2018年高中数学必修五期末考试
人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案94588
人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案A. 99 D. 101D. 310. —个等比数列｛a n ｝的前n 项和为48,前2n 项和为60，则前3n 项和为（）、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20 分）•选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分）1•由 a ! 1 , d 3确定的等差数列a n ，当a n298时，序号n 等于（） 2. ABC 中, 若 a 1,c 2,B60，贝U ABC 的面积为（ A. 3B4C. 5D.626.不等式ax bx c 0(a0）的解集为R ，那么（）A. a 0,B. a 0,C. a 0, 0D. a 0, 0x y 17.设x, y 满足约束条件yx ,则z 3x y 的最大值为（）y2A . 5 B. 3 C. 7 D. -88.在 ABC 中,a 80,b 100, A 45 ,则此三角形解的情况是（）A. 一解B 两解C.一解或两解D.无解9.在△ ABC 中，如果 sinA:sinB:sinC 2:3:4，那么 cosC 等于()C. 96 E. 100 3.已知xA . 50,函数y -xB . 4x 的最小值是（C .D . 64..在数列｛a .｝中，6=1， a n 1 a n2 ，则a51的值为（A . 995.在等比数列中, B . 4912a 1D . 101C. 102丄，a n 丄，贝U 项数n 为（2322A.- 32 B.-- 3C. -11 D.-4A 、63B 108C 、75D 、8311•在ABC 中，B 45°,c 2血,b 亜，那么A=；312. ____________________________________________________________________ 已知等差数列a n的前三项为a 1,a 1,2a 3，贝吐匕数列的通项公式为 __________________ .2x 113. 不等式1的解集是3x 1 --------214. 已知数列｛a n｝的前n项和S n n n，那么它的通项公式为a n= ___________三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）“ 515（12分）已知等比数列a n中，a1 a3 10, a4 a6匚，求其第4项及前5项和.4216（14分）（1）求不等式的解集：x 4x 5 0（2）求函数的定义域：y17 （14分）在厶ABC中，BC= a,AC= b, a, b 是方程X 2 3x 2 0的两个根，且2C0SA B） 1求：(1)角C的度数；(2)AB的长度2 I 118(12分)若不等式ax 5x 2 0的解集是x2 X 2,(1)求a的值；2 2⑵求不等式ax 5x a 1 0的解集.19 (14分)如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152的方向航行.为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122 •半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32 •求此时货轮与灯塔之间的距离.A20 ( 14分)某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a.的信息如下图。
【浙教版】高中数学必修五期末试题带答案
一、选择题1．已知实数x ，y 满足221x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩且2z y x =-的最小值为-6，则实数m 的值为（ ）． A ．2B ．3C ．4D ．8 2．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A ．42B ．32C ．6D ．83．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >4．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若22212a b c =+，则tan A 的取值范围是（ ） A ．)3,⎡+∞⎣B ．()3,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞5．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝5，△ABC 的面积S ＝5cos A ，则a ＝（ ） A ．1 B ． 5 C ． 13D ． 176．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ） A ．2 B ．22C ．1D ．2 7．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A． B．C ．60mD ．20m8．设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则112z x y =+的取值范围是（ ） A ．514z ≤≤B ．1524z ≤≤ C ．112z ≤≤ D ．312z ≤≤9．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a Y n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．712,35⎛⎫⎪⎝⎭C ．167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．167,73⎛⎫⎪⎝⎭11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ） A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的n =（ ） A ．50B ．51C ．100D ．101二、填空题13．已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．14．若实数m 和n 满足242329231m m n n m n ⨯-⋅+⨯=++，则23m n +的取值范围为______．15．设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值是________.16．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC 的面积为S，若cos cos a B b A=+，cos sin 7tan cos sin 12A A A A π+=-，3c =，则a =__________. 17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，且ABC的面积为223a c +的最小值为__________．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22212b c a -=，则tan B =________.19．给定*1log (2)()n n a n n N +=+∈，则使乘积12k a a a 为整数的()*k k ∈N 称为“和谐数”，则在区间内[1,2020]的所有“和谐数”的和为_______.20．已知函数()f x 在()1,∞-+上单调，且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()5051f a f a =，则1100a a +等于________.三、解答题21．已知函数()245y x x x R =-+∈.（1）求关于x 的不等式2y <的解集；（2）若不等式3y m >-对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 22．已知a R ∈，若关于x 的不等式2(1)460a x x 的解集是(3,1)-．(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式230ax bx ++≥在[0,2]上恒成立，求实数b 的取值范围. 23．在ABC 中，已知a 2tan B =b 2tan A ，试判断△ABC 的形状. 24．已知,,A B C 为ABC 的三内角，且其对边分别为,,a b c ，若()cos 2cos 0a C c b A ++=.（1）求A ；（2）若a =4b c +=，求ABC 的面积.25．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，若1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项． （1）求数列{}n b 的公比；（2）若11a =，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 和为n S 且99200n S >，求n 的最小值． 26．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题). （1）求n a ﹔ （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】作出不等式组221x y x m-≤-≤⎧⎨≤≤⎩对应的区域，利用数形结合平移直线即可得到结论 .【详解】由题意可作图：当2z y x =-经过点P 时，z 取最小值6， 此时P 符合：2x my x =⎧⎨=-⎩，即(,2)P m m -代入2z y x =-得：m -2-2m =-6,解得m =4 故选：C 【点睛】简单线性规划问题的解题步骤： (1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值； (3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值； (4)下结论．2．D解析：D 【分析】运用基本不等式22422422x y x y x y ++≥【详解】因为20,40x y >>，所以24228x y +≥==，（当且仅当24x y =时取“=”）． 故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．3．D解析：D 【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 选项，由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；D 选项，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为,a b 不同时为0，所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，故正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据题中条件，由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式，化简可得tan 3tan A B =，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan 0A >，tan 0C >，解不等式可得所求范围．【详解】 因为22212a b c =+，由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-， 则222212cos 2b c b c bc A +=+-，可得4cos c b A =，由正弦定理可得：sin 4sin cos C B A =，可得sin()sin cos sin cos 4sin cos A B A B B A B A +=+=， 化为3sin cos sin cos B A A B =， 在锐角ABC 中，cos 0A ≠，cos 0B ≠， 则tan 3tan A B =，又21tan tan tan tan 3tan tan()11tan tan 1tan 3A AA B C A B A B A ++=-+=-=---，由tan 0A >，tan 0C >，可得211tan 03A -<，解得tan A > 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．5．A解析：A 【分析】由三角形的面积公式和已知条件得出sin A ＝12cos A ，再由同角三角函数间的关系求得cos A，运用余弦定理可求得边a . 【详解】因为b ＝2，cScos A ＝12bc sin AA ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.又0A π<<，所以sin >0,A 所以cos >0A ，故解得cos A. 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－＝9－8＝1，所以a ＝1. 故选：A. 【点睛】本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.6．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．7．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC302sin 45203BC3tan 3020320AB BC故选D 【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．8．B解析：B 【分析】画出不等式组对应的平面区域，由,x y 都取最大值得出z 的最小值，当z 取最大值时，点(),x y 落在直线250x y +-=上，再结合基本不等式得出z 的最大值.【详解】该不等式组对应的平面区域如下图所示由可行域易知，当4,2x y ==时，112z x y =+取得最小值111442+= 当点(),x y 落在直线250x y +-=上时，112z x y=+取得最大值 此时25x y +=，2225224x y xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭ 112542225x y z x y xy xy +∴=+==≥ 当且仅当2x y =，即55,24x y ==时取等号，显然55,24⎛⎫⎪⎝⎭在可行域内 即1524z ≤≤ 故选：B 【点睛】关键点睛：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案.9．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．10．C解析：C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==，可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，两式相减可得：()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+，所以22n a n =+， 所以()22n a tn t n -=-+， 可得数列{}n a tn -是等差数列， 由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立， 可得：660a t -≥，770a t -≤， 即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤， 解得：16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，11．