点击线性规划交汇型问题
线性规划例题和知识点总结
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
下面通过一些例题来帮助大家更好地理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值问题。
线性约束条件通常是由一组线性等式或不等式组成。
例如：＄2x ＋3y ≤ 12$，＄x y ≥ 1$等。
目标函数一般表示为$Z ＝ ax ＋ by$的形式，其中$a$、＄b$为常数，＄x$、＄y$为决策变量。
可行解是满足所有约束条件的解，可行域是所有可行解构成的集合。
最优解则是使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
二、线性规划的例题例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品 1 件需消耗 A原料 3 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 件需消耗 A 原料 2 千克、B 原料 4 千克。
A 原料有 12 千克，B 原料有 16 千克。
甲产品每件利润为 5 元，乙产品每件利润为 8 元，问该工厂应如何安排生产，才能使利润最大？设生产甲产品$x$件，生产乙产品$y$件。
则约束条件为：＄＼begin{cases}3x ＋2y ≤ 12 ＼＼ 2x ＋4y ≤ 16 ＼＼x ≥ 0, y ≥0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 5x ＋ 8y$画出可行域，通过解方程组找到可行域的顶点坐标，分别代入目标函数计算，可得当$x ＝ 2$，＄y ＝ 3$时，利润最大为$34$元。
例 2：某运输公司有两种货车，每辆大型货车可载货 8 吨，每辆小型货车可载货 5 吨。
现要运输 60 吨货物，且大型货车的使用成本为每次 100 元，小型货车的使用成本为每次 60 元，问如何安排车辆才能使运输成本最低？设使用大型货车$x$辆，小型货车$y$辆。
约束条件为：＄＼begin{cases}8x ＋5y ≥ 60 ＼＼x ≥ 0, y ≥ 0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 100x ＋ 60y$画出可行域，计算顶点坐标代入目标函数，可知当$x ＝ 5$，＄y ＝4$时，成本最低为$740$元。
线性规划总结
线性规划题型总结知识点（1）在坐标系中画不等式Ax＋By＋C>0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式Ax＋By＋C≥0(或≤0)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线．（2际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；三是在可行域内求目标函数的最优解．（3）．确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点（x0，y0），把它代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，则和(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax＋By＋C>0所表示的区域，当C≠0时，常取特殊点（0，0）为代表，当C＝0时，直线过（0，0），常选（1，0）或（0，1）加以判断．这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”．（4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内的点且平行于ax＋by＝0的直线中，找出对应于t最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解．题型一：给出具体的变量,x y满足约束条件，求线性目标函数的最值。
常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。
例1、已知变量,x y满足约束条件241yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y=+的最大值为( )【解析】选B约束条件对应ABC∆边际及内的区域：53 (2,2),(3,2),(,)22 A B C则3[8,11] z x y=+∈例2、若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围为_____【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]-约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C则[3,0]t x y =-∈-练习题：1、设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为（D ）.A ．20B ．35C ．45D ．552、若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为 。
线性规划问题的图解法
如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规 划模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是 某些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应 重新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
注意，对于无界可行域的情况，也可能有唯一
最优解或无穷多个最优解。
x1 2x2 ≤8 代表一个半平面
其边界: x1+2 x2 =8
x1+2 x2 =8 及x1，x2 ≥0
x2 B
Q4
3
2
x12x28
△ AOB
点A、B 连线AB △A0B
1
A x1
0 1 2345678
经济含义 ？
点A(8,0)：
全部的设备都用来生产Ⅰ产品而不生产Ⅱ 产品,那么Ⅰ产品的最大可能产量为8台,计 算过程为： x1+2×08 x18
maxZ2x13x2
x1 2 x2 ≤ 8
4
4
x1 x2
≤ ≤
16 12
x 1 , x 2 ≥ 0
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x12x28
A
D
x1
0
1 2345 678
结果
有唯一最优解 可行域是一个非空有界区域
讨论 可行域有几种可能 ? 解有几种可能 ?
