高等数学方法讲解(中国矿业大学王升瑞)精品PPT课件
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高等数学方法
第一讲
1
惜时如金
唯有奋斗 最风流!
2
科学家语录
培根说：历史使人聪明，诗歌使人机智， 数学使人精细。
马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地运用 数学，才算真正发展了。
伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成的大书， 如果不掌握数学的语言，就像在黑暗的迷宫里游荡， 什么也看不清。
华罗庚：数学是最宝贵的研究精神之一。 勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。
1. 简化方法 复杂问题
简单问题
分解法 变换法 换元法 递推法 转化法
20
例1. 证明 f(x)ln 3x3ln 2x6ln x6 x
单调递减。
(x 1)
提示: 令 t lnx, 则转化为讨论下述函数
g(t)e t(t33t26t6)
在 t > 0 时单调递减 . 注意 g(t)ett30(t0)
t 0 t
速度函数 vv(t)
平瞬均时加速度 alim v
t 0 t
转抽动象规: 律定义导数(t)
电量函数yqlqxim (t)0
平瞬均时角速度
y
lim t
0
平x瞬均时电流强度
I
lim
t
0
t
q t
质量分布( 描m述变m化(x率) 问平题均线) 密度
lim
x
0
m x
光滑曲线 yy(x)
且对任意 有 f()g()0,
C
A
证明存在
0(0,
2
), 使
f(0)g(0)0.
C
D
D
18
不妨设 g(0)0, f(0)0,且对任意 有 f()g()0,
证明存在
0(0,
2
),使
f(0)g(0)0.
证明: 设
h()f()g()C[0,
2
],
又
h(0)0,
h(
2
)0,（转
2
后，对角线互换）。
说明 1. f(x)x3x1与 g(x)f3(x)x3(x1)
具有相同的极值点 , 故可用后者代替前者讨论极值
问题与单调性问题 . 2. 有些复合函数的单调性问题 , 可利用组成它的简单
寻找精度 0,
半径真值为 r0 测量圆半径得 r 让 r r0
面积真值为 A 0 计算圆面积为 f (r) r2
任给精度 0,
要使
f(r)A0
记作
lim f(r)lim r2
r r0
r r0
r02
16
又如 , 为什么用增量比的极限定义导数 ?
运动规律 ss(t) 平瞬均时速 度
vlim s
是一种高度抽象的模型. 有狭义和广义两种解释 . 数学建模方法
• 实验归纳法
• 理论分析法 ( P514 )
物理模型 数学模型 求解和分析
许多物理中的概念都要借助于高等数学中的
数学结构才能说的清楚。
14
例如 , 为什么用 " N"及 " "语言定义极限 ?
• 用圆内接正多边形面积逼近圆面积A .
学习方法:
1. 掌握数学内容和数学方法相结合； 2. 重视分析问题和解决问题的方法； 3. 学习要纵横结合 ,பைடு நூலகம்着眼于提高数学素养。12
第一讲
高等数学中的
分析问题
和
解决问题
方法
13
一. 数学模型及数学建模方法 ( P511 , 第一节 )
数学模型
客观实际问题内在规律性的数学
结构. 具有形式化、符号化、简洁化的特点.
才能尝到成功的滋味；
5
哈佛图书馆的训诫
谁也不能随随便便成功， 它来自彻底的自我管理和毅力； 狗一样地学习， 绅士一样地玩； 今天不走，明天要跑； 教育程度代表收入； 即使现在，对手也不停地翻动书页；
没有艰辛，便无所获。
6
高等数学方法
（上）
科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙 , 是由必然王国通向自由王国的桥梁。
数学方法是数学的灵魂
7
参考书
张晓宁、李安昌：
高等数学方法
中国矿业大学出版社，2002.
8
目录
第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题 方法
第二讲 研究函数与极限的基本方法 第三讲 导数的计算方法及微分中值定理应用 第四讲 导数应用的方法 第五讲 积分学的概念、性质和不定积分的
计算法 第六讲 定积分的计算、证明和解应用问题
由连续函数零点定理可知
,
存在
0(0,
2
),
使 h(0) 0 即 f(0)g(0)
又知 f(0)g(0)0,所以 f(0)g(0)0
思考: 对长方形板凳的稳定问题如何考虑?
