电动力学题库答案

设在倒下的过程中，币面与竖直面的夹角为θ ，磁场对铜币的感应
可 以 看 成 许 多 小 电 流 圈 ， 考 虑 小 圆 环 ， r+dr, 通 过 该 环 的 磁 通
φ(θ ) = πr 2 B sinθ
感生电动势 ε = dφ = π r 2 Bco θ d θ
dt
dt
感应电流 di =
ε
πr 2 B cosθ dθ
(2n)! 22n (n!)2
r12n .
将求得的系数带入通解得
∑ ⎪⎧φ内
⎪ ⎨
∑ ⎪⎪⎩φ外
= =
q 4πε 0
q 4πε 0
∞
(−1) n
n=0
∞
(−1) n
n=0
(2n)! 22n (n!)2
r1
(
r r1
)2n
p2n
(cosθ
(2n)! 22n (n!)2
r12n r 2n+1
p2n (cosθ )
= φ外，ε 0
∂φ外 ∂r
=ε
∂φ内 ∂r
r=a 处
∞
∑ φ内 = Ala lpl (cosθ ) l=0
∑ ∑ φ外
=
∞ l=0
Bl a l+1
p
l
(cosθ
)
+
1 4πε 0
al b l+1
p
l
(cosθ
)
φ内
= φ外 ： Alal
=
Bl a l+1
+
1 4πε 0
al b l+1
∑ ∑ ∑ ε 0
=
1 4πε 0
∞ l=0
1 r
(
b r
)
l
pl
(cosθ
)
φr→∞ = 0
r>b
以上是电势的普遍表示，对于球内外，则有， 球外（r>a）
∑ φ
=
1 4πε 0
∞ l=0
rl b l+1
pl
(cosθ
)
b>r>=a
∑ φ
=
1 4πε 0
∞ l=0
bl r l+1
pl
(cosθ
)
r>b
球内 （r<a）
r2
4πε 0 r 3 4πε 0 r 2
即：
p
=
4πε 0 B1
=
a3 (ε 0 − ε ) b2[ε + 2ε 0 ]
4
*也可以先求极化矢量
P = (ε − ε 0 )E内 = (ε − ε 0 )∇φ内 介质的总偶极矩
p = ∫ Pdv
纽约大学 四..a) 半径为的圆环，带有总电荷 q，均匀的分布在环上，求用 legendre 多项式 ，展开的 各点的电势. 解 : 根 据 题 意 ,(legendre 多 项 式 ) 故 选 择 球 坐 标 如 图
试估计倒下所需要的时间，设铜的σ = 6 ×105 Ω / cm ，密度 ρ = 9gmcm−3 。
解：分析： 如果没有磁场，则铜币一旦偏离竖直位置，就会在重力 矩的作用下有加速的倒下，若有磁场时，在人为让它偏离后，运动 过程中，磁场使铜币感应而产生磁矩，磁矩在外场中有力矩，磁力 矩阻此铜币倒下，二个力矩在运动中平衡，所以迟延了铜币倒下的 时间，
r12
,r
<
r1 (因为pl (1)
= 1)
q r2 +
r12
,r
>
r1
5
为了求出系数，将右边按 r 的幂次级数展开 注意：
当r
<
r1时，
r
1 2+
r12
=1 r1
当r
>
r1时，
r
1 2+
r12
=1 r
∑ 1
∞
n
= (−1）
(2n)!
( r )2n
1 + ( r )2 n=0
22n (n!)2 r1
r
= 1[ 4πε 0
1
−
r '2 + r 2 − 2r 'r cosα
1
]
( rr ' r2
)2
+
r2 2
−
2rr '
cosα
其中 r 是源点所在位置的径向坐标（变量） r’ 是格林函数场点的径向坐标（变量）
α 是 r 与 r’的夹角，是球坐标系中的任意角。
cosα = cosθ cosθ ' + sinθ sinθ ' cos(φ ' − φ)
如果我们设人为的先使铜币倾斜一个角度θ0 = 0.1弧度，r0 = 0.01m ，则完全倒下时需时
2
∫ ∫ T =
π /2
dt =
π / 2 B2 r0σ
cos 2θ
dθ
=
B 2 r0σ
[−cosθ
+
1
1 ln(
+
cosθ
0
)
≈
6.8 秒
θ0
θ0 8gρ sinθ
8gρ
2 1 − cosθ0
三.一个介质球，介电常数为，中心没有坐标原点，半径为 A，点电荷 q=1，放置在 z 轴上，
)
b)利用 a)得结果和电像法，求当把环放入半径为 r2 > r1 的接地导体球壳内时，球内的电势。
解： 这里指的电像法不是直接求电荷环的电象，而是指用格林函数 本题具有第一类边界条件，则相应的格林函数是第一类齐次的边界条件
⎪⎪⎧∇'2G(x' , ⎨
x0
)
=
−
1 ε0
δ
(x'
− x0 ),
