的距离或成本。
2. 路径的定义：路径是指从一个地点到另一个地点经过的一系列节点和边的组合。
在最短路径问题中，我们希望找到一条路径，使得路径上所有边的权重之和最小。
3. 最短路径的定义：最短路径是指从节点A到节点B的路径中，路径上所有边的权重之和最小的路径。
三、最短路径算法：为了解决最短路径问题，我们需要使用一种算法来计算最短路径。
下面介绍两种常用的最短路径算法：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于计算带权重的图中节点A到其他所有节点的最短路径。
该算法的基本思想是从起始节点开始，依次选择与当前节点距离最近的节点，并更新到达其他节点的最短路径。
这个过程不断重复，直到找到从节点A到所有其他节点的最短路径。
2. Floyd-Warshall算法：Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于计算带权重的图中任意两个节点之间的最短路径。
该算法通过一个二维数组来存储节点之间的最短路径长度，并不断更新这个数组，直到找到所有节点之间的最短路径。
军旅导航——最短路径问题的数学模型
军旅导航——最短路径问题的数学模型引言军队战斗中的导航问题十分重要，其中最短路径问题是一个常见且关键的挑战。
本文将介绍一种基于数学模型的军旅导航最短路径解决方案。
问题描述军队需要从起点A到达目标点B，但是在中间有多个地点需要经过。
军队希望找到一条最短的路径，以最小化时间和资源的消耗。
数学模型我们可以使用图论中的最短路径算法来解决这个问题。
以下是一个简单的数学模型：1. 将地点和道路表示为图中的节点和边。
2. 将起点A和目标点B分别设为图中的起始节点和目标节点。
3. 对于每个节点，计算其与相邻节点之间的距离或代价。
4. 使用最短路径算法（如Dijkstra算法或A*算法）计算从起点到目标点的最短路径。
5. 输出最短路径以及路径上的节点和边的信息。
算法流程以下是一个简单的算法流程：1. 初始化图中的节点和边的信息。
2. 将起点A设为当前节点。
3. 对于每个相邻节点，计算从起点A到该节点的距离或代价。
4. 选择距离或代价最小的节点作为下一个当前节点，并更新当前节点。
5. 重复步骤3和4，直到当前节点为目标节点B。
6. 输出最短路径以及路径上的节点和边的信息。
实例应用假设军队需要从基地出发，穿越多个村庄，最终到达敌方阵地。
每个村庄之间的距离和敌方阵地的位置已知。
我们可以使用上述数学模型来解决这个问题。
结论通过使用数学模型和最短路径算法，我们可以为军队提供一种有效的军旅导航最短路径解决方案。
这将有助于军队在战斗中更快地到达目标地点，以及更有效地利用资源。
专题09 勾股定理中的最短路径模型(解析版)
专题09.勾股定理中的的最短路径模型勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。
人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。
对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。
对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。
模型1.圆柱中的最短路径模型【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。
注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·陕西·八年级期中）如图，有一个圆柱形杯子，其底面圆周长为24cm，高AB为18cm，现在要以点A为起点环绕杯子表面缠彩色胶带，终点正好落在点A的正上方的点B处，则彩色胶带最短要（）A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm【答案】D【点睛】本题考查的是平面展开——最短路径问题，例2．（2023·广东·八年级期中）如图，一个底面圆周长为边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点A．413cm【答案】D【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：将圆柱体的侧面展开，连接则12412cm2BD=⨯=，又因为即蚂蚁沿表面从点A到点B【点睛】本题考查勾股定理的应用均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为______米．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，圆柱高3米，底面周长2米，2222 1.5 6.25AC ∴=+=， 2.5AC ∴=，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m ．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．模型2.长方体中的最短路径模型【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。
最短路径数学建模案例
最短路径数学建模案例
最短路径数学建模案例
一、问题描述
假设从一座城市A出发，要到达另一座城市B，可以选择从A到B的6条路线中的一条，每条路线的里程数都不相同，试求出从A出发到B的最短路径。
二、数学模型
设A到B的6条路线里程数分别为m1,m2,m3,m4,m5,m6，目标为： min z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)
s.t. {m1,m2,m3,m4,m5,m6>=0}
约束条件中：m1、m2、m3、m4、m5、m6>=0，表示每条路线的里程数都不小于0，即每条路线至少要有一定里程才能到达终点B。
三、求解方法
设A到B的6条路线里程数分别为m1,m2,m3,m4,m5,m6，可将求解最短路径的问题转换为求解极值问题，即求解最优解
z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)的极小值问题，可采用贪心算法求解。
具体步骤如下：
（1）从6条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m1；
（2）再从剩下的5条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m2；
（3）依次类推，从剩余的4条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m3；
（4）直到把所有的6条路线挑选完毕，最后求出最短路径，即
z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)。
四、结论
根据以上步骤，可以求得从一座城市A出发，到另一座城市B的最短路径。
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最短路径数学建模案例及详解
最短路径问题是指给定一个有向图，找到其中两个节点之间的最短路径。
这个问题可以通过数学建模来解决。
以下是一个关于最短路径的案例及详解：
案例：某个城市有多个地点，这些地点之间有高速公路相连。
现在需要找出两个地点之间的最短路径，以便安排货物的运输。
假设已知这个城市的高速公路网络以及每个道路的长度。
解决方案：
1. 定义变量和参数：
- 变量：设定一个变量x[i, j]，表示从节点i到节点j的路径
长度。
这个变量需要求解。
- 参数：给出每个节点之间的长度，可以用一个矩阵表示。
设长度矩阵为A。
2. 建立数学模型：
- 目标函数：最小化总路径长度。
可以定义目标函数为：min x[i, j]。
- 约束条件：
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]必须是非负的：x[i, j] ≥ 0。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]等于路径长
度x[j, i]：x[i, j] = x[j, i]。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]需要满足下
面的约束条件：x[i, j] ≤ x[i, k] + x[k, j]，其中k是任意的节点。
这个约束条件保证了路径长度的传递性。
即，如果从i到j的
路径经过节点k，那么整条路径的长度应该不小于x[i, k] + x[k, j]。
3. 求解：
- 编写数学建模的代码，并使用求解器（如线性规划求解器）求解最优解。
- 分析优化结果，并得到最短路径的长度以及具体的路径。
总结：
通过定义变量和参数，建立数学模型的方式来解决最短路径问题，可以帮助我们找到两个节点之间的最短路径。
数学建模可以提供一个系统化的框架，帮助我们理解问题，并找到最优解。
这种方法在物流、交通规划等领域都有广泛的应用。