提示：相邻两脚之和，并旋转1800。
19
二 .几种常用的分析问题的方法 (P444-455)
1. 简化方法 2. 直观分析法
3. 逆向分析法 4. 类比法
的方法 第七讲 试题类型及解题方法分析
9
前言
一. 为什么要学“高等数学方法 (参考前言第一段)
1. 科学方法的重要性
科学
是什么 , 为什么:
反映自然、社会、思维的客观规律的分科的
知识体系。
技术
做什么 , 怎么做:
进行物资资料生产所凭借的方法和能力。
科学方法
桥梁与钥匙。
10
2. 数学方法的含义
数学
圆内接正n边形的面积为
An
nr2sincos
nn
找出
(n3,4,5, )
o r
n
0,
精度要求
N (正整数) ,
当 nN时,
边数足够多
有
AnA ,
可无限逼近
记作 limAn A. 利用极限知识可求出 :
n
A limr n
2
sin
n
n
cos
r2
n
15
• 测量圆面积
A r2
直接观测量为r 间接观测量为A.
3
华罗庚 （1910 - 1985）
“聪明在于勤奋, 天才在于积累” “由薄到厚 ,由厚到薄” “学而优则用, 学而优则创”
注意问题：认真听课，扼要记录， 多做题目，总结规律。
4
哈佛图书馆的训诫
此刻打盹，你将做梦，此刻学习，你将圆梦； 学习时的痛苦是暂时的，未学到的痛苦是终身的； 学习这件事，不是缺乏时间，而是缺乏努力； 学习不是人生的全部，但是人生的一部分; 学习也无法征服，还能做什么呢？ 请享受无法回避的痛苦； 只有比别人更早，更勤奋的努力，
思维的体操
(思路)
数学方法
科学的语言
(表达)
对数学规律的认识
思维方法 解题方法
生活的需要
(应用)
(是数学的灵魂)
11
二. “高等数学方法”的结构与学习方法
(参考前言第二、三段) 第一部分 (第一至第七章)
每节包含: 方法指导, 实例分析, 相关问题 第二部分 (第八至第十一章)
包括综述和提高 (从古典数学向近代数学靠拢 )
割切线线斜 率 k lim x 0
y
x
17
再如 , 椅子稳定问题 (P515～P516)
假设: 四条腿一样长 ; 地面为连续曲面 .
建模:
设 A , C 两脚与地面的距离之和为 g()C[0,2]
B , D 两脚与地面的距离之和为 f()C[0,2]
不妨设 g(0)0, f(0)0,
B B A
第一讲
1
惜时如金
唯有奋斗 最风流!
2
科学家语录
培根说：历史使人聪明，诗歌使人机智， 数学使人精细。
马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地运用 数学，才算真正发展了。
伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成的大书， 如果不掌握数学的语言，就像在黑暗的迷宫里游荡， 什么也看不清。
华罗庚：数学是最宝贵的研究精神之一。 勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。
1. 简化方法 复杂问题
简单问题
分解法 变换法 换元法 递推法 转化法
20
例1. 证明 f(x)ln 3x3ln 2x6ln x6 x
单调递减。
(x 1)
提示: 令 t lnx, 则转化为讨论下述函数
g(t)e t(t33t26t6)
在 t > 0 时单调递减 . 注意 g(t)ett30(t0)
t 0 t
速度函数 vv(t)
平瞬均时加速度 alim v
t 0 t
转抽动象规: 律定义导数(t)
电量函数yqlqxim (t)0
平瞬均时角速度
y
lim t
0
平x瞬均时电流强度
I
lim
t
0
t
q t
质量分布( 描m述变m化(x率) 问平题均线) 密度
lim
x
0
m x
光滑曲线 yy(x)
且对任意 有 f()g()0,
C
A
证明存在
0(0,
2
), 使
f(0)g(0)0.
C
D
D
18
不妨设 g(0)0, f(0)0,且对任意 有 f()g()0,
证明存在
0(0,
2
),使
f(0)g(0)0.
证明: 设
h()f()g()C[0,
2
],
又
h(0)0,
h(
2
)0,（转
2
后，对角线互换）。
说明 1. f(x)x3x1与 g(x)f3(x)x3(x1)
具有相同的极值点 , 故可用后者代替前者讨论极值
问题与单调性问题 . 2. 有些复合函数的单调性问题 , 可利用组成它的简单
寻找精度 0,
半径真值为 r0 测量圆半径得 r 让 r r0
面积真值为 A 0 计算圆面积为 f (r) r2
任给精度 0,
要使
f(r)A0
记作
lim f(r)lim r2
r r0
r r0
r02
16
又如 , 为什么用增量比的极限定义导数 ?
