第4节 有理函数的不定积分
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4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
高等数学教案-不定积分
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握换元积分法
教 学 基 本 内 容
1.定理：（第一换元积分法）设 有原函数 ，且 是可导函数，则 ，该公式称为第一换元公式．
2.几种常用的凑微分求解的积分形式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
3.若 是 在区间 上的一个原函数，即 = ，则 也是 在区间 上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.
4.定理：设函数 是 在区间 上的一个原函数，那么 在区间 上的任意一个原函数可以表示为 ，其中 是任意常数．
二．不定积分的概念
定义：如果 是 在区间 上的一个原函数，则 在区间 上带有任意常数的原函数 称为 在区间 上的不定积分，记作 ，即 = ，其中， 称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量，任意常数 称为积分常数．
高等数学教学教案
第4章不定积分
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第1节不定积分的概念与性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
原函数与不定积分的概念
教学难点
原函数的概念
参考教材
同济七版《高等数学》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
例2.求 ．
例3.求 ．
例4.求 ．
例5.求 ．
例6.求 ．
例7.求 ．
例8求 ．
例9.建立递推公式 .
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握换元积分法
教 学 基 本 内 容
1.定理：（第一换元积分法）设 有原函数 ，且 是可导函数，则 ，该公式称为第一换元公式．
2.几种常用的凑微分求解的积分形式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
3.若 是 在区间 上的一个原函数，即 = ，则 也是 在区间 上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.
4.定理：设函数 是 在区间 上的一个原函数，那么 在区间 上的任意一个原函数可以表示为 ，其中 是任意常数．
二．不定积分的概念
定义：如果 是 在区间 上的一个原函数，则 在区间 上带有任意常数的原函数 称为 在区间 上的不定积分，记作 ，即 = ，其中， 称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量，任意常数 称为积分常数．
高等数学教学教案
第4章不定积分
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第1节不定积分的概念与性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
原函数与不定积分的概念
教学难点
原函数的概念
参考教材
同济七版《高等数学》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
例2.求 ．
例3.求 ．
例4.求 ．
例5.求 ．
例6.求 ．
例7.求 ．
例8求 ．
例9.建立递推公式 .
有理式的不定积分与有理化方法
对于有理式$frac{x^2 + 1}{x}$，可以 通过变量替换$t = x$将其转化为 $frac{t^2 + 1}{t}$，进一步得到积分 结果为$ln|t| + t + C$。
反常积分处理
总结词
处理积分区间内函数值无穷大或积分结果不收敛的情况，确保积分运算的正确性。
详细描述
在解决有理式不定积分问题时，有时会遇到被积函数在某些区间内无穷大或积分结果不收敛的情况。此时需要采用反 常积分处理方法，将被积函数分为正常和反常两部分，分别进行积分运算。
有理化分母是指将有理式的分母进行因式分解，将其转化为两个因式的乘积，以便于消去根号，简化 积分过程。例如，将$frac{sqrt{x}}{x}$有理化，得到$frac{x}{sqrt{x}}$。
复杂有理式的有理化方法
总结词
对于复杂的有理式，需要采用多种有理化方 法进行转化。
详细描述
对于复杂的有理式，可能需要同时使用分子 有理化和分母有理化的方法，或者采用其他 有理化技巧，如部分分式分解等，以便将其 转化为更易于积分的形式。例如，对于复杂 有理式$frac{x^2+1}{xsqrt{x^2+1}}$，可 以采用分子有理化和分母有理化的方法进行 转化。
三角函数的有理式形式
在解决含有三角函数的有理式不定积分问题时，需要将有理式 转化为三角函数的有理式形式，以便更好地应用三角函数的性
质和公式。
复杂有理式的部分分式法
01
复杂有理式的部分分 式法
对于一些复杂的有理式，需要使用到 部分分式法，以便将复杂的有理式分 解为若干个简单的有理式，从而更容 易地找到不定积分的解。
三角函数有理式的积分
三角函数有理式的积分