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.12．A解析：A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <， 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =； 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．二、填空题13．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键解析：9 【分析】由已知结合基本不等式a b +≥ 【详解】30a b ab +-+=，3a b ab ∴+=-,a b为正实数，a b ∴+≥a b =时取等号，3ab ∴-≥30ab ∴-≥，即)310≥3≥1≤-（舍去），9ab ∴≥，当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的最小值是9．故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已算能力，属于基础题．14．【分析】设方程化简为得到再结合基本不等式得到根据一元二次不等式不等式的解法即可求解【详解】设因为可得所以解得或又由当且仅当时即时等号成立整理得解得所以即则的取值范围为故答案为：【点睛】方法点睛：设利解析：(1,2]. 【分析】设23m n t =+，方程化简为221523m n t t --=⨯⨯，得到2210t t -->，再结合基本不等式，得到23440t t --≤，根据一元二次不等式不等式的解法，即可求解. 【详解】 设23m n t =+，因为242329231m m n n m n ⨯-⋅+⨯=++，可得221523m n t t --=⨯⨯， 所以2210t t -->，解得1t >或12t <-， 又由222235215235()24m n mnt t t +--=⨯⨯≤⨯=， 当且仅当23m n =时，即0m n ==时等号成立， 整理得23440t t --≤，解得223t -≤≤，所以12t <≤，即则23m n +的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2]. 【点睛】方法点睛：设23m n t =+，利用换元法把方程化简为221523m n t t --=⨯⨯，根据指数函数的性质和基本不等式，得出不等式2210t t -->和23440t t --≤是解答的关键.15．8【分析】根据xy 满足的约束条件画出可行域然后平移直线当直线在y 轴上截距最大时目标函数取得最大值【详解】依题意xy 满足约束条件可行域如图所示阴影部分：易得点平移直线（图中虚线）当直线经过C 点时在y 轴解析：8 【分析】根据x ，y 满足的约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩画出可行域，然后平移直线0x y +=，当直线在y 轴上截距最大时，目标函数取得最大值. 【详解】依题意x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩可行域如图所示阴影部分：易得点()2,2A -、()2,2B 、()10,2C -，平移直线0x y +=（图中虚线），当直线0x y +=经过C 点时，在y 轴上的截距最大， 目标函数z x y =+有最大值，1028max z =-=， 所以目标函数z x y =+的最大值是8. 故答案为：8. 【点睛】方法点睛：本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想. 线性规划问题考查的方式是由二元一次不等式组给出线性约束条件确定可行域，求可行域的面积、或确定形状；或者是在线性约束条件下求目标函数的取值范围、最值或取得最值时的点的坐标的确定以及由此衍生出来的其他相关问题，比如直线的斜率、平面距离的最值等问题.16．【分析】先根据三角形面积公式以及正弦定理化简条件得再利用弦化切以及两角和正切公式化简条件得即得最后根据余弦定理解得【详解】由可知根据正弦定理知又得因为所以故因此又故故答案为：【点睛】本题考查三角形面【分析】cos cos a B b A =+得sin b A =再利用弦化切以及两角和正切公式化简条件cos sin 7tan cos sin 12A A A A π+=-得3A π=，即得4b =，最后根据余弦定理解得a =. 【详解】由cos cos 3S a B b A =+可知1sin cos cos 32ab C a B b A =+，根据正弦定理知1sin sin sin cos sin cos sin 32A b C AB B AC ⋅=+=，又0,sin 0C C π<<>，得sin b A =cos sin 1tan cos sin 1tan A A A A A A ++=--7tan tan 412A ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为()0,A π∈，所以7412A ππ+=，故3A π=，因此4b =，又2222cos 13a b c bc A =+-=，故a .【点睛】本题考查三角形面积公式、正弦定理、余弦定理，考查综合分析求解能力，属中档题.17．80【分析】由已知结合正弦定理以及三角形内角和性质有根据面积公式有再应用余弦定理可得结合目标式有利用基本不等式即可求最小值；【详解】由及正弦定理可得∴即又故故因为的面积为所以即故由余弦定理可得∴当且解析：80 【分析】由已知结合正弦定理，以及三角形内角和性质有23C π=，根据面积公式有16ab =，再应用余弦定理可得22216c a b =++，结合目标式有22223164a c a b +++=，利用基本不等式即可求最小值； 【详解】由2cos 2c B a b =+及正弦定理可得2sin cos 2sin sin C B A B =+，∴2sin cos 2sin()sin C B B C B =++，即2sin cos sin 0B C B +=，又sin 0B >， 故1cos 2C =-，故23C π=． 因为ABC的面积为1sin 2ab C =12ab =16ab =， 由余弦定理可得222222212cos 216162c a b ab C a b a b ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-=++ ⎪⎝⎭， ∴2222233a c a a b +=++221641641680a b ab +=++≥+=，当且仅当2a b ==时等号成立，故223a c +的最小值为80． 故答案为：80． 【点睛】本题考查了正余弦定理，应用了三角形内角和性质、三角形面积公式以及基本不等式求最值；18．3【分析】由题意结合余弦定理得进而可得再由余弦定理即可求得利用平方关系求得进而求得【详解】由余弦定理可得即又所以所以所以所以所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用考查了同角三角函数解析：3 【分析】由题意结合余弦定理得c =，进而可得a =，再由余弦定理即可求得cos B =sin B =，进而求得sin tan 3cos B B B ==. 【详解】4A π=，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-即222b a c -=-，又22212b a c -=，所以2212c c =-，所以c =， 222222145299a b c b b b =-=-=，所以a =，所以22222258cos 210b b ba cb B ac +-+-===，所以sin B==，所以sintan3cosBBB==，故答案为：3.【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用，考查了同角三角函数关系式，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.19．2026【分析】根据换底公式把代入并且化简转化为为整数即可求得区间内的所有和谐数的和【详解】由换底公式：得为整数∴分别可取最大值则最大可取10故所有和谐数的和为故答案为：2026【点睛】考查数列的综解析：2026【分析】根据换底公式把1log(2)n na n+=+代入12ka a a⋯并且化简，转化为lg(2)lg2k+为整数，即22nk+=，n*∈N，可求得区间[1,2020]内的所有“和谐数”的和.【详解】由换底公式：logloglogbabNNa=，得()231241log3log4log5log2kka a a k+=⋯+122lg3lg4lg5lg(2)lg(2)log(2)lg2lg3lg4lg(1)lg2==++⋯⋅⋅⋅⋅=++kk ka a a kk为整数，∴22nk+=，n*∈N，k分别可取23422,22,22---，最大值222020n-≤，则n最大可取10，故所有“和谐数”的和为()923104122221818202612-++⋅⋅⋅+-=-=-.故答案为：2026.【点睛】考查数列的综合应用及对数的换底公式，把12ka a a⋯化简并且转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题.20．【分析】根据的图象的对称性利用平移变换的知识得到的图象的对称性结合函数的单调性根据得到的值最后利用等差数列的性质求得所求答案【详解】由函数的图象关于对称则函数的图象关于对称又在上单调且所以因为数列是解析：2-【分析】根据()2y f x =-的图象的对称性，利用平移变换的知识得到()f x 的图象的对称性，结合函数的单调性，根据()()5051f a f a =得到5051a a +的值，最后利用等差数列的性质求得所求答案. 【详解】由函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于1x =-对称， 又()f x 在()1,∞-+上单调,且()()5051f a f a =，所以5051a a 2+=-，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，所以11005051a a 2a a +=+=-, 故答案为：2-. 【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，等差数列的性质，涉及函数的图象的平移变换，属中档题，小综合题，难度一般.三、解答题21．（1）{|13}x x <<；（2）()24.，【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即得；（2）根据不等式恒成立的意义，确定求函数245y x x =-+的最小值，并利用配方法求得最小值，将问题转化为解关于m 的简单的绝对值不等式，根据绝对值的意义即可求解. 【详解】(1)由2y <得2430x x -+<，即13x <<， 所以2y <的解集为{|13}x x <<；(2)不等式3y m >-对任意x R ∈恒成立3min m y ⇔-<，由()224521y x x x =-+=-+得y 的最小值为1，所以31m -<恒成立，即131m -<-<， 所以24m <<，所以实数m 的取值范围为()2,4. 【点睛】本题考查不含参数的一元二次不等式的求解；考查不等式在实数集上恒成立问题，涉及二次函数的最值和简单绝对值不等式的求解，属基础题，难度一般. 22．(1)3；(2)6b ≥- 【分析】(1)将1x =代入方程2(1)460a x x ，即可求出a 的值；(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，利用分离参数即可求出b 的取值范围.【详解】(1)1和3-是2(1)460a x x 的两根，将1x =代入方程解得3a =；(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，即233bx x -≤+在[0,2]上恒成立， 当0x =时，03≤恒成立，此时a R ∈；当2(]0,x ∈时，不等式可转化为13()b x x-≤+在[0,2]上恒成立，因为13()36x x +≥⨯=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立， 所以6b -≤，所以6b ≥-, 综上，实数b 的取值范围为6b ≥-. 【点睛】本题主要考查三个二次式关系的应用，不等式恒成立问题的求法，属于中档题. 23．ABC 为等腰三角形或直角三角形 【分析】设三角形外接圆半径为R ，根据a 2tan B =b 2tan A ，利用商数关系和正弦定理，变形为sin A cos A =sin B cos B ,再利用二倍角公式转化sin2A =sin2B ，得到角的关系判断. 【详解】设三角形外接圆半径为R ， 因为a 2tan B =b 2tan A ，所以22sin sin cos cos a B b AB A=， 所以22224sin sin 4sin sin cos cos R A B R B AB A=，所以sin A cos A =sin B cos B , 所以sin2A =sin2B ， 则2A =2B 或2A +2B =π， 所以A =B 或A +B =2π. 所以ABC 为等腰三角形或直角三角形.24．（1）23π；（2 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin 2sin cos 0B B A +=，由于sin 0B ≠，可求cos A 的值，结合()0,A π∈，可求A 的值.（2）由已知利用余弦定理可求bc 的值，进而根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】解：（1）∵()cos 2cos 0a C c b A ++=，∴由正弦定理可得：()sin cos sin 2sin cos 0A C C B A ++=，整理得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B A ++=， 即：()sin 2sin cos 0A C B A ++=， 所以sin 2sin cos 0B B A +=， ∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =-， ∵()0,A π∈，∴23A π=. （2）由a =4b c +=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， ∴2212()22cos 3b c bc bc π=+--，即有1216bc =-， ∴4bc =， ∴ABC的面积为112sin 4sin 223S bc A π==⨯⨯= 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.解题的过程中注意以下公式的灵活应用：22()22cos a b c bc bc A =+--、()sin sin A C B +=、()cos cos A C B +=-.25．（1）5；（2）50. 【分析】（1）利用基本量代换，求出12d a =，直接求出公比； （2）裂项相消法求出n S ，解不等式即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项，得23113a a a =⋅，即()()2111212a d a a d +=⋅+，化简得2148d a d =．10,2d d a ≠∴=．设数列{}n b 的公比的公比为q ，则3111111245a a d a a q a a a ++====． （2）若11a =，则1111112,21,(21)(21)22121n n n d a n a a n n n n +⎛⎫==-==- ⎪-+-+⎝⎭， 111112133557(21)(21)n S n n ⎫⎛=++++⎪ ⨯⨯⨯-⨯+⎝⎭111111111111233557212122121nn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 由99200n S >，得9999,212002n n n >∴>+，故n 的最小值为50．【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 26．条件选择见解析；（1）32n a n =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）由①可得11a =，由②可得13d a =，由③可得3127a a d =+=，选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，即得解析式； （2）可得11133231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，由裂项相消法求出n T 即可证明.【详解】（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =； ②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =；③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=； 选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =， 故()13132n a n n =+-=-. （2）()()111111323133231n n nb a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴123n n T b b b b =++++11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∵n *∈N ，∴1031n >+，∴13n T <.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.。
