2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用：模块综合检测 Word版含解析
2017-2018学年人教A版高中数学选修1-2模块综合评价(二)含答案
模块综合评价(二）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z｜＝（）A．1 B.错误!C。
错误!D．2解析:由错误!＝i，得z＝错误!＝错误!＝i，所以｜z|＝1，故选A。
答案：A2．如图所示的框图是结构图的是( ）A.P⇒Q1→错误!→错误!→…→错误!B.错误!→错误!→错误!→…→错误!C.D。
错误!→错误!→错误!→错误!→错误!→错误!解析:选项C为组织结构图，其余为流程图．答案：C3．用反证法证明命题：“若a,b∈N,ab能被3整除，那么a，b 中至少有一个能被3整除"时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a,b不都能被3整除D．a不能被3整除解析：因为“至少有一个"的否定为“一个也没有”．答案：B4．下面几种推理中是演绎推理的是( ）A．因为y＝2x是指数函数,所以函数y＝2x经过定点(0，1）B．猜想数列错误!，错误!，错误!,…的通项公式为a n＝错误!（n∈N*) C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2猜想出椭圆错误!＋错误!＝1的面积为πabD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋（y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a）2＋(y－b）2＋(z－c)2＝r2解析：选项B为归纳推理，选项C和选项D为类比推理,选项A 为演绎推理．答案:A5．下列推理正确的是( )A．把a（b＋c)与log a（x＋y）类比，则有:log a（x＋y)＝log a x＋log a y B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比,则有：sin（x＋y）＝sin x＋sin yC．把(ab）n与（x＋y)n类比，则有:(x＋y)n＝x n＋y nD．把（a＋b）＋c与(xy）z类比，则有：(xy）z＝x(yz）解析：A中类比的结果应为log a(xy）＝log a x＋log a y，B中如x＝y＝错误!时不成立，C中如x＝y＝1时不成立，D中对于任意实数结合律成立．答案：D6．已知错误!＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝（）A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：因为错误!＝1＋i，所以z＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－1－i。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用课下能力提升(二) Word版含解析
课下能力提升(二)[学业水平达标练]题组1用2×2列联表分析两分类变量间的关系1．分类变量X和Y的列联表如下：A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强2．假设有两个变量X与Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为：() A．a＝50，b＝40，c＝30，d＝20B．a＝50，b＝30，c＝40，d＝20C．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50D．a＝20，b＝30，c＝50，d＝403．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：填“是”或“否”)．题组2用等高条形图分析两分类变量间的关系4．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出()A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的百分比为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生不喜欢理科的比为60%5．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是()6．为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：题组3独立性检验7．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力() A．平均数与方差B．回归分析C．独立性检验D．概率8．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是()A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大9．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K 2的观测值k >6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．10．为了解决高二年级统计案例入门难的问题，某校在高一年级的数学教学中设有试验班，着重加强统计思想的渗透，下面是高二年级统计案例的测验成绩统计表(单位：分)的一部分，试分析试验效果.附：1．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A 和B 有关系，则具体计算出的数据应该是( )A ．k ≥6.635B ．k <6.635C ．k ≥7.879D ．k <7.8792．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，观测值k ＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”3．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1表3A．成绩B．视力C．智商D．阅读量4．下列关于K2的说法中，正确的有________．①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；②K2的计算公式是K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)；③若求出K2＝4>3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；④独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．5．某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如表：)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．6．随着生活水平的提高，人们患肝病的越来越多，为了解中年人患肝病与经常饮酒是否有关，现对30名中年人进行了问卷调查得到如下列联表：已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肝病患者的概率为415.(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关？说明你的理由；(2)现从常饮酒且患肝病的中年人(恰有2名女性)中，抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图1是乙流水线样本频率分布直方图．表1甲流水线样本频数分布表(1)根据上表数据作出甲流水线样本频率分布直方图；(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；(3)由以上统计数据作出2×2列联表，并回答在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“产品的包装质量与两条要自动包装流水线的选择有关”．答案[学业水平达标练]1．解析：选C|ad－bc|越小，说明X与Y关系越弱，|ad－bc|越大，说明X与Y关系越强．2．解析：选D当(ad－bc)2的值越大，随机变量K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)的值越大，可知X与Y有关系的可能性就越大．显然选项D中，(ad－bc)2的值最大．3．解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba＋b＝1858，dc＋d＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．答案：是4．解析：选C从图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些．5．解析：选D在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．6．解：等高条形图如图所示：由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父母不吸烟者中子女吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”．7．解析：选C 判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验． 8．解析：选B k 越大，“X 与Y 没有关系”的可信程度越小，则“X 与Y 有关系”的可信程度越大，即k 越小，“X 与Y 有关系”的可信程度越小．9．解析：K 2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．答案：③10．解：根据列联表中的数据，由公式得K 2的观测值 k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ) ＝100(32×38－18×12)250×50×44×56≈16.234.因为16.234>6.635，所以，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为高二年级统计案例的测试成绩与高一年级数学教学中增加统计思想的渗透有联系．[能力提升综合练]1．解析：选C 有99.5%的把握认为事件A 和B 有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的k 0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k ≥7.879.2．解析：选A 由k ≈7.8及P (K 2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．3．解析：选D 因为K 21＝52×(6×22－14×10)216×36×32×20＝52×8216×36×32×20， K 22＝52×(4×20－16×12)216×36×32×20＝52×112216×36×32×20，k 23＝52×(8×24－12×8)216×36×32×20＝52×96216×36×32×20，K 24＝52×(14×30－6×2)216×36×32×20＝52×408216×36×32×20，则有K 24>K 22>K 23>K 21，所以阅读量与性别有关联的可能性最大．4．解析：对于①，K 2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错；对于②，(ad －bc )应为(ad －bc )2，故②错；③④对．答案：③④5．解析：查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关，则临界值k 0＝6.635，本题中，k ≈5.059<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．答案：不能6．解：(1)设患肝病中常饮酒的人有x 人，x ＋230＝415，x ＝6.由已知数据可求得K 2＝30×(6×18－2×4)10×20×8×22≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关．(2)设常饮酒且患肝病的男性为A ，B ，C ，D ，女性为E ，F ，则任取两人有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种．其中一男一女有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ，DE ，DF ，共8种．故抽出一男一女的概率是P ＝815.7．解：(1)甲流水线样本频率分布直方图如下：(2)由表1知甲样本合格品数为8＋14＋8＝30，由图1知乙样本中合格品数为(0.06＋0.09＋0.03)×5×40＝36， 故甲样本合格品的频率为3040＝0.75，乙样本合格品的频率为3640＝0.9，据此可估计从甲流水线任取1件产品， 该产品恰好是合格品的概率为0.75. 从乙流水线任取1件产品， 该产品恰好是合格品的概率为0.9. (3)2×2列联表如下：因为K 2的观测值k ＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝80×(120－360)66×14×40×40≈3.117>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．。