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
第四讲 不定积分
46第四章 不定积分一、学习目的与要求1、加深理解原函数与不定积分概念，熟悉不定积分的有关性质。
2、熟记不定积分的基本公式。
3、熟练掌握不定积分的三种基本解法（分解法、换元法和分部积分法）。
4、掌握有理函数、三角函数有理式的积分。
5、会求简单无理函数的不定积分。
二、学习重点不定积分的换元法与分部积分法三、内容提要1、原函数与不定积分的概念 若),()(x f x F ='则称)()(x f x F 是的一个原函数，若 )()(x f x F 是的一个原函数，则)(x f 的原函数的一般表达式为C x F +)(（C 为任意常数）。
)(x f 的原函数的一般表达式称为)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(，即⎰+=C x F dx x f )()(2、基本性质（下设β,a 为常数）（1）⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f a dx x g x af )()()()((ββ （2）;)())(()())((dx x f dx x f d x f dx x f =='⎰⎰或⎰⎰+=+='.)()()()(C x f x df C x f dx x f 或3、基本积分公式（下设0>a ）（1）),1(11-≠++=+⎰a C a x dx x a a（2）⎰+=,||ln 1C x dx x（3）,C e dx e x x +=⎰ （4）,ln /C a a dx a x x +=⎰（5）⎰+-=,cos sin C x xdx （6）⎰+=,sin cos C x xdx （7）,tan sec cos 122C x xdx dx x +==⎰⎰（8）⎰⎰+-==C x xdx dx xcot csc sin 122（9）⎰+-=,|cos |ln tan C x xdx （10）⎰+=,|sin |ln cot C x xdx （11）⎰++=,|tan sec |ln sec C x x xdx （12）⎰+-=,|cot csc |ln csc C x x xdx （13）⎰+=,sec tan sec C x xdx x （14）⎰+-=,csc cot csc C x xdx x47（15）⎰+=+,arctan 1122C a xa dx xa （16）⎰+=-,arcsin122C axdx x a （17）⎰+-+=-,ln 21122C x a x a a dx x a （18）⎰+±+=±,||ln 12222C a x x dx a x（19）⎰+=,C chx shxdx （20）⎰+=.C shx chxdx 4、基本积分法（I ）分项积分法 ⎰⎰⎰+=+),()()()]()([为常数βββa dx x g dx x f a dx x g x af （II ）凑微分法（第一换元法） 若⎰+=)(,)()(x C x F dx x f ϕ且连续，则⎰⎰+=='.))(()())(()())((C x F x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ（III ）换元法（第二换元法） 若)(x f 连续，)(t x ϕ=有连续导数，⎰⎰+='=≠',)()())(()(,0)(C t G dt t t f dx x f x ϕϕϕ且则C x G dx x f +=⎰-))(()(1ϕ（IV ）分部积分法 若⎰)()(,)(),(x du x v x v x u 可导存在，则⎰⎰-=).()()()()()(x du x v x v x u x dv x u5、几类初等函数的积分（I ）有理函数⎰dx x R x R )()(的积分一般方法：假分式化为整式与真分式之和，真分式化为最简式：),4(,)(,)(22N n q p q px x B Ax a x A nn ∈<+++-之和. （II ）三角函数⎰dx x x R x x R )cos ,(sin )cos ,(sin 的积分通常通过适当代换化为有理函数的积分，常用的变换：令2tanxt =（万能代换）， x t x t x t tan ,sin ,cos ===等。
有理函数、三角函数及一些无理函数的不定积分
1 x 1 1 2 J n 1 2 [ dx] 2 2 n 1 2 2 n 1 n 1 (x a ) a 2a n 1 ( x a ) Jn 1
2 2
x
2 n 1
2( n 1)a ( x a )
2n 3 2( n 1)a
2
J n 1 .
分解后的部分分式必须是最简分式.
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 dx 2 2 x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
2u 1 u 2 1 u 2 du 2 (1 u)(1 u )
(1 u)2 (1 u2 ) 1 u 1 du du du 2 2 (1 u)(1 u ) 1 u 1 u
1 = arctanu ln(1 u2 ) ln | 1 u | C 2
§有理函数、三角函数及一些无理函 数的不定积分
1、 有理函数的积分 2、 三角函数有理式的积分 3、 无理函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数.
P ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
A B C 1 , 例2 2 2 x ( x 1 ) x ( x 1) x 1
= -d (cotx )
不定积分求解方法-有理函数积分汇编
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dx 例6. 求 4 x 1 1 ( x 2 1) ( x 2 1) 解: 原式 dx 4 2 x 1
1 2
1 x2 2 x 12 x
1
1 dx 2
1 x2 2 x 12 x
1
注意本题技巧
dx
按常规方法较繁
1 1 2 ( x 1 )2 2 2 ( x 1 )2 2
3
2
( x 2 1) ( x 2 4) 1 d( x 4 5 x 2 5) dx 4 2 2 2 2 x 5x 4 ( x 1)( x 4) 1 1 x 4 2 ln x 5 x 4 arctan arctan x C 2 2 2
x3 A ( x 2) 原式 5 x 2 x 3 x 2 x3 6 B ( x 3) 原式 x 3 x2 x 3
故
5 6 原式 x2 x 3
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(3) 混合法
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
d(t 1 ) t (t
2 1 t)
(t 1) dt 1 t2 t4 1 t 1 arctan t C 3 3 2 1 cos x arctan C 3 3 sin x
3
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2. 简单无理函数的积分 （P255-P257）
机动目录上页下页返回结束内容小结可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出但不一定要注意综合使用基本积分法简便计算
有理式的不定积分与有理化方法
2x 1 例1 计算 dx. x 1 例2 计算 dx . 3 6 (2 x ) x
1 例3 计算 ( x 1)
x dx. x 1
1 x 2u 2 dx 1 u u x 1 x 1 1 u2
2
du
u2 u2 1 1 2 du 2 du 2 2 1 u 1 u 2 du 2 2u 1 1 1 du 2 du du 2 1 u 1 u 1 u
x 万能替换公式： 令 t tan 2
则 x 2arctan t
2 dx dt 2 1 t
2t sin x , 2 1 t
1 t2 cos x , 2 1 t
万能代换
R(sinx, cos x) dx
2t 1 t 2 2 , dt. 2 2 2 R 1 t 1 t 1 t
( x 2 pl x ql )ml
（其中 x 2 pi x qi , i 1,, h 为不可约因式 )
1 A11 { b0 x a1
A1k x ak
An11 ( x a1 )
A nk k ( x ak ) nk
n1
B11 x C1,1 x p1 x q1
x
Bm x Cm
2
px q
m
推导四种部分分式的不定积分:
dx Bx D ( 3) 计算简单积分 ( x )n 和 ( x 2 px q)n dx :
Bx D ( x 2 px q)n dx
分母配成完全平方
数学不定积分
3. df ( x) f ( x) C
4. kf ( x)dx k f ( x)dx, ( k 0为常数 )
5. ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx 此性质可推广到有限多 个的情形。
求不定积分的基本思想：化繁为简——将所求 积分化为基本积分公式中的积分。
； 称为积分号 f ( x)称为积分函数；x称为积分变量； f ( x)dx称为积分表达式； 称为积分常数。 C
即：函数f ( x)的不定积分就是 ( x)的一个原函数 f 再加上任意常数 。 C
例2：求 x dx。
2
3 x x 2 2 解：因为 ) x ， 所以 x dx C。 ( 3 3
第四章 不定积分
4.1 不定积分的概念与性质 4.2 换元积分法与分部积分法 4.3 有理函数的不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念
1、原函数的概念 2、不定积分的概念 3、不定积分的几何意义
二、基本积分公式
三、不定积分的性质
在第二章我们研究了已知 f，如何求 f 的导数 f 的表达式。 我们现在来研究第二章求导问题的逆问题。
作业：（） (e x 3 cos x)dx 1 （3） ( x 1)( x 3 1)dx
（2） ( x 2 3 x 2)dx （4) 2 x e x dx
（5） sec x(sec x t an x)dx
1 4 （6） ( 2 2 x 1 x 2 2 sin x)dx
3
检验积分结果正确与否的基本方法是：
积分结果的导函数 被积函数。
练习：教材。
3、不定积分的几何意义-----(见教材)
14第四章不定积分(分部积分及简单有理函数积分)
xd
x2 2
x arctan
xdx
x
2
2 arctan x
2
x2d (arctan x) 2
x 2 arctan x
2
x2 2
1 1 x2
dx
x 2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x 2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求积分 x 3 ln xdx.
( x2 1)( x2 1) 1
x2 1
dx
(x2
1
1
x
2
)dx 1
1 3
x3
x
arctan
x
c
（2）
x2
1 x
dx 2
解
1
x2
x
dx 2
(
x
1 2)(
x
dx 1)
1 3
x 2 ( x 1)dx ( x 2)( x 1)
1 3
(
1 x 1
1 x
)dx 2
1 ln x 1 ln x 2 c 3
解（一）
x2
x cos xdx cos xd( 2 )
令 u cos x,
x2 v
2
x cos xdx
x2 cos x
2
x2 sin xdx
2
显然， u, v选择不当，积分更难进行.
例1 求积分 x cos xdx . 解（二） x cos xdx xd(sin x)
令 u x, v sin x
2.简单有理函数
（1） f ( x) P( x) , 1 x
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其中 M i , N i 都是常数( i = 1,2,L , k ) .
