高二数学理科(必修五和选修2-1综合题)

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【金版优课】高二数学人教版选修2-1：综合水平测试

综合水平测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．[2014·湖北省黄冈市质检]命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤5解析：本题考查全称量词的意义与充分必要条件的应用．∵∀x ∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，则a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.答案：C2. 已知空间向量a＝(t,1，t)，b＝(t－2，t,1)，则|a－b|的最小值为()A. 2B. 3C. 2D. 4解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及简单的二次函数求最值．|a－b|＝2(t－1)2＋4≥2，故选C.答案：C3. [2014·广东高考]若实数k满足0<k<9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k －y29＝1的()A. 离心率相等B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等D. 焦距相等解析：本题主要考查双曲线基本量之间的关系．由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，选D.答案：D4．[2014·湖南高考]已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④解析：本题主要考查不等式的性质、命题与复合命题真假性的判断．注意綈p ，綈q 只对命题的结论进行否定，复合命题p ∧q 要两个命题全为真才为真，p ∨q 只要两个命题有一个为真就为真．由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题，④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，所以选C.答案：C5．[2014·大纲全国卷]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A. x 23＋y 22＝1 B. x 23＋y 2＝1 C. x 212＋y 28＝1D. x 212＋y 24＝1解析：本题主要考查椭圆的定义及几何性质．由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.答案：A6．[2014·江西高考]下列叙述中正确的是( )A. 若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B. 若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C. 命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D. l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β解析：本题考查命题真假性的判断、充分条件与必要条件、全称命题的否定、不等式的性质以及空间直线与直线、平面与平面的位置关系，意在考查考生对常用逻辑用语的理解能力与判断能力．由b 2－4ac ≤0推不出ax 2＋bx ＋c ≥0，这是因为a 的符号不确定，所以A 不正确；当b 2＝0时，由a >c 推不出ab 2>cb 2，所以B 不正确；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2<0”，所以C 不正确．选D.答案：D7．[2014·湖北高考]已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. 433B. 233C. 3D. 2解析：本题主要考查双曲线、椭圆的几何性质，以及柯西不等式的运用，意在考查考生的综合解题能力．假定焦点在x 轴上，点P 在第一象限，F 1，F 2分别为左、右焦点．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线的方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，它们的离心率分别为e 1，e 2，则|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ，在△PF 1F 2中，4c 2＝(a ＋m )2＋(a －m )2－2(a ＋m )(a －m )cos π3⇒a 2＋3m 2＝4c 2⇒(a c )2＋3(m c )2＝4，则[(a c )2＋3(m c )2](1＋13)≥(a c ＋m c )2⇒1e 1＋1e 2＝a c ＋m c ≤433，当且仅当a ＝3m 时，等号成立，故选A.答案：A8. [2014·课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A. 110B. 25C. 3010D. 22解析：本题主要考查空间角的求法、空间向量在立体几何中的应用，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力．建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ，设BC ＝2，则B (0,2,0)，A (2,0,0)，M (1,1,2)，N (1,0,2)，所以BM →＝(1，－1,2)，AN →＝(－1,0,2)，故BM 与AN 所成角θ的余弦值cos θ＝|BM →·AN →||BM →|·|AN →|＝36×5＝3010.答案：C9. [2014·银川高二质检]直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A. 74B. 2C. 94D. 4解析：直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，即直线4kx －4y －k＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，所以弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.答案：C10. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2|AC |＝|AA 1|＝|BC |＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则|AD |的长为( )A. 2B. 3C. 2D. 22解析：本题主要考查利用空间直角坐标求解线段长度，如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Cxyz ，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，设AD ＝a ，则D 点的坐标为(1,0，a )，CD →＝(1,0，a )，CB 1→＝(0,2,2)，设m ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量．则⎩⎨⎧m ·CB 1→＝0m ·CD →＝0⇒⎩⎨⎧2y ＋2z ＝0x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，则由cos60°＝m·n|m |·|n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝2，故选A. 答案：A11．[2014·福建高考]直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件解析：本题主要考查直线与圆的位置关系、三角形的面积、充分必要条件等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力. 若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”D ⇒/“k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.答案：A12. 已知一抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且它的焦点F 是椭圆x 24＋y 22＝1的右顶点，经过点F 且倾斜角为π3的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长度为( )A. 154 B.5 C. 203D. 323解析：本题主要考查椭圆、抛物线的概念及抛物线的焦点弦长公式．依题意，抛物线的焦点为F (2,0)，则抛物线方程为y 2＝8x .直线AB 的倾斜角为π3，斜率为3，故方程为y ＝3(x －2)，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －2)y 2＝8x消去y ，得3x 2－20x ＋12＝0.可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝203，所以由抛物线的焦点弦长公式，得|AB |＝x 1＋x 2＋4＝203＋4＝323，故选D.答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，22]14．[2014·北京高考]设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析：本题主要考查圆锥曲线的定义与性质，意在考查考生对圆锥曲线的定义及性质的掌握情况．∵与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线方程为y 24－x 2＝k ，将点(2,2)代入，得k ＝－3，∴双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为x 23－y 212＝0，即y ＝±2x .答案：x 23－y 212＝1 y ＝±2x15．若方程x 24－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①若C 为椭圆，则1<t <4且t ≠52； ②若C 为双曲线，则t >4或t <1； ③曲线C 不可能是圆；④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1<t <32.其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．解析：若为椭圆⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －1>0，4－t ≠t －1，即1<t <4，且t ≠52；若为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，即t >4或t <1；当t ＝52时，表示圆，若C 表示长轴在x 轴上的椭圆，则1<t <52，故①②正确．答案：①②16. [2014·唐山高二检测]如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为________．解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,2a,0)，C (0,2a,2a )，G (a ，a,0)，F (a,0,0)，AG →＝(a ，a,0)，AC →＝(0,2a,2a )，BG →＝(a ，－a,0)，BC →＝(0,0,2a )，设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)，由⎩⎨⎧AG →·n 1＝0，AC →·n 1＝0⇒⎩⎨⎧ax 1＋ay 1＝02ay 1＋2a ＝0⇒⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝－1⇒n 1＝(1，－1,1)．sin θ＝BG →·n 1|BG →||n 1|＝2a 2a ×3＝63.答案：63三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(10分)已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)，又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值等于cos θ＝5－12＋338×38＝－219.18．(12分)[2014·宁波高二检测]已知命题p ：方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(1,2)，若p ，q 只有一个为真，求实数m 的取值范围．解：将方程x 22m －y 2m －1＝1改写为x 22m ＋y 21－m＝1，只有当1－m >2m >0，即0<m <13时，方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，所以，命题p 等价于0<m <13；因为双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(1,2)，所以m >0，且1<5＋m 5<4，解得0<m <15；所以命题q 等价于0<m <15；若p 真q 假，则m ∈∅；若p 假q 真，则13≤m <15. 综上，m 的取值范围为13≤m <15.19．(12分)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E、F、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．(1)求证：CE∥平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.解：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC＝1，，2)．则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，12(1)设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)．∵C 1E 1→＝(1，－12，0)，FC 1→＝(－1,0,1)，∴⎩⎨⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.取n ＝(1,2,1)．∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE →⊥n .又∵CE ⊄平面C 1E 1F ， ∴CE ∥平面C 1E 1F .(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，由EF →＝(0,1,0)，FC →＝(－1,0，－1)，∴⎩⎨⎧m ·EF →＝0，m ·FC →＝0，即⎩⎨⎧b ＝0，－a －c ＝0.取m ＝(－1,0,1)．∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .20. (20分)设曲线方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交曲线于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)．当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．解：直线l 过点M (0,1)，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标(x 1，y 1)、(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1， ①x 2＋y 24＝1 ②的解．将①代入②并化简得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k 4＋k2，y 1＋y 2＝84＋k 2.于是OP →＝12(OA →＋OB →)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)＝(－k 4＋k 2，44＋k 2)．设点P 的坐标(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k 4＋k 2，y ＝44＋k2，消去参数k 得4x 2＋y 2－y ＝0. ③当k 不存在时，AB 中点为坐标原点，即点P (0,0)，也满足方程③.所以点P 的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.21．(12分)[2014·课标全国卷Ⅰ]如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值．解：(1)连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO，故B1C ⊥AO.又B1O＝CO，故AC＝AB1.(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，|OB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又AB ＝BC ，则 A (0,0，33)，B (1,0,0)，B 1(0，33，0)，C (0，－33，0)． AB 1→＝(0，33，－33)，A 1B 1→＝AB →＝(1,0，－33)，B 1C 1→＝BC →＝(－1，－33，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的法向量，则⎩⎨⎧n ·AB 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0，即⎩⎨⎧33y －33z ＝0，x －33z ＝0.所以可取n ＝(1，3，3)．设m 是平面A 1B 1C 1的法向量，则⎩⎨⎧m ·A 1B 1→＝0，m ·B 1C 1→＝0.同理可取m ＝(1，－3，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝17.所以二面角A －A 1B 1－C 1的余弦值为17.22．(12分)[2014·天津高考]设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以，椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y2c 2＝1.设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c 2＝1. ②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3，则点P 的坐标为(－4c 3，c3)．设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c .设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即|k (－2c 3)－2c 3|k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15.所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15.。