2017-2018学年高中数学(选修1-2)模块综合检测期中综合检测(一~二)含答案
期中综合检测(一）(时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分）1．分析人的身高与体重的关系,可以用( )A．残差分析 B．回归分析C．等高条形图D．独立性检验解析：选B 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法,显然，人的身高与体重具有相关关系．2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°"时，应假设（）A．三角形的三个内角都不大于60°B．三角形的三个内角都大于60°C．三角形的三个内角至多有一个大于60°D．三角形的三个内角至少有两个大于60°解析：选B 其假设应是对“至少有一个角不大于60°”的否定，即“都大于60°”．3．下列说法正确的是（）A．预报变量的值受解释变量的影响，与随机误差无关B．预报变量的值受随机误差的影响，与解释变量无关C．预报变量的值与总偏差平方和有关，与残差无关D．预报变量的值与解释变量和随机误差的总效应有关解析：选D 依据预报变量的特点知与解释变量和随机误差的总效应有关．4．类比a（b＋c)＝ab＋ac,则下列结论正确的是( ）A．log a（x＋y)＝log a x＋log a yB．sin（x＋y)＝sin x＋sin yC．a x＋y＝a x＋a yD．a·(b＋c）＝a·b＋a·c解析：选D 由类比推理的定义知两类比对象具有某些相似特征时，才能用类比推理，而A、B、C中的两对象没有相似特征，故不适合应用类比推理．5．设有一个回归直线方程错误!＝2－1。
5x，则变量x每增加1个单位时（）A．y平均增加1。
5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位解析：选C x每增加1个单位，y平均减少1.5个单位．6．下面几种推理是合情推理的是( ）①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°;③由f（x）＝sin x，满足f(－x)＝－f(x），x∈R，推出f(x）＝sin x是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°。
2017_2018学年高中数学模块综合检测(一)(含解析)新人教A版选修2_1
模块综合检测(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1．命题“∃x0∈R,2x0－3＞1”的否定是( )A．∃x0∈R,2x0－3≤1B．∀x∈R,2x－3＞1C．∀x∈R,2x－3≤1D．∃x0∈R,2x0－3＞1解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．2．已知条件甲：ab＞0；条件乙：a＞0，且b＞0，则( )A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分又不必要条件解析：选B 甲⇒/乙，而乙⇒甲．3．对∀k∈R，则方程x2＋ky2＝1所表示的曲线不可能的是( )A．两条直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线解析：选D 分k＝0,1及k＞0且k≠1，或k＜0可知：方程x2＋ky2＝1不可能为抛物线．4．下列说法中正确的是( )A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a＋c＞b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.5．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )A.5 32B.212C.372D.3 52解析：选D 由已知可得2a－b＝(2,2n,4)－(－2，1,2)＝(4，2n－1,2)．又∵(2a－b)⊥b，∴－8＋2n－1＋4＝0.∴2n ＝5，n ＝52.∴|a |＝1＋4＋254＝3 52.6．(山东高考)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.7．已知双曲线的中心在原点，离心率为3，若它的一个焦点与抛物线y 2＝36x 的焦点重合，则该双曲线的方程是( )A.x 281－y 254＝1B.y 281－x 254＝1 C.x 227－y 254＝1 D.y 227－x 254＝1 解析：选C 由已知得c a ＝3，c ＝9，∴a 2＝27，b 2＝54，且焦点在x 轴，所以方程为x 227－y 254＝1.8．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1，5]D ．[5，＋∞)解析：选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝ba x .由条件知，应有b a＞2，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞ 5.9．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α.当α＝2π3时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( )A ．41B ．15C ．9D ．1解析：选B 由S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P ，知点P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大． 此时∠F 1PF 2＝2π3，得a ＝m ＝2 3，b ＝n ＝3，故m ＋n ＝15.10．正三角形ABC 与正三角形BCD 所在平面垂直，则二面角A BD C 的正弦值为( ) A.55 B.33 C.255D.63解析：选C 取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，0， D ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，0. ∴OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55，∴sin 〈n ，OA ―→〉＝255.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP ―→·OA ―→＝4，则动点P 的轨迹方程是________________．解析：由OP ―→·OA ―→＝4得x ·1＋y ·2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝012．命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0为假命题，∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，22]13．已知过点P (4,0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4， 代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)， ∴y 21＋y 22＝16＋16＝32；当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)， 与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0， 由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32＞32.综上，(y 21＋y 22)min ＝32. 答案：3214．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 1是A 1B 1C 1D 1的中心，E 1在B 1C 1上，并且B 1E 1＝13B 1C 1，则BE 1与CO 1所成的角的余弦值为________．解析：不妨设AB ＝1，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AA 1所在直线为z 轴建立直角坐标系，则B (1,0，0)，E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，1， C (1,1,0)，O 1⎝⎛⎭⎪⎫12，12，1， BE 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，1，CO 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1，BE 1―→·CO 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1＝56，|BE 1―→|＝ 103，|CO 1―→|＝ 62.∴cos 〈BE 1―→，CO 1―→〉＝56103× 62＝156.即BE 1与CO 1所成角的余弦值为156.答案：156三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R ，4x 2－4mx ＋4m －3≥0.若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．解：p 真时，m ＞2.q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立．Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0,1≤m ≤3. ∵(綈p )∧q 为真， ∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2.∴所求m 的取值范围为[1,2]．16．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝ 3，∠ABC ＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A A 1C B 的正切值大小．解：法一：(1)证明：∵三棱柱ABC A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴AB ⊥AA 1.在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°. 由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ， ∴AB ⊥平面ACC 1A 1. 又∵A 1C ⊂平面ACC 1A 1， ∴AB ⊥A 1C .(2)如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连接BD .∵AB ⊥A 1C ， ∴A 1C ⊥平面ABD ， ∴BD ⊥A 1C ，∴∠ADB 为二面角A A 1C B 的平面角．在Rt △AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3× 36＝62.在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝63， ∴二面角A A 1C B 的正切值为63. 法二：(1)证明：∵三棱柱ABC A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC . 在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 3，∠ABC ＝60°.由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC .如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A 1(0,0，3)， ∴AB ―→＝(1,0,0)，A 1C ―→＝(0，3，－3)． ∵AB ―→·A 1C ―→＝1×0＋0×3＋0×(－ 3)＝0， ∴AB ⊥A 1C .(2)取m ＝AB ―→＝(1,0,0)为平面AA 1C 1C 的法向量．设平面A 1BC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ―→＝0，n ·A 1C ―→＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －3z ＝0，∴x ＝3y ，y ＝z .令y ＝1，则n ＝(3，1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝3×1＋1×0＋1×0 3 2＋12＋12·12＋02＋02＝155， ∴sin 〈m ，n 〉＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1552＝105，∴tan 〈m ，n 〉＝63. ∴二面角A A 1C B 的正切值为63. 17.