2018-2019年人教版高中《数学必修5》精选试题及答案62
2018-2019年人教版高中《数学必修5》精选试
题及答案
单选题（共5道）
1、在等比数列{an}中，a2=-3，a4=-6，则a8的值为（）
A-24
B24
C±24
D-12
2、等比数列{an}中，a7=10，q=-2，则a10=（）
A4
B40
C80
D-80
3、如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是（）
Aac＞bd
B
Ca-d＞b-c
Da+d＞b+c
4、若2-m与|m|-3异号，则m的取值范围是
[]
Am＞3
B-3＜m＜3
C2＜m＜3
D-3＜m＜2或m＞3
5、在△ABC中，a=12，b=13，C=60°，此三角形的解的情况是（）
A无解
B一解
C二解
D不能确定
多选题（共5道）
6、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于
[]
A22
B21
C19
D18
7、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于
[]
A22
B21
C19
D18
8、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于
[]。
【浙教版】高中数学必修五期末试题附答案
一、选择题1．已知实数,x y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则241z x y =++的最小值是（ ）A ．14-B ．1C ．5-D ．9-2．不等式112x x ->+的解集是（ ）． A ．{}|2x x <-B ．{}|21x x -<<C ．{}|1x x <D ．{}|x x ∈R3．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A．(1,1 B．()1++∞ C ．（1，3）D ．（3，+∞）4．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭5．在ABC ∆中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos20B C +=，4a =，则ABC ∆的面积为（ ）A．2+ B．4 C．6+D．8+6．在ABC 中，内角,A ,B C 的对边分别为,a ,b c，已知b =22cos c a b A -=，则a c +的最大值为（ ）AB．C．D7．已知ABC ∆中，a =b =60B =，那么角A 等于（ ）A ．135B ．45C ．135或45D ．908．在△ABC 中，a 2tanB =b 2tanA ，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形9．设等差数列{}n a前n项和为n S，等差数列{}n b前n项和为n T ，若11 nnS nT n-=+．则55ab=（）A．23B．45C．32D．5410．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}n a的第n项，则100a的值为（）A．5049 B．5050 C．5051 D．510111．数列{}n a满足122,1a a==，并且()111212n n nna a a-+=-≥，则1011a a+=（）A．192B．212C．2155D．236612．已知函数()()31f x x x=-+，数列{}n a中各项互不相等，记()()()12n nS f a f a f a=+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a满足55S=，则33a=；②若正项等比数列{}n a满足33S=，则21a<；其中（）A．①是假命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题C ．①②都是假命题D．①②都是真命题二、填空题13．若实数x，y满足不等式组2025040x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则1x yx++的取值范围为_____. 14．在ABC中，已知1AC=，A∠的平分线交BC于D，且1AD=，2BD=，则ABC的面积为_________.15．已知ABC中，内角、、A B C的对边分别为a b c、、，且222sin2a b cc B aa+--=，则B=___________.16．ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2222b ac ac+-=，3sin B=，则C=__________．17．已知11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，则a =____________． 18．已知x ，y 是正数，121x y +=，则21x y xy ++的最小值为________. 19．下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{}n a 的前4项，则数列{}n a 的一个通项公式为______.20．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，则k 的最小值是__________．三、解答题21．已知实数x ，y 满足不等式组204030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，求目标函数23z x y =-的最值及相应的最优解．22．已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.23．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=．（1）求B ；（2）若3b =，当ABC 的周长最大时，求它的面积．24．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(sin ,),(1,sin )m A a n B ==（1）当2sin m n A =时，求b 的值；（2）当//m n 时，且1cos 2C a =，求tan tan A B 的值．25．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题).（1）求n a ﹔ （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <. 26．已知数列{}n a 满足：12a =，()*112n nn a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）设2nn n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求2n n S S -的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 【详解】解：作出不等式组5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图所示的阴影部分由241z x y =++可得11244z y x =-+-， 则144z -表示直线11244z y x =-+-在y 轴上的截距，截距越小，z 越小， 由题意可得，当11244z y x =-+-经过点A 时，z 最小， 由500x y x y ++=⎧⎨-=⎩可得5522A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 此时552411422z =-⨯-⨯+=-，故选：A. 【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.2．A解析：A 【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到302x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302x ->+， 即302x <+，则有20x +<，解得2x <-，所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.3．A解析：A 【解析】 试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，选：A ．考点：简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．4．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以1212()()22332x x f x f x --++=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.5．C解析：C 【分析】在ABC ∆中，()sin sin B A C +=，化简sin (sin cos )sin 0A B B C +-=可得4A π=，又sin cos20B C +=和34B C π+=，解得3B π=，512C π=，最后通过正弦定理求出1)c =，再根据三角形面积公式得到面积.【详解】由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=得：sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin 0A B A B A B A B A B A B ⋅+⋅-⋅-⋅=⋅-⋅=，∴sin cos A A =，又0()A π∈，，则4A π=，则34B C π+=，又3sin cos 2sin 22B C C π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则3222B C k ππ=-+或222B C k ππ=-+，(0)B C π∈、，，则322B C π+=或22C B π-=，又34B C π+=，则取22C B π-=，得3B π=，512C π=，又4a =，根据正弦定理，sin 1)sin a Cc A ⋅==，∴1sin 62ABC S ac B ∆=⋅=+ 故选C. 【点睛】思路点睛：在三角形中，由于A B C π++=,根据诱导公式，()sin sin A B C +=，()sin sin A C B +=,()sin sin C B A +=，()cos cos A B C +=-,()cos cos A C B +=-,()cos cos C B A +=-等，以上常见结论需要非常熟练. 6．B解析：B 【分析】由正弦定理化边角，利用诱导公式两角和的正弦公式化简可得B 角，然后用余弦定理得2()33a c ac +-=，再利用基本不等式变形后解不等式得a c +的最大值．【详解】因为22cos c a b A -=，所以由正弦定理得，2sin sin 2sin cos C A B A -=，因为A B C π+=-，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B A B A +-=，化简得(2cos 1)sin 0B A -=，因为sin 0A ≠，所以2cos 10B -=，解得1cos 2B =，因为(0,)B π∈，所以3B π=，因为b =222232cos a c ac B a c ac =+-=+-，所以2()33a c ac +-=，所以222313()()()44a c a c a c ≥+-+=+，当且仅当a c =时取等号，所以a c +≤a c +的最大值为故选：B ． 【点睛】方法点睛：本题考查主要正弦定理、余弦定理，在三角形问题中出现边角关系时可用正弦定理化边为角，然后由利用三角函数恒等变换公式如诱导公式，两角和与差的正弦公式等化简变形得出所要结论．7．B解析：B 【分析】先由正弦定理求出sin A ，进而得出角A ，再根据大角对大边，大边对大角确定角A ． 【详解】由正弦定理得：sin sin sin sin a b A B A B =⇒=，sin 2A B ==， ∴45A =或135，∵a b <，∴A B <，∴45A =，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及大边对大角，大角对大边的三角形边角关系的应用．8．D解析：D 【分析】根据正弦定理22tan ta in n s sin B B A A =⋅⋅，化简得到sin 2sin 2A B =，得到答案. 【详解】22tan tan a B b A =，故22tan ta in n s sin B B A A =⋅⋅，即sin 2sin 2A B =.故22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=.故选：D . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力.9．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】 因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.10．B解析：B 【分析】观察数列的前4项，可得(1)2n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以10010010150502a ⨯==. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.11．