弧度制 教学课件PPT
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5.1.2弧度制(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第一册(共27张PPT)
C 4.下列各式不正确的是( )
A.
210
7π 6
B.
405
9π 4
C.
5
23π 12
D. 705
47π 12
解析：对于 A， 210 210 π 7π ，正确；对于 B，405 405 π 9π ，
180 6
180 4
正确；对于 C，335 335 π 67π ，错误；对于 D，705 705 π 47π ，正
5.1.2 弧度制
学习目标
1.了解弧度制 2.理解1弧度的角及弧度的定义 3.掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的 换算，速记几个特殊角的弧度数
4.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式
学习重点
了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算
学习难点
弧度的概念
新课导入
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千 克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便，角的 度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制 的实数来度量角的大小呢？
R5 故选：B.
D 6.一个扇形的面积和弧长的数值都是 2，则这个扇形中心角的弧度数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析：设扇形中心角的弧度数为 ，半径为 r， 由题意可知，扇形面积 S 1 r2 2 ，弧长l r 2 ，
2
解得 r 2 ， 1，
即扇形中心角的弧度数为 1. 故选：D.
180
180 8
故答案为： 3π . 8
今天学习了什么
1.弧度制的概念 2.弧度制化角度制 3.扇形面积
非
常感
谢 Template Of Teaching Courseware
5.1.2弧度制教学课件(人教版)
13π B.
C. 2π
D. 17π
3
3
3
3
解析：与 5π 终边相同的角记为 ，则 5π 2kπ ， k Z ，
3
3
当 k 1时， π ，故 A 正确；
3
当
k
3 时，
13π 3
，故
B
正确；
令 5π 2kπ 2π ，解得 k 1 Z ，故 C 错误；
3
3
2
当 k 2 时， 17π ，故 D 正确.故选 ABD.
第五章 三角函数
5.1.2 弧度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制， 1
规定1度的角等于周角的 360 .
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度 的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
单位圆
半径为1的圆叫做单位圆.
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad ，
3
7.把角-690°化为 2kπ (0 2π, k Z) 的形式为___4_π___π6____.
解析：法一： 690
690
π 180
23 6
π
，
因为 23 π 4π π ，所以 690 4π π .
6
6
6
法二： 690
2360
30
，则 690
4π
π 6
.
8.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的
解析：（1）设扇形的半径为 r，弧长为 l.
60
3
，
r
3
，l
|
|
r
3
3
.
（2）由题设条件知，l 2r 16，l 16 2r(0 r 8) ，
任意角和弧度制PPT课件
轴线角
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
高中数学《弧度制》课件
弧度数是实数，这将为我们今后用函数观点讨论涉及角的计算问题带来方便.利
用弧度制度量角还有一个重要的原因，就是它能简化许多公式.例如若α=n°时，
弧长计算公式是l=
n
r 180
.而根据弧度数的计算公式|α|=
l r
，若α=
x
rad时，得到弧
长的另一计算公式：l=|x|r.
一
弧度制
例 6 如图5.1-5，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S.
360°的圆心角的弧长是2π，那么它对应的弧度数是2π rad；
180°的圆心角的弧长是π，那么它对应的弧度数是π rad；
90°的圆心角对应的弧度数是 rad；
2
1°的圆心角对应的弧度数是
180
rad.
一
弧度制
根据例3，我们可以得到角度制和弧度制之间的换算关系：
反过来有：
180°＝π rad， 1 = rad 0.01745rad.
（第7题）
二 习题5.1
8.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的 BE 的长为2π，DE=7，求矩形在圆外 部分的面积.
（第8题）
二 习题5.1
9.已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2，求： (1)扇形的半径； (2)扇形圆心角的弧度数．
温故而知新
10.当α是第二象限角时，试讨论 是哪个象限的角.
5.把下列各角从度化为弧度：
(1) 15°； (2) 36°； (3) －105°； (4) 145°.
6.把下列各角从弧度化为度：
(1)
2
；
10
(2) 3 ；
(3) －1.5；
2 (4) 5 .
二 习题5.1
弧度制PPT课件
0,
2
2 ,
2
2
[0, )
2
(, )
2
[0,)
[0,2)
四、课堂小结：
1.弧度制定义
2.角度与弧度的互化 3.特殊角的弧度数
度 0° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 120 ° 135° 150°
弧 度
0
6
4
3
2 3 5 23 46
作业：
3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如无特别要 求，不用将π化成小数。
练习2：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}， 直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°} 0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
r 3.任一已知角α的弧度数的绝对值
l
(弧长计算公式)
l
5、弧度与角度的换算 若L=2 π r，则∠AOB=
L r
= 2π弧度
此角为周角 即为360°
L=2 π r
360°= 2π 弧度
（B）
OrA
180°= π 弧度
180°= 1°× 180
由180°= π 弧度 还可得
1°= ——π弧度 ≈ 0．01745弧度 180
1弧度 =（—1—8）0 °≈ 57．30°= 57°18′ π
三、例题
（1）、把67°30′化成弧度。
解：
6730'
671
1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
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第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
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第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
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第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
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第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
人教版-弧度制-课件PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
l n r
180
l
3、扇形旳面积公式：
S扇形
n
360
R2
n° l
r
l OS
R
讲授新课
弧度制定义
我们要求，长度等于半径旳弧所
正确圆心角叫做1弧度旳角；用符号rad表
达，读作弧度。 用弧度来度量角旳 单位制叫做弧度制． 1弧度记做1rad.