人教版A版高中数学高二选修2-1 圆锥曲线综合题选讲

圆锥曲线综合问题选讲湖北时爱华圆锥曲线的解答题在高考中一般放在后两题，少数考卷放在解答题的中间位置.圆锥曲线重点考查数形结合思想和运算能力.考查形式主要有直线与圆锥曲线、轨迹问题、定值、最值以及取值范围等综合问题，经常与平面向量综合应用.若与数列综合应用，一般侧重考查数列问题.一、直线与圆锥曲线例1(湖北武汉调研)如图, 直线4:(2)3l y x =-和双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> 交于A B 、两点, 12||11AB =, 又l关于直线1:bl y x a =对称的直线l 2与x 轴平行.(1)求双曲线C 的离心率；(2)求双曲线C 的方程. 分析：2l l 、关于1l 对称且l 2与x 轴平行是本题的突破口，利用角平分线及两个内错角相等可得QPO POM OPM α∠=∠=∠=，如图.直接利用弦长公式和韦达定理求得方程.解: (1) 设双曲线一、三象限渐近线1:0x yl a b-=的倾斜角为α.∵l 和2l 关于直线1l 对称, 记它们的交点为P . 而2l 与x 轴平行, 记2l 与y 轴交点为Q . 依题意有QPO POM OPM α∠=∠=∠=(锐角).又4:(2)3AB y x =-, 故4tan 23α=.则 22tan 41tan 3αα=- , 求得1tan 2α=或 tan 2α=-(舍). ∴12b a = , 2225()1()4c b e a a ==+=,因此双曲线C 的离心率为52.(2) ∵12b a = , 故设所求双曲线方程 222214x y b b -=。