C解析：C 【解析】 依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，……101110112221,,101155a a a a ==+=. 12．A解析：A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果. 【详解】因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增， 先证明下面结论：若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123g()()()()0n a g a g a g a ++++=，则1230n a a a a ++++=.证明：若1230n a a a a ++++>，则当n 为偶数时，1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾，当n 为奇数时，1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾 同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a ++++= 再引申结论： 若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，②若正项等比数列{}n a 满足33S =， 即123()()()3f a f a f a ++=因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1322a a a +>=∴2()1f a <，()3222111a a a -+<∴<故②是真命题故选：A【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.二、填空题13．【分析】作出不等式组对应的平面区域然后化简目标函数利用不等式的几何意义利用线性规划的知识进行求解即可【详解】解：实数满足不等式组的可行域如图三角形的三边及其内部部分：它的几何意义是可行域内的点与连线 解析：5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出不等式组对应的平面区域，然后化简目标函数，利用不等式的几何意义，利用线性规划的知识进行求解即可.【详解】解：实数x ，y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，的可行域如图，三角形ABC 的三边及其内部部分：111x y y x x+++=+，它的几何意义是可行域内的点与()0,1D -连线的斜率加1， 由图象知BD 的斜率最小，CB 的斜率最大，由4020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得()1,3C ，此时DC 的斜率：3141+=， 由25040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得()3,1B ，此时BD 的斜率：11233+=， 则1x y x ++的取值范围为是5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为：5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题． 14．【分析】设将利用三角形面积公式表示出来可得在中利用余弦定理可得解得即可求出进而可得的值再利用三角形面积公式即可求解【详解】因为平分所以设则因为设所以所以因为所以即在中所以可得解得：所以所以所以故答案 解析：378【分析】 设12BAD CAD BAC θ∠=∠=∠=，AB x =，将BAD CAD ABC S S S +=△△△利用三角形面积公式表示出来，可得1cos 2x xθ+=，在ABD △中，利用余弦定理可得212cos 2x xθ+-=，解得2x =，即可求出cos θ，sin θ，进而可得sin BAC ∠的值，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】因为AD 平分BAC ∠，所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠，设BAD θ∠=，则CAD θ∠=，2BAC θ∠=，因为BAD CAD ABC S S S +=△△△，设AB x =， 所以111sin sin sin 2222x x θθθ+=， 所以，sin sin 2sin cos x x θθθθ+=， 因为sin 0θ≠，所以12cos x x θ+=，即1cos 2x x θ+=， 在ABD △中，212cos 2x x θ+-=，所以21122x x x x-+=， 可得220x x --=，解得：2x =， 所以3cos cos 4BAD θ∠==，所以sin 4BAD ∠==，3sin 2sin cos 2448BAC θθ∠==⨯=，所以1sin 28ABC S AC AB BAC =⋅∠=，故答案为：8【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是将BAD CAD ABC S S S +=△△△用面积公式表示出来可得边角之间的关系，再结合余弦定理即求出边和角即可求面积.15．(或)【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化整理已知条件最后变形为求角的值【详解】根据余弦定理可知所以原式变形为根据正弦定理边角互化可知又因为则原式变形整理为即因为所以（或）故答案为（或）【点睛】方 解析：135︒(或34π) 【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化，整理已知条件，最后变形为tan 1B =-，求角B 的值.【详解】根据余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=， 所以原式222sin 2a b c c B a a+--=，变形为cos sin b C c B a -=， 根据正弦定理边角互化，可知sin cos sin sin sin B C C B A -=，又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，则原式变形整理为sin cos B B -=,即tan 1B =-，因为()0,180B ∈， 所以135B =（或34π） 故答案为135（或34π） 【点睛】 方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．16．【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到根据正弦定理可得结合三角形内角的取值范围最后求得结果【详解】内角的对边分别为且整理得所以由正弦定理得整理得因为所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关解三角形 解析：6π【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到cos b C c =，根据正弦定理可得sin tan 3B C ==，结合三角形内角的取值范围，最后求得结果. 【详解】 ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222b a c ac +-=，整理得222cos 22b a c ab ac C +-==，所以cos b C c =，由正弦定理得sin cos sin B C C =，整理得sin tan B C ==，因为(0,)C π∈，所以6B π=， 故答案为：6π. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理、正弦定理、已知三角函数值求角，属于中档题.17．【分析】由函数只有一个零点转化为方程有唯一的实数解结合基本不等式求得得到即可求解【详解】由题意函数只有一个零点即有唯一的实数根即方程有唯一的实数解令因为所以当且仅当时即等号成立因为方程有唯一的实数解 解析：1-【分析】由函数11()2x x f x ee a --=++只有一个零点，转化为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，结合基本不等式，求得112x x e e --+≥=，得到22a -=，即可求解.【详解】由题意，函数11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，即()0f x =有唯一的实数根，即方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，令()11x x g x ee --=+ 因为110,0x x e e -->>，所以()112x x g x e e --≥+==，当且仅当11x x e e --=时，即1x =等号成立，因为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，所以22a -=，即1a =-.故答案为：1-.【点睛】本题主要考查了根据函数的零点公式求解参数问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把函数的零点个数转化为方程解得个数，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．【分析】首先将题中已知条件转化可得利用基本不等式可求得之后应用不等式的性质求得结果【详解】由可得即所以由得当且仅当时取等号所以有所以所以的最小值为当且仅当时取等号故答案为：【点睛】该题考查的是有关求 解析：89【分析】首先将题中已知条件转化，可得2x y xy +=，利用基本不等式可求得8xy ≥，之后应用不等式的性质求得结果.【详解】 由121x y +=可得21x y xy+=，即2x y xy +=， 所以211111x y xy xy xy xy+==+++，由121x y =+≥ 得8xy ≥，当且仅当24x y ==时取等号， 所以有1108xy <≤，19118xy <+≤，18191xy≥+，所以21811191x y xy xy xy xy+==≥+++， 所以21x y xy ++的最小值为89，当且仅当24x y ==时取等号， 故答案为：89. 【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，利用不等式的性质求最值，属于中档题. 19．【分析】根据图象的规律得到前后两项的递推关系然后利用迭代法求通项并利用等比数列求和【详解】由图分析可知依次类推数列是首项为1公比为8的等比数列所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通 解析：817n n a -= 【分析】根据图象的规律，得到前后两项的递推关系，然后利用迭代法求通项，并利用等比数列求和.【详解】由图分析可知11a =，218181a a =⨯+=+，23281881a a =⨯+=++，依次类推，1288...1n n n a --=+++，数列{}18n -是首项为1，公比为8的等比数列，所以1881187n n n a --==-， 故答案为：817n n a -= 【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通项，重点是得到前后两项的递推关系.20．【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得：所以数列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是 解析：13【分析】首先利用n S 与n a 的关系式，求数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求n T ，再利用n T 的最值求k 的最小值.【详解】当1n =时，2111122S a a a =+=，解得10a =或11a =，0n a >，11a ∴=，当2n ≥，2211122n n n n n n S a a S a a ---⎧=+⎨=+⎩，两式相减后可得()()()221112n n n n n n S S a a a a ----=-+-，整理后得：()()1110n n n n a a a a --+--=，所以11n n a a --=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，即n a n =，()()112111221221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，2231111111...21222223221n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112121n n +=-+++ 111321n n +=-++， 数列{}n T 单调递增，当n →+∞时，13n T →对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立， ()max n k T ∴>，即13k ≥,k 的最小值是13. 故答案为：13【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.三、解答题21．在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =． 【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），由2=030x y x -+⎧⎨-=⎩得()3A ，5，由+4=030x y x -⎧⎨-=⎩得()31B ，，由2=0+40x y x y -+⎧⎨-=⎩得()13C ，， 作直线:230l x y -=，向上平移直线l ，z 减小，当l 过点()3A ，5时，z 取得最小值23359⨯-⨯=-；向下平移直线l ，z 增大，当l 过点()31B ，时，z 取得最大值23313⨯-⨯=；所以目标函数23z x y =-在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题方法是作出可行域，作出线性目标函数对应的直线，平移直线求得最优解，如果目标函数不是线性的，则可根据其几何意义求解，如直线的斜率、两点间的距离等，属于中档题．22．（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据2a b ab +=，可得22ab a b ab =+≥1ab ，进而求得1≥ab ，注意等号成立的条件，得到结果.【详解】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+. （2）∵0a >，0b >， ∴22ab a b ab =+≥22ab ab ≥ ∴1≥ab ，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.【点睛】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.23．（1）23B π=；（2）4ABC S =△. 【分析】 （1）利用正弦定理角化边，整理求得cos B ，由B 的范围可得结果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得当3a c ==时周长最大，由三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：222b ac ac --=，2221cos 22a c b B ac +-∴==-， ()0,B π∈，23B π∴=； （2）由余弦定理得：()()222222cos 29b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+-+=+-=，()2292a c ac a c +⎛⎫∴=+-≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号），6a c ∴+≤，∴当3a c ==时，ABC 取得最大值，此时19sin 22ABC Sac B ===. 