L α
r
B
r
1rad
r
A
O
l 2r
CC
2radA
r
A
Oo
180
4
3
例2 把 rad化成度
5
解
3
3
rad = ×180 =108
5
5
练习
1）用弧度制写出与300同终边旳角旳集合；
S { | 2k k z}
6 2）指出下列用弧度制表达旳角是第几象限角？
1 2 4 8
课堂小结
1、弧度制旳定义； 2、弧度制与角度制旳转换与区别；
2、例题： （1）把6730化为弧度；
（2）把 3 化为角度；
5
(3)把下列特殊角化为弧度数
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
6
2 3 5
43 2 346
3 2
2
例1 把45化成弧度
解 45= ×45rad= rad
探究二
弧AB旳长 OB旳旋转 方向
r 逆时针
2r 逆时针
r
逆时针
2r
顺时针
0
r r
2r
未做旋转
顺时针 逆时针 逆时针
弧度制PPT优秀课件16(共9份)
360
③、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．Z、xxk
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
自主研究一：
1.将下列弧度转化为角度：
（1） =
°；（2） 7 =
°
12
8
′；
（3） 13 =
6
°；
2.将下列角度转化为弧度：
（1）36°=
（rad）；（2）－105°=
（rad）；
（3）37°30′=
（rad）；
3.将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是
．
例3. 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
③、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．Z、xxk
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
自主研究一：
1.将下列弧度转化为角度：
（1） =
°；（2） 7 =
°
12
8
′；
（3） 13 =
6
°；
2.将下列角度转化为弧度：
（1）36°=
（rad）；（2）－105°=
（rad）；
（3）37°30′=
（rad）；
3.将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是
．
例3. 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
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写出一些特殊角的弧度数
角 度
弧 度
0 30 45 60 90 120 135 150180 270 3604 6
3 2 2
例3
利用计算器完成下列问题
（1）把22°30ˊ化成弧度（精确到0.001） 答：22°30ˊ≈ 0.393rad （2）把3.14rad换算成角度（精确到0.001） 答：3.14rad≈ 179.909° （3）比较sin1.5和sin85°的大小.
180 rad
o
o
1 rad 0.01745rad 180
o 180 o 1rad 57.30
弧度制
复习
1.角的定义及其概念的推广------用运动的观点来看 待角:一是要明确旋转的方向,二是要明确旋转的大 小 2.象限角:会表示终边落在任何位置的角的集合,同 时注意 象限角与非象限角的 集合的表示形式并 不唯一
3.终边相同的角:将角放在直角坐标系中,给定一个 角,就有唯一的一条边与之对应.反之,对于直角坐标 系内任意一条射线OB,以它为终边的角不唯一
已知 的终边如图所示，试分别作出角 ，角 和
2
的终边
NBA ALL STAR
NBA官方数据 身高：7英尺6英寸，体重：310磅； 中国篮协数据 身高：2.26米 ，体重：140.6公斤. NBA Game Ball ￥800 ＄100
YAO MING
探究一
在半径（r）分别为1和2的两个圆中，当圆 心角为30°时 , ６0 °
答： sin1.5 ≈ 0.997， sin85°≈ 0.996 所以 sin1.5 > sin85°
例4 利用弧度制证明下列关于扇形的公式: ①l
R
②
45
1 ③ S lR 2
其中：R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角， S 是扇形的面积.
例5.如图，有一个近似于环形的水塘，测得AB长为 30m,CD长为45m，AD=BC=15m.现准备用来养鱼，若 每平方米水面可以放鱼苗15尾左右，那么这个水塘中约 可放多少尾鱼苗？
r
2r
1
-2 -π 0 π
πr
0 πr
-180°
0° 180° 360°
2πr
逆时针方向
2π
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与 实数集R之间建立起一一对应的关系：
正角 零角 负角 任意角的集合 正实数 0 负实数 实数集R
每一个角都有唯一的一个实数（这个角的弧度数 或度数）与它对应；
反之，每一个实数也都有唯一的一个角
1 2
(1)分别计算相对应的弧长 l .
(2)分别计算弧长与半径的比.
圆心角不变,比值不变. 圆心角改变,比值改变. 比值的大小与所取圆的半径大小无关 比值的大小只与圆心角的大小有关.
新课
定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度(radian)的角．
单位是rad，读作弧度 . “弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制.
4 例2 把 r a化成角度． d 5 4 4 解： rad 180 144 5 5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键． 说明：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad” 通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数. 例如， 角 2 就表示 是2rad的角， sin 就表示 rad的角 3 3 的正弦.
②、实数分正数、负数与0，那么正角、负角、零角的
弧度数分别是一些什么样的数？ ③、角的弧度数α可否用弧长L与半径r来表示？
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
角的弧度数的绝对值
l (l为弧长r为半径) r
填表
弧AB的长 πr 2πr OB旋转的方向 逆时针方向 逆时针方向 逆时针方向 顺时针方向 顺时针方向 未旋转 逆时针方向 ∠AOB的弧度数 π 2π ∠AOB的度数 180° 360° 57.3° -114.6°
C B D A
O
小结
弧度制
长度等于半径长的弧所 对的圆心角叫做1弧度的角. “rad”（可以省略）
角度制 单位规定
周角的
1 作为1°的角 360
度量单位 弧长、面积公式
换算关系
“ °”（不可以省略）
n R l 180
1 1 l R, S R 2 , S lR. 2 2
n R 2 S 360
探究二
弧AB的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数
πr 2πr 0 πr
逆时针方向 逆时针方向 未旋转 顺时针方向 顺时针方向
π 2π
180°
360° 0°
-180°
0
-π -2π
2πr
-360°
根据上述表格中的数据，思考并回答下列各问题： ①、180°与πrad 之间存在什么关系?
（弧度数或度数等于这个实数的角）与它对应.
弧度与角度的换算
1
180
rad 0.01745rad
180 rad
180 1rad ( ) 57.30
例1 把
67 30化成弧度．
1 解：∵ 67 30 67 2
1 3 ∴ 67 30 rad 67 rad 180 2 8