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
A Mx + N (1) 多项式； ( 2) 多项式； ; ( 3) ; n 2 n ( x − a) ( x + px + q ) Mx + N dx , 讨论积分∫ 2 n ( x + px + q )
2x3 + 5x 2x2 + 5 解 原式 = ∫ x4 + 5x2 + 4dx + ∫ x4 + 5x2 + 4dx
1 d( x4 + 5x2 + 5) ( x2 +1) + ( x2 + 4) = ∫ 4 dx +∫ 2 2 2 2 x + 5x + 4 ( x +1)( x + 4)
1 1 1 4 2 + 2 )dx = ln x + 5x + 4 + ∫ ( 2 x +1 x + 4 2
1 = ln x4 + 5x2 + 4 + arctanx + 1arctan x + C. 2 2 2
注意 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 例6 求积分 解
2u+1+ u2 −1− u2 2u du du = 原式 = 2 2 (1+ u)(1+ u ) (1 + u)(1 + u )
∫
∫
1 (1 + u)2 − (1 + u 2 ) 1+ u du du = = du − 2 2 1+ u (1 + u)(1 + u ) 1+ u
∫
∫
∫
1 = arctan u + ln(1 + u2 ) − ln | 1 + u | + C 2 x x x = + ln | sec | − ln | 1 + tan | + C . 2 2 2
1 例2 求积分 ∫ 4 dx . sin x 2 2u x du, , dx = 解 令 u = tan , sin x = 2 2 1+ u 2 1+ u 1 1 + 3u 2 + 3u 4 + u 6 du ∫ sin 4 x dx = ∫ 4 8u
1 1 3 u3 = [ − 3 − + 3u + ] + C 8 3u u 3 3 1 3 3 x 1 x + tan + tan + C . =− 3 − 2 24 2 x 8 tan x 8 24 tan 2 2
例3 求积分
1 (2x + 2) − 3 解 原式 = 2 ∫ x2 + 2x + 3 dx 1 d( x2 + 2x + 3) d( x +1) = ∫ 2 − 3∫ 2 x + 2x + 3 (x ( x +1)2 + ( 2)2 3 x +1 1 2 +C . = ln x + 2x + 3 − arctan 2 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 dx . 例2 求积分 ∫ 2 3 1 + 2x + x + 2x 1 1 解 dx = ∫ 1 + 2x + x2 + 2x3 ∫ (1 + 2 x )(1 + x 2 ) dx 4 2 1 − x+ = ∫ 5 dx + ∫ 5 2 5dx 1+ 2x 1+ x 2 1 2x 1 1 dx + ∫ dx = ln 1 + 2 x − ∫ 2 2 5 5 1+ x 5 1+ x 2 1 1 2 = ln 1 + 2 x − ln 1 + x + arctan x + C . 5 5 5
p p Q x + px + q = x + + q − , 2 4 p 令 x+ =t 2
2 2 2
记 x 2 + px + q = t 2 + a 2 , 则
Mx + N = Mt + b,
p a =q− , 4
2
2
Mp b= N − , 2
Mx + N dx ∴∫ 2 n ( x + px + q )
1 2 2 (t +1) +1 dt = ∫ ( + 2 ＋ 3 )dt 原式 = ∫ 3 t t t t 2 1 2 1 = ln| t | − − 2 + C = ln| x −1| − C. − 2+ t t x −1 ( x −1)
2
二、简单无理函数的不定积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过 根式代换化为有理函数的积分 化为有理函数的积分. 根式代换化为有理函数的积分. 主要三种) 讨论类型 (主要三种 主要三种
= 2 x + 1 − 33 x + 1 + 66 x + 1 − 6 ln( 6 x + 1 + 1) + C .
1 1+ x ∫ x x dx . 1+ x 解 令t = , x t2 − 2t 2 dt dt = −2∫ 2 原式 = ∫ (t −1)t ⋅ 2 2 t −1 (t −1) t −1 C 1 + ) dt = −2t − ln = −2 ∫ (1 + 2 t +1 t −1
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 这三类积分均可积出 且原函数都是初等函数 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 有理函数的原函数都是初等函数.
