最短路径问题 优秀教案
最短路径问题（将军饮马为题）优秀教案
最短路径问题（将军饮马为题）优秀教案
人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题
教学设计
三、探究新知，教师主导
1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。
将军
2、设想如果点A与点B在直线异侧，应该怎样找到点C的位置，由此及彼得出：利用轴对称可以先找到点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l相较于点C，点就是所求做的点。
5、巩固练习
四、合作探究、学生主体
1、“将军饮马问题（二）”：牧马人从A地出发，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。
学生通过小组合作，把实际问题转化成数学问题。
、小组合作，画出最短路径。
五、课堂小结
引导学生自己总结本课收获
六、作业
七、教学反思：
1.思得：信息技术的应用大大提高了学生学习数学的兴趣，其中最为明显的有两点，一是利用几何画板，让学生观察随着点C位置的变化，AC+BC的值随之变化，只有当点C在点A的对称点A’与点B 的连线与直线l的焦点时最小。
二是练习题的网上提交，既激发了孩子们练习的热情、时间观念，又节省了教师批阅时间。
2、思失：最短的证明不能单靠信息技术，还是应该逐步书写过程步骤，板书的尺规作图还是必须的。
八年级数学上册《最短路径问题》教案、教学设计
4.方法指导：教师引导学生运用坐标系、网格纸等工具，将实际问题转化为数学模型。
5.课堂小结：总结解决最短路径问题的方法，提炼数学思想。
第二课时：巩固提高，解决实际问题
1.创设情境：提供一些实际生活中的问题，让学生运用所学知识解决。
2.自主探究：学生独立思考，尝试解决实际问题。
2.培养学生面对困难时，勇于挑战、积极思考的良好品质。
3.培养学生合作交流、共同解决问题的团队意识，提高沟通能力。
4.培养学生将所学知识运用到实际生活中的意识，增强学生的实践能力。
5.使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值，提高学生对数学学科的认识。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于坐标系、距离计算等概念有初步的了解。在此基础上，他们对最短路径问题充满好奇心，但可能尚未形成系统性的解题思路和方法。因此，在本章节的教学中，应关注以下几个方面：
b.请学生尝试研究：在给定的条件下，如何判断两点之间是否存在最短路径？若存在，如何求解？
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保解题过程清晰、规范。
2.鼓励学生在解决最短路径问题时，尝试不同的方法和思路，培养创新意识。
3.做完作业后，学生应认真检查，确保答案正确，并对解题过程进行总结和反思。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生解决最短路径问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
a.请学生绘制一幅包含五个点的坐标系图，任意指定两个点作为起点和终点，找出所有可能的最短路径，并计算出它们的长度。
b.从教材或课外资料中选择两道最短路径问题的题目，运用课堂所学方法进行解答。
13.4最短路径问题 教案
第十三章轴对称13.4 课题学习最短路径问题【教材分析】教学目标知识技能能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.过程方法在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想.情感态度通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题【教学流程】环节导学问题师生活动二次备课情境引入如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．教师出示问题，引导学生思考、回答，引入课题。
自主探究探究点一探索最短路径问题活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用教师出示问题情境，激发学生学习兴趣和探究欲望.合作交流自主探究合作交流轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？答：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图)．问题2：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？追问4：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？展示点评：作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l交于点C.则点C即为所求．追问5、你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:教师引导学生，联想轴对称知识解决，尝试作法，师生共同矫正，教师引导学生通过合作交流完成证明；证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′.即AC＋BC最短.探究点二选址造桥问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)展示点评：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b 于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短．理由如下：如图，点M′为直线a上任意一点(不与点M重合)，∵线段A′N′是线段AM平移得到的∴AA′＝MN′，A′N′＝AM∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′∵MN平行AA′且MN＝AA′学生证明后，教师提出下面问题，引导学生小组讨论解决：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，师生共总结方法：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题．利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点C 不重合)与A，B两点的距离和都大于AC＋BC，就说明AC＋BC最小. C′的代表的是除点C以外直线l上的任意一点．教师引导学生自主、合作探寻解题思路，展示；方法总结：解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法将河的宽度为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距∴MN可以看作是AA′经过平移得到的∴A′N＝AM∴AM＋NB＝A′N＋NB∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB ＝A′B<A′N′＋BN′∴AM＋NB＝A′N＋NB∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB ＝A′B<A′N′＋BN′∴AM＋NB<AM′＋BN′∵MN＝MN′∴AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B，即路径AMNB最短．离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法(如利用轴对称或平移等)转化在一条线段上，从而解决这个问题．尝试应用1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是米.4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
