浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2021-2022学年九年级12月学情调研数学试题

浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2021-2022学年九年级12月学情调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线232y x=-的顶点坐标是（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（2，0）D．（0，0）2．若14ba=，则a ba+=（）A．54B．45C．34D．433．下列说法正确的是（）A．同时投掷两枚相同的硬币，出现“一正一反”的概率是1 3B．事件“两个正数相加，和是正数”是必然事件C．数2和8的比例中项是4D．同一张底片洗出来的两张照片是位似图形4．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）A．3B．4C．5D．65．如图，已知AB为⊙O的直径，C，D是圆上AB同侧的两点，⊙ACD＝120°，则⊙BAD＝（）A．50°B．40°C．30°D．20°6．已知二次函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴没有交点，且过点A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y1＞y3B．y3＞y2＞y1C．y1＞y3＞y2D．y1＞y2＞y3 7．如图，在⊙ABC中，点D，E分别是AC和BC的中点，连接AE，BD交于点F，则下列结论中正确的是（）A ．DF DB ＝12 B ．CD CE DEAC BC AB ++++＝14C ．AFB ADBS S △△＝12D ．DEF CDE S S △△＝138．如图，取一张长为a ，宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a 、b 应满足的条件是（ ）A ．aB ．a ＝2bC ．a ＝b D ．a ＝4b9．设直线x ＝1是抛物线2y ax =+bx +c （a ，b ，c 是实数，且a ＜0）的对称轴，下列结论正确的是（ ）A ．若m ＞1，则（m ﹣1）a +b ＞0B ．若m ＞1，则（m ﹣1）a +b ＜0C ．若m ＜1，则（m +1）a +b ＞0D ．若m ＜1，则（m +1）a +b ＜010．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，OB ＝5，==AC CD DB ，点E 是点D 关于AB的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：⊙AC 的长度是53π；⊙⊙CED ＝12⊙DOB ；⊙DM ⊙CE ；⊙CM +DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 11．已知抛物线()21y x =+向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为____．12．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同100个球，某小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色，再把它放回，不断重复，下表是实验中记下的一组数据：试估计口袋中红球有_________个．13．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AB=2，则AP 的长为________14．如图，在半径为13的⊙O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB ＝CD ＝24，则OP 的长是 _____．15．在⊙ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，⊙AED ＝⊙B ，如果AB ＝2，⊙ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，那么AE 的长为 _____．16．二次函数23()4y x m m =-+，当232m x m -≤≤时，y 的最小值是1，则m 的值是_____．三、解答题 17．防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了甲、乙、丙三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．（1）小明从乙测温通道通过的概率是________；（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B（4，0）．（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标；（2）直接写出当y＜0时，x的取值范围．19．如图，在⊙ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是BE的中点．（1）求证：AB是圆的直径；（2）若AB＝8，⊙C＝60°，求阴影部分的面积．20．