2022-2023学年浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是( )A. 必然事件B. 不确定事件C. 不可能事件D. 无法判断2. 二次函数y=x2−2x−3图像与y轴的交点坐标是( )A. (0,1)B. (0,−3)C. (−3,0)D. (1,0)3. 在不透明口袋中装有3个红色小球和4个黑色小球(只有颜色不同)，则从中摸出一个球为红色小球的概率是( )A. 13B. 47C. 37D. 344. 抛物线y=x2向左平移5个单位，再向下平移3个单位后，所得的抛物线表达式是( )A. y=(x−5)2−3B. y=(x−5)2+3C. y=(x+5)2−3D. y=(x+5)2+35. 如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是(精确到0.1)( )A. 0.4B. 0.5C. 0.55D. 0.66. 若A(−4,y1)，B(−l,y2)，C(2,y3)为二次函数y=−(x+2)2+k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y2<y1<y3D. y3<y1<y27. 同一根细铁丝可以折成边长为10cm的等边三角形，也可以折成面积为50cm2的长方形．设折成的长方形的一边长为x cm，则可列方程为( )A. x(10−x)=50B. x(30−x)=50C. x(30−2x)=50D. x(15−x)=508. 如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合(C、D均为格点，A的对应点是点C)，若点A的坐标为(−1,5)，点B的坐标为(3,3)，则旋转中心O点的坐标为( )A. (1,1)B. (4,4)C. (2,1)D. (1,1)或(4,4)9. 设一元二次方程(x+1)(x−3)=a(a>0)的两实数根分别为α，β且α<β，则α、β满足( )A. −1<α<β<3B. α<−1<3<βC. α<−1<β<3D. −1<α<3<β10. 已知二次函数y=(x−a)2+a−1(a为常数)，则对如下两个结论的判断正确的是( )①不论a为何值，函数图像的顶点始终在一条直线上；②当−1<x<2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为a≥2．A. 两个都对B. 两个都错C. ①对②错D. ①错②对二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 在同一平面内，已知圆的半径为2cm，一点到圆心的距离是3cm，则这点在______(填写“圆内”或“圆上”或“圆外”)．12. 学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为______．13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB.垂足为P.若CD=AP=8，则⊙O的半径为______．14. 抛物线y=a(x+1)(x−3)(a≠0)的对称轴是直线______ ．15. 在平面直角坐标系中，以点A(−2,3)为圆心、r为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，那么r的值为_．16. 已知二次函数y=−x2+2x+5，若P(n,y1)，Q(n−2,y2)是该二次函数图象上的两点，且y1>y2，则实数n的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题6.0分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为(0,2)，(−1,0)，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A1OB1．(1)画出△A1OB1；(2)直接写出点A1和点B1的坐标．18. (本小题8.0分)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c(b,c都是常数)的图象经过点(1,0)和(0,2)．(1)当−2≤x≤2时，求y的取值范围；(2)已知点P(m,n)在该函数的图象上，且m+n=1，求点P的坐标．19. (本小题8.0分)如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，BC⊥AC且OD//BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．(1)求证：点D为AC⏜的中点；(2)若DF=7，AC=24，求⊙O的直径．20. (本小题10.0分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2−2x+c的图象经过点C(0,−3)，与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)．(1)求二次函数的解析式及顶点坐标；(2)求A，B两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时，自变量x的取值范围．21. (本小题10.0分)为满足即将到来的春节市场需求，某超市购进一种品牌的食品，每盒进价为30元．根据往年销售经验发现：当售价定为每盒50元时，每天可卖出100盒，每降价1元，每天可多卖出10盒．超市规定售价不低于40元/盒，不高于50元/盒．