结果表明，该线性规划有无穷多个 最优解－－线段AB上的所有点都是最优
点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。
无界解
maxZx1x2
x
2
1
x
1
x2
例谈利用导数研究与函数交汇的问题
例谈利用导数研究与函数交汇的问题函数是高考考查能力的重要素材，以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重，充分显示了函数与导数的主干知识地位．导数为研究函数的性质提供了简单有效的方法．利用导数研究与函数相关的问题，通常有规范的方法，利用导数研究函数的性质，如单调性、对称性、极值、最值等，具有较强的可操作性．一、利用导数的几何意义研究函数间的距离等问题函数y=f（x）在点x０处的导数f ′（x０）表示曲线y=f（x）在该点处切线的斜率．如果曲线y=f（x）在点x０处可导，则曲线y=f（x）在点（x０，f ′（x０））处的切线与法线的方程为：y －y０=f ′（x０）（x－x０）．例1．（2012年高考浙江卷理，16）定义：曲线c上的点到直线ｌ的距离的最小值称为曲线c到直线ｌ的距离．已知曲线c1：y ＝x2＋a到直线ｌ：y＝x的距离等于曲线c2：x2＋（y＋4）2＝2到直线ｌ：y＝x的距离，则实数a＝______________．【评析】导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线y＝f（x）的切线，并进一步将导数融合到函数与平面几何的交汇问题中．二、利用导数研究函数与线性规划交汇的问题线性规划除解决实际问题外，它还能“以形助数”把抽象的符号语言转化为直观的图形语言，并借助“形”的几何直观性来阐明“数”的抽象性，因而兼有数的抽象和形的直观，从而体现了数学的应用性、工具性特点．例2.（2012年高考陕西卷理，14）设函数f（x）＝lnx，x>0-2x-1，x≤０，ｄ是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（１，０）处的切线所围成的封闭区域，则z=x-2y在ｄ上的最大值为．【评析】本题以分段函数为载体，利用导数求切线方程、简单线性规划问题，考查综合应用知识解决问题的能力．三、利用导数研究函数与方程（零点）交汇的问题利用导数性质分析函数零点是近年来高考命题的热点题型，其实质上就是对函数极值、最值知识掌握应用情况的进一步考查．例3．（2012年高考福建卷文，22）已知函数f（x）＝axsinx-■（a∈ｒ）且在［１，■］上的最大值为■．（i）求函数f（x）的解析式；（ii）判断函数f（x）在（０，π）内的零点个数，并加以证明．【分析】当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该等式恒成立，从而把函数最值问题转化为恒成立问题，而利用导数求函数最值是解决恒成立问题的一种重要方法．零点个数的判定主要是依据零点存在定理．【评析】给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式．在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤为重要．四、利用导数研究函数与数列交汇的问题数列作为实质意义上的函数，利用导数研究数列的单调性及最值问题比用传统方法更为简便.在解决导数背景下的数列问题时，充分利用函数性质和目标式的结构特点，仔细观察，大胆尝试，就一定能找到数列与函数式之间的联系，为成功解题找到合理方法．例4.（2012年高考四川卷理，22）已知a为正实数，n为自然数，抛物线y=-x２＋■与x轴正半轴相交于点a，设f（n）为该抛物线在点a处的切线在y轴上的截距．（ⅰ）用a和n表示f（n）；（ⅱ）略；（ⅲ）当0【分析】本题第（ⅰ）问较基础常规，而第（ⅲ）问貌似不等式问题，但其实质还是函数问题，我们可以借助函数的图象和性质，比较直观地从几何的角度来判断两者的大小问题．【评析】本题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力．主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次地考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法．五、利用导数研究函数与不等式交汇的问题证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性．由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式．例5．（2012年高考辽宁卷文，21）设f（x）＝lnx+■-1，证明：（ⅰ）当x＞1时，f（x）＜■（x－１）；（ⅱ）当１＜x＜３时，f（x）＜■.【分析】本题可直接由所证不等式构造函数，讨论其单调性、最值，从而达到证明不等式的目的．【评析】证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的不等式通过构造函数转化为f（x）>0（或f（x）<0），再通过求f（x）的最值，实现对不等式证明，导数应用为解决此类问题开辟了新的路子，使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法，彰显导数方法运用的灵活性、普适性．由上可知，导数思想方法具有程序化、易掌握的显著特点，它是一种有力的工具，可以作为解决函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最大（小）值等基本方法.导数的广泛应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的捷径，成为沟通函数与线性规划、方程零点、不等式、数列、平面几何等问题的一座桥梁.我们要意识到导数工具的重要性，多下工夫进行突破，为今后的深入学习与研究打下坚实的基础．（作者单位福建省安溪第八中学）。
