三角函数的化简转化

一、任意角的三角函数、诱导公式

1、三角函数的定义:以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距

离记

为

(0)r r ==>，那么

sin y r α=； cos x r α=； tan y

x α=；

（cot x y α=； sec r

x

α=； csc r y α=）

例1已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α 注：对a 的符号进行讨论。

例2

已知角α的终边上一点()P

m ，且sin 4

α=，求cos ,sin αα的值。

2

3、诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈

诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； cos(180)α+=-cos α 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=-

诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-=

例1：化简：

（1）

sin(180)sin()tan(360)

tan(180)cos()cos(180)

αααααα-++--+++-+-；（1-）

（2）sin120cos330sin(690)cos(660)tan 675cot 765⋅+--++（1）

例2：化简23cot cos()sin (3)

tan cos ()

απαπααπα⋅+⋅+⋅--

解：原式23cot (cos )sin ()tan cos ()ααπααπα⋅-⋅+=⋅+2

3

cot (cos )(sin )tan (cos )

ααααα⋅-⋅-=⋅- 23cot (cos )sin tan (cos )ααααα⋅-⋅=⋅-2222

cos sin 1sin cos αααα=⋅= 例3：化简

sin()sin()

()sin()cos()

n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+- 解：①当2,n k k Z =∈2

cos α

②当21,n k k Z =+∈时，原式2

cos α

=-

点评：关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。

例4：化简：()()()()()θθθθθ---+-⋅+-+0

2020002270cot 48sin 45tan 45tan 242sin

解：原式=(

)

(

)(

)(

)

θθθθθ2

2

2

tan 45cot 45tan 242cos 42sin -++-+++

=1－2－θ2tan =－1－θ2tan =－θ2

sec

点评：在解答化简问题时，要注意次数尽量可能低；项数尽可能少，函数种类尽量减少；尽量不含分式和根式，能求出值的尽量求出值。除之之外，善于发现差异，寻找联系，能进行合理的转化，也是非常重要的。

例5： 若()3

10

1

lg

3sin =+θπ，求：

()()[]()()⎪⎭

⎫

⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝

⎛

--+

--+θππθπθπθθπθθπ23sin cos 2

3sin 2cos 1

cos cos cos 的值。(18)

二、同角三角函数的基本关系：

1、倒数关系：sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=，tan cot 1αα⋅=

2、商数关系：sin tan cos ααα=，cos cot sin α

αα=

3、平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，22

1cot csc αα+=

注：把握“1”的原则，适当的情况下，将“1”转为22

sin cos αα+。

4、技巧思想：大角化小，切割化弦，“弦化切”的技巧（即分子、分母同除以一个不为零的cos α，得到一个只含tan α的教简单的三角函数式）

例1 、440（答案：cos80）

解：原式2

(36080)1sin 80=+=-80cos80==

例2 、

40cos40（答案：cos 40sin 40-）

例3、 2tan α=-，试确定使等式成立的角α的集合

答案：角α的集合为：{|k ααπ=或322,}22

k k k Z ππ

παπ+<<+∈

例4、已知：tan 3α=，求2cos()3sin()

4cos()sin(2)

παπααπα--+-+-的值

变式训练：已知：1

tan()2

πα+=-

，求sin(7)cos(5)απαπ-+的值 点评：同样应用上题的技巧，把sin cos αα看成是一个分母为1的三角函数式，注意结合“口诀”及

2

2sin

cos αα+的运用

例5、已知3

sin 5

α=-

，且α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+的值 解：tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+

tan [cos()sin()]απαπα=--+tan (cos sin )ααα=-+ tan sin tan cos αααα=-sin (tan 1)αα=-

由已知得：43

cos ,tan 54

αα==-，

∴原式21

20

=

点评：关键在于抓住α是第四象限角，判断cos ,sin αα的正负号，利用同角三角函数关系

式得出结论

变式训练：将例5中的“α是第四象限角”条件去掉，结果又怎样？ 解：原式sin (tan 1)αα=-，

∵sin α为负值，∴α是第三、四象限角

当α是第三象限角时，43cos ,tan 54

αα=-= ∴原式320

=

当α是第四象限角时，即为上例

点评：抓住已知条件判断α角所在象限，利用分类讨论的思想，同上题类似做法，得出结论

例6、已知，2tan =α求下列各式的值

（1）ααα

αcos 9sin 4cos 3sin 2--，（2）α

ααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--，

（3）αααα2

2cos 5cos sin 3sin 4-- 例7、 已知()的值，，求a a b b a tan sin 1cos <=

分析：由于三角函数的值不确定，所以需要对角的范围进行讨论，并逐一求解

解：因为()

1cos <=b b a ，，所以，

（1）当b=0时，角轴上，的终边在y a

若角不存在，轴的非负半轴上时，的终边在a a y a tan 1sin =

若角不存在，轴的非正半轴上时，的终边在a a y a tan 1sin -= （2）当为象限角时，则角，且a b b 01≠<

若a 为第一或第二象限时，sin sin cos a a a a =

a 若为第三或四象限时，sin sin tan cos a a a a ===三、两角和与差的基本公式

1．和、差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；

βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；