将4(2)3y x =-,代入22244x y b -=,消去y 得:2255646403699x x b -++=.设1122(,),(,)A x y B x y=12|||AB x x -121136.化简得到1211= , 求得21b =. 故所求双曲线C 的方程为:2214x y -=. 点评：直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线的基础内容，经常是试题的一部分，弦长公式为12|||AB x x =-.对于斜率可能不存在的情形一定要加以讨论.判别式大于0是保证直线与圆锥曲线交于不同两点的前提，也是少数同学容易忽视的问题.若试题重心下移，则要多从平面几何知识的角度考虑.二、轨迹与探索性问题l 2例2（福建厦门质量检测）如图，DE x ⊥轴，垂足为D ，点M 满足2,DM DE =当点E 在圆122=+y x 上运动时，（1）求点M 的轨迹方程；(2)过点(0,3)F -引（与两坐标轴都不平行的）直线l 与点M 的轨迹交于A B 、两点，y 轴上是否存在点P ，使得PF 是APB ∠的角平分线.分析：利用代入转移法求轨迹.通过假设存在点P 代入求解，能求出来，则存在，若求不出来，则不存在.解：（1）设点),(y x M ，点),(00y x E ，xDE ⊥ 轴，DE DM 2=,,21,00y y x x ==∴ 又点E 在圆122=+y x 上，有12020=+y x ， 14122=+∴y x 就是点M 的轨迹方程. （2）设点).,0(m P 直线l 的方程为),0(3≠-=k kx y 代入14122=+y x 中得,0132)4(22=--+kx x k设),,(),,(2211y x B y x A 则,41,432221221kx x k k x x +-=⋅+=+ ∵PF 是∠APB 的角平分线，0=+∴PA PB k k ，即,01122=-+-x my x m y 即.0)(212112=+-+x x m x y x y又 ,3,31122-=-=kx y kx y 代入得,0))(3(22121=++-x x m x kx0,0432)3(4222≠=++-+-∴k k k m k k ，解得,334-=m 即存在点P ，坐标为（0，334-）.点评：求轨迹的主要方法有直译法（以向量为背景经常出现）、代入转移法（一定要将动点坐标设为（x,y ））、定义法（通过圆的半径、垂直平分线等等量代换得出曲线符合椭圆等相应曲线的定义）、参数法（建立参数方程是关键，要注意参数的范围）.探索型问题主要有三类：条件探索型、结论探索型、存在探索型.解析几何部分的处理方法主要是通过直接计算得出结论.三、最值、定值与取值范围例3（湖南师大附中）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ,F 1，F 2为其左、右两焦点，A 为右顶点，l 为左准线，过F 1的直线c my x l -=':与椭圆相交于P ，Q 两点，且有：.)(212c a AQ AP +=⋅（Ⅰ）求椭圆C 的离心率e 的最小值；（Ⅱ）若)32,21(∈e ，求m 的取值范围；（Ⅲ）若.,N l AQ M l AP == 求证：M 、N点的纵坐标之积为定值.分析：将直线代入椭圆，并将平面向量坐标化是前提.通过计算发现20m ≥是产生不等关系的关键.第三问的定值则是通过计算直接得出的.解：联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12222b y ax c my x 消去x ，化简得02)(422222=--+b cmy b y m b a 设),(),,(2211x x Q y x P ，则有2224212222212m b a b y y m b a cm b y y +-=⋅⋅+=+.22)(22222121mb a ca c y y m x x +-=-+=+∴ 2222222212122121)()())((mb ac m b a c y y mc y y m c my c my x x e ++-=++-=--=⋅ 22222212121)()())((mb ac a a a x x a x x a x a x ++=++-=-- 又),(),,(),0,(112111y a x y a x a A -=-=∴22121)(21)()(c a y y a x a x +=+-⋅-=⋅∴. 即有2222)(2b c a a m --=. （Ⅰ）由02≥m ，可得到.0)(222≥--c a a即221).(2-≥∴-≥a c c a a ，故所求离心率e 的最小值为221-. （Ⅱ）e e ee c a c a a m -++-=---=---=111421)1(21)(22222222. 易知m 2是关于e 的增函数.)32,21(∈∴e 当时，有.57322<<m 所以m 的取值范围为)535,36()36,535( --. （Ⅲ）AP 的方程式为)(11a x a x y y --=，与l 的方程：ca x 2-=联立可得M 点的纵坐标为).4(211a a a x y y M---= 同理可得)(222a ca a x y y N ---=. 242222222214222212122)()())(()(cb m b a a e a m b a bc a c a a x a x y y a c a y y N M -=+++-⋅+=--⋅--=⋅∴（定值）.点评：求取值范围、最值，最关键的是如何构建不等关系，常用途径有：利用已知条件、利用自身范围、利用判别式、利用完全平方数非负、利用线性规划中的区域符号等构建不等关系，如双曲线22221(,0)x y a b a b-=>自身条件有,c a c b >>，椭圆上点00(,)P x y 满足0||x a ≥，0||y b ≥，1e >等.对于定值，一般处理方法是：先通过特殊情形得出定值，再用一般方法加以直接计算.。