(本小题满12分)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．解：(1)法一：由条件知，P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 故直线PF 2的斜率为kPF 2＝b 2a －0－c －c ＝－b22ac.因为PF 2⊥F 2Q .所以直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac2b2.故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1.则b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M .由条件知，P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 因为△PF 1F 2∽△F 2MQ ， 所以|PF 1||F 2M |＝|F 1F 2||MQ |.即b 2aa 2c－c ＝2c|MQ |，解得|MQ |＝2a .所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2c＝4，2a ＝4.解得a ＝2，c ＝1.则b 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)直线PQ 的方程为y －2ab 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c，即y ＝cax ＋a .将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a.所以直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．18．(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．解：(1)证明：分别以CB ，CA 所在直线为x 轴、y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AE ＝a ，则M (a ，－a,0)，E (0，－2a ，a )，所以CM ―→＝(a ，－a,0)，EM ―→＝(a ，a ，－a )， 所以CM ―→·EM ―→＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0， 所以CM ―→⊥EM ―→，即CM ⊥EM .(2)CE ―→＝(0，－2a ，a )，CD ―→＝(2a,0,2a )， 设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2y ，x ＝－z .令y ＝1，则n ＝(－2,1,2)，cos 〈CM ―→，n 〉＝CM ―→·n | CM ―→||n |＝a × －2 ＋ －a ×1＋0×22a ×3＝－22，所以直线CM 与平面CDE 所成的角为45°.19．(本小题满分12分)如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的长半轴长． (1)求C 1，C 2的方程；(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .证明：MD ⊥ME .解：(1)由题意知对C 1：e ＝c a ＝32， 从而a ＝2b ，又2b ＝a ，解得a ＝2，b ＝1. 故C 1，C 2的方程分别为x 24＋y 2＝1，y ＝x 2－1.(2)证明：由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1，得x 2－kx －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1. 又点M 的坐标为(0，－1)，所以k MA ·k MB ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝ kx 1＋1 kx 2＋1 x 1x 2＝k 2x 1x 2＋k x 1＋x 2 ＋1x 1x 2＝－k 2＋k 2＋1－1＝－1.故MA ⊥MB .即MD ⊥ME .20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围．(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP―→＋OQ ―→与AB ―→共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知条件，知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①又因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，则Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22. 故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. (2)不存在．理由如下：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则OP ―→＋OQ ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由方程①，得x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又因为y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k 2.③而A (2，0)，B (0,1)，AB ―→＝(－2，1)．所以OP ―→＋OQ ―→与AB ―→共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)． 将②③代入上式，解得k ＝22. 由(1)知k ＜－22或k ＞22，故没有符合题意的常数k .。
2017-2018版高中数学 模块综合测评1 新人教A版选修1-2
模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )A．0 B．2C．2i D．2＋2i【解析】(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.【答案】 C2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为( )A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】 B3．利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量K2的值( )【导学号：81092070】A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关【解析】由K2的意义可知，K2越大，说明X与Y有关系的可能性越大．【答案】 A4．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】 B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解析】 一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3【解析】a ＋i 2－i＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解得a ＝3.【答案】 C7．在两个变量的回归分析中，作散点图是为了( ) A ．直接求出回归直线方程 B ．直接求出回归方程C ．根据经验选定回归方程的类型D ．估计回归方程的参数【解析】 散点图的作用在于判断两个变量更近似于什么样的函数关系，便于选择合适的函数模型．【答案】 C8．给出下面类比推理：①“若2a <2b ，则a <b ”类比推出“若a 2<b 2，则a <b ”； ②“(a ＋b )c ＝ac ＋bc (c ≠0)”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b ”； ④“a ，b ∈R ，若a －b >0，则a >b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b >0，则a >b (C 为复数集)”．其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】 B9．执行如图1所示的程序框图，若输出的n＝7，则输入的整数K的最大值是( )图1A．18 B．50C．78 D．306【解析】第一次循环S＝2，n＝2，第二次循环S＝6，n＝3，第三次循环S＝2，n＝4，第四次循环S＝18，n＝5，第五次循环S＝14，n＝6，第六次循环S＝78，n＝7，需满足S≥K，此时输出n＝7，所以18＜K≤78，所以整数K的最大值为78.【答案】 C10．已知a1＝3，a2＝6，且a n＋2＝a n＋1－a n，则a33为( )A．3 B．－3C．6 D．－6【解析】a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，…，观察可知{a n}是周期为6的周期数列，故a33＝a3＝3.【答案】 A11．下列推理合理的是( )A．f(x)是增函数，则f′(x)＞0B．因为a＞b(a，b∈R)，则a＋2i＞b＋2i(i是虚数单位)C．α，β是锐角△ABC的两个内角，则sin α＞cos βD．A是三角形ABC的内角，若cos A＞0，则此三角形为锐角三角形【解析】A不正确，若f(x)是增函数，则f′(x)≥0；B不正确，复数不能比较大小；C 正确，∵α＋β＞π2，∴α＞π2－β，∴sin α＞cos β；D 不正确，只有cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，才能说明此三角形为锐角三角形．【答案】 C12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y 与平均气温x 之间线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^的系数b ^＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元【解析】 x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)． 因为b ^＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ^＝15.4， 所以线性回归方程为y ^＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．) 13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________.【导学号：81092071】【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， ∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 【答案】 0或114．心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)过________．附表：k ＝2×12－230×20×20×30≈5.556＞5.024，∴推断犯错误的概率不超过0.025. 【答案】 0.02515．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的四维测度W ＝2πr 4，猜想其三维测度V ＝________.【解析】 由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V ＝W ′＝(2πr 4)′＝8πr 3.【答案】 8πr 316．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论________．【解析】 由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.【答案】 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)设z ＝－＋＋2＋4i3＋4i，求|z |.【解】 z ＝1＋i －4i ＋4＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i ，∴|z |＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2.18．(本小题满分12分)我校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部．请画出学生会的组织结构图．【解】 学生会的组织结构图如图．19．(本小题满分12分)给出如下列联表：(参考数据：P (K 2≥6.635)＝0.010，P (K 2≥7.879)＝0.005) 【解】 由列联表中数据可得k ＝－230×80×50×60≈7.486.又P (K 2≥6.635)＝0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系． 20．