4.鼓励学生在课后进行深入研究，不断提高自己的数学素养。
五、案例亮点
1.生活实例引入：通过引入实际生活中的最短路径问题，如旅行路线规划、物流配送等，使学生能够直观地理解最短路径问题的意义和应用，提高学生的学习兴趣。
3.教师引导学生运用坐标系、函数、图论等知识，分析问题、解决问题。
（三）小组合作
1.学生分组进行讨论，培养学生的团队合作意识。
2.教师组织小组间的交流与分享，促进学生间的互帮互助。
3.教师巡回指导，针对不同小组的特点进行针对性指导。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结最短路径问题的解决方法。
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为“人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题”，是在学生已经掌握了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等基础知识的基础上进行学习的。通过对最短路径问题的探究，旨在培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
3.组织学生探讨、交流最短路径问题的解决方法，培养学生合作学习的能力。
4.引导学生运用图论中的最短路径算法解决实际问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
5.对学生进行评价，了解学生对最短路径问题的理解和运用程度，及时进行教学调整。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2.设计具有挑战性和吸引力的数学问题，激发学生的求知欲。
3.创设轻松、愉快的学习氛围，使学生在课堂上敢于发表自己的观点，培养学生的创新精神。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如“如何找到两点之间的最短路径？”、“最短路径问题在实际生活中有哪些应用？”等。
17.1勾股定理的应用最短路径问题(教案)
在今天的教学中，我重点关注了勾股定理在实际问题中的应用，尤其是最短路径问题的求解。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思：
1.学生对勾股定理的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对勾股定理的理解还不够深入，导致在实际问题中不知如何运用。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对勾股定理原理的讲解，让学生真正理解并掌握这个定理。
4.学生参与度。在课堂教学中，我注意到部分学生的参与度不高，可能是因为他们对课程内容不感兴趣或跟不上教学进度。为了提高学生的参与度，我需要关注每一个学生，及时了解他们的需求和困惑，调整教学节奏和策略。
5.课堂氛围的营造。在今天的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们积极讨论、互动。我认为这是一个好的现象，说明学生们对课程内容感兴趣。在今后的教学中，我需要继续保持这种氛围，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
17.1勾股定理的应用最短路径问题（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十七章第一节，主要围绕勾股定理的应用——最短路径问题展开。内容包括：
1.勾股定理的复习与巩固：引导学生回顾勾股定理的内容及其证明，理解直角三角形边长之间的数量关系。
2.最短路径问题引入：通过实际生活中的例子（如城市规划、园林设计等），引出最短路径问题，激发学生兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决最短路径问题的关键工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用勾股定理在实际中找到两点之间的最短路径，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的运用和最短路径问题的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题优秀教学案例
2.组织学生进行课堂展示，让他们分享自己的学习心得和解决问题的方法，培养他们的表达能力和沟通能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
1.布置具有实践性和拓展性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
2.要求学生在作业中总结最短路径问题的解决方法，培养他们的归纳总结能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际，激发他们的学习兴趣。
2.设计具有挑战性和趣味性的实例，让学生在解决问题的过程中，自然引入最短路径问题的概念和方法。
3.创设合作交流的氛围，让学生在小组内共同探讨问题，激发他们的思考和创造力。
（二）讲授新知
1.引导学生关注最短路径问题的本质，即寻找两点间的最优路径，让学生在解决问题的过程中，自然而然地掌握相关知识。
2.通过提问、设疑等方式，引导学生思考最短路径问题的解决方法，激发他们的求知欲和好奇心。
3.讲解最短路径问题的解决方法，如坐标系法、动态规划法、图论等，让学生了解多种解决思路。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现不足，提高学习效果。
本节课的教学内容与过程注重知识的传授、方法的训练和情感的培养，充分体现了教育的人文关怀和学生的全面发展。通过本节课的学习，学生将更好地掌握最短路径问题的解决方法，提高他们的数学素养和实际应用能力，为未来的学习和生活打下坚实基础。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理求最短路径问题优秀教学案例
4.教师针对学生的评价结果，调整教学策略，为下一节课的教学做好准备。
本章节的教学策略立足于情景创设、问题导向、小组合作和反思与评价四个方面，旨在全面提高学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，灵活运用教学策略，让每个学生在课堂中都能得到充分的发展。
3.培养学生关爱生活、关注社会的情怀，使学生认识到数学与生活的紧密联系。
4.培养学生诚实守信、团结协作的品质，提高学生的人际沟通能力。
本章节的教学目标立足于知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度，全面培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高和发展。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握勾股定理的证明方法及其应用，能运用勾股定理解决简单的实际问题。
2.引导学生了解最短路径问题的背景，掌握利用勾股定理求解最短路径的方法，并能应用于实际情境。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
（二）过程与方法
1.通过情境创设、问题引导，让学生经历探索、发现、总结的过程，培养学生的自主学习能力和合作学习能力。
2.运用讨论、探究、实践等教学方法，引导学生动手操作、动脑思考，提高学生解决问题的能力。
3.注重培养学生团队协作能力和沟通能力，让学生在讨论和合作中发现问题、分析问题、解决问题。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生积极的学习态度，树立学生自信心。