高二数学人教版选修2-1习题本册综合素质检测1 Word版含答案

本册综合素质检测(一)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．命题“∀a 、b ∈R ，如果a ＝b ，则a 2＝ab ”的否命题是( )A ．∀a 、b ∈R ，如果a 2＝ab ，则a ＝bB ．∀a 、b ∈R ，如果a 2＝ab ，则a ≠bC ．∀a 、b ∈R ，如果a 2≠ab ，则a ≠bD ．∀a 、b ∈R ，如果a ≠b ，则a 2≠ab [答案] D[解析] 否命题既否定条件，又否定结论，故原命题的否命题是“∀a 、b ∈R ，如果a ≠b ，则a 2≠ab ”．2．下列说法中正确的是( )A ．“x >5”是“x >3”的必要条件B ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤0”C ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数D ．设p 、q 是简单命题，若p ∨q 是真命题，则p ∧q 也是真命题 [答案] B[解析] 命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤0”，故选B.3．已知A 、B 、C 三点不共线，对于平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是( )A.OM →＝OA →＋OB →＋OC →B.OM →＝2OA →－OB →－OC →C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D.OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →[答案] D[解析] 若点M 与点A 、B 、C 一定共面，则OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →且x ＋y ＋z ＝1，故选D. 4．已知方程x 21＋k ＋y 24－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <4B ．k <－1或k >4C ．k <－1D ．k >4[答案] B[解析] 由题意，得(1＋k )(4－k )<0，∴(k ＋1)(k －4)>0，∴k >4或k <－1.5．设l 、m 、n 均为直线，其中m 、n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.6．设p ：2x 2－3x ＋1≤0，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，12]B ．(0，12)C ．(－∞，0]∪[12，＋∞)D ．(－∞，0)∪(12，＋∞)[答案] A[解析] 由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，¬p 为x <12或x >1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0得a ≤x ≤a ＋1，¬q 为x <a 或x >a ＋1.若¬p 是¬q 的必要不充分条件，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a <12，所以0≤a ≤12.故选A.7．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，A 、B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是( )A.12 B ．55 C.13 D ．22[答案] B[解析] 点P 的坐标(－c ，b 2a )，于是k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac ，由k AB ＝kPF 2得b ＝2c ，故e ＝c a ＝55. 8．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2[答案] B[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ， ∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4.9．已知a 、b 是两异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a 、b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°[答案] B[解析] 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1.cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12⇒〈AB →，CD →〉＝60°，故选B.10．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) [答案] C[解析] 由抛物线方程y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线x ＝－1，设直线l ：x ＝my ＋1，代入y 2＝4x 中消去x 得，y 2－4my －4＝0.由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1>0>y 2， ∵|AF |＝3|BF |，∴y 1＝－3y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝－4y 1＝－3y 2，解得y 2＝－23，∴y 1＝2 3.∴m ＝y 1＋y 24＝33，∴直线l 的方程为x ＝33y ＋1. 由对称性知，这样的直线有两条．11．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D ．x 28－y 24＝1[答案] B[解析] 由题意知，焦点在y 轴上，且2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝2.所以双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1.12．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216 B ．833 C.21060D ．21030[答案] D[解析] ∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 设AB ＝a ，则A (22a,0,0)、B (0，22a,0)、C (－22a,0,0)．设OP ＝h ，则P (0,0，h )， ∵P A ＝2a ，∴h ＝142a . ∴OD →＝(－24a,0，144a )．由条件可以求得平面PBC 的法向量n ＝(－1,1，77)， ∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030.设OD 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝21030.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝34x ，则此双曲线的离心率为________.[答案] 54[解析] 由题意知b a ＝34，∴b 2a 2＝916，∴c 2－a 2a 2＝916，∴e 2＝2516，∴e ＝54.14．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a 、OB →＝b 、OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，用a 、b 、c 表示MN →，则MN →等于________.[答案] －34a ＋12b ＋12c[解析] 显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－34OA →＝12b ＋12c －34a .15．若双曲线x 2m －y 2m ＋2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，则实数m ＝________.[答案] 1[解析] ∵抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，∴双曲线x 2m －y 2m ＋2＝1的一个焦点为(2,0)，∴a 2＝m ，b 2＝m ＋2，∴c 2＝2m ＋2＝4，∴m ＝1.16．过二面角α－l －β内一点P 作P A ⊥α于A ，作PB ⊥β于B ，若P A ＝5，PB ＝8，AB ＝7，则二面角α－l －β的度数为________.[答案] 120°[解析] 设P A →＝a ，PB →＝b ，由条件知|a |＝5，|b |＝8，|AB →|＝7， ∴AB 2＝|AB →|2＝|b －a | ＝|b |2＋|a |2－2a ·b ＝64＋25－2a ·b ＝49， ∴a ·b ＝20，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°，∴二面角α－l －β为120°.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知命题p ：“方程x 2a －1＋y 27－a ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2－(a －1)x ＋1<0”.(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若命题p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围． [解析] (1)若命题p 为真命题，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －1>07－a >07－a >a －1，∴1<a <4.故实数a 的取值范围是(1,4)．(2)若命题p ∧q 为真命题，则p 真、q 真，由(1)知p 真，1<a <4. 若q 真，则不等式x 2－(a －1)x ＋1<0有解，即Δ＝(a －1)2－4>0， ∴a 2－2a －3>0，∴a >3或a <－1. 又∵1<a <4，∴3<a <4. 故实数a 的取值范围是(3,4)．18．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点坐标为(2,0)，短轴长为4 3.(1)求椭圆C 的标准方程及离心率；(2)设P 是椭圆C 上一点，且点P 与椭圆C 的两个焦点F 1、F 2构成一个直角三角形，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．[解析] (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.由题意得c ＝2，b ＝23，∴a ＝4.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1，离心率e ＝c a ＝12.(2)当点P 为短轴的一个端点时，∠F 1PO ＝30°， ∴∠F 1PF 2＝60°.故不论点P 在椭圆C 上的任何位置时，∠F 1PF 2≠90°. ∵|PF 1|>|PF 2|，∴∠PF 2F 1＝90°. ∴|PF 2|＝b 2a ＝124＝3.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8， ∴|PF 1|＝5，∴|PF 1||PF 2|＝53.19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长|AB |＝3 5.(1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的点，且△ABP 的面积为9，求点P 的坐标． [思路分析] (1)由弦长公式建立关于m 的方程求解； (2)设出P 点坐标，根据面积S ＝12|AB |·d 求解．[解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x 得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24，∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22(1－m )2－4×m 24＝5(1－2m )，∵|AB |＝35，∴5(1－2m )＝35，解得m ＝－4. (2)设P (a,0)，P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2a －0－4|22＋(－1)2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ，则d ＝2·S △ABP |AB |，∴2|a －2|5＝2×935，∴|a －2|＝3，∴a ＝5或a ＝－1，故点P 的坐标为(5,0)或(－1,0)．20．(本小题满分12分)(2015·湖南澧县一中高二期中测试)如图，四边形ABCD 是正方形，四边形BDEF 是矩形，AB ＝2BF ，DE ⊥平面ABCD .(1)求证：CF ∥平面ADE ； (2)求二面角C －EF －B 的余弦值． [解析] (1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC .又∵四边形BDEF 是矩形，∴BF ∥DE .又∵BC ∩BF ＝B ，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴平面BCF ∥平面ADE ，又∵CF ⊂平面BCF ，∴CF ∥平面ADE .(2)建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .设AB ＝a ，则BF ＝a2，则B (a ，－a,0)、C (a,0,0)、E (0,0，a 2)、F (a ，－a ，a2)．∴CE →＝(－a,0，a 2)、CF →＝(0，－a ，a 2)、BE →＝(－a ，a ，a 2)、BF →＝(0,0，a 2)．设平面CEF 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BEF 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CE →＝0n 1·CF →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BE →＝0n 2·BF →＝0.即⎩⎨⎧－ax 1＋a2z 1＝0－ay 1＋a2z 1＝0，⎩⎨⎧－ax 2＋ay 2＋a2z 2＝0a2z 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1y 1＝1z 1＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1y 2＝1z 2＝0.∴n 1＝(1,1,2)，n 2＝(1,1,0)． cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝223＝33.∴二面角C －EF －B 的余弦值是33. 21．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1x ＋y ＝1，有两组不同的实数解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1，双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62，且e ≠2，即离心率e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞) (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、P (0,1)，∵P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960. 由a >0，所以a ＝1713.22．(本小题满分14分)(2014·天津理，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．[解析] 解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)．(1)BE →＝(0,1,1)、DC →＝(2,0,0)，故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .(2)BD →＝(－1,2,0)、PB →＝(1,0，－2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0x －2z ＝0，不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量，于是有 cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)向量BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)，由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)，由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)，解得λ＝34，即BF →＝(－12，12，32)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面F AB 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0n 1·B F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0－12x 1＋12y 1＋32z 1＝0，不妨令z 1＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面F AB 的一个法向量，取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F －AB －P 是锐角，所以其余弦值为31010.解法二：(1)证明：如图，取PD 中点M ，连接EM 、AM .由于E 、M 分别为PC 、PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC ，又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .因为P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD⊥平面P AD ，因为AM ⊂平面P AD ，于是CD ⊥AM ，又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD . (2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面P AD ，得CD ⊥PD ，而EM ∥CD ，故PD ⊥EM ，又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，故PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以，直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，进而BE ＝2，故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33.所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图，在△P AC 中，过点F 作FH ∥P A 交AC 于点H ，因为P A ⊥底面ABCD ，故FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC ，又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH ，在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP ，由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A 、B 、F 、G 四点共面，由AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥AG ，所以∠P AG 为二面角F －AB －P 的平面角．在△P AG 中，P A ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°，由余弦定理可得AG ＝102，cos ∠P AG ＝31010. 所以，二面角F －AB －P 的余弦值为31010.。