(本小题满分12分)已知非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a，1b ，1c不能构成等差数列.【导学号：81092072】【证明】 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则2b ＝1a ＋1c，因此b (a ＋c )＝2ac .而由于a ，b ，c 构成等差数列，且公差d ≠0，可得2b ＝a ＋c ， ∴(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ， 这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾． 故假设不成立，即1a ，1b ，1c不能构成等差数列．21．(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】 综合法：∵2ax ≤a 2＋x 2,2by ≤b 2＋y 2， ∴2(ax ＋by )≤(a 2＋b 2)＋(x 2＋y 2)． 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2(ax ＋by )≤2，∴ax ＋by ≤1. 分析法：要证ax ＋by ≤1成立， 只要证1－(ax ＋by )≥0， 只要证2－2ax －2by ≥0， 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，∴只要证a 2＋b 2＋x 2＋y 2－2ax －2by ≥0， 即证(a －x )2＋(b －y )2≥0，显然成立．22．(本小题满分12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x －.【解】 (1)散点图如图，(2)x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑i ＝15x i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.∑i ＝15x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625. a ^＝y －b ^x －≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y 对x 的回归直线方程是 y ^＝0.625x ＋22.05.(3)当x ＝96，则y ^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82分．。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用：阶段质量检测(二) Word版含解析
阶段质量检测(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中()A．小前提错误B．大前提错误C．推理形式错误D．结论正确2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－103．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A．■B．△C．□D．○4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A．各正三角形内任一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76 C．123 D．1996．已知c>1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是()A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b大小不定7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋28．已知a n ＝⎝⎛⎭⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( ) A.⎝⎛⎭⎫1367B.⎝⎛⎭⎫1368C.⎝⎛⎭⎫13111D.⎝⎛⎭⎫13112 9．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f ⎝⎛⎭⎫n (n ＋1)2C.n (n ＋1)2D.n (n ＋1)2f (1)10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( )A ．S n ＝n 2B ．S n ＝n 3C ．S n ＝n 4D ．S n ＝n (n ＋1)11．在等差数列{a n }中，若a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4a 6＞a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，公比q ＞1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8＞b 5＋b 7B ．b 4＋b 8＜b 5＋b 7C ．b 4＋b 7＞b 5＋b 8D ．b 4＋b 7＜b 5＋b 812．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 016等于( )A.12B ．－1C ．2D ．3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．14．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．15．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．16．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n >2)个图形中共有________个顶点．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－aca＜ 3.18．(本小题12分)已知实数x ，且有a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，求证：a ，b ，c中至少有一个不小于1.19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 20．(本小题12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c成等差数列． (1)比较b a与cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．21．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1,2，…)，a 1＝1. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝a n2n (n ＝1,2，…)，求证：数列{c n }是等差数列．22．通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1； 32－22＝2×2＋1； 42－32＝2×3＋1； …(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.类比上述方法，请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值．答案1．解析：选B 可导函数f (x )，若f ′(x 0)＝0且x 0两侧导数值相反，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，故选B.2．解析：选B 由所给的等式可以根据规律猜想得：9(n －1)＋n ＝10n －9. 3．解析：选A 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A 正确．4．解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．5．解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )， 则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4， f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7； f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)， 则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18； f (7)＝f (5)＋f (6)＝29； f (8)＝f (6)＋f (7)＝47; f (9)＝f (7)＋f (8)＝76； f (10)＝f (8)＋f (9)＝123. 所以a 10＋b 10＝123.6．解析：选B 要比较a 与b 的大小，由于c >1， 所以a >0，b >0，故只需比较1a 与1b 的大小即可，而1a ＝1c ＋1－c ＝c ＋1＋c ， 1b ＝1c －c －1＝c ＋c －1， 显然1a >1b，从而必有a <b .7．解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差为6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.8．解析：选D 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝⎛⎭⎫13112.故选D.9．解析：选C f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝1，得f (2)＝2f (1)，令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1) ⋮f (n )＝nf (1)，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1)＝n (n ＋1)2f (1)．所以A ，D 正确．又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n )＝f ⎝⎛⎭⎫n (n ＋1)2，所以B 也正确．故选C.10．解析：选B ∵当n ＝1时，S 1＝1；当n ＝2时，S 2＝8＝23；当n ＝3时，S 3＝27＝33；∴归纳猜想S n ＝n 3，故选B.11．解析：选A b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 4(q ＋q 3－1－q 4)＝b 4(q －1)(1－q 3)＝－b 4(q －1)2(1＋q ＋q 2)＝－b 4(q －1)2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫q ＋122＋34. ∵b n ＞0，q ＞1，∴－b 4(q －1)2·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫q ＋122＋34＜0， ∴b 4＋b 8＞b 5＋b 7.12．解析：选C ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)， ∴a 2 016＝a 3＋3×671＝a 3＝2.13．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．答案：x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1)14．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝115．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33216．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…， a n ＝(n ＋2)＋(n ＋2)·(n ＋2)，a n －2＝n 2＋n . 答案：n 2＋n17．证明：因为a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a ＞0，c ＜0. 要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac ＜3a ， 即证b 2－ac ＜3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac ＜3a 2， 即(a －c )(2a ＋c )＞0，因为a －c ＞0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b ＞0， 所以(a －c )(2a ＋c )＞0成立， 故原不等式成立．18．证明：假设a ，b ，c 都小于1， 即a ＜1，b ＜1，c ＜1， 则a ＋b ＋c ＜3.