x'
< r2
φ= q = q
1
按级数展开
4πε 0d 4πε 0 b2 + r 2 − 2br cosθ
∑ = 1
4πε 0
b
1 1 + ( r )2 − 2( r ) cosθ
=1 4πε 0
∞ l=0
rl b l+1
pl
(cosθ
)
b
b
φr=0有限 r<b
或
∑ = 1
4πε 0 r
1
1+
(b)2 r
−
2(b r ) cosθ
=
dt
= 1 Br cosθ dθ σhdr
h 是铜币的厚度
R 2πr /σhdr 2
dt
1
电流环的磁矩 d m = πr 2di = 1 πr 3 B cosθ dθ σhdr
2
dt
电流环的磁力矩 dLm
=
dm× B
=
1 πr 2 B 2 2
cos 2 θ
dθ dt
σhdr
铜币的总磁力矩（设铜币的半径为 r0 ）
∫ 最终的目的是要保证在不同的坐标系下，δ − 函数的下列性质成立，即 δ (x − x' )dv ≡ 1 ，
在不同的曲线坐标系中，空间度系数不同，则体元也不同，所以 δ − 函数的表示也不同 球δ (r − r ' )δ (φ − φ ' )δ (cosθ − cosθ ' ) 柱δ (ρ − ρ ' )δ (φ − φ ' )δ (z − z ' )
∫ ∫ Lm
=
r0 0
dLm
=
r0 0
1πB 2 2
cos2 θ
dθ dt
σhr 3dr
=
1 8
πr04
B
2
cos2 θ
dθ dt
σh
说明：磁力矩使铜币转向原来的竖直位置，因为电或磁偶极子在外场中总趋于能量最低的位
置，在本题中磁偶极子是因外场感应而引起的，在运动过程中是变化的，例如处在竖直位置
时， m = 0, v = m ⋅ B ，这跟纯磁偶极子不同，为要的运动中的电流圈磁矩不变，必须加外
论相矛盾。 c) 解：a) 如图，小球绕 z 轴旋转，则
j
=
ρv
=
3Q 4πR 03
ω
×
R
=
3Q 4πR 03
ωRsinθ eφ
∫ ∫ ∫ m = 1
2
x × jf dv =
1 × 2π 2
π 0
ห้องสมุดไป่ตู้
R0 0
(r ×
jf
)r 2sinθdθdr
=
QR 20 5
ωeZ
b)
设
QR
2 0
5
ω
= m实
= 0.9 ×10−20
则ω
=
5 × 0.9 ×10−20 QR02
其中
Q
是电子电量=1.6 ×10−19 库仑
而电子赤道表面的线速度 v
v
= ωR 0
=
5 × 0.9 ×10−20 QR 0
=
5
×
0.9 1.6
× ×
1100-−1290库×1仑0−×（3 2焦.8 耳×10/ 特−15斯米拉）≈
1011
米/秒〉C
所以这是违反相对论的。 二.一枚铜币以其边缘为支点立于竖直方向的磁场 B=20KG 中，给它一轻微的推力让其倒下，
求的 ，设轴上任意一点 z, (即球坐标中θ = 0, r = z )
∫ φ(r,0) = 1
4πε 0
ρdv = 1 r 2 + r12 4πε 0
带入通解得
q r 2 + r12
∑ ⎧ ∞
⎪ ⎪ l=0
Al r l
=
1 4πε 0
∑ ⎨
⎪
∞
⎪⎩ l=0
Bl r l+1
=
1 4πε 0
q r2 +
显然球内外满足
⎪⎧∇2φ内 = 0, ∇2φ外 = 0, ⎪⎩⎨φ内r=0有限，φ外r→∞ = 0
通解
⎧
∑ ⎪⎪φ内 = ∞ Al r e pl (cosθ )
⎪
;=0
⎪ ⎨
∑ ⎪
⎪⎪φ外 ⎪
=
∞ ;=0
Bl r l+1
pl (cosθ )
⎩
其中系数 Al 和Bl 是要靠别的系数来定,由普物电磁学的知识,圆外轴上的一点的电势是很好
有两个
1． 由于 cosα = f (θ ' ,φ ' )的函数，可按球谐函数展开 ，
∞l
∑ ∑ g(θ ' ,φ , ) =
[A
m l
cosmφ
'
+
B
m l
sinmφ
'
]p
m l
(cosθ
')
l=0 m=0
其中系数 Alm , Blm 都有现成的公式可查，一旦展开后，显然积分中 plm (cosθ ' ) ⇒ plm (0) 2． 如果α 是球坐标的极角，那么格林公式二项就是 legendre 多项式的母函数，现在我们先
电流。 铜币受到的重力矩，（设铜币的重量集中在铜币中心）
L = r × mg = mgr0 sinθ
两个力矩在运动过程中平衡
Lm = Lg
dt = B 2r0σ cos2 θ dθ 8gρ sinθ