高二数学必修五-选修2-1检测题

即墨实验高中高二数学周清测试题命题人：杨为兵审核人：金文化时间：120分钟 №：13一、选择题（每小题5分共60分）1 ．已知等差数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，2a ＋3，则此数列的通项a n 等于（） A ．2n －5 B ．2n －3 C ．2n －1 D ．2n ＋1 2 ．在△ABC 中，已知222c bc b a ++=，则角A 为（）A ．3π B ．6πC ．32πD ．3π或32π3 ．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100°D ．b=c=1, ∠B=45° 4 ．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（A ）[－12，12] （B ）[－2，2] （C ）[－1，1] （D ）[－4，4]5 ．下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（1）:-2p m <或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点。

（2）():1;()f x p f x -= :()q y f x =是偶函数。

（3）:cos cos ;p αβ= :tan tan q αβ=。

（4）:;p A B A ⋂= :U U q C B C A ⊆。

（A ）(1),(2) （B ） (2),(3) （C ）(3),(4) （D ） (1),(4)6 ．抛物线24y x =上一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是（）（A ）1716（B ）1516（C ）78（D ）07 ．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（）A. 6π B. 3π C.6π或56π D. 3π或23π8 ．已知双曲线22221xya b-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（A ）22154xy-= （B ）22145xy-= （C ）221xy36-= （D ）221xy63-=9 ．已知0a b >>，1e 和2e 分别为圆锥曲线22221x y ab+=和22221x y ab-=的离心率，则12lg lg e e +的值（）A ．一定是正值B ．一定是0C ．一定是负值D ．符号不确定10．设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆11．已知p ：|x+1|＞2，q ：x 2＜5x －6,则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 12、设P 是椭圆22194xy+=上一点，12F F 、是椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠的最小值是（）A ．19- B ．－1 C ．19 D ．12二、填空题（16分）13．设D 是不等式组21023041x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值是_______.14．A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且22,,a b c2成等差数列，则cos B =__________15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()21,nS a n a =++某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为16．已知直线1y kx =+与椭圆2215xym+=，对任意的k 值总有公共点，则m 的取值范围是三、解答题（74分）17．已知1:123x p --≤，()22:2100q x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．18．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ABCB cC b a ∆⋅=-,cos cos )2(的面积S=10.7,3=c （1）求角C ；（2）求a 、b 的值.19．在海岸A 处，发现北偏东︒45方向，距离A 为)13(-海里的B 处有一艘走私船．在A处北偏西︒75方向，距离A 为2海里的C 处有我方一艘辑私艇，奉命以后310海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东︒30方向逃窜，问辑私艇沿什么方向，才能最快追上走私船，需要多长时间？20．在等比数列{}n a 中，435220,39a a a =+=．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21．（2011山东）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)lnn n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和S n22．在平面直角坐标系中，已知向量a ，b )(k ∈R)，a ⊥b,动点M(x,y)的轨迹为T ．(1)求轨迹T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状； (2)当k=12时，已知点B(0，，是否存在直线l ：y=x+m ，使点B 关于直线l 的对称点落在轨迹T 上?若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.即墨实验高中高二数学周清13参考答案一、选择题B CDCD BADCC BA二、填空题13 14 121523π 16 m 大于等于1且不等5 三、解答题17解：解：由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤．所以“q ⌝”：{}110A x x m x m m =∈>+<->R 或，．由1123x --≤得210x -≤≤，所以“p ⌝”：{}102B x x x =∈><-R 或．由p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件知0129110.m m m m >⎧⎪⇔--⇒≥⎨⎪+⎩≤≥，，故m 的取值范围为03m <≤ 18解：（1）,cos cos )2(B c C b a =-,cos sin cos )sin sin 2(B C C B A =-∴ ,sin cos cos sin cos sin 2C B C B C A =-,sin cos cos sin cos sin 2C B C B C A +-)sin(cos sin 2C B C A +=即.sin cos sin 2A C A =∴21cos 0sin ),0(=∴≠∴∈C A A π 3π=∴C .（2）由,3,310sin 21π===C C ab S得ab=40.①由余弦定理，得：,cos 2222C ab b a c -+= 即),3cos1(2)(22π+-+=ab b a c ).211(402)(722+⨯⨯-+=∴b a.13=+∴b a ②由①②得a=8,b=5或a=5,b=8.19解：如图，设需t 小时追上走私船，在ABC ∆中，CAB AB AC AB AC BC ∠⋅⨯⨯-+=cos 22226120cos )13(22)13(222=︒⋅-⨯⨯--+=6=BC .在CBD ∆中，︒=∠120CBD ，BDBC DCBD BCCBD ⨯⨯-+=∠2cos 222tt t 1062300100622⨯⨯-+=整理得：03651002=--t t 解得106=t 或206-=t （舍）DCBBD CBDDC∠=∠sin sin ；DCBt t ∠=︒sin 10120sin 310.解得︒=∠30DCB答：沿北偏东︒60追击，需106小时．20解:（I ）设等比数列{a n }的公比为q, 则q≠0, a 2=a 3q= 2q, a 4=a 3q=2q所以 2q + 2q=203 , 解得q 1=13 , q 2= 3,当q 1=13, a 1=18.所以 a n =18×(13n －1=183n －1 = 2×33－n .当q=3时, a 1=281,所以a n =281×n 13-=2×3n －5（II ）由（I ）及数列{}n a 公比大于1，得q=3，a n =2×3n －5 ，n 5n n 33a b log log 3n 52-===-，n n 1b b 1--=（常数）， 1b 4=-．所以数列{}n b 为首项为－4，公差为1的等差数列，21nn b b n 9n S n 22+-==．21解：（I ）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意；当110a =时，不合题意。