∵a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋(2－x )＋(x 2－x ＋1)＝2x 2－2x ＋72＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋3，且x 为实数， ∴2⎝⎛⎭⎫x －122＋3≥3， 即a ＋b ＋c ≥3，这与a ＋b ＋c ＜3矛盾． ∴假设不成立，原命题成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个不小于1. 19．解：(1)选择(2)式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.20．解：(1)b a＜c b. 证明如下： 要证b a＜c b ，只需证b a ＜c b . ∵a ，b ，c ＞0， ∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c成等差数列，b ac ac∴b 2≤ac .又a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac .故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＞2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac ＞0，这与cos B ＜0矛盾， 故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 是最大边， 即b ＞a ，b ＞c ， 所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾， 故假设不成立．所以角B 不可能是钝角． 21．证明：(1)因为S n ＋1＝4a n ＋2， 所以S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1,2，…)， 即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，变形得a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )， 因为b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)， 所以b n ＋1＝2b n ，由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列． (2)由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 1＝1， 得a 2＝5，b 1＝a 2－2a 1＝3. 故b n ＝3·2n －1.因为c n ＝a n2n (n ＝1,2，…)，所以c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n2＋2＋将b n ＝3·2n－1代入得c n ＋1－c n ＝34(n ＝1,2，…)．由此可知，数列{c n }是公差d ＝34的等差数列．22．解：23－13＝3×12＋3×1＋1， 33－23＝3×22＋3×2＋1， 43－33＝3×32＋3×3＋1， …(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， 将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋32＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 所以12＋22＋32＋…＋n 2 ＝13⎣⎡⎦⎤(n ＋1)3－1－n －3×n (n ＋1)2 ＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.。
2017-2018版高中数学 模块综合测评2 新人教A版选修1-2
模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中有相关关系的是( )A．①②③B．①②C．②③D．①③④【解析】曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．【答案】 D2．若z＝4＋3i，则z|z|＝( )A．1 B．－1C.45＋35i D.45－35i【解析】∵z＝4＋3i，∴z＝4－3i，|z|＝42＋32＝5，∴z|z|＝4－3i5＝45－35i.【答案】 D3．有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.这个结论显然是错误的，这是因为( )【导学号：81092073】A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解析】大前提错误，直线平行于平面，未必平行于平面内的所有直线．【答案】 A4．如图1所示的知识结构图为什么结构( )图1A ．树形B ．环形C ．对称性D ．左右形【解析】 由题图可知结构图为树形结构． 【答案】 A5．执行如图2所示的程序框图，若输入的n 的值为8，则输出的s 的值为( )图2A ．4B ．8C ．10D ．12【解析】 初始值：n ＝8，i ＝2，k ＝1，s ＝1；i ＜n ，s ＝1×(1×2)＝2，i ＝2＋2＝4，k ＝1＋1＝2；i ＜n ，s ＝12×(2×4)＝4，i ＝4＋2＝6，k ＝2＋1＝3；i ＜n ，s ＝13×(4×6)＝8，i ＝6＋2＝8，k ＝3＋1＝4；i ＝n ，退出循环．故输出的s 的值为8.【答案】 B6．已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是( )A.y ^＝1.23x ＋4 B.y ^＝1.23x ＋5 C.y ^＝1.23x ＋0.08D.y ^＝0.08x ＋1.23【解析】 由题意可设回归直线方程为y ^＝1.23x ＋a ，又样本点的中心(4,5)在回归直线上，故5＝1.23×4＋a ，即a ＝0.08， 故回归直线的方程为y ^＝1.23x ＋0.08. 【答案】 C7．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】 四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R 的三棱锥，从而有13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝V .即(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ＝3V .∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】 C8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4猜想a n等于( )A.2n ＋2B.2nn ＋C.22n－1D.22n －1【解析】 ∵a 1＝1，S n ＝n 2·a n (n ≥2)， ∴a 1＋a 2＝22·a 2，得a 2＝13；由a 1＋a 2＋a 3＝32· a 3，得a 3＝16；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4，得a 4＝110；….猜想a n ＝2nn ＋.【答案】 B9．若关于x的一元二次实系数方程x2＋px＋q＝0有一个根为1＋i(i为虚数单位)，则p＋q的值是( )A．－1 B．0C．2 D．－2【解析】把1＋i代入方程得(1＋i)2＋p(1＋i)＋q＝0，即2i＋p＋p i＋q＝0，即p＋q＋(p＋2)i＝0，∵p，q为实数，∴p＋q＝0.【答案】 B10．满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆【解析】|z－i|＝|3－4i|＝5，∴复数z对应点到定点(0,1)的距离等于5，故轨迹是个圆．【答案】 C11．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.【答案】 C12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规律一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个红色子数列中，由1开始的第60个数是( )A．103 B．105C．107 D．109【解析】由题可知染色规律是：每次染完色后得到的最后一个数恰好是染色个数的平方．故第10次染完后的最后一个数为偶数100，接下来应该染101,103,105,107,109，此时共60个数．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．) 13．若复数z 满足3z ＋z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________.【解析】 设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z ＝a －b i ，a ，b ∈R,3z ＋z ＝4a ＋2b i ＝1＋i ，a ，b ∈R ，则a ＝14，b ＝12，故z ＝14＋12i.【答案】 14＋12i14．某工程的工序流程图如图3所示，现已知工程总工时数为10天，则工序c 所需工时为________天.【导学号：81092074】图3【解析】 设工序c 所需工时为x 天．由题意知：按①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为0＋2＋3＋3＋1＝9(天)， 按①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为1＋0＋3＋3＋1＝8(天)， 故按①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为10天． ∴1＋x ＋4＋1＝10，∴x ＝4. 【答案】 415．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 外接圆半径r ＝a 2＋b 22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，则其外接球的半径R ＝________.【解析】 通过类比可得R ＝a 2＋b 2＋c 22.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a ，b ，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a 2＋b 2＋c 2，故这个长方体的外接球的半径是a 2＋b 2＋c 22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．【答案】a 2＋b 2＋c 2216．某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若A 城市居民人均消费水平为7.765(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________.【导学号：81092075】【解析】 因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0.66x ＋1.562，A 城市居民人均消费水平为y ＝7.765，所以可以估计该城市的职工人均工资水平x 满足7.765＝0.66x ＋1.562，所以x ≈9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.7659.4×100%≈83%.【答案】 83%三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z ＝(a ＋2z )2. 【解】 ∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，又∵(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， ∵a ，b 都是整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝a ＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，b 1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－4，b 2＝2.∴所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18．(本小题满分12分)在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)试判断晕机是否与性别有关？(参考数据：K 2>2.706时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联；K 2>3.841时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联；K 2>6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联．参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d)【解】 (1)2×2列联表如下：(2)得K 2的观测值k ＝－256×84×56×84＝359≈3.889>3.841，所以有95%的把握认为晕机与性别有关．19．