1 dx . 例1 求积分 ∫ 2 x ( x − 1)
解
1 1 1 1 ∫ x( x − 1)2 dx = ∫ x + (x −1)2 − x −1dx 1 1 1 dx − ∫ dx = ∫ dx + ∫ 2 x x −1 ( x − 1) 1 = ln x − − ln x − 1 + C . x −1
2u 1 − u 2 2 ∫ R(sin x , cos x ) dx = ∫ R(1 + u2 , 1 + u2 ) ⋅ 1 + u2 du.
的有理函数的积分. 化为了 u 的有理函数的积分.
sin x dx . 例1 求积分 ∫ 1 + sin x + cos x 解 x 1 − u2 2u
, dx = 2 2 du , 令u= tan ,则 sin x = = , cos x = 2 1 + u2 1 + u2 1+ u
dx 例1 求积分 ∫ 3 . 1+ x + 2
解 令t = 3 x + 2 ,
3t 2 (t 2 −1) +1 原式 = ∫ dt = 3∫ dt 1+ t 1+ 1+ t 1 )dt = 3∫ ( t −1+ 1+ t 1 2 = 3[ t − t + ln 1+ t ] + C 2
例2 求积分
1 dx (a > 0, b > 0). 例3 求积分 ∫ 2 2 2 2 a cos x + b sin x
1 x3 + x + 1 例如 . = x+ 2 2 x +1 x +1
将有理函数化为部分分式之和后， 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只 出现三类情况： 出现三类情况：
A Mx + N (1) 多项式；( 2) 多项式； ; ( 3) ; n 2 n ( x − a) ( x + px + q )
例3 求积分
三、三角函数有理式的不定积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成 的函数称为三角函数有理式 三角函数有理式. 的函数称为三角函数有理式. 一般记为 R(sin x , cos x) . x 令 u = tan , 则 x = 2 arctan u , (万能代换公式 万能代换公式) 万能代换公式 2 2 2u 1 − u2 du sin x = , cos x = , dx = 2 1+ u 1 + u2 1 + u2
第四节 有理函数的不定积分
一、有理函数的不定积分 二、简单无理函数的不定积分 三、三角函数有理式的不定积分
一、有理函数的不定积分
两个多项式的商表示的函数称为有理函数. 两个多项式的商表示的函数称为有理函数. 有理函数 n n −1 P ( x ) a0 x + a1 x + L + an−1 x + an R( x ) = = Q ( x ) b0 x m + b1 x m −1 + L + bm −1 x + bm 其中 m、n 都是非负整数 ; a0 , a1 , …, an 及 b0, 、 b1 ,…, bn 都是实数，并且 0≠0, b0≠0 . 都是实数，并且a n < m , R(x)称为真分式；n ≥ m , R(x)称为假分式 称为真分式 称为真分式； 称为假分式 称为假分式. 利用多项式除法, 利用多项式除法 假分式可以化成一个多项 式和一个真分式之和. 式和一个真分式之和
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
A Mx + N (1) 多项式； ( 2) 多项式； ; ( 3) ; n 2 n ( x − a) ( x + px + q ) Mx + N dx , 讨论积分∫ 2 n ( x + px + q )
2x3 + 5x 2x2 + 5 解 原式 = ∫ x4 + 5x2 + 4dx + ∫ x4 + 5x2 + 4dx
1 d( x4 + 5x2 + 5) ( x2 +1) + ( x2 + 4) = ∫ 4 dx +∫ 2 2 2 2 x + 5x + 4 ( x +1)( x + 4)
1 1 1 4 2 + 2 )dx = ln x + 5x + 4 + ∫ ( 2 x +1 x + 4 2
1 = ln x4 + 5x2 + 4 + arctanx + 1arctan x + C. 2 2 2
注意 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 例6 求积分 解
2u+1+ u2 −1− u2 2u du du = 原式 = 2 2 (1+ u)(1+ u ) (1 + u)(1 + u )
∫
∫
1 (1 + u)2 − (1 + u 2 ) 1+ u du du = = du − 2 2 1+ u (1 + u)(1 + u ) 1+ u
∫
∫
∫
1 = arctan u + ln(1 + u2 ) − ln | 1 + u | + C 2 x x x = + ln | sec | − ln | 1 + tan | + C . 2 2 2
1 例2 求积分 ∫ 4 dx . sin x 2 2u x du, , dx = 解 令 u = tan , sin x = 2 2 1+ u 2 1+ u 1 1 + 3u 2 + 3u 4 + u 6 du ∫ sin 4 x dx = ∫ 4 8u