高二数学必修5选修2-1 2-2理科月考试卷

高二数学必修5选修2－1考练卷班级姓名成绩一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．已知△ABC ，内角A 、B 、C 的对边分别是︒===60,3,2,,,B b a c b a ，则A 等于（）A ．45°B ．30°C ．45°或135°D ．30°或150°2．已知等差数列}{n a 的前n 项和为10532,20,5,a S a a S n 则-=-=+等于（）A ．－90B ．－27C ．－25D ．03．若a 、b 、c b a R >∈,，则下列不等式成立的是（）A ．b a 11<B ．22b a >C ．1122+>+c bc a D ．||||c b c a > 4．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A ．51 B ．21 C ．33D ．435．已知数列{a n }是逐项递减的等比数列，其首项a 1 < 0，则其公比q 的取值范围是（） A ．（－∞，－1） B ．（－1，0）C ．（0，1）D ．（1，+∞）6．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是（）A ．515B ．22C ．510D ．07．若)4tan(,2cos sin cos sin πααααα+=+-则等于（）A ．2B ．－2C ．21D ．21-8．已知数列{a n }，如果 ,,,,,123121----n n a a a a a a a 是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n=（）A ．2n +1－1B ．2n －1C ．2n －1D ．2n +19．已知实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥≤0420y x x y y ，则z = x + 3y 的最小值是（）A ．316 B ．316-C ．12D ．－12 10．下列函数中，最小值为4的是（）A ．xx y 4+=B ．)0(sin 4sin π<<+=x xx yC ．x x e e y -+=4D ．12122+++=x x y11．若△ABC 的三边为a ,b ,c ，它的面积为4222c b a -+，那么内角C 等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°12．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为（）A ．2617海里/小时 B ．634海里/小时C ．2217海里/小时D ．234海里/小时二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．对于任意实数x ，不等式0422<--x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 14．点P 是抛物线y 2 = 4x 上一动点，则点P 到点（0，－1）的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是 . 15．已知数列{a n }的通项公式是).42sin(2ππ+=n a n 设其前n 项和为S n ，则S 12 . 16．已知命题P ：不等式}10|{01<<<-x x x x的解集为；命题q ：在△ABC 中，“A > B ”是“sin A > sin B ”成立的必要不充分条件. 有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真其中正确结论的序号是 .（请把正确结论的序号都．填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，73tan =C .（1）求cosC ；（2）若..9,25c b a 求且=+=⋅18．（12分）解关于x 的不等式,122>++x a 其中R a ∈.19．（12分）在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，原点O 是BC 的中点，A 点坐标为 )0,21,23(，D 点在平面yoz 上，BC = 2，∠BDC = 90°，∠DCB = 30°. （Ⅰ）求D 点坐标；（Ⅱ）求><cos 的值.20．（12分）为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2006年开始出口，当年出口a 吨，以后每一年出口量均比上一年减少10%. （Ⅰ）以2006年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；（Ⅱ）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2006年最多出口多少吨？（保留一位小数）参考数据：0.910 ≈ 0.35.21．（12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：m kx y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