(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．【解】 某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －bb＋a ＋b －cc>3. 【证明】 法一(分析法)：要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3， 只需证明b a ＋ca －1＋ab ＋c b －1＋a c ＋b c－1>3， 即证b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c>6，而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数， ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c>2. ∴b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c>6， ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3得证．法二(综合法)：∵a ，b ，c 全不相等， ∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b c 全不相等， ∴b a ＋a b>2，c a ＋a c>2，c b ＋b c>2， 三式相加得b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c>6，∴⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋cb －1＋⎝⎛⎭⎪⎫a c ＋bc －1>3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 21．(本小题满分12分)某产品的广告支出x (单位：万元)与销售收入y (单位：万元)之间有下表所对应的数据：(1)(2)求出y 对x 的线性回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 【导学号：81092076】 【解】 (1)散点图如图：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a ^，b ^.于是x ＝52，y ＝2，代入公式得：b ^＝∑i ＝14x i y i －4x －y －∑i ＝14x 2i －4x －2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ^＝y －b ^x ＝692－735×52＝－2.故y 与x 的线性回归方程为y ^＝735x －2，其中回归系数为735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y 平均增加735万元．(3)当x ＝9万元时，y ＝735×9－2＝129.4(万元)．所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．22．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图4(1)求出f (5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式； (3)根据你得到的关系式求f (n )的表达式．【解】 (1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25， ∴f (5)＝25＋4×4＝41. (2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1.f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . (3)∵f (2)－f (1)＝4×1，f (3)－f (2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)，∴以上各式相加得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用：阶段质量检测(四) Word版含解析
阶段质量检测(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示的框图属于()Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件A．流程图B．结构图C．程序框图D．工序流程图2．如图所示，引入复数后，数系的结构图为()3．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是()4．根据下面的结构图可以知道，总经理的直接下属是()A．总工程师和专家办公室B．开发部C．开发部、总工程师和专家办公室D．总工程师、专家办公室和所有的七个部5．如图是一个结构图，在处应填入()A．图象交换B．对称性C．奇偶性D．解析式6．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M的值是()A．3 B．4 C．5 D．67．如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是()A．设备安装B．土建设计C．厂房土建D．工程设计8．根据下面的流程图可得结果为()A．19 B．67 C．51 D．709．实数系的结构图如图所示，其中①，②，③三个框中的内容分别为()A．有理数、零、整数B．有理数、整数、零C．零、有理数、整数D．整数、有理数、零10．如图是求12＋22＋32＋…＋1002的程序框图，则图中的①②分别是()A．①S＝S＋i②i＝i＋1B．①S＝S＋i2②i＝i＋1C．①i＝i＋1②S＝S＋iD．①i＝i＋1②S＝S＋i211．阅读如图所示的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写()A．i>6? B．i≥6?C．i<6? D．i≤7?12．某程序框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数f(x)＝sin 2π3x，f(x)＝cos2π3x，f(x)＝tan 4π3x，则可以输出的函数是()A．f(x)＝sin 2π3x B．f(x)＝cos2π3xC．f(x)＝tan 4π3x D．三个函数都无法输出二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．定义运算，s＝a b的运算原理如图所示，则式子＋＝________.14．阅读如图所示的框图，运行相应的程序，输出S的值为________．15．如图，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是________．16．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的时间最多为________天．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)．验票统计．若有得票多者，则选为班长，若票数相同则由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程．18．(本小题12分)阅读如图所示的结构图：试根据此结构图阐述“圆锥曲线与方程”知识的逻辑关系．19．(本小题12分)一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能．(1)用户管理：能够修改密码，显示用户信息，修改用户信息；(2)用户登录；(3)名片管理：能够对名片进行删除、添加、修改、查询；(4)出错信息处理．根据这些要求，画出该系统的结构图．20．(本小题12分)某商场对衣服的退、换货办法制定如下：对退货来说，7天内经服务员检验不影响第二次销售可退货，若影响第二次销售则不退货；对换货来说，7天内经服务员检验不影响第二次销售并有相应的号码则可换货，不影响第二次销售但没有相应的号码可退货，若影响第二次销售则不退、不换．某人买了一条裤子，回家后又觉得颜色不好搭配上衣，想换一条，请画出他换货过程的流程图．21．(本小题12分)某自助餐厅准备进行优惠酬宾活动：80岁以上老人免费；70岁以上老人享受5折优惠；60岁以上老人享受6折优惠；其余嘉宾享受9折优惠．餐厅经理想要一个程序，可以输入用餐者的年龄、消费额，能够输出应付金额．试设计该程序流程图．22．(本小题12分)对任意函数f (x )，x ∈D ，可按如图所示，构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1＝f (x 0)；②若x 1∈ /D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，将x 1反馈回输入端，再输出x 2＝f (x 1)，并依此规律进行下去．现定义f (x )＝4x －2x ＋1.(1)若输入x 0＝4965，则由数列发生器产生数列{x n }，写出数列{x n }的所有项；(2)若要使数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值．答案1．解析：选A 题中图示表示一种动态过程，故是流程图．没有起止框，故不是程序框图．2．解析：选A 根据知识结构图的画法，“复数”的下位要素应是并列的，只有选项A 符合要求．3．解析：选A 由各学校教职工组织结构易知选A.4．解析：选C 由结构图可以知道，总经理的直接下属是开发部、总工程师和专家办公室，其他六个不是总经理的直接下属．5．解析：选C 奇偶性属于函数的性质，解析式是函数概念的一部分，图象变换和对称性是函数图象的内容．6．解析：选B 本程序计算的是S ＝1＋2＋22＋ (2)，则S ＝1－2A ＋11－2＝2A ＋1－1，由2A ＋1－1＝31，得2A ＋1＝32，解得A ＝4，则A ＋1＝5时，条件不成立，所以M ＝4.7．解析：选A 结合工序流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装． 8．解析：选D 该流程图的作用是求s ＝1＋4＋7＋10＋…＋19＝70.9．解析：选B 因为实数分为有理数和无理数，有理数又分为整数和分数，整数又分为正整数、零与负整数，所以选B.10．解析：选B 各个加数的指数应为2，故①中应为S ＝S ＋i 2，②应为i ＝i ＋1. 11．解析：选C 第一次执行循环体时s ＝1，i ＝3； 第二次执行循环体时s ＝－2，i ＝5； 第三次执行循环体时s ＝－7，i ＝7， 所以判断框内可以填写“i <6？”． 12．解析：选B 若输入函数f (x )＝cos 2π3x ， 则f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫－32－x ＝cos 2π3x ＋cos ⎣⎡⎦⎤2π3⎝⎛⎭⎫－32－x ＝cos 2π3x ＋cos ⎝⎛⎭⎫－π－2π3x ＝cos2π3x －cos 2π3x ＝0， f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝cos 2π3x ＋cos ⎣⎡⎦⎤2π3⎝⎛⎭⎫32＋x ＝cos2π3x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π＋2π3x ＝0. 故函数f (x )＝cos 2π3x 可由题中程序框图输出．易验证函数f (x )＝sin 2π3和f (x )＝tan 4π3x 均无法输出．13．解析：由流程图可知＋＝5×(3－1)＋4×(2－1)＝10＋4＝14.答案：1414．解析：S ＝0，n ＝3，第1次运行，S ＝0＋(－2)3＝－8，n ＝2，不满足条件；第2次运行，S ＝－8＋(－2)2＝－8＋4＝－4，n ＝1，满足条件，跳出循环，输出S 的值为－4.答案：－415．解析：由A →B 有四条线路．单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.答案：1916．解析：由题意可画出工序流程图如图所示．∵总工期为9天，∴2＋x≤5.∴x≤3.∴完成工序C的最长时间为3天．答案：317．解：18．解：先由椭圆的实际背景引出椭圆的定义，用坐标法由定义推导出椭圆的标准方程和简单几何性质，然后是椭圆的简单应用．再由双曲线的实际背景引出双曲线的定义，用坐标法由定义推导出双曲线的标准方程和简单几何性质，然后是双曲线的简单应用．最后由抛物线的实际背景引出抛物线的定义，用坐标法由定义推导出抛物线的标准方程和简单几何性质，然后是抛物线的简单应用．19．解：该系统的结构图如图所示．名片管理系统20．解：流程图如图所示：21．解：程序流程图如图所示．22．解：(1)函数f (x )的定义域D ＝(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 所以x 1＝f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫4965＝4×4965－24965＋1＝1119， x 2＝f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫1119＝4×1119－21119＋1＝15， x 3＝f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫15＝4×15－215＋1＝－1，而x 3∈/D ， 所以数列{x n }只有3项x 1＝1119，x 2＝15，x 3＝－1.(2)令f (x )＝4x －2x ＋1＝x ，即x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝1.故当x0＝2或x0＝1时，x n＋1＝4x n－2x n＋1＝x n，所以输入的初始数据x0＝1时，得到常数列{x n}且x n＝1；x0＝2时，得到常数列{x n}且x n＝2.。