(1)求每天的销售利润W(元)与每盒降价x(元)之间的函数关系式(注明自变量的取值范围)；(2)当每盒售价为多少元时，每天的销售利润最大？(3)若要使每天的销售利润不低于2090元，那么每盒的售价应定在什么范围？22. (本小题12.0分)已知y关于x的二次函数y=ax2−bx+2(a≠0)．(1)当a=−2，b=−4时，求该函数图象的对称轴及顶点坐标．(2)在(1)的条件下，Q(m,t)为该函数图象上的一点，若Q关于原点的对称点P也落在该函数图象上，求m的值．(3)当该函数图象经过点(1,0)时，若A(12,y1)，B(12+3a,y2)是该函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．23. (本小题12.0分)如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P．(1)判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．(2)当OD=√2时，求CP的长．(3)设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1−S2的最值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是不可能的，因而这是一个不可能事件．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念；一定不发生的事件叫不可能事件．2.【答案】B【解析】解：将x=0代入y=x2−2x−3得y=3，∴抛物线与y轴交点坐标为(0,3)，故选：B．将x=0代入解析式求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．3.【答案】C【解析】解：袋子中球的总数为3+4=7，红球有3个，则摸出红球的概率为3，7故选：C．红球的个数除以球的总数即为所求的概率本题主要考查概率公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】C【解析】解：将抛物线y=x2向左平移5个单位，再向下平移3个单位后，所得的抛物线表达式为y=(x+5)2−3，故选：C．根据左加右减，上加下减的平移变换规律求解即可．本题考查了二次函数图象的平移变换规律，熟练掌握二次函数图象平移变换规律是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据题意得：28÷50=0.56，60÷100=0.6，78÷150=0.52，104÷200=0.52，124÷250=0.496，153÷300=0.51，252÷500=0.504，由此，估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.5，故选：B．计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．6.【答案】D【解析】解：∵y=−(x+2)2+k，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−2，∵2−(−2)>−2−(−4)>−1−(−2)，∴y2>y1>y3．故选：D．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点A，B，C到对称轴的距离大小关系求解．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．7.【答案】D【解析】解：∵边长为10cm的等边三角形的周长为30cm，即铁丝的长度为30cm，∴设折成的长方形的一边长为x cm，则长方形的另一边长为(15−x)cm，∵长方形的面积为50cm2，∴x(15−x)=50．故选：D．先根据等边三角形的性质得到铁丝的长度为30cm，设折成的长方形的一边长为x cm，则长方形的另一边长为(15−x)cm，然后根据长方形的面积公式列方程即可．本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°.也考查了一元二次方程的应用．8.【答案】A【解析】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心，E(1,1)，故选：A．画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．9.【答案】B【解析】解：∵一元二次方程(x+1)(x−3)=0的解为x1=−1，x2=3，∴二次函数y=(x+1)(x−3)与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)．依照题意，画出函数图象，如图所示．观察图形，可知：α<−1<3<β．故选：B．依照题意，画出图形，利用数形结合，即可得出α、β满足的条件．本题考查了一元二次方程的解，依照题意，画出图形是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵y=(x−a)2+a−1，∴抛物线顶点坐标为(a,a−1)，∴抛物线顶点在直线y=x−1上，①正确．∵抛物线开口向上，顶点坐标为(a,a−1)，∴x<a时，y随x增大而减小，x>a时，y随x增大而增大，∵当−1<x<2时，y随x的增大而增大，∴a≤−1，②不正确．故选：C．由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，从而判断①，由抛物线开口方向及顶点坐标可得y随x增大而增大时x的取值范围，从而判断②．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．