高中数学模块综合检测(含解析)湘教版高二选修2-1数学试题

模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x ∈R,2x －3>1”的否定是( ) A ．∃x ∈R,2x －3≤1 B ．∀x ∈R,2x －3>1 C ．∀x ∈R,2x －3≤1 D ．∃x ∈R,2x －3>1答案：C2．已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，M 是平面内任一点．则“|MF 1|＋|MF 2|＝4”是“点M 在椭圆E 上”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知，椭圆的长轴长2a ＝4，根据椭圆的定义知，C 选项正确．答案：C3．双曲线的渐近线为y ＝±22x ，且过点M (2，－3)，则双曲线的方程为( ) A ．x 2－y 22＝1B.x 22－y 2＝1 C.y 22－x 2＝1 D ．y 2－x 22＝1解析：依题意可设双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，将M (2，－3)代入双曲线方程，得λ＝－1.故所求双曲线方程为y 2－x 22＝1.答案：D4．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题，④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，所以选C.答案：C5．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A.5 32 B.212 C.372D.3 52解析：由已知可得2a －b ＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n －1,2)．又∵(2a －b )⊥b ，∴－8＋2n －1＋4＝0. ∴2n ＝5，n ＝52.∴|a |＝1＋4＋254＝3 52.答案：D6．一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：圆C 的方程即(x －3)2＋y 2＝1，圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R . ∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1，又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．答案：A7．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：双曲线x 24－y 212＝－1化为y 212－x 24＝1，其焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.答案：D8．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( ) A ．p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＞dB ．p ：a ＞1，b ＞1，q ：f (x )＝a x－b (a ＞0且a ≠1)的图象不过第二象限 C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a ＞1，q ：f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数解析：由于a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ，而a ＋c ＞b ＋d 却不一定推出a ＞b ，且c ＞d .故A 中p 是q 的必要不充分条件．B 中，当a ＞1，b ＞1时，函数f (x )＝a x－b 不过第二象限，当f (x )＝a x－b 不过第二象限时，有a ＞1，b ≥1.故B 中p 是q 的充分不必要条件．C 中，因为x ＝1时有x 2＝x ，但x 2＝x 时不一定有x ＝1，故C 中p 是q 的充分不必要条件．D 中p 是q 的充要条件．答案：A9．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63解析：建系如图，设正方体棱长为1，则BB 1―→＝(0,0,1)． ∵B 1D ⊥平面ACD 1，∴取B 1D ―→＝(－1，－1，－1)为平面ACD 1的法向量．设BB 1与平面ACD 1所成的角为θ，则sin θ＝|BB 1―→·B 1D ―→||BB 1―→|·|B 1D ―→|＝13＝33，∴cos θ＝63. 答案：D10．已知抛物线y 2＝ax 与直线y ＝1－x 有唯一公共点，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：将x ＝1－y 代入抛物线方程，得y 2＋ay －a ＝0，依题意有Δ＝a 2＋4a ＝0，所以a ＝－4，抛物线方程为y 2＝－4x .故焦点到准线距离为p ＝2.答案：B11．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．2解析：法一：作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A. 法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a.又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a＝ 2.答案：A12.如图所示，已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则平面CBF 与平面DBF 夹角的正切值为( )A.36B.34C.33D.233解析：设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0. ∴OC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，且OC ―→为平面BDF 的一个法向量．由BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12可得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC ―→〉＝217，sin 〈n ，OC ―→〉＝277.∴tan 〈n ，OC ―→〉＝233.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________．解析：不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.答案：1214．已知平面α的一个法向量为a ，与平面β平行的一个非零向量为b ，给出下列命题：①α∥β⇒a ⊥b ；②α⊥β⇒a ∥b ；③a ∥b ⇒α⊥β；④a ⊥b ⇒α∥β.其中正确的有________．解析：①③正确；②中由α⊥β可得a ∥β或a ⊂β，虽然有b ∥β，但a 与b 不一定平行，④中由a ⊥b 得不到α∥β.答案：①③15．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值X 围是________．解析：∵∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题． ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8. ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]16．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与所成角的余弦值为________．解析：建系如图，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)，C (0,1,0)∴AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12.∴cos 〈AM ―→，―→〉＝AM ―→·―→|AM ―→|·|―→|＝1254＝25.即直线AM 与所成角的余弦值为25.答案：25三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32.∴p ＝2，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若条件綈q 是条件綈p 的充分条件，某某数a 的取值X 围．解：当a >13时，集合B 可化为B ＝[2,3a ＋1]，由题意知p 是q 的充分条件，要满足上述条件，需有⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，解得1≤a ≤3.当a ＝13时，显然不满足题意．当a <13时，集合B 可化为B ＝[3a ＋1,2]，要满足p 是q 的充分条件，需有⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋1≤2a ，a 2＋1≤2，解得a ＝－1.综上，实数a 的取值X 围是[1,3]∪{－1}．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．解：(1)证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图．设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，P (0,0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2. ∵EF ―→ ·DC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2·(0，a,0)＝0.∴EF ―→⊥DC ―→，∴EF ⊥CD .(2)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF ―→＝0，n ·DE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2＝0，x ，y ，z ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2x ＋y ＋z ＝0，ax ＋a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2,1)， ∴cos 〈BD ―→，n 〉＝BD ―→·n |BD ―→|·|n |＝a 2a ·6＝36.故DB 与平面DEF 所成角的正弦值为36. 20．(本小题满分12分)已知抛物线：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4,0)． (1)若点F 到直线l 的距离为3，求直线l 的斜率；(2)设A ，B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．解：(1)由已知，直线l 的方程为x ＝4时不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，由已知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点F 到直线l 的距离为3，所以|3k |1＋k2＝3，解得k ＝±22，所以直线l 的斜率为±22. (2)证明：设线段AB 的中点坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AB 不垂直于x 轴，则直线MN 的斜率为y 0x 0－4，直线AB 的斜率为4－x 0y 0，直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝4－x 0y 0x －x 0，y 2＝4x ，消去x 得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 04y 2－y 0y ＋y 20＋x 0(x 0－4)＝0，所以y 1＋y 2＝4y 04－x 0，因为N 为AB 的中点，所以y 1＋y 22＝y 0，即2y 04－x 0＝y 0，所以x 0＝2，即线段AB 中点的横坐标为定值2.21．(本小题满分12分)如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图②.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．解：(1)证明：在题图①中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在题图②中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE, 所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1BE C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，OB ―→，OC ―→，OA 1―→为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0， A 1⎝⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，得BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－22，CD ―→＝BE ―→＝(－2，0,0)．设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC ―→＝0，n 1·A 1C ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1,1,1)；⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD ―→＝0，n 2·A 1C ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0,1,1)，从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63，即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63. 22．(本小题满分12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA ―→·MB ―→为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入椭圆方程x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－43k 2＋13k 2－5＞0， ①x 1＋x 2＝－6k23k 2＋1. ②由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，适合①. 所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0. (2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA ―→·MB ―→为常数． ①当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1.③所以MA ―→·MB ―→＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2.word 11 / 11 将③代入，整理得MA ―→·MB ―→＝6m －1k 2－53k 2＋1＋m 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2m －133k 2＋1－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋1433k 2＋1. 注意到MA ―→·MB ―→是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA ―→·MB ―→＝49. ②当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－1，233，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－233，当m ＝－73时，亦有MA ―→·MB ―→＝49. 综上，在x 轴上存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，使MA ―→·MB ―→为常数．。

高二数学选修2-1课件：圆锥曲线的综合问题1(新人教A)

(3)求 AOB的面积的最小值. 1
例2.过抛物线y2 2x 的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB与x轴的交点为定点.
结论：过抛物线y2 2 px 的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB，则直线AB与x轴交于定点（2p,0).
典例讲评
例3.点A、B为抛物线y2＝4x上两动点，O为原点，且OA⊥OB，求线段AB的中点M 的轨迹方程.
y 2 = 2(x - 4)
y
A
M
O
x
B
求动点的轨迹方程
1.直接法：
建 . →设→限→代→化
2.定义法：
挖掘几何条件→指出轨迹类型→写出轨迹方程.
3.参数法：
设动点坐标选相关参数→建立参数方程 →消去参数得普通方程→作出结论.
练习
1. 已知抛物线x2 = 2y,过点Q(0,-2) 作一直线交抛物线于A、B两点，试求弦AB中点的轨迹方程.
求证：|FP| – |FP|cos 为定值.
2
4.已知中心在原点坐标轴为对称轴的椭圆的离
心率为 2 ，以该椭圆上一点和其左右焦点
F1、F2为2顶点的三角形的周长是 4( 2 1) ，
一条等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
P是双曲线上异于顶点的任一点，直线
PF1、PF2与椭圆分别交于A、B和C、D.
高二数学选修2-1
抛物线的简单几何性质第四课时
Hale Waihona Puke 若直线l 过点定点(a,0),则直线l 可设为：x=my+a,
其中m cot ,为直线l的倾斜角.
例1.如图，直线l 与抛物线y2 x交于 A(x1,y1)、B(x2,y2 )两点，与x轴交于点M，且y1 y2 1. (1)求证：M点的坐标为(1, 0). (2)求证：OA OB.