运动规律 ss(t) 平瞬均时速 度
vlim s
是一种高度抽象的模型. 有狭义和广义两种解释 . 数学建模方法
• 实验归纳法
• 理论分析法 ( P514 )
物理模型 数学模型 求解和分析
许多物理中的概念都要借助于高等数学中的
数学结构才能说的清楚。
14
例如 , 为什么用 " N"及 " "语言定义极限 ?
• 用圆内接正多边形面积逼近圆面积A .
学习方法:
1. 掌握数学内容和数学方法相结合； 2. 重视分析问题和解决问题的方法； 3. 学习要纵横结合 ,பைடு நூலகம்着眼于提高数学素养。12
第一讲
高等数学中的
分析问题
和
解决问题
方法
13
一. 数学模型及数学建模方法 ( P511 , 第一节 )
数学模型
客观实际问题内在规律性的数学
结构. 具有形式化、符号化、简洁化的特点.
才能尝到成功的滋味；
5
哈佛图书馆的训诫
谁也不能随随便便成功， 它来自彻底的自我管理和毅力； 狗一样地学习， 绅士一样地玩； 今天不走，明天要跑； 教育程度代表收入； 即使现在，对手也不停地翻动书页；
没有艰辛，便无所获。
6
高等数学方法
（上）
科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙 , 是由必然王国通向自由王国的桥梁。
数学方法是数学的灵魂
7
参考书
张晓宁、李安昌：
高等数学方法
中国矿业大学出版社，2002.
8
目录
第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题 方法
第二讲 研究函数与极限的基本方法 第三讲 导数的计算方法及微分中值定理应用 第四讲 导数应用的方法 第五讲 积分学的概念、性质和不定积分的
计算法 第六讲 定积分的计算、证明和解应用问题
由连续函数零点定理可知
,
存在
0(0,
2
),
使 h(0) 0 即 f(0)g(0)
又知 f(0)g(0)0,所以 f(0)g(0)0
思考: 对长方形板凳的稳定问题如何考虑?
提示：相邻两脚之和，并旋转1800。
19
二 .几种常用的分析问题的方法 (P444-455)
1. 简化方法 2. 直观分析法
3. 逆向分析法 4. 类比法
的方法 第七讲 试题类型及解题方法分析
9
前言
一. 为什么要学“高等数学方法 (参考前言第一段)
1. 科学方法的重要性
科学
是什么 , 为什么:
反映自然、社会、思维的客观规律的分科的
知识体系。
技术
做什么 , 怎么做:
进行物资资料生产所凭借的方法和能力。
科学方法
桥梁与钥匙。
10
2. 数学方法的含义
数学
圆内接正n边形的面积为
An
nr2sincos
nn
找出
(n3,4,5, )
o r
n
0,
精度要求
N (正整数) ,
当 nN时,
边数足够多
有
AnA ,
可无限逼近
记作 limAn A. 利用极限知识可求出 :
n
A limr n
2
sin
n
n
cos
r2
n
15
• 测量圆面积
A r2
直接观测量为r 间接观测量为A.
3
华罗庚 （1910 - 1985）
“聪明在于勤奋, 天才在于积累” “由薄到厚 ,由厚到薄” “学而优则用, 学而优则创”
注意问题：认真听课，扼要记录， 多做题目，总结规律。
4
哈佛图书馆的训诫
此刻打盹，你将做梦，此刻学习，你将圆梦； 学习时的痛苦是暂时的，未学到的痛苦是终身的； 学习这件事，不是缺乏时间，而是缺乏努力； 学习不是人生的全部，但是人生的一部分; 学习也无法征服，还能做什么呢？ 请享受无法回避的痛苦； 只有比别人更早，更勤奋的努力，
思维的体操
(思路)
数学方法
科学的语言
(表达)
对数学规律的认识
思维方法 解题方法
生活的需要
(应用)
(是数学的灵魂)
11
二. “高等数学方法”的结构与学习方法
(参考前言第二、三段) 第一部分 (第一至第七章)
每节包含: 方法指导, 实例分析, 相关问题 第二部分 (第八至第十一章)
包括综述和提高 (从古典数学向近代数学靠拢 )
割切线线斜 率 k lim x 0
y
x
17
再如 , 椅子稳定问题 (P515～P516)
假设: 四条腿一样长 ; 地面为连续曲面 .
建模:
设 A , C 两脚与地面的距离之和为 g()C[0,2]
B , D 两脚与地面的距离之和为 f()C[0,2]
不妨设 g(0)0, f(0)0,
B B A