2017_2018学年高中数学模块综合检测(二)(含解析)新人教A版选修2_2
模块综合检测(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(辽宁高考)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i 解析：选A z ＝52－i ＋2i ＝＋－＋＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i. 2．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋a b ＝6ab(a ，b 均为正实数)，则a ＋b ＝( ) A ．40 B ．41 C ．43D ．47 解析：选 B 观察下列等式 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，第n 个应该是 n ＋1＋n ＋1n ＋2－1＝(n ＋1) n ＋1n ＋2－1，则第5个等式中：a ＝6，b ＝a 2－1＝35，a ＋b ＝41.3．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②①解析：选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题(①所有的中国人都坚强不屈)”，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②雅安人是中国人)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③雅安人一定坚强不屈)”．故选A.4．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则∫21f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23D.16解析：选A 由于f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是 ∫21f (－x )d x ＝∫21(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 221＝56.5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1n －n ＋ B.12nn ＋C.1n －n ＋D.1n ＋n ＋解析：选C 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝12n －n ＋.6．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＋b ，∴f ′(1)＝3＋b ＝4， ∴b ＝1.∴g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤2.7．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定解析：选B q ＝ ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .8．在[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝3x 2＋32x 在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是()A.134B ．4C ．8D.54解析：选B 因为g (x )＝3x 2＋32x，且x ∈[12，2]，则g (x )≥3，当且仅当x ＝1时，g (x )min ＝3.又f ′(x )＝2x ＋p ，∴f ′(1)＝0，即2＋p ＝0，得p ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x ＋q . 又f (x )min ＝g (1)＝3，∴1－2＋q ＝3，∴q ＝4.∴f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，x ∈12，2.∴f (x )max ＝f (2)＝4.9．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3)C ．(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0,1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f f⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.10．设f (x )＝kx －k x－2ln x ，若f (x )在其定义域内为单调增函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[－1，＋∞)解析：选B 由f ′(x )＝k ＋k x 2－2x ＝kx 2－2x ＋k x2，令h (x )＝kx 2－2x ＋k ，要使f (x )在其定义域(0，＋∞)上单调递增，只需h (x )在(0，＋∞)内满足h (x )≥0恒成立．由h (x )≥0得kx 2－2x ＋k ≥0，即k ≥2x x 2＋1＝2x ＋1x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立，∵x >0，∴x ＋1x ≥2.∴2x ＋1x≤1.∴k ≥1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为____________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6<7.∴a <b .答案：a <b12．复数z ＝i1＋i (其中i 为虚数单位)的虚部是________．解析：化简得z ＝i1＋i＝－＋－＝12＋12i ，则虚部为12.答案：1213．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a x ＋2＝x 2＋2x －ax ＋2.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.答案：314．已知f (x )＝xex ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算f 1(x )＝1－x e ，f 2(x )＝x －2e ，f 3(x )＝3－xe，…，照此规律，则f n (x )＝________. 解析：观察各个式子，发现分母都是e x，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，前边是(－1)n，括号里是x －n ，故f n (x )＝－n x －ne x.答案：－nx －nex三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝13×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)．则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2－4k ) ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2－1] ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]． 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式都成立．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a3x 3＋x 2－2ax －1，f ′(－1)＝0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)如果对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3，求b 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝ax 2＋2x －2a ，因为f ′(－1)＝0，所以a ＝－2.所以f ′(x )＝－2x 2＋2x ＋4＝－2(x 2－x －2)＝－2(x ＋1)(x －2)． 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2.随着x 的变化，f ′(x )和f (x )的变化情况如下：(2)因为对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3， 即bx ＋3≥－23x 3＋x 2＋4x －1，所以b ≤－23x 2＋x ＋4－4x .设h (x )＝－23x 2＋x ＋4－4x .则h ′(x )＝－43x ＋1＋4x2，因为x ∈[－2,0)，所以－43x >0，4x 2>0.所以h ′(x )>0.所以h (x )在[－2,0)上单调递增．所以h min (x )＝h (－2)＝43.即b ≤43.故b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，43.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m ·⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋2ln x (m ∈R)．(1)若m ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)当m ＝1时，函数f (x )＝x －1x＋2ln x ，函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x 2＋2x ＋1x 2，∴f (1)＝0，f ′(1)＝4，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为4x－y －4＝0.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝mx 2＋2x ＋mx 2，当m ≥0时，f ′(x )>0在x ∈(0，＋∞)时恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当m <0时，①当m ≤－1时，f ′(x )≤0在x ∈(0，＋∞)时恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ②当－1<m <0时，由f ′(x )＝0得x 1＝－1＋1－m 2m ，x 2＝－1－1－m 2m，且0<x 1<x 2，f (x )在上单调递增．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 3－x －x . (1)判断f xx的单调性； (2)求函数y ＝f (x )的零点的个数；(3)令g (x )＝ax 2＋ax f x ＋x＋ln x ，若函数y ＝g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内有极值，求实数a 的取值范围．解：(1)设φ(x )＝f x x ＝x 2－1－1x(x >0)， φ′(x )＝2x ＋12x3>0， 所以y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知φ(1)＝－1，φ(2)＝3－12>0且y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，所以y ＝φ(x )在(1,2)上有一个零点，又f (x )＝x 3－x －x ＝x φ(x )，显然x ＝0是f (x )＝0的一个零点，所以y ＝f (x )在[0，＋∞)上有两个零点．(3)因为g (x )＝ax 2＋ax f x ＋x＋ln x ＝ax 2＋ax x 3－x ＋ln x ＝ax －1＋ln x ，所以g ′(x )＝－ax －2＋1x＝x 2－＋a x ＋1x －2x，设h (x )＝x 2－(2＋a )x ＋1，则h (x )＝0有两个不同的根x 1，x 2，且一根在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内，不妨设0<x 1<1e，由于x 1·x 2＝1，所以，x 2>e ，由于h (0)＝1，则只需h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <0，即1e 2－(2＋a )1e ＋1<0，解得a >e ＋1e －2，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e －2，＋∞.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用：模块综合检测 Word版含解析