高中数学选修2-1、2-2综合试题

高中数学选修2-1、2-2综合试题班级___________ 姓名__________________ 得分___________一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.) 1．复数z 的虚部记作Im （z ），若z=512i+，则Im （z ）=（） A ．2 B ． 2i C ．－2 D ．－2i 2．考察以下列命题：①命题“lg 0,x =则x=1”的否命题为“若lg 0,1x x ≠≠则” ②若“p q ∧”为假命题，则p 、q 均为假命题 ③命题p ：x R ∃∈，使得sin 1x >；则p ⌝：x R ∀∈，均有sin 1x ≤④“2x >”是“112x <”的充分不必要条件则真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 3.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

若=，=，=1则与相等的向量是（） A ． 1122a b c -++ B ．1122a b c ++ C ．1122a b c --+ D ．1122a b c -+ 4．由直线1,2,2x x ==曲线1y x=-及轴所围图形的面积为（）A ．—2ln 2B ． 2l n 2C ．1ln 22D ．1545．已知抛物线22(0)y px p =>上有一点M （4，y ），它到焦点F 的距离为5，则OFM ∆的面积（O 为原点）为（）A ．1B ．2CD．6．在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（）A ．60°B ．75°C ．105°D ．90°7．已知抛物线＝2px （p>1）的焦点F 恰为双曲线（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则双曲线的离心率为 ( )A ．B ． 2 C1 D．2+二、填空题（每小题5分，共15分。

新人教A 必修一,必修二,必修三,必修四,必修五,选修2-1综合试题

永城市高级中学数学假期作业2013-07 周秀环一、选择题1.设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C U Q)= （）A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2} 2. 下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是（）A ．()ln 2y x =+B ．y =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x=+3.121()()2x f x x =-的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 4. 在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11= （）A ．58B ．88C ．143D ．1765.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是6.函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（）A ．2B ．0C ．-1D ．1--7.是方程2320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为（）A ．3-B ．1-C ．1D ．38.向量a =(1.cos θ)与b=(-1, 2cos θ)垂直,则cos 2θ等于A2B 12C ．0D ．-19.设a,b 是两个非零向量.（）A ．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB ．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C ．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λ bD ．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|10．下列命题正确的是（）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行11.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断,下列近似公式中最精确的一个是（）A ．d ≈B ．d ≈C ．d ≈D ．d 12.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,13AB BF ==动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为（） A ．8 B ．6 C ．4 D ．3二、填空题、13.已知ABC ∆得三边长成公比为,则其最大角的余弦值为_________. 14.直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为_____________15.设单位向量(,),(2,1)m x y b ==-。

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高二数学选修（2-1）期末模拟考试题（理科）
一、选择题（15×4=60分）
1、(x+1)(x+2)>0是(x+1)(2x +2)>0的（）条件
A 必要不充分
B 充要
C 充分不必要
D 既不充分也不必要
2、已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（）条件
A 必要不充分
B 充分不必要
C 充要
D 既不充分也不必要 3、已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC 与的夹角为（） A 030 B 045 C 060 D 090
4、O 、A 、B 、C 为空间四个点，又、、为空间的一个基底，则（） A O 、A 、B 、C 四点共线 B O 、A 、B 、C 四点共面
C O 、A 、B 、C 四点中任三点不共线
D O 、A 、B 、C 四点不共面 5、给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；
②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；
④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂
其中为假命题的是（） A ① B ② C ③ D ④
6、已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），则三棱锥B ′—ABC 的体积为（）
A 4
1
B
21 C 63 D 4
3 7、若焦点在x 轴上的椭圆
122
2=+m
y x 的离心率为21，则m=（） A 3 B
2
3
C
3
8 D 32
8、已知()()3cos ,3sin ,12cos ,2sin ,1P ααββ==和Q ，则PQ 的取值范围是（） A []1,5 B ()1,5 C []0,5 D []0,25
9、已知椭圆
136
1002
2=+y x 上一点P 到它的右准线的距离为10, 则点P 到它的左焦点的距离是( )
A 8
B 10
C 12
D 14
10、与双曲线116
92
2=-y x 有共同的渐近线,且经过点()
32,3-的双曲线的一个焦点到
一条渐近线的距离是( )
A 1
B 2
C 4
D 8
11、若抛物线28y x =上一点P 到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则此点P 的横坐标为（）
A 10
B 9
C 8
D 非上述答案
12、已知坐标满足方程F （x ，y ）=0的点都在曲线C 上，那么（） A 曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x ，y ）=0； B 凡坐标不适合F （x ，y ）=0的点都不在C 上； C 不在C 上的点的坐标不必适合F （x ，y ）=0；
D 不在C 上的点的坐标有些适合F （x ，y ）=0，有些不适合F （x ，y ）=0。

二、填空题（4*4=16分）
13、已知四面体A —BCD ，设=，=，=，=,E 、F 分别为AC 、BD 中点，则EF 可用、、、表示为_______ ____. 14、“若A 则B ”为真命题，而“若B 则C ”的逆否命题为真命题，且“若A 则B ”是“若C 则D ”的充分条件，而“若D 则E ”是“若B 则C ”的充要条件，则┐B 是┐E 的条件；A 是E 的条件。

（填“充分”“必要”、“充要”或“既不充分也不必要” ）
15、设双曲线122
22=-b
y a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB
为直径的圆恰好过F 点，则离心率为
16、抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则其横坐标为___ ____。

三、解答题（共74分）
17、（12分）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

18、（12分）已知顶点在原点, 焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15。

求抛物线的方程.
19、（12分）已知9
x 2+5y 2
=1的焦点F 1、F 2，在直线l ：x +y －6=0上找一点M ，
求以F 1、F 2为焦点，通过点M 且长轴最短的椭圆方程．
20、（12分）A
是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若BD=4，试求MN 的长.
21、（12分）给定双曲线12
2
2
=-y x 。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程．
22、（14分）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC
D -中，,
E
F 分别是1,D D BD 的中点，
G 在棱CD 上，且1
4CG CD
=，H 为1C G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题.
（1）求证：1EF B C ⊥;（2）求EF 与1C G 所成的角的余弦;（3）求FH 的长。