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝1 4DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：ABE DEF△△∽；（2）若正方形的边长为4，求FG的长．21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，G是AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．（1）求证：⊙ADG＝⊙F；（2）已知CD ＝6，BE ＝2，求⊙O 的半径长．22．已知二次函数(1)(3)y x x k =++．（1）若当1x =时，该函数有最小值，求k 的值．（2）若二次函数图象向上平移1个单位后与x 轴只有一个交点，求k 的值． （3）已知1k，当x m ≥时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．23．如图，在菱形ABCD 中，点E 在BC 边上（与点B 、C 不重合），连接AE 交BD 于点G ．（1）若AG ＝BG ，AB ＝2，BD ＝3，求线段DG 的长；（2）设BC ＝kBE ，⊙BGE 的面积为S ，⊙AGD 和四边形CDGE 的面积分别为S 1和S 2，把S 1和S 2分别用k 、S 的代数式表示； （3）求21S S 的最大值．参考答案：1．A【解析】【分析】根据函数的解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标．【详解】解：232y x=-，∴该抛物线的顶点坐标为(0,2)-，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，由顶点式可以直接写出顶点坐标是解答本题的关键．2．A【解析】【分析】根据比例的性质可得a=4b，然后代入即可求出结论．【详解】解：⊙14 ba=⊙a=4b⊙a ba+=44b bb+=54bb=54故选A．【点睛】此题考查的是比例的基本性质，掌握内项积等于外项积是解题关键．3．B【解析】【分析】根据概率的求法、随机事件、比例中项的概念、位似图形的概念判断即可．【详解】解：A、同时投掷两枚相同的硬币，出现“一正一反”的概率是12，本选项说法错误，不符合题意；B 、事件“两个正数相加，和是正数”是必然事件，本选项说法正确，符合题意；C 、数2和8的比例中项是±4，本选项说法错误，不符合题意；D 、同一张底片洗出来的两张照片是全等图形，不一定是位似图形，本选项说法错误，不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查的是概率、随机事件、比例中项、位似图形，掌握它们的概念和性质是解题的关键． 4．D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d ，已知点P 在圆外，则d>r.解：当点P 是⊙O 外一点时，OP>5cm ，A 、B 、C 均不符. 故选D.“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 5．C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得出60ABD ∠=︒，根据直径所对的圆周角是90︒得90BDA ∠=︒，进而利用互余得出BAD ∠的度数即可． 【详解】 解：AB 为O 的直径，C ，D 是圆上AB 同侧的两点，180********ABD ACD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，90ADB ∠=︒，906030BAD ∴∠=︒-︒=︒，故选：C ． 【点睛】本题考查圆周角定理的应用，要熟练掌握直径所对的圆周角是90︒是解答此题的关键． 6．B 【解析】【分析】由二次函数21y ax bx =++知1c =，即二次函数和y 轴交于点(0,1)，而函数图象与x 轴没有交点，故抛物线开口向上，点B 、C 的纵坐标相同，则二次函数函数的对称轴为直线1(31)12x =⨯-+=-，再根据点离二次函数对称轴的距离的大小情况，即可求解． 【详解】解：由二次函数21y ax bx =++知1c =，即二次函数和y 轴交于点(0,1)， 而二次函数图象与x 轴没有交点，故抛物线开口向上，点B 、C 的纵坐标相同，则二次函数的对称轴为直线1(31)12x =⨯-+=-， 而点离函数对称轴的距离从大到小的顺序是D 、B （C ）、A ， 故321y y y >>， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解题的关键． 7．D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：⊙点D ，E 分别是AC 和BC 的中点， ⊙11,,22DE AB CD AC ==1,2CE BC =DE ⊙BC ，⊙⊙DEF ⊙⊙BF A ， ⊙1,2DF DE BF AB == ⊙13DF DB =，故A 选项错误； ⊙1,2CD CE DE AC BC AB ++=++故B 选项错误；⊙⊙DEF ⊙⊙BAF ，⊙1,2EF DF AF BF == ⊙23FB BD =， ⊙2,3AFB ADB S S ∆∆=故C 选项错误； ⊙12EF DF FA BF == ⊙12DEF DAF S S ∆∆= ⊙13DEF ADE S S ∆∆= ⊙D 为AC 的中点， ⊙AD =CD ⊙ADE CDE S S ∆∆= ⊙13DEF CDE S S =△△，故D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 8．