由表格中数据的散点图分析，y 与 x 线性相关，且回归方程为^y＝0.95x＋a，则 a＝
________.
15．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形， 按如图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截 面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN，如果用 S1，S2，S3 表示三个 侧面面积，S4 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．
nn＋1 2
C．n(n＋1)
D．n(n＋1)f(1)
12．如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给 A，B，C，D 四 个维修点某种配件各 50 件，在使用前发现需将 A，B，C，D 四个维修点的这批配件分别调 整为 40,45,54,61 件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调 动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 n)为( )
A．2n B．n2 C．22(n－1) D．nn
10．下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量 a 的性质|a|2＝a2 类
比得到复数 z 的性质|z2|＝z2；③方程 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不同实数根的条件是
b2－4ac>0 可以类比得到：方程 az2＋bz＋c＝0(a，b，c∈C)有两个不同复数根的条件是 b2－
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．用反证法证明：“a>b”，应假设( )
A．a>b
B．a<b
C．a＝b
D．a≤b
4．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段
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模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i2．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋3i ，则复数z ＝z 1z 2在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．用反证法证明：“a >b ”，应假设( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝b D ．a ≤b4．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定6．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在如图所示的程序框图中，输入a ＝11π6，b ＝5π3，则输出c ＝( )A.33B. 3 C ．1 D ．0 8．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．1009．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋ax n ≥n ＋1，则a的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n－1)D ．n n10．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2＝a 2类比得到复数z 的性质|z 2|＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )有两个不同实数根的条件是b 2－4ac >0可以类比得到：方程az 2＋bz ＋c ＝0(a ，b ，c ∈C )有两个不同复数根的条件是b 2－4ac >0；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到的结论错误的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④11．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f ⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)2C ．n (n ＋1)D ．n (n ＋1)f (1)12．如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A ，B ，C ，D 四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A ，B ，C ，D 四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为( )A ．15B ．16C ．17D ．18二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知复数z ＝m ＋i1＋i (m ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则m 的值是________．14．已知x ，y 的取值如表：由表格中数据的散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ^＝0.95x ＋a ，则a ＝________.15．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．16．观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平方内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．18．(本小题12分)小流域综合治理可以有三个措施：工程措施、生物措施和农业技术措施．其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土．生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种，地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热．用结构图把“小流域综合治理”的措施与功能表示出来．19．(本小题12分)为研究大气污染与人的呼吸系统疾病是否无关，对重污染地区和轻污染地区作跟踪调查，得如下数据：20．(本小题12分)求证：对于任意的正实数a ，b ，c ，31a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c 3(当且仅当a＝b ＝c 时取等号)．21．(本小题12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2⎝⎛⎭⎫x ≠－1a ，a >0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1. (1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝[1－f (1)]·[1－f (2)]·…·[1－f (n )]，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }的通项．22．(本小题12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？答案1．解析：选C 因为(z －1)i ＝1＋i ，所以z ＝1＋ii＋1＝2－i.2．解析：选D 复数z ＝z 1z 2＝2＋i 1＋3i ＝(2＋i )(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝12－12i ，z 对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－12位于第四象限．3．解析：选D 因为“a >b ”的反面就是“a <b 或a ＝b ”，所以选D. 4．解析：选D 由“三段论”的推理形式可知D 正确． 5．解析：选C P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ， Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， 由于a 2＋7a <a 2＋7a ＋12， 所以2a 2＋7a <2a 2＋7a ＋12， 从而P 2<Q 2，即P <Q .6．解析：选B 由题可知若x 0＝x ，y 0＝y ，由回归直线的性质可知(x 0，y 0)满足回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，但满足回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的除(x ，y )外，可能还有其他样本点．7．解析：选A 由程序框图知，当输入a ＝11π6，b ＝5π3时，tan a ＝－33，tan b ＝－3，则tan a >tan b ．故输出c ＝|tan a |＝33. 8．解析：选B 由于1有1个，2有2个，3有3个，…，则13有13个，所以1～13的总个数为13(1＋13)2＝91，故第100个数为14.9．解析：选D 由归纳推理，知a ＝n n .10．解析：选C 因为复数z 中，|z |2为实数，z 2不一定为实数，所以|z |2≠z 2，故②错；当方程az 2＋bz ＋c ＝0(a ，b ，c ∈C )有两个不同复数根时，应设出复数根的表达式，利用复数相等的条件列关系式，故③错．11．解析：选D 由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2，知f (2)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)，f (3)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)，…，f (n )＝nf (1)，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1)＝n (n ＋1)2f (1)＝n (n ＋1)．12．解析：选B 法一：若AB 之间不相互调动，则A 调出10件给D ，B 调出5件给C ，C 再调出1件给D ，即可满足调动要求，此时共调动的件次n ＝10＋5＋1＝16；若AB 之间相互调动，则B 调动4件给C ，调动1件给A ，A 调动11件给D ，此时共调动的件次n ＝4＋1＋11＝16.所以最少调动的件次为16，故应选B.法二：设A 调动x 件给D (0≤x ≤10)，则调动了(10－x )件给B ，从B 调动了5＋10－x ＝(15－x )件给C ，C 调动出了15－x －4＝(11－x )件给D ，由此满足调动需求，此时调动件次n ＝x ＋(10－x )＋(15－x )＋(11－x )＝36－2x ，当且仅当x ＝10时，n 取得最小值16.13．解析：z ＝ m ＋i 1＋i ＝(m ＋i )(1－i )2＝m ＋12＋(1－m )i2，∴m ＋12＝0，且1－m2≠0. ∴m ＝－1. 答案：－114．解析：因为(x ，y )必在直线y ^＝0.95x ＋a 上， 又x ＝0＋1＋3＋44＝2，y ＝2.2＋4.3＋4.8＋6.74＝92，所以92＝0.95×2＋a ，所以a ＝2.6.答案：2.6 15．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 24＝S 21＋S 22＋S 23.答案：S 24＝S 21＋S 22＋S 2316．解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．答案：43n (n ＋1)17．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2abi ， 所以2ab ＝2.所以a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1， 即z ＝－1＋i 或z ＝－1－i .(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i )＝2i ，z －z 2－1－i ，所以点A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1；当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i )2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. 所以点A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， 所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.即△ABC 的面积为1. 18．解：19．解：假设H 0：大气污染与人的呼吸系统疾病无关． 由公式得k ＝3 000×(103×1 487－1 397×13)2116×2 884×1 500×1 500≈72.636.因为72.636>10.828，所以拒绝H 0，即我们在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为大气污染与人的呼吸系统疾病有关． 20．证明：对于任意正实数a ，b ，c ， 要证31a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c 3成立，只需证9≤(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ， 即证9≤3＋a b ＋a c ＋b a ＋b c ＋c a ＋c b ，即证6≤⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ＋⎝⎛⎭⎫a c ＋c a ＋⎝⎛⎭⎫b c ＋c b (*) 因为对于任意正实数a ，b ，c ，有a b ＋b a ≥2a b ·ba＝2， 同理a c ＋c a ≥2，b c ＋cb≥2，所以不等式(*)成立，且要使(*)的等号成立必须b a ＝a b 且c a ＝a c 且b c ＝c b .即当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．21．解：(1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1代入f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝34×⎝⎛⎭⎫1－19＝23， x 3＝23×⎝⎛⎭⎫1－116＝58， x 4＝58×⎝⎛⎭⎫1－125＝35， (3)由(2)，得x 1＝34，x 2＝23，x 3＝58，x 4＝35，可变形为34，46，58，610，…，从而可归纳出{x n }的通项x n ＝n ＋22(n ＋1).22．解：(1)设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A 表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．基本事件总数为10，事件A 包含的基本事件数为4. 所以P (A )＝410＝25，所以P (A )＝1－P (A )＝35.(2)x ＝12，y ＝27，∑i ＝13x i y i ＝977，∑i ＝13x 2i ＝434，所以b ^＝∑i ＝13x i y i －3x －y －∑i ＝13x 2i －3x －2＝977－3×12×27434－3×122＝2.5，a ^＝y －b ^x －＝27－2.5×12＝－3， 所以y ^＝2.5x －3.(3)由(2)知：当x ＝10时，y ^＝22，误差不超过2颗； 当x ＝8时，y ^＝17，误差不超过2颗． 故所求得的线性回归方程是可靠的．。