2.培养学生勇于挑战、克服困难的意志，让学生体验到成功的喜悦。
人教版八年级数学上册13.4最短路径问题优秀教学案例
4.多媒体教学手段：利用多媒体教学手段，如图片、视频等，展示实际问题情境，让学生更直观地感受到问题的背景和意义，提高学习效果。
在现实生活中，最短路径问题具有广泛的应用，如道路规划、网络路由等。因此，本节课的教学案例将以实际问题为背景，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用意识。
为了提高教学效果，本节课将采用小组合作、讨论交流的教学方法，让学生在探讨最短路径问题的过程中，提高自主学习能力和合作意识。同时，教师将以引导者、组织者的角色参与教学，为学生提供必要的帮助和指导，确保教学活动的顺利进行。
（三）小组合作
1.教师将学生分成小组，鼓励学生进行合作交流，共同探讨最短路径问题的解决方法。
2.教师引导学生进行小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和观点，培养学生的合作意识和团队精神。
3.教师巡回指导，参与小组讨论，为学生提供必要的帮助和指导，确保每个学生都能参与到教学活动中来。
（四）反思与评价
1.教师引导学生进行自我反思，总结自己在解决最短路径问题过程中的思路和方法，找出自己的不足之处。
3.教师介绍迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法，讲解这两种算法的原理和步骤，并通过示例进行演示。
4.教师引入动态规划思想，讲解如何运用动态规划解决最短路径问题，并给出动态规划解决最短路径问题的步骤。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成小组，并提出讨论问题，如“比较迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法的优缺点”、“如何运用动态规划解决最短路径问题？”等。
2.利用多媒体教学手段，展示实际问题情境，让学生直观地感受到最短路径问题的重要性和实用性。
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教学设计
复习引入（5分钟）
新课
问题导入（3分钟）一．复习引入
1.两点之间，什么最短？
2.点到直线的距离？
问题：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上
求一点P，使得PA+PB最小。
（连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
）
二、探究
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、
B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用
的输气管线最短？
像这样我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线
段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现
实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数
学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛
名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，
求教一个百思不得其解的问题：
看图：从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后
到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全最短？
回答
问题
学生
思考
学生思
考，并
在草稿
纸上画
图，看
是否可
以确定
最短路
线。
学生在
老师的
引导下
思考。
引入
课题
由浅
入
深，
让学
生先
理解
两点
在直
线两
侧情
况中
的最
短路
径问
题。
引出问题（3分钟）
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知
识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问
题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？
（将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．）
你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与
A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地
到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为
最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，
上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小（如图）．
你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
师讲解做法：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的
和最小？
学生在
老师的
引导
下，尝
试用轴
对称来
试试，
看是否
是最短
距离。
引导
学生
剖析
问题
B
A
l
C
解决问题（15分钟）
学生上黑板上作图（5分钟）作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC = AC +B′C =AB′，
AC′+BC′ =AC′+B′C′．
问：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任
取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？答：若直线
l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距
离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
学生
在下
边作
图
培养
学生
动手
能力
学生做练习（6分钟）三．运用新知
练习1：
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民
区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B
到它的距离之和最短．
练习2 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的
Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，
请画出旅游船的最短路径。
基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ
为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线
尝试
用学
过的
知识
解决
新问
题
检验
学生
学习
的程
度
BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”
变式训练：如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使
PM+MN+NP最短．
思路：做P点关于直线ox的对称点P′，P点关于直线oy的对称点P2,连接P′P2，与ox和oy的交点M, N为所求。