B 【解析】 【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b ，宽为14a ， 要使小长方形与原长方形相似，只要满足14ab b a =即可，⊙2a b =． 故选：B ． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．9．C 【解析】 【分析】利用二次函数对称轴以及a ＜0，求出b 与a 的关系式，再综合利用a 、m 的取值范围进行判断即可． 【详解】解：二次函数对称轴为直线12bx a=-=， 2b a ∴=-，当m ＞1时，由于3m -的正负未知，a ＜0， (1)(3)m a b m a ∴-+=-的正负无法判断．当m <1时，由于10m -<，a ＜0， (1)(1)0m a b m a ∴++=->．故选：C ． 【点睛】本题主要是考查了二次函数的对称轴公式以及同号异号的乘法，熟练掌握对称轴公式，求出b 与a 的关系式，是解决本题的关键． 10．C 【解析】 【分析】根据==AC CD DB 和点E 是点D 关于AB 的对称点，求出60DOB COD BOE ∠=∠=∠=︒，求出CED ∠，即可判断⊙⊙；根据圆周角定理求出当M 和A 重合时60MDE ∠=︒即可判断⊙；求出M 点的位置，根据圆周角定理得出此时DF 是直径，即可求出DF 长，即可判断⊙． 【详解】 解：==AC CD DB ，点E 是点D 关于AB 的对称点，∴BDBE ，1180603DOB BOE COD AOC ∴∠=∠=∠=∠=⨯︒=︒，∴AC 的长度是60551803ππ⋅⨯=， ∴⊙正确；1116030222CED COD DOB ∠=∠=⨯︒=︒=∠， ∴⊙正确；BE 的度数是60︒，∴AE 的度数是120︒，∴只有当M 和A 重合时，60MDE ∠=︒，30CED ∠=︒，∴只有M 和A 重合时，DM CE ⊥，∴⊙错误；作C 关于AB 的对称点F ，连接CF ，交AB 于N ，连接DF 交AB 于M ，此时CM DM +的值最短，等于DF 长，连接CD ，AC CD DB AF ===，并且弧的度数都是60︒，1120602D ∴∠=⨯︒=︒，1302CFD ∠==︒， 180603090FCD ∴∠=︒-︒-︒=︒，DF ∴是O 的直径，即10DF AB ==，CM DM ∴+的最小值是10，∴⊙正确；综上所述，正确的个数是3个．故选：C ．【点睛】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M 的位置是解此题的关键．11．()211y x =-+【解析】【分析】根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．【详解】解：抛物线()21y x =+向右平移2个单位，得到()()22121y x x =+-=-，再向上平移1个单位，得到()211y x =-+，故答案为：()211y x =-+．【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．12．75【解析】【分析】根据统计数据，当n 很大时，摸到红球的频率稳定在0.75附近，根据利用频率估计概率，可估计摸到红球的概率为0.75，然后利用概率公式计算红球的个数，从而可得答案．【详解】解：根据题意可得当n 很大时，摸到红球的频率将会稳定在0.75附近；∴ 摸到红球的概率是0.75, 则1000.75=75⨯（个），故答案为：75.【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．掌握以上知识是解题的关键．131或3【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段）叫做黄金比．注意AP 可能是较长线段，也可能是较短线段．【详解】 根据黄金分割的概念知，AP 可能是较长线段，也可能是较短线段．如果AP 为较长的线段时，AP AB 1；如果AP 为较短的线段时，AP =21）=31或3【点睛】本题考查了黄金分割的概念．特别注意这里的AP 可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值进行计算．14．【解析】【分析】作OM AB ⊥于M ，ON CD ⊥于N ，连接OB ，OD ，首先利用勾股定理求得OM 的长，然后判定四边形OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM 的长．【详解】解：作OM AB ⊥于M ，ON CD ⊥于N ，连接OB ，OD ，由垂径定理、勾股定理得：5OM ON =，弦AB 、CD 互相垂直，90DPB ∴∠=︒，OM AB ⊥于M ，ON CD ⊥于N ，90OMP ONP ∴∠=∠=︒∴四边形MONP 是矩形，OM ON =，∴四边形MONP 是正方形，OP ∴=故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，正确地作出辅助线，构造特殊四边形解决问题是解题的关键．