11.【答案】圆外【解析】解：∵2<3，∴点在圆外，故答案为：圆外．根据点和圆的位置关系得出即可．本题考查了点和圆的位置关系，能熟记点和圆的位置关系的内容是解此题的关键．12.【答案】13【解析】解：列表如下(三辆车分别用1，2，3表示)：所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，则P=39=13．故答案为：13．列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．此题考查了利用树状图求概率；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．13.【答案】5【解析】解：如图，连接OC．∵AP=8，∴AP=OA+OP=OC+OP=8．设OP=x，则OC=8−x．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB.垂足为P，∴CP=12CD=4．在Rt△OCP中，∠OPC=90°，∴OP2+CP2=OC2．∴(8−x)2=x2+42．∴x=3．∴OC=8−x=5．∴⊙O的半径为5．故答案为：5．如图，连接OC.设OP=x，则OC=8−x，根据垂径定理，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB.垂足为P，得CP=12CD=4.再根据勾股定理，在Rt△OCP中，∠OPC=90°，得(8−x)2=x2+42，从而求得x，进而解决此题．本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．14.【答案】x=1【解析】解：y=a(x+1)(x−3)=ax2−2ax−3a由公式x=−b得，2a抛物线的对称轴为x=1．先把抛物线的方程变为y=ax2−2ax−3a，由公式x=−b得抛物线的对称轴为x=1．2a．本题考查抛物线的对称轴的求法，同学们要熟练记忆抛物线的对称轴公式x=−b2a15.【答案】3或√13【解析】解：∵点A坐标为(−2,3)，∴点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，当⊙A与x轴相切时，与y轴有2个交点，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时r=3；当⊙A经过原点时，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时r=√22+32=√13，综上所述，r的值为3或√13．故答案为3或√13．利用点A的坐标得到点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，根据直线与圆的位置关系，当⊙A与x轴相切时，满足条件，易得此时r=3；当⊙A经过原点时，满足条件，利用勾股定理计算出此时r的值．本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d>r．16.【答案】n<2【解析】解：∵P(n,y1)，Q(n−2,y2)是函数y=−x2+2x+5的图象上的两点，且y1>y2，∴−n2+2n+5>−(n−2)2+2(n−2)+5，化简整理得，4n−8<0，∴n<2，∴实数n的取值范围为n<2．故答案为：n <2．将n ，n −2代入二次函数解析式即可得出n 的取值范围．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意列出不等式是解题的关键．17.【答案】解：(1)如图，△A 1OB 1即为所求．(2)由图可得，点A 1的坐标为(2,0)，点B 1的坐标为(0,1)．【解析】(1)根据旋转的性质作图即可．(2)由图可得出答案．本题考查作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．18.【答案】解：(1)将(1,0)，(0,2)代入y =x 2+bx +c 得：{1+b +c =0c =2， 解得：{b =−3c =2， ∴这个函数的解析式为：y =x 2−3x +2=(x −32)2−14； 把x =−2代入y =x 2−3x +2得，y =12，∴y 的取值范围是−14≤y ≤12； (2)∵点P(m,n)在该函数的图象上，∴n =m 2−3m +2，∵m +n =1，∴m 2−2m +1=0，解得m =1，n =0，∴点P 的坐标为(1,0)．【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，求得解析式上解题的关键．(1)利用待定系数法求二次函数解析式，然后利用二次函数的性质得出函数值的取值范围；(2)根据题意得出n=1−m，再根据点在函数图象上，联立方程，解方程即可求得．19.【答案】解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD//BC，∴∠OFA=90°，∴OF⊥AC，∴AD⏜=CD⏜，即点D为AC⏜的中点；(2)∵OF⊥AC，AC=12，∴AF=12∵DF=7，∴OF=OD−DF=OA−7，∵OA2=AF2+OF2，∴OA2=122+(OA−7)2，∴OA=193，14∴⊙O的直径为193．7【解析】(1)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为AC⏜的中点；(2)根据垂径定理得到AF=1AC=12，根据勾股定理即可得到结论．2本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．20.