6种线性规划的常见问题
6种线性规划的常见问题
今天的内容是高二不等式部分的线性规划问题。
这个问题高考通常出现在选填题，虽然只考查5分，但难度不大，同学们要争取拿下！
问题一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
点评：本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题。
问题二：已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
点评：此题主要考查简单的线性规划问题，是一道基础题，要学会画图，理解目标函数的几何意义。
问题三：已知平面区域，考查约束条件
点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是根据图形利用一次函数与一元一次不等式的关系正确解答。
问题四：已知最优解，求约束条件中的参数
点评：如果约束条件中含有参数，先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．
问题五：设计线性规划，求平面平面区域的面积
问题六：线性规划中的整点最优解问题
点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中。
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线性规划问题
以上约束方程组有无穷多个解，单纯形法就是 确定这些解的过程
.(1)初始单纯形表: X1 x2 x3 x4 x0
x3
x4
3
5
4
4
1
0
0
1
36
40
-32
-30
0
0
0
在初始单纯形表中，横线上以上部分即为约束方程组
的增广矩阵，而横线以下的这一行由目标函数的系数
组成（注意到目标函数中未出现 x3和x4 及常数项，
X1 X3 x1
0
0 1
x2
8 5 4 5
x3
1 0
x4
3 5 1 5
x0 12 8 256
22 5
0
32 5
对这张单纯形表，横线以上部分对应与原 约束方程组同解的方程组，此时等价地将 原规划问题变为如下问题：
22 32 min z 256 x2 x4 . 5 5
第二节:线性规划的解法 一、几个概念
对线性规划问题称满足全部约束条件的解为线 性规划问题的可行解，全部可行解的集合称为 可行域。使目标函数取最小值的可行解，称为 最优解，此时目标函数的最小值称为最优值。 一般讲,线性规划问题可行解有无穷多个,要从中 找出最优解也是很困难的。通常线性规划问题 的可行域的顶点只有有限多个,将这些点的的标 函数值全算出也是可以的.一般对于两个变量线 性规划问题进行图解法。
3x1 4 x 2 x3 36, 5x1 4 x 2 x 4 40;
以上可以得到问题的标准形 min z 32x 30x .
1 2
s.t.
3x1 4 x2 x3 36 5 x1 4 x2 x4 40 x 0 ( j 1,2,3,4) j
简单线性规划问题的类型与解法
简单线性规划问题的类型与解法简单线性规划问题就是在线性约束条件下，求目标函数最优解的数学问题。
纵观近几年的高考，简单线性规划问题是高考的热点问题，基本上每卷都有一个五分小题。
归结起来简单线性规划问题主要包括：①在线性约束条件下，求目标函数的最值；②含有参数的简单线性规划问题；③简单线性规划的应用问题等几种类型，各种类型具有各自的结构特征，简单方法也各不相同，那么在实际解答解答线性规划问题时，如何抓住问题的结构特征，快捷、准确地实施解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、设变量x 、y 满足约束条件x+2y-5≤0 则目标函数Z=2x+3y+1的最大值为（ ）x-y-2≤0A 11B 10 X ≥0C 9D 8.5【解析】【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法。
【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法就可得出结果。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，Q 由 x+2y-5=0，得到 x=3，∴A （3，1），B （2，0）， x-y-2=0， y=1, C （5，0）， ⇒当目标函数z=2x+3y+1经过点C （5，0）时， z=2⨯5+3⨯0+1=10+1=11为最大，⇒A 正确，∴ 选A 。
x-y+1≤2、实数x 、y 满足 x ＞0 (1)若z=y x，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； y ≤2 （2）若z= 22x y +，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围。
【解析】【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法。
【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法分别求出最大值和最小值，就可得出目标函数的取值范围。
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选 C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330mm+>⎧⎨-<⎩,故0＜m＜3，选 C七、比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