【点睛】 方法点睛：求解与边长相关的最值或取值范围类问题通常有两种方法：①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件.24．（1）1；（2）2．【分析】（1）由题意得sin sin 2sin m n A a B A =+=，即1sin sin a A B=，由正弦定理有：sin sin a b A B=，联立即可得解b 的值． （2）由平行条件得sin sin a A B =，由1cos 2C a =，则可得1cos cos 2A B a =，联立即可得解．【详解】解：（1）由题意得：sin sin 2sin m n A a B A =+=， 即得1sin sin a A B=， 在三角形中由正弦定理有：sin sin a b A B=， 由以上两式可知：1b =． （2）由平行条件得sin sin a A B =，1cos cos()sin sin cos cos 2C A B A B A B a =-+=-=， 则可得到：1cos cos 2A B a =， ∴sin sin tan tan 2cos cos A B A B A B==． 25．条件选择见解析；（1）32n a n =-；（2）证明见解析.【分析】（1）由①可得11a =，由②可得13d a =，由③可得3127a a d =+=，选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，即得解析式；（2）可得11133231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，由裂项相消法求出n T 即可证明. 【详解】（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =； ②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =；③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=； 选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =， 故()13132n a n n =+-=-.（2）()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴123n n T b b b b =++++ 11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∵n *∈N ，∴1031n >+，∴13n T <. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 26．（1）2n n a n =⋅；（2）()1122n n T n +=-⋅+；（3）12. 【分析】（1）利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）令2n n n c S S =-，分析数列{}n c 的单调性，由此可求得2n n S S -的最小值.【详解】（1）数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈⎪⎝⎭， 则2140a a =>，323202a a =⨯>，，以此类推，对任意的n *∈N ，0n a >， 由已知条件可得()121n n n a a n++=， 3211212223222121n n n n a a a n a a n a a a n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅-； （2）1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--， 因此，()1122n n T n +=-⋅+；（3）21n n n b a n ==，则111123n S n =++++， 令2n n n c S S =-，则()()()()122122221n n n n n n n n n n c c S S S S S S S S +++++-=---=---()()11111102221121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++，则1n n c c +>， 则数列{}n c 为单调递增数列，所以，数列{}n c 的最小值为12112c S S =-=. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。
2018年高中数学必修五期末考试
2018年高中数学必修五期末考试副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知数列3，3，15，…，3(2n−1)，那么9是数列的( )A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第15项2.数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n等于( )A. 2nB. 2n+1C. 2n−1D. 2n+13.设a n=−3n2+15n−18，则数列{a n}中的最大项的值是( )A. 163B. 133C. 0D. 54.已知数列{a n}的通项为a n=nn2+58，则数列{a n}的最大项为( )A. 第7项B. 第8项C. 第7项或第8项D. 不存在5.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，则a1+a9等于( )A. 19B. 20C. 21D. 226.在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln(1+1n)，则a n=( )A. 2+ln nB. 2+(n−1)ln nC. 2+n ln nD. 1+n+ln n7.数列{3n2−28n}中，各项中最小的项是( )A. 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项8.若数列{a n}的前n项和为S n=n2+1，则( )A. a n=2n−1B. a n=2n+1C. a n=2(n=1)2n−1(n≥2)D. a n=2(n=1)2n+1(n≥2)9.数列{a n}定义如下：a1=1，当n≥2时，a n=1+a n2(n为偶数)1a n−1(n为奇数)，若a n=14，则n的值等于( )A. 7B. 8C. 9D. 1010.数列{a n}是等差数列，a2+a16+a30=60，则a10+a22=( )A. 0B. 20C. 40D. 21011.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则a5+a7=( )A. 16B. 18C. 22D. 2812.数列{a n}{中，已知a1=1，a2=2，a n+1=a n+a n+2(n∈N+)，则a7=( )A. −2B. −1C. 1D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若1、a、b、c、9成等比数列，则b=______ ．14.在等差数列{a n}中，a1+2a8+a15=96，则2a9−a10=______ ．15.设等比数列{a n}的前n项和为S n，S m−2=1，S m=3，S m+2=5，则a1=______ ．16.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足a5a6+a4a7=8，则log2a1+log2a2+⋯+log2a10=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知{a n}为等差数列，a1=−11，其前n项和为S n，若S10=−20，(1)求数列{a n}的通项；(2)求S n的最小值，并求出相应的n值．18.已知等差数列中，公差，且、是一元二次方程的根．(1)求数列的通项公式．(2)求数列的前10项和．19.某实体公司老板给员工两个加薪的方案：①每年年末加元；②每半年结束时加元.(Ⅰ)若在该公司干年，问两种方案在年内可分别获得加薪工资共多少元？(Ⅱ)如果由你选择，你会觉得选择其中的哪一种加薪方案比较合算？20.数列{b n}(n∈N∗)是递增的等比数列，且b1+b3=5，b1⋅b3=4．(1)若a n=log2b n+3，求证：数列{a n}是等差数列；(2)若a12+a2+a3+⋯+a m≤a46，求m的最大值．21.若数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n(n∈N∗).(1)求{a n}的通项公式；(2)等差数列{b n}的各项均为正数，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．22.设数列的前项和为，，，．⑴求数列的通项公式；⑵若数列的前项和为，求使得的最大的序号的值；⑶令，数列的前项和为，求证：．答案和解析【答案】1. C2. B3. C4. B5. C6. A7. B8. C9. C10. C11. C12. C13. 314. 2415. 116. 1017.解：(1)由及得，解得所以；(2)令，即得。
【人教版】高中数学必修五期末试题(附答案)(1)
一、选择题1．若正数x，y满足21yx+=，则2xy+的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知正数x，y满足1431x y+=+，则x y+的最小值为（）A．53B．2 C．73D．63．设变量,x y、满足约束条件236y xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．94．如图，地面四个5G中继站A、B、C、D ，已知()62kmCD=+，30ADB CDB∠=∠=︒，45DCA∠=︒，60ACB∠=︒，则A、B两个中继站的距离是（）A．3km B．10km C10km D．62km 5．ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b=，6Bπ=，4Cπ，则ABC∆的面积为（）A．223+B31C．232D316．设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知2cos0b a C-=，()sin3sinA A C=+，则2bca=（）A7B14C．23D67．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若22tan tanB Cb c=，则ABC的形状为（）A．等腰三角形或直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形8．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．139．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D．25910．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－212．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（ ） A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n -二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.14．若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________. 15．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续自然数，且2C A =，则a =_______．17．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，2c =，60B =︒，则b = ，C = ．19．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．20．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N ；等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．三、解答题21．已知函数()()()23f x x a x =-+. （1）当72a >-时，解关于x 的不等式()46f x x >+； （2）若关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围. 22．已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.23．在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若()()2sin 2sin sin 2sin sin a A B C b C B c =+++.（1）求A 的大小； （2）求sin sin B C +的最大值.24．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且AD =3CD ，BD，求AD 的值和sin ∠ABD 的值25．在①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，②数列{}n a 满足122n n S S +-=，③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -++++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，__________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2221log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知等比数列{}n a 的公比3q =，并且满足2a ，318a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足31log n n nb a a =+，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求使2220n S n ->成立的正整数n 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等.所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.3．D解析：D 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC 中，由正弦定理得()362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC+⨯⋅∠===∠︒， 在BDC 中，由正弦定理得()162sin 231sin 22CD BDC BC DBC+⨯⋅∠===+∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠()()()22123312233112=++-⨯⨯+⨯=，所以10km AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．6．D解析：D 【分析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得6c b =，最后可得结果.【详解】 在ABC ∆中，sin sin a b A B=，由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=，所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②，由①②可知：2cos 3C =，又2222cos 23a b c C ab +-==③，把①代入③化简可得：c =，则()2293bc b a b ==， 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属于中档题.7．A解析：A 【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B Cb c =， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b cb Bc C=，可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =，22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．C解析：C 【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．11．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.12．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31， 则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.二、填空题13．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线 解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=.故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