15．43【解析】【分析】由AED B ∠=∠，A ∠是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得ADE ACB ，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到结论．【详解】解：A A ∠=∠，AED B ∠=∠，⊙ADE ACB ， ∴2ADE ACB S AE S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△， ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，ABC ∴的面积为9，∴232AE ， 43AE ∴=， 故答案为：43． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解题的关键．16．1或2-##-2或1【解析】【分析】 根据二次函数的性质可找出二次函数23()4y x m m =-+图象的对称轴为直线x m =，分23m m ≤-、232m m m -<<及2m m ≥三种情况考虑，当23m m ≤-时，代入23x m =-得到的关于m 的方程无实数解；当232m m m -<<时，代入x m =可求出1m =；当2m m ≥时，代入2x m =可求出2m =-．综上即可得出结论．【详解】 解：二次函数23()4y x m m =-+图象的对称轴为直线x m =． 当23m m ≤-，即3m ≥时，23x m =-时y 取最小值， ∴23(23)14m m m --+=， 方程无实数根；当232m m m -<<，即03m <<时，x m =时y 取最小值，1m ∴=；当2m m ≥，即0m ≤时，2x m =时y 取最小值， ∴23(2)14m m m -+=， 解得：12m =-，223m =（舍去）． 综上所述：m 的值为1或2-．故答案为：1或2-．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，熟悉相关性质，并利用分类讨论思想进行讨论是解题的关键．17．（1）13；（2）13【解析】【分析】（1）根据题意直接利用概率公式求解即可得出答案；（2）由题意先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算可得．【详解】解：（1）小明从乙测温通道通过的概率是13， 故答案为：13；（2）列表格如下：由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能，所以小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为39＝13. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18．（1）y ＝﹣x 2+2x +8，(1，9)；（2）x ＜﹣2或x ＞4．【解析】【分析】（1）把A 点和B 点坐标分别代入y =-x 2+bx +c 得到关于b 、c 的方程组，解方程组求出b 、c 的值，化为顶点式求出顶点坐标；（2）根据函数图象结合点A 、B 横坐标直接得到答案；【详解】解：（1）把A (﹣2，0)，B (4，0)代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得4201640b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得28b c =⎧⎨=⎩， ⊙抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +8，⊙y ＝﹣x 2+2x +8=-(x -1)2+9，⊙顶点坐标为：(1，9)；（2）由图象结合点A 、B 横坐标知，当x ＜﹣2或x ＞4时，y ＜0．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，利用函数图象解了不等式，待定系数法确定函数关系式等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用．19．（1）见解析；（2）83 【解析】【分析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的三线合一得到AD ⊙BC ，根据圆周角定理的推论证明； （2）连接OE ，根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：（1）连接AD ，⊙D 点是BE 的中点，⊙⊙BAD ＝⊙CAD ，又⊙AB ＝AC ，⊙AD ⊙BD ，⊙⊙ADB ＝90°，⊙AB 是⊙O 直径；（2）连接OE ，⊙⊙C ＝60°，AB ＝AC ，⊙⊙BAC ＝60°，⊙⊙AOE ＝60°，⊙⊙BOE ＝120°，⊙⊙OBE ＝30°，⊙AB ＝8，⊙OB ＝4，⊙S 阴影＝S 扇形AOE +S △BOE ＝2604123602π⨯+⨯⨯83 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．20．