【答案】解：(1)将C(0,−3)代入y=x2−2x+c得，c=−3，∴y=x2−2x−3，∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴顶点坐标为(1,−4)；(2)令y=0得x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3，∴A(−1,0)，B(3,0)，∴当y>0时，自变量x的取值范围是x<−1或x>3．【解析】(1)将点C的坐标代入二次函数y=x2−2x+c，求出c=−3，则可求出抛物线的解析式，由解析式可求出顶点坐标；(2)令y=0，求出x=−1或x=3，则可求出A，B的坐标，由图象可求出自变量x的取值范围．本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点，解题的关键是确定函数图象与x轴的交点．21.【答案】解：(1)W=(100+10x)(50−30−x)=−10x2+100x+2000(0≤x≤10)；(2)对解析式进行配方，得W=−10x2+100x+2000=−10(x−5)2+2250．∵−10<0，∴当x=5时，W最大=2250，答：当每盒售价定为45元时，每天的利润最大；(3)由−10(x−5)2+2250=2090，解得x1=1，x2=9，根据函数图象可知，1≤x≤9时，W大于或等于2090，答：每盒的售价不高于49元，不低于41元．【解析】(1)销售利润=销售一盒的利润×销售量，每盒降价x元，每盒的利润减少x元，向量增加10x 元，据此解答；(2)将上步所得函数关系式化为顶点式，可得W=−10(x−5)2+2250，−10<0，根据二次函数的图象和性质即可解答；(3)由−10(x−5)2+2250=2090，得x1=1，x2=9，再结合二次函数的图象和性质即可解答．本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．22.【答案】解：(1)当a=−2，b=−4时，y=−2x2+4x+2=−2(x−1)2+4，∴该函数图象的顶点坐标是(1,4)，对称轴为直线x =1；(2)点Q(m,t)关于原点对称的点的坐标P 是(−m,−t)，则{t =−2(m −1)2+4−t =−2(−m −1)2+4， 解得，m =±1；(3)∵函数的图象经过点(1,0)，∴0=a −b +2，∴b =a +2，∵y =ax 2−bx +2，∴函数的对称轴为直线x =b 2a =a+22a =12+1a ， 当a >0时，12<12+1a <12+3a ，∵12+1a −12=1a ，12+3a −(12+1a )=2a ，A(12,y 1)，B(12+3a ,y 2)是该函数图象上的两点，∴y 2>y 1，当a <0时，12+3a<12+1a <12， ∵12−(1a +12)=−1a ，12+1a −(12+3a )=−2a ，A(12,y 1)，B(12+3a ,y 2)是该函数图象上的两点， ∴y 1>y 2．【解析】(1)将a 、b 的值代入函数解析式即可；(2)根据(1)中的结论，即可求得m 的值；(3)根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的数学思想即可求得y 1与y 2的大小．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、关于原点对称的点的坐标，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．23.【答案】解：(1)OA =OP ，理由是：如图1，过O 作OG ⊥AB 于G ，过O 作OH ⊥BC 于H ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABO=∠CBO，AB=BC，∴OG=OH，∵∠OGB=∠GBH=∠BHO=90°，∴四边形OGBH是正方形，∴BG=BH，∠GOH=90°，∵∠AOP=∠GOH=90°，∴∠AOG=∠POH，∴△AGO≌△PHO(ASA)，∴OA=OP；(2)如图2，过O作OQ⊥CD于Q，过O作OH⊥BC于H，连接OC，∴∠OQD=90°，∵∠ODQ=45°，∴△ODQ是等腰直角三角形，∵OD=√2，∴OQ=DQ=1，∵AD=CD，∠ADO=∠CDO，OD=OD，∴△ADO≌△CDO(SAS)，∴AO=OC=OP，∵OH⊥PC，∴PH=CH=OQ=1，∴PC=2；(3)如图3，连接OC，过O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，设OH=x，则DH=x，CH=OG=4−x，PC=2x，由(2)知：△AOD≌△COD，∴S△AOD=S△COD，∴S1−S2=S1−S△COD=S△POC=12⋅PC⋅OG=12⋅2x⋅(4−x)=−x2+4x=−(x−2)2+4，当x=2时，S1−S2有最大值是4．【解析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定等等知识的综合运用，熟练掌握正方形的性质是关键．(1)过O作OG⊥AB于G，过O作OH⊥BC于H，证明四边形OGBH是正方形，得BG=BH，∠GOH= 90°，再证明△AGO≌△PHO(ASA)，则OA=OP；(2)如图2，作辅助线，证明△ODQ是等腰直角三角形，得OQ=DQ=1，证明△ADO≌△CDO(SAS)，再由等腰三角形的性质可得PC的长；(3)如图3，作辅助线，构建三角形全等，设OH=x，则DH=x，CH=OG=4−x，PC=2x，根据S△AOD=S△COD，则S1−S2=S△POC=12⋅PC⋅OG=−x2+4x，配方后可得结论．。