力矩平衡，为什么还运动？ 达到一个新的平衡，设铜币停止运动，这时磁矩感应消失，在 重力作用下又倒下，这是又产生磁力矩，又达到一个新的平衡，这样不断（连续的过程）， 使铜币缓缓倒下。
b>a 处
a) 将点电荷单独产生的势，分别在 r ≥ b和r ≤ b 区域展成 legendre 级数
b) 将极化球单独产生的势，分别在 r ≥ b和r ≤ b 区域展成 legendre 级数
c) 利用 r=a 上的边界条件去求 a)和 b)中未知的系数
d) 求球内的极化偶极矩
解
：
a) 建立球坐标系，如图，则点电荷单独存在时在空间产生的电势
+ε) +ε)
+
ε
0
]
,
Al
=
ε 0 (1 + 2l) 4πε 0bl+1[l(ε 0 + ε ) + ε 0 ]
d)球外解得第一项
∑ φ外
=
∞ l=1
Bl r l+1
p
l
(cosθ
)
就是球内极化电荷和贡献，当
r
较大时，略去
1/r
的高次项（即取级
数的第一项）就是等价于球心有极化偶极子所产生的势 ：
B1 cosθ = 1 p ⋅ r = 1 p cosθ
] 则
φ(x) =
∫ 1 q [ 4πε 0 2πr12 v'
1
−
r '2 + r 2 − 2rr ' cosα
rr ' (
r2
)2
+
1 r22 −
2rr
'
cosα
]δ
(r '
−
r1 )δ
(cosθ
')
−
r '2
sin θ
'dθdr 'dφ
'
7
为了在积分时充分利用 δ − 函数的选择性质，一般可选择格林函数在球坐标展开，展开方法
3
∑ φ = 1
4πε 0
∞ l=0
rl b l+1
pl
(cosθ
)
r<=a
b) 极化球产生的磁势满足
∇ 2φ内 = 0 ∇ 2φ外 = 0
ϕr=0 < ∞ φr→∞ = 0
∞
∑ φ 内 =
A l r l p l ( cos θ )
则
φ
l= 0
∑ =
∞ l= 0
Bl r l+1
p
l
(
cos
θ
)
c)在 r=a 处有φ内
=
r1,θ '
=
π 2
,φ ,任意
故
ρ(x')
=
q 2πr12
δ (r '
−
r1 )δ
(cosθ
'
−
cos
π )
2
[
这里δ (x − x' ) 在直角坐标系中就是δ (x − x' )δ ( y − y ' )δ (z − z ' )
在别的曲线坐标系中，要通过坐标系变换来推出，变换工具------ 雅科毕行列式
一.有一电荷均匀体分布的刚性小球，总电荷 Q,半径 R0 ，以角速度 ω 绕自身某直径旋转
a) 求它的磁矩
b) 假定认为电子是上述的一个小球，由电子经典半径 R0 ≈ 2.8 ×10 −13 cm ，其固有磁矩
m实 ≈ 0.9 ×10−20 尔格 / 高斯 ，试证明：如果把自旋理解为经典球自转，将与狭义相对
⎪⎪⎩G(x' , x
)| ∑ x' =
=0
6
∑ 其中是 x 点源所在位置， x' 是格林函数的场点坐标， 是球面，这是第一类齐次边界条
件的球内格林函数，由电像法，
G(x', x) = 1 [ 4πε 0
1
−
r '2 + r 2 − 2r 'r cosα
r2
r
]
r '2 + r 2 − 2 r22 r ' cosα
r1
∑ 1
1 + ( r1 )2
∞
n
= (−1）
(2n)!
n=0
22n (n!)2
r12n r 2n+1
r
比较两边余数，得
A2n+1
=
0, A2n
=
q 4πε 0
(−1) n
(2n)!
2
2n
(n!)
2
r 2n+1
1
,
即l ≠ 2n + 1,l = 2n
B2n+1
=
0, B2n
=
q 4πε 0
(−1) n
∂φ外 ∂r
=ε
∂φ内 ∂r
：
l=0
−
ε
0
(l
+
1)
Bl a l+1
pl
+
1 4πb L+1
la l−1 pl
l =1
=
εlAl a l−1 pl
l =1
l=0:
A0
=
B0 a
+
1 4πε 0
1 b
− ε 0 B0 a2
=0
B0
=
0, A0
=
1 4πε 0b
Bl
=
4πε
la 2;+1 (ε 0 0bl+1[l(ε 0
本题是属于第一类边值问题的定解问题，根据格林函数，通解可表示为
∫ ∫ φ(x) = φ(r,θ ,φ) =
v' G(x' , x)ρ (x ' )dv ' − ε 0
∑
φ(x')
∂ ∂n '
G(x ' ,
x)ds '
φ(x' ) = 0接地
其中ρ（x' )是体系的电荷密度分布
由于圆环在球坐标的位置是： r '