【鲁教版】高中数学必修五期末试题(含答案)
一、选择题1．若实数x ，y 满足约束条件21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．1-B ．2C ．3D ．42．不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，则a+b 的值是（ ） A ．10B ．﹣10C ．14D ．﹣143．命题p :变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则y z x =的最小值为14，命题q :直线2x =的倾斜角为2π，下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c 5△ABC 的面积S 5cos A ，则a ＝（ ） A ．1 B ．5 C ．13D ．175．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，且2bc =，则ABC 的面积为（ ）A ．2B 2C 2D 2 6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，3a =tan C 等于（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-8．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．139．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（ ） A ．192B ．212 C ．2155D ．236611．记数列{}n a 前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，且数列()()11211n n n a a a +++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T 对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立，则λ的取值范围为（ ） A ．1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,6D ．(],1-∞12．已知函数()()31f x x x =-+，数列{}n a 中各项互不相等，记()()()12n n S f a f a f a =+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a 满足55S =，则33a =；②若正项等比数列{}n a 满足33S =，则21a <；其中（ ）A ．①是假命题，②是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①②都是假命题D ．①②都是真命题二、填空题13．已知x ，y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.14．已知0a >，0b >，182+1a b +=，则2a b +的最小值为__________． 15．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x 2y =-的最大值为______．16．在ABC 中，3A π∠=，D 是BC 的中点.若34AD BC ≤，则sin sin B C 的最大值为____________.17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=______．18．在ABC中，60,12,ABCA b S=︒==，则sin sin sin a b cA B C____________.19．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈.若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则当1212nS S S n+++取最大值时n 的值为______.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________．三、解答题21．（1）若0x >，0y >，1x y +=，求证：114x y +≥.（2）已知实数0a >，0b >，且1ab =，若不等式()a bx y m x y+⋅+>（），对任意的正实数,x y 恒成立，求实数m 的取值范围． 22．已知函数()()231f x x a x b =-++.（1）当1a =，5b =-时，解不等式()0f x >；（2）当222b a a =+时，解关于x 的不等式()0f x <（结果用a 表示）. 23．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin2sin .a B b A =（1）若3,a b ==，求c ；（2）求cos cos a C c Ab-的取值范围.24．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c .请在①cos sin b b CB +=；②()2cos cos b a C cA -=；③2223ABCa b c S +-=这三个条件中任选一个，完成下列问题 （1）求角C ；（2）若5a =，7c =，延长CB 到点D ，使cos ADC ∠=，求线段BD 的长度. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.25．在数列{}n a 中，已知12a =，且12(1)(1)n n na n a n n +=+-+，*n ∈N . （1）设1nn a b n=-，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .26．在①222n n S n a =+，②3516a a +=且3542S S +=，③2142n n S n S n +=+且756S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，_________．数列{}n b 为等比数列，11b a =，23b a =．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论. 【详解】画出约束条件210110x y x x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩或210110x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图所示，.目标函数2z x y =-，可化为2y x z =-， 由图象可知，当直线2y x z =-经过点A 时， 使得目标函数2z x y =-取得最大值，又由10210x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得(3,2)A ，所以目标函数的最大值为2324z =⨯-=， 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中等题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.2．D解析：D 【解析】试题分析：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax 2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a 、b 即可． 解：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是即方程ax 2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．3．A解析：A 【分析】由约束条件作出可行域，由yz x=的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图：目标式yz x=表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题； 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．4．A解析：A 【分析】由三角形的面积公式和已知条件得出sin A ＝12cos A ，再由同角三角函数间的关系求得cos A 25，运用余弦定理可求得边a . 【详解】因为b ＝2，c 5S 5cos A ＝12bc sin A 5A ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.又0A π<<，所以sin >0,A 所以cos >0A ，故解得cos A 25. 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－525＝9－8＝1，所以a ＝1.故选：A. 【点睛】本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由两角和的正切公式可得()tan 1B C +=，即可得到34A π=，然后由面积公式可得结果. 【详解】因为tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，即()tan 1B C +=，在ABC 中，所以tan 1A =-，即34A π=，所以sin 2A =，所以11sin 22222ABCSbc A ==⨯⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查三角形的面积公式的应用，考查两角和的正切公式，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形.故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用.7．D解析：D 【分析】首先根据正弦定理面积公式和余弦定理得到sin 2cos 2C C -=，再利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由题知：222()S a b c =+-，所以222sin 2=++-ab C a b ab c ，整理得：222sin 222-+-=C a b c ab，即sin 2cos 2C C -=.所以()2sin 2cos 4C C -=， 23cos 4sin cos 3-=C C C .2223cos 4sin cos 3sin cos -=+C C CC C，234tan 3tan 1-=+C C ，得23tan 4tan 0C C +=. 因为0C π<<，所以4tan 3C =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理面积公式和同角的三角函数，属于中档题.8．C解析：C 【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．10．C解析：C 【解析】 依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，…… 101110112221,,101155a a a a ==+=. 11．C解析：C 【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用和分离参数法及函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围. 【详解】数列{}n a 前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列， 所以21n n a S =+①， 当1n =时，11a =.当2n ≥时，1121n n a S --=+②， ①﹣②得122n n n a a a --=，整理得12nn a a -=（常数）， 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列. 所以12n na .所以()()()()111122111121212121n n n n n n n n a a a +++++==-------，则1111111111337212121n n n n T ++=-+-++-=----. 由于对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立， 所以12n T λ+≥恒成立. 即()min 12n T λ+≥，当1n =时，()1min 5113n T T +=+=， 所以523λ≥，解得56λ≥， 所以5,6λ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.故选：C 【点睛】本题主要考查了由递推关系式求数列的通项公式，考查了裂项求和以及恒成立问题，属于中档题.12．A解析：A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果. 【详解】因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增，先证明下面结论：若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123g()()()()0n a g a g a g a ++++=，则1230n a a a a ++++=.