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得AD ＝AB ＝DC ＝BC ，90AD ∠∠︒＝＝，然后根据对应边成比例且夹角相等可判定ABE DEF △△∽；（2）通过证明DEF CGF ∽，可得ED DF CG CF =，根据DF ＝14DC 可得CF ＝3，CG ＝6，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）证明：⊙四边形ABCD 为正方形，⊙AD ＝AB ＝DC ＝BC ，90A D ∠∠︒＝＝，⊙AE ＝ED ， ⊙AE AB＝12， ⊙DF ＝14DC ， ⊙DF DE ＝12， ⊙AE DF AB DE=， ⊙ABE DEF △△∽；（2）⊙四边形ABCD 为正方形，⊙//ED BG ，⊙DEF CGF ∽， ⊙ED DF CG CF=， 又⊙DF ＝14DC ，正方形的边长为4， ⊙DF ＝1，ED ＝2，⊙CF ＝3，CG ＝6，⊙GF＝【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理；关键在于用三角形相似的性质建立等式求解．21．（1）证明见解析；（2）134．【解析】【分析】（1）连接BG，根据圆周角定理得到90AGB AEF∠=∠=︒，根据余角的性质得到B F∠=∠，等量代换得到结论；（2）连接OD，设O的半径为r，根据垂径定理得到132DE CE CD===，根据勾股定理结论得到结论．【详解】（1）证明：连接BG，AB是O的直径，弦CD AB⊥，90AGB AEF∴∠=∠=︒，90BAG B EAF F∴∠+∠=∠+∠=︒，B F∴∠=∠，ADG B∠=∠，ADG F∴∠=∠；（2）解：⊙连接OD，设O的半径为r，OD OB r∴==，2BE=，2OE r∴=-，CD AB⊥，132DE CD ∴==， 在Rt ODE ∆中，222OD DE OE =+，222(2)3r r ∴=-+， 解得：134r =， O ∴的半径长为134． 【点睛】 本题考查的是垂径定理，圆周角定理和勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．22．（1）1k =-；（2）13-或1；（3）0（答案不唯一）． 【解析】【分析】（1）先二次函数的解析式化为一般式，写出抛物线的对称轴方程，利用二次函数的性质得到3122k +-=，然后解方程即可； （2）写出平移后的抛物线解析式，再利用判别式的意义得到⊙2(31)4(34)0k k =+-+=，然后解关于k 的方程；（3）利用1k 和二次函数的性质得到当2x -时，y 随着x 的增大而增大，从而得到2m ≥-．【详解】解：（1）2(31)3y x k x k =+++，10a =>，∴当312k x +=-时，y 有最小值， 即3112k +-=， 解得1k =-；（2）二次函数图象向上平移1个单位所得抛物线解析式为2(31)31y x k x k =++++，根据题意得2(31)4(31)0k k ∆=+-+=，解得113k =-，21k =， k ∴的值为13-或1；（3）抛物线2(31)3y x k x k =+++的对称轴为直线312k x +=-， 1k ≥，∴抛物线的对称轴在直线2x =-的左侧（或对称轴为直线2)x =-，抛物线开口向上，∴当2x ≥-时，y 随着x 的增大而增大，m ∴可以取0．【点睛】本题考查了二次函数2y ax bx c =++的性质，与x 轴的交点坐标问题，一元二次方程等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．23．（1）53；（2）S 1＝k 2S ，S 2＝（k 2+k ﹣1）S ；（3）54． 【解析】【分析】（1）证明⊙BAG ⊙⊙BDA ，利用相似比可计算出BG ＝43，从而得到DG 的长； （2）先证明⊙ADG ⊙⊙EBG ，利用相似三角形的性质得到S 1＝k 2S ，根据三角形面积公式和菱形的性质即可得到结论；（3）由（1）可以求得21S S 211524k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）⊙AG ＝BG ，⊙⊙BAG ＝⊙ABG ，⊙四边形ABCD 为菱形，⊙AB ＝AD ，⊙⊙ABD ＝⊙ADB ，⊙⊙BAG ＝⊙ADB ，⊙⊙BAG ⊙⊙BDA ， ⊙BA BD BG BA=，232BG =， ⊙43BG =，⊙DG ＝BD ﹣BG ＝53； （2）⊙四边形ABCD 为菱形，⊙BC ＝AD ＝kBE ，AD ⊙BC ，⊙AD ⊙BE ，⊙⊙DAE ＝⊙BEA ，⊙ADG ＝⊙EBG ，⊙⊙ADG ⊙⊙EBG ， ⊙221S AD k S BE ⎛⎫== ⎪⎝⎭，DG AD k BG BE ==， ⊙S 1＝k 2S ， ⊙1ABG S DG k S BG==△， ⊙1ABG S S k =△， ⊙=ABD BCD S S ，⊙S 2＝S 1+1S k﹣S ＝k 2S +kS ﹣S ＝（k 2+k ﹣1）S ； （3）⊙()22211k k S S S k S+-= 2111k k=-++ 2111544k k ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭ 211524k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， ⊙10-<，⊙当112k =时，21S S 有最大值54， ⊙21S S 的最大值为54． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定．。