三类线性规划问题的解法
思路探寻在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题就叫做线性规划问题.对于线性规划问题来说，如何把问题转变成与几何图形有关的最值问题是解题的关键.常见的线性规划问题有三类：截距问题、斜率问题、距离问题.下面我们结合实例来探讨这三类问题的解法.一、截距问题对于z =ax +by 型的目标函数，我们常将函数z =ax +by 转化为直线的斜截式：y =-a b x +z b，通过求可行域内直线的纵截距zb的最值，从而求出z 的最值.一般地，若b >0，则纵截距取最大值时，z 也取最大值；纵截距取最小值时，z 也取最小值.若b <0，则纵截距取最大值时，z 取最小值；纵截距取最小值时，z 取最大值．例1.如果实数x ，y 满足不等式组ìíîïïx +y ≥2，2x -y ≤4x -y ≥0，，那么2x +3y 的最小值为______.解：根据题意画出如图1所示的图形，阴影部分为可行域.设z =2x +3y ，则y =-23x +z ，在可行域内移动该直线，当直线y =-23x +z 过点()2,0时直线的纵截距最小，此时z =2x +3y 取得最小值，即()2x +3y min =4.我们将目标函数变形为截距式，在可行域内找到直线y =-23x +z 的纵截距最小时的点，便可求得目标函数的最小值.图1图2图3二、斜率问题当遇到形如z =ay +bcx +d(ac ≠0)的目标函数时，我们一般要利用直线的斜率的几何意义来求最值，即将目标函数变形为z =a c ·y -(-b a)x -(-d c)的形式，这样就把问题化为求可行域内的点(x ，y )与点(-d c ,-ba)连线的斜率的最值.例2.已知函数f ()x =x 2-6x +5，且实数x ，y 满足不等式组{f ()x -f ()y ≥0，1≤x ≤5，那么y x 的最大值为______.分析：我们可直接将求yx的最大值转化为求点()x ,y 和点()0，0连线的斜率的最大值.根据约束条件画出可行域，找到点()x ,y ，便可解题.解：由f ()x -f ()y ≥0可得x 2-6x +5-(y 2-6y +5)≥0，即||x -3≥||y -3，画出如图2所示的图形，阴影部分即为可行域.可将yx看作直线OA 的斜率，当直线OA 经过点A时，其斜率最大，而点A 的坐标为A ()1,5，那么yx的最大值为5.三、距离问题若目标函数为z =(x －a )2＋(y -b )2，可将其视为两点间距离的平方，将问题转化为可行域内的点(x ,y )与点(a ,b )之间的距离的平方来求解即可.根据题意和可行域求得(a ,b )的坐标，便能根据两点间的距离公式快速求得目标函数的最值.例3.已知x ，y 满足条件ìíîïïx ≥1，x -y +1≤0，2x -y -2≤0，那么x 2+y 2的最小值为______.分析：我们需首先根据线性约束条件画出可行域，在可行域内找到一个点P ()x ,y ，使||OP 2最小，求得P 点的坐标，就能求出来x 2+y 2的最小值.解：如图3所示，图中的阴影和边界是符合条件的区域.由图3可知，B 点到原点的距离最小，此时x 2+y 2最小.联立方程{x -y +1=0，x =1，可得B ()1,2，所以||OP 2的最小值等于5，即x 2+y 2的最小值为5.由此可见，解答线性规划问题的思路是将目标函数转化为直线的斜截式方程、直线的斜率、两点间的距离的平方，然后在可行域内寻找使直线的纵截距、斜率、两点间的距离最大或最小的点，求得点的坐标，便可求得目标函数的最值.（作者单位：北京市中央民族大学附属中学）51Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
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点击线性规划交汇型问题
江苏省姜堰中学 张圣官（225500）
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，它在处理生产实际问题中的“最优化问题”时有很广泛的应用。
然而，当线性规划知识与其它数学知识交汇作用时，我们会发现线性规划真是一个得力的工具，它使我们解题时如虎添翼。
以下就来剖析几例线性规划交汇型问题。
1．与函数、不等式知识交汇
例1已知函数f(x)=ax 2+bx 满足1≤f(-1)≤2，且2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围。
错解：依题意，12243034)1(22)1(123
23
≤-≤⇒⎩
⎨⎧≤≤≤≤⇒⎩⎨⎧≤+=≤≤-=-≤b a b a b a f b a f ∴3≤f(-2)≤12 。
剖析：以上所求的范围是错误的。
因为f(-2)要取得12，必须要a=3与b=0同时取得才行，但此时f(-1)=3，不符合1≤f(-1)≤2；同样f(-2)也不能取得3（与2≤f(1)≤4矛
盾）。
仔细分析，原来以上解法在变形过程中将区域⎩⎨⎧≤+≤≤-≤422
1b a b a 变成了区域⎩⎨⎧≤≤≤≤2
3
2303b a 而导致了范围的扩大。
若建立坐标系aob ，应用线性规划知识很容易发现其中的错误，而且易
于求得f(-2)的准确取值范围应为[5，10]。
2．与方程根的分布知识交汇
例2已知关于t 的方程t 2+tx+y=0有两个绝对值都不大于1的实数根，则点P(x ,y)在坐标平面内所对应的区域的图形大致是…………………（ ）
解：依题意，方程有两个在区间[-1，1]上的实根，因而⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥++=≥+-=-≤-≤-≥-=∆0