证明：若1230n a a a a ++++>，则当n 为偶数时，1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾，当n 为奇数时，1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a ++++=再引申结论：若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，②若正项等比数列{}n a 满足33S =， 即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1322a a a +>=∴2()1f a <，()3222111a a a -+<∴<故②是真命题 故选：A 【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.二、填空题13．6【分析】作出不等式组所表示的平面区域结合图象确定目标函数的最优解即可得到答案【详解】由题意作出不等式组所表示的平面区域如图所示因为目标函数可化为直线当直线过点A 时此时目标函数在轴上的截距最大此时目解析：6 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案. 【详解】由题意，作出不等式组041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域，如图所示，因为目标函数2z x y =+，可化为直线2y x z =-+，当直线2y x z =-+过点A 时，此时目标函数在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 又由04x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A ，所以目标函数2z x y =+的最大值为2226z =⨯+=. 故答案为：6.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14．8【解析】由题意可得：则的最小值为当且仅当时等号成立点睛：在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得若忽略了某个条件就会出解析：8 【解析】 由题意可得：()211182*********211161102219,a b a b a b a b b a a b b a ++⎛⎫⎡⎤=++⨯+ ⎪⎣⎦+⎝⎭+⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭⎛⎫+≥+⨯ ⎪ ⎪+⎝⎭=则2a b +的最小值为918-=. 当且仅当3,52a b ==时等号成立. 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2 【详解】根据题意得到如图可行域 是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22)（0，2）目标函数2z x y =-，1,22zy x =-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2， 故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．16．【分析】设三角形三条边长分别为先分析得到再利用余弦定理得到最后利用正弦定理即得解【详解】设三角形三条边长分别为那么因为所以故由题意得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形意在考查学 解析：1532【分析】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ，先分析得到222138b c a +≤，再利用余弦定理得到258bc a ≤，最后利用正弦定理即得解. 【详解】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ， 那么2243,169x a x a ≤∴≤， 因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠= 所以2222422+=+x a b c ，故2222222213168849,8x b c a a b c a =+-≤∴+≤由题意得222222221135cos ,,2288b c a A b c bc a a bc a bc +-==∴+=+≤∴≤255315sin sin sin =88432B C A ∴≤=⨯.故答案为：1532【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B 的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：3-【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B 的值，然后结合数量积的定义求解AB BC ⋅的值即可. 【详解】()2a c cosB bcosC -=根据正弦定理得：()2sinA sinC cosB sinBcosC -=2sinAcosB sinBcosC sinCcosB =+ ()2sinAcosB sin B C =+2sinAcosB sinA =12cosB ∴=,60B ∴=1||2332AB BC AB BC cosB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭故答案为3- 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可【详解】由余弦定理可知故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用属于中档题 解析：12【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可. 【详解】11sin 12222ABC S bc A c ==⨯⨯⨯=△6c ∴=由余弦定理可知a =12sin sin sin sin a b c a A B C A ++∴===++故答案为：12 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.19．8或9【分析】根据等差等比数列的通项公式先求出数列和的通项公式再结合等差数列的求和公式求得进而得到再结合数列取值即可求解【详解】各项均为正数的等比数列中若所以解得所以解得或因为所以所以又由所以则当时解析：8或9 【分析】根据等差、等比数列的通项公式，先求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，再结合等差数列的求和公式，求得()92n n n S -=，进而得到92n nc -=，再结合数列{}n c 取值，即可求解.【详解】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =，所以35352656a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =或12q =-，因为()0,1q ∈，所以12q =， 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.又由5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==，则92n n S nc n -==， 当9,n n N +<∈时，902n nc -=>；当9n =时，0n c =；当10,n n N +>∈时，0n c <，故当8n =或9n =时，1212nS S S n+++取最大值. 故答案为：8或9. 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，准确计算是解答解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．【分析】先证明当共线且则根据题意可求得的值然后利用等差数列求和公式可求得的值【详解】当共线时则共线可设所以又则由于（向量不平行）共线则由等差数列的求和公式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列求和同 解析：1010【分析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=， 所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+，又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=，由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）见解析；（2）(,4)-∞. 【详解】试题分析：（1）第（1）问，利用常量代换和基本不等式证明. （2）第（2）问，利用基本不等式求解. 试题（1）证明：∵1,0,0x y x y +=>>∴0,0y x x y >> ∴11224x y x y y xx y x y x y+++=+=++≥+= 当且仅当12x y ==时，等号成立. （2）因为,,,a b x y 为正实数，所以()a b ay bx x y a b a b x y x y ⎛⎫+⋅+=+++≥++≥= ⎪⎝⎭4=，当且仅当a b =，ay bxx y=，即a b =，x y =时等号成立，故只要4m <即可，所以实数m 的取值范围是(),4-∞22．（1）()(),15,-∞-+∞；（2）1a >时，解集为()1,2a a +，1a =时，解集为∅，1a <时，解集为()2,1a a +.【分析】（1）求出()0f x =的根（由因式分解完成），根据二次函数的图象写出结论． （2）化简变形表达式[]()(2)(1)f x x a x a =--+，然后根据2a 和1a +的大小关系分类讨论． 【详解】（1）当1a =，5b =-时()()()24515f x x x x x =--=+-，∴()0f x >的解集为()(),15,-∞-+∞.（2）当222b a a =+时，()()()()22312221f x x a x a a x a x a =-+++=--+⎡⎤⎣⎦，()0f x <即()()210x a x a --+<⎡⎤⎣⎦，①当1a >时，21a a >+，此时不等式的解集为()1,2a a +， ②当1a =时，21a a =+，此时不等式的解集为∅， ③当1a <时，21a a <+，此时不等式的解集为()2,1a a +. 【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握一元二次不等式的解，二次函数的图象，一元二次方程的根之间的关系是解题关键． 23．（1）2c =；（2）()1,1-. 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得1cos 2B =，进而得解； （2）根据正弦定理边角互化可得cos cos 223a C c A A b π-⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，结合锐角三角形的范围可得解. 【详解】（1）由sin 2sin a B b A =，得sin sin2sin sin A B B A =，得2sin sin cos sin sin A B A B A =，得1cos 2B =， 在ABC ，3B π∴=，由余弦定理2222cos b c a ac B =+-， 得27923cos3c c π=+-⨯，即2320c c -+=，解得1c =或2c =.当1c =时，22220,cos 0b c a A +-=-<< 即A 为钝角（舍）， 故2c =符合. （2）由（1）得3B π=，所以23C A π=-，cos cos sin cos cos sin 22sin 32a C c A A C A C Ab B π--⎛⎫∴===-⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，62A ππ∴<<，22333A πππ∴-<-<，2sin 23A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭， cos cos 11a C c Ab-∴-<<，故cos cos a C c Ab-的取值范围是()1,1-.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键. 24．（1）条件选择见解析，3C π=；（2）5BD =.【分析】（1）利用所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形面积公式，化简条件等式，结合三角形内角的性质，求角C ；（2）由正余弦定理，结合诱导公式及两角和正弦公式求CD ，进而求BD 的长度. 【详解】（1）若选①：∵cos sin b b C B +=，∴sin sin cos sin B B C C B +=，又sin 0B ≠， ∴1cos C C +=，即1sin62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0C π<<，∴5666C πππ-<-<，即66C ππ-=，故3C π=. 若选②：∵()2cos cos b a C c A -=， ∴()2sin sin cos sin cos B A C C A -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B C A C C A A C B =+=+=， 又sin 0B ≠，∴1cos 2C =，又0C π<<， ∴3C π=，若选③：由2223ABCa b c S +-=⋅，则有12cos sin 32ab C ab C =⨯， ∴tan C =0C π<<，∴3C π=.（2）ABC 中，由余弦定理：22525cos 493AC AC π+-⋅⋅=，得8AC =或3AC =- (舍)，由21cos7ADC∠=，可得27sin ADC∠=，△ACD中，()()32112757sin sin sin272714 CAD C ADC C ADCπ∠=--∠=+∠=⋅+⋅=，由正弦定理得：sin sinCD ACCAD ADC=∠∠，即5727=，解得10CD=，∴5BD CD BC=-=.【点睛】关键点点睛：（1）根据所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形性质求角；（2）利用正余弦定理及三角恒等变换求边长.25．（1）12nnb-=；（2）22(1)22nnn nT n++=-⋅+.【分析】（1）由定义证明数列{}n b是等比数列，得出数列{}n b的通项公式；（2）由{}n b的通项公式求出n a，再由错位相减法以及分组求出法得出数列{}n a的前n项和nT.【详解】解：（1）因为12(1)(1)n nna n a n n+=+-+，所以1211n na an n+=⋅-+所以11211n na an n+⎛⎫-=-⎪+⎝⎭，又1111a-=所以{}n b是首项为1，公比为2的等比数列，所以12nnb-=.（2）由（1）知，()()111212n nn nna b n n n--=+⋅=+=⋅+⋅所以()21(1)11223222n n n n T n -+=⨯+⨯+⨯++⋅+ 设211122322n n S n -=⨯+⨯+⨯++⋅①232S 1222322n n n =⨯+⨯+⨯++⋅② ①-②得211212222?212n n nn n S n n ---=++++-⋅=-- 所以(1)21n n S n =-⋅+ 所以22(1)22nn n n T n ++=-⋅+. 【点睛】 关键点睛：在第二问中，对于求{}n a 的前n 项和，关键是利用错位相减法结合分组求和得出n T .26．见解析【分析】根据选择的条件求出{}n a 的通项，再利用分组求和可得n T .【详解】若选①，由222n n S n a =+可得1122a a =+，故12a =，又22422S a ⨯=+，故()222224a a =+⨯+，故24a =，故等差数列的公差422d =-=，故()2212n a n n =+-=，所以()()2212n n n S n n +==+， 所以12b =，26b =，所以等比数列{}n b 的公比为3q =，故123n n b -=⨯ 故()111111=232311n n n n b S n n n n --++⨯=-+⨯++， 故11111111131=231223341131n n n T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 若选②，由题设可得11126163351042a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩， 同①可得131n n T n =-+. 若选③，由题设可得1213S S =即212a a =，故1d a =，故1n a na =， 而74567S a ==，故48a =，故12a =，故2n a n =，同①可得131n n T n =-+.【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．另外求和注意根据通项的特征选择合适的求和方法.。
2018年高中数学必修5期末考试
2018年高中数学必修5期末考试考试时间：2小时满分150分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设a n=−3n2+15n−18，则数列{a n}中的最大项的值是( )A. 163B. 133C. 0D. 52.数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n等于( )A. 2nB. 2n+1C. 2n−1D. 2n+13.已知数列3，3，15，…，3(2n−1)，那么9是数列的( )A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第15项4.已知数列{a n}的通项为a n=nn2+58，则数列{a n}的最大项为( )A. 第7项B. 第8项C. 第7项或第8项D. 不存在5.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，则a1+a9等于( )A. 19B. 20C. 21D. 226.在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln(1+1n)，则a n=( )A. 2+ln nB. 2+(n−1)ln nC. 2+n ln nD. 1+n+ln n7.若数列{a n}的前n项和为S n=n2+1，则( )A. a n=2n−1B. a n=2n+1C. a n=2(n=1)2n−1(n≥2)D. a n=2(n=1)2n+1(n≥2)8.数列{3n2−28n}中，各项中最小的项是( )A. 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项9.数列{a n}定义如下：a1=1，当n≥2时，a n=1+a n2(n为偶数)1a n−1(n为奇数)，若a n=14，则n的值等于( )A. 7B. 8C. 9D. 1010.数列{a n}是等差数列，a2+a16+a30=60，则a10+a22=( )A. 0B. 20C. 40D. 21011.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则a5+a7=( )A. 16B. 18C. 22D. 2812.数列{a n}{中，已知a1=1，a2=2，a n+1=a n+a n+2(n∈N+)，则a7=( )A. −2B. −1C. 1D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若1、a、b、c、9成等比数列，则b=______ ．14.在等差数列{a n}中，a1+2a8+a15=96，则2a9−a10=______ ．15.设等比数列{a n}的前n项和为S n，S m−2=1，S m=3，S m+2=5，则a1=______ ．16.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足a5a6+a4a7=8，则log2a1+log2a2+⋯+log2a10=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知{a n}为等差数列，a1=−11，其前n项和为S n，若S10=−20，(1)求数列{a n}的通项；(2)求S n的最小值，并求出相应的n值．18.已知等差数列中，公差，且、是一元二次方程的根．(1)求数列的通项公式．(2)求数列的前10项和．19.某实体公司老板给员工两个加薪的方案：①每年年末加元；②每半年结束时加元.(Ⅰ)若在该公司干年，问两种方案在年内可分别获得加薪工资共多少元？(Ⅱ)如果由你选择，你会觉得选择其中的哪一种加薪方案比较合算？20.数列{b n}(n∈N∗)是递增的等比数列，且b1+b3=5，b1⋅b3=4．(1)若a n=log2b n+3，求证：数列{a n}是等差数列；(2)若a12+a2+a3+⋯+a m≤a46，求m的最大值．21.若数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n(n∈N∗).(1)求{a n}的通项公式；(2)等差数列{b n}的各项均为正数，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．22.设数列的前项和为，，，．⑴求数列的通项公式；⑵若数列的前项和为，求使得的最大的序号的值；⑶令，数列的前项和为，求证：．答案和解析【答案】1. C2. B3. C4. B5. C6. A7. C8. B9. C10. C11. C12. C13. 314. 2415. 116. 1017.解：(1)由及得，解得所以；(2)令，即得。
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2018年高中数学必修五期末考试考试时间2小时满分150分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知数列，，，，，那么9是数列的A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第15项2.设，则数列中的最大项的值是A. B. C. 0 D. 53.数列，，，，，的通项公式等于A. B. C. D.4.已知数列的通项为，则数列的最大项为A. 第7项B. 第8项C. 第7项或第8项D. 不存在5.已知数列的前n项和，则等于A. 19B. 20C. 21D. 226.在数列中，，，则A. B. C. D.7.若数列的前n项和为，则A. B.C. D.8.数列中，各项中最小的项是A. 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项9.数列定义如下：，当时，为偶数为奇数，若，则n的值等于A. 7B. 8C. 9D. 1010.数列是等差数列，，则A. 0B. 20C. 40D. 21011.已知等差数列满足，，则A. 16B. 18C. 22D. 2812.数列中，已知，，，则A. B. C. 1 D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若1、a、b、c、9成等比数列，则______ ．14.在等差数列中，，则______ ．15.设等比数列的前n项和为，，，，则______ ．16.已知等比数列的各项均为正数，且满足，则______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知为等差数列，，其前n项和为，若，求数列的通项；求的最小值，并求出相应的n值．18.已知等差数列中，公差，且、是一元二次方程的根．求数列的通项公式．求数列的前10项和．19.某实体公司老板给员工两个加薪的方案：每年年末加元；每半年结束时加元Ⅰ若在该公司干年，问两种方案在年内可分别获得加薪工资共多少元？Ⅱ如果由你选择，你会觉得选择其中的哪一种加薪方案比较合算？20.数列是递增的等比数列，且，．若，求证：数列是等差数列；若，求m的最大值．21.若数列满足，求的通项公式；等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且，又，，成等比数列，求．22.设数列的前项和为，，，．求数列的通项公式；若数列的前项和为，求使得的最大的序号的值；令，数列的前项和为，求证：．答案和解析【答案】1. C2. C3. B4. B5. C6. A7. C8. B9. C10. C11. C12. C13. 314. 2415. 116. 1017.解：由及得，解得所以；令，即得。
又为正整数，所以当时，所以当时，最小，的最小值为18. ；．19. 解：设方案第年年末加薪元，则，设方案第个半年加薪元，则．Ⅰ在该公司干年个半年，方案共加薪元，方案共加薪元；Ⅱ设在该公司干年，两种方案共加薪分别为：，，令，则，即，所以或舍，因此，如果干年以上包括年应选择方案；如果只干年随便选；如果只干年，傻瓜才不选择方案．20. 解：，，且，，，所以数列是以3为首项，1为公差的等差数列．由可得即整理得解得：21. 解：由条件可得数列是首项为1，公比为3的等比数列．设数列的公差为d，由可得，，则．则可设，，又，，，由题意可得，解得，，数列的各项均为正，，．．22. 解：由，得当时，，所以，因为，所以，所以，数列是公比为的等比数列，所以，；由得，，所以，所以，因为，所以令，则所以，所以数列是递增数列，因为，，所以，使得的最大的序号的值为1008；因为时，，所以又时，所以，【解析】1. 解：由．解之得由此可知9是此数列的第14项．故选C．令通项公式，解出n，由此即可得到么9是数列的第几项．本题考查数列的概念及简单表示法，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．2. 解：由题意得，，则对称轴方程，又n取整数，所以当或3时，取最大值为，故选：C．由题意先求出对应的对称轴方程，再由n取整数求出到对称轴最近的n的值，代入求出最大项的值．本题考查了利用二次函数的性质求出数列中最大项的值，注意n取整数，属于基础题．3. 解：，，，，，故选B研究数列中各项的数与项数的关系，利用归纳法得出结论，再根据所得的结论比对四个选项，选出正确答案．本题考查数列的概念及简单表示法，解题的关键是研究项与序号的对应关系，由归纳推理得出结论．4. 解：，而，，而，数列的最大项为．故选：B．，而，，比较与即可得出．本题考查了数列的单调性、基本不等式的性质，属于基础题．5. 解：数列的前n项和，．故选：C．由已知得，由此能求出结果．本题考查数列的两项和的求法，是基础题，解题时要注意数列的性质的合理运用．6. 解：，，故选：A．把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．数列的通项或前n项和中的n通常是对任意成立，因此可将其中的n换成或等，这种办法通常称迭代或递推解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．7. 解：由题意知，当时，，当时，，经验证当时不符合上式，故选C．根据数列的前n项和，表示出数列的前项和，两式相减即可求出此数列的通项公式，然后把代入时不符合上式．此题考查了等差数列的通项公式，灵活运用求出数列的通项公式属于基础题．8. 解：，可知当时，．因此当时，数列取得最小值．故选：B．由于，利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了利用二次函数的单调性解决数列问题，属于基础题．9. 解：，当时，为偶数为奇数，，，，，，，，，，则n的值是9，故选：C．根据数列的递推公式依次求出各项的值，直到求出为止．本题考查数列递推公式的应用，难度不大，考查计算能力．10. 解：数列是等差数列，，，，，故选C．由已知中等差数列中，，等差数列的性质，我们可以求出的值，根据等差数列的性质，我们即可求出的值．本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据已知条件和等差数列的性质，求出的值，是解答本题的关键．11. 解：等差数列满足，，，，公差，则，故选：C．由条件利用差数列的定义和性质求得，，公差，从而求得的值．本题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题．12. 解：数列中，已知，，，可得，，，，，故选：C．利用递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，由于考查的项数不多，可以直接求解．13. 解：若1、a、b、c、9成等比数列，则，且，．故答案为：3．根据等比数列的定义和性质可得，且，即可求出的值．本题主要考查等比数列的定义和性质，判断，且是解题的关键．14. 解：由等差数列的性质即为．又故答案是24先由等差数列的性质求得，而从而求得．本题主要考查等差数列的性质．15. 解：在等比数列中，，，，，，，或，，，，故答案为：1．根据等比数列的通项公式和前n项和公式，建立方程，即可得出结论．本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的计算和应用，考查学生的计算能力．16. 解：由等比数列得性质可得，又，，故答案为：10由等比数列得性质和已知可得，由对数的运算整体代入可求．本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属中档题．17. 本题主要考查等差数列的应用，熟悉等差数列前n项和公式是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．求等差数列通项，通法是待定系数法由及解得，代入等差数列通项公式得：；研究等差数列前n项和最值，有两个思路，一是从的表达式，即二次函数研究；二是从数列项的正负研究，因为由题意得，当时，所以当时，最小，因此达到最小值的n等于18. 解：由题意得，，，，，解得：，；由可知，．19. 本题主要考查数列的应用，熟悉等差数列前n项和公式是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．首先设方案第年年末加薪元，则，设方案第个半年加薪元，则，再运用数列前n项和公式即可求解；首先设在该公司干年，两种方案共加薪分别为：，再运用数列的应用即可求出答案．20. 由，，且可求，，进而可求公比q，代入等比数列的通项公式；由，要证明数列是等差数列，只要证明为常数；根据等差数列的前n项和公式得出，解出m范围即可得出答案．本题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列的定义在证明等差数列中的应用，属于中档题．21. 由条件可得数列是首项为1，公比为3的等比数列，从而写出通项公式；由可得，设，可得，从而解出d，从而求前n项和．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及前n项和公式，属于中档题．22. 本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，数列求和的方法，放缩法证明不等式等知识，综合性较强根据递推得到，由这两个式子得到，即，得到数列是公比为的等比数列，从而求出通项公式；根据等比数列的求和公式，求出，进而求出，再求数列的前项和为，因为，所以所以，令，根据，所以数列是递增数列，因为，，从而求得使得的最大的序号的值；令，将代入化简整理，再求数列的前项和为，根据不等式的性质，采用放缩法进行证明．。