1)1(01)1(110422y x f y x f y x x
在平面直角坐标系中作出可行域，即得答案为（A ）。
例3已知函数f(x)=ax 2+(b-1)x+1(a>0)与x 轴有两交点A （x 1，0）、B(x 2,0),满足|x 1|<2且x 1-x 2=4，求实数b 的范围。
解：∵f(x)=0两根之积为01>a ，且x 1-x 2=4， （1）若0<x 1<2，则-4<x 2<-2，不合题意，舍去； (2)若-2<x 1<0，则-6<x 2<-4，
由方程根的分布知识，得⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>=<-<->-01)0(0
)2(0
)4(0
)6(f f f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+->+-03240541607636b a b a b a
建立平面直角坐标系aob ，作出可行域，根据线性规划知识易得3
524
1
,>>b a , ∴所求实数b 的范围为（+∞
,35）。
评注：本题建立平面直角坐标系aob ，根据线性规划知识来解，有利于快速准确地求解。
3．与解三角形知识交汇
例4已知⊿ABC 的三边长a 、b 、c 满足b+c ≤2a ，c+a ≤2b ，则a c
的取值范围是______。
解：设y
x a c a b ==,(x,y>0)，则x y y x 21,2≤+≤+， 根据三角形三边关系定理得，|b-c|<a<b+c ，因此|x-y|<1<x+y ，
这样，x,y 满足的线性约束条件为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
+<<-≤+≤+>y
x y x x y y x y x 1||2120,，
在直角坐标系中作出以上x 、y 的不等式组表示的区域，则得0<y ≤1，
∴所求a c
的取值范围是]1,0(。
例5已知过点A （5,35）的直线L ：x=my+n 与x 轴和y 轴的正半轴分别交于B 、C
两点，若可行域⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥-+≤003y y x n
m y x 的外接圆直径为12，求n 。
解：作出可行域，则易知其即为⊿AOB （包括内部） ∵∠AOB=300，由正弦定理得，
120
30sin =AB ，∴AB=6，
过A 作AH ⊥OB 于H ，则OH=35，BH=1122=-AH AB
∴n=OH+BH=1135+ 。
4．与几何图形交汇
例6已知方程ax 2+bx+a=0(ab>0)的解集是Ф，则a 2+b 2-2b+1的取值范围是_________。
解：依题意，b 2-4a 2<0(ab>0)
建立直角坐标系aob ，作出满足题意的平面区域（在第一象限），
∵a 2+b 2-2b=2
22])1([-+b a ，∴问题即为求可行域内点到点（0，1）距离的平方
由于点（0，1）到直线b=2a 的垂直距离是
5
1，故本题结论为（+∞,51）。
例7实数x,y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y ，则1
1+-=
x y ϖ的取值范围是……（ ）
A ],1[31-
B ,[31
21-- C ),[21+∞- D )
1,[21- 解：视(x ，y)为坐标平面内的点，将1
-=
y ϖ理解为动点(x ，y)与定点（-1，1）连线的
斜率，则通过画出可行域易得结果为（D ）。
例8如果直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx+my-4=0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x+y=0
对称，则不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-≥+-000
1y m y kx y kx 所表示的平面区域面积是___________。
解：由几何意义的角度来考虑可获简解。
因为M 、N 关于直线x+y=0对称，而且M 、
N 在直线y=kx+1上，故k=1。
同时可得圆的圆心（2
2,m
k --）在直线x+y=0上，m= -1。
这样，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y m y kx y kx 就成了⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥+-000
1y y x y x
故所求平面区域面积是4
1 。
5．与概率知识交汇
例9．甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者等候另一
个人一刻钟，过时就离去。
那么两人见面的概率是多少？
解：以x 轴和y 要条件是|x-y|≤15(分钟)，如图，
由于(x,y)的所有可能结果是边长为60图中的阴影部分表示，记“两人能见面”为事件A ，因此，
两人见面的概率1676045602
2
2)(==
-A P
评注：显然，“以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时
例10．水池的容积是20m 3，向水池中注水的水龙头A 和水龙头B 它们在一昼夜内随机开0——24小时，求水池不溢出水的概率。
解：设水龙头A 开x 小时，水龙头B 开y 小时，显然x ≥0，y ≥0， 水池不溢出水，即x+y ≤20 （如图） 记“水池不溢出水” 为事件A ，则A 所占区域面积为200202021=⨯⨯整个区域的面积为5762424=⨯，由几何概型的概率公式，得 35.0)(200
≈=
A P
答：水池不溢出水的概率 0.35。