1 1 3 u3 = [ − 3 − + 3u + ] + C 8 3u u 3 3 1 3 3 x 1 x + tan + tan + C . =− 3 − 2 24 2 x 8 tan x 8 24 tan 2 2
例3 求积分
1 (2x + 2) − 3 解 原式 = 2 ∫ x2 + 2x + 3 dx 1 d( x2 + 2x + 3) d( x +1) = ∫ 2 − 3∫ 2 x + 2x + 3 (x ( x +1)2 + ( 2)2 3 x +1 1 2 +C . = ln x + 2x + 3 − arctan 2 2 2
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1 dx . 例2 求积分 ∫ 2 3 1 + 2x + x + 2x 1 1 解 dx = ∫ 1 + 2x + x2 + 2x3 ∫ (1 + 2 x )(1 + x 2 ) dx 4 2 1 − x+ = ∫ 5 dx + ∫ 5 2 5dx 1+ 2x 1+ x 2 1 2x 1 1 dx + ∫ dx = ln 1 + 2 x − ∫ 2 2 5 5 1+ x 5 1+ x 2 1 1 2 = ln 1 + 2 x − ln 1 + x + arctan x + C . 5 5 5
p p Q x + px + q = x + + q − , 2 4 p 令 x+ =t 2
2 2 2
记 x 2 + px + q = t 2 + a 2 , 则
Mx + N = Mt + b,
p a =q− , 4
2
2
Mp b= N − , 2
Mx + N dx ∴∫ 2 n ( x + px + q )
1 2 2 (t +1) +1 dt = ∫ ( + 2 ＋ 3 )dt 原式 = ∫ 3 t t t t 2 1 2 1 = ln| t | − − 2 + C = ln| x −1| − C. − 2+ t t x −1 ( x −1)
2
二、简单无理函数的不定积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过 根式代换化为有理函数的积分 化为有理函数的积分. 根式代换化为有理函数的积分. 主要三种) 讨论类型 (主要三种 主要三种
= 2 x + 1 − 33 x + 1 + 66 x + 1 − 6 ln( 6 x + 1 + 1) + C .
1 1+ x ∫ x x dx . 1+ x 解 令t = , x t2 − 2t 2 dt dt = −2∫ 2 原式 = ∫ (t −1)t ⋅ 2 2 t −1 (t −1) t −1 C 1 + ) dt = −2t − ln = −2 ∫ (1 + 2 t +1 t −1
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 这三类积分均可积出 且原函数都是初等函数 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 有理函数的原函数都是初等函数.
1 dx . 例1 求积分 ∫ 2 x ( x − 1)
解
1 1 1 1 ∫ x( x − 1)2 dx = ∫ x + (x −1)2 − x −1dx 1 1 1 dx − ∫ dx = ∫ dx + ∫ 2 x x −1 ( x − 1) 1 = ln x − − ln x − 1 + C . x −1
2u 1 − u 2 2 ∫ R(sin x , cos x ) dx = ∫ R(1 + u2 , 1 + u2 ) ⋅ 1 + u2 du.
的有理函数的积分. 化为了 u 的有理函数的积分.
sin x dx . 例1 求积分 ∫ 1 + sin x + cos x 解 x 1 − u2 2u
, dx = 2 2 du , 令u= tan ,则 sin x = = , cos x = 2 1 + u2 1 + u2 1+ u
dx 例1 求积分 ∫ 3 . 1+ x + 2
解 令t = 3 x + 2 ,
3t 2 (t 2 −1) +1 原式 = ∫ dt = 3∫ dt 1+ t 1+ 1+ t 1 )dt = 3∫ ( t −1+ 1+ t 1 2 = 3[ t − t + ln 1+ t ] + C 2
例2 求积分
1 dx (a > 0, b > 0). 例3 求积分 ∫ 2 2 2 2 a cos x + b sin x
1 x3 + x + 1 例如 . = x+ 2 2 x +1 x +1
将有理函数化为部分分式之和后， 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只 出现三类情况： 出现三类情况：
A Mx + N (1) 多项式；( 2) 多项式； ; ( 3) ; n 2 n ( x − a) ( x + px + q )
例3 求积分
三、三角函数有理式的不定积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成 的函数称为三角函数有理式 三角函数有理式. 的函数称为三角函数有理式. 一般记为 R(sin x , cos x) . x 令 u = tan , 则 x = 2 arctan u , (万能代换公式 万能代换公式) 万能代换公式 2 2 2u 1 − u2 du sin x = , cos x = , dx = 2 1+ u 1 + u2 1 + u2
第四节 有理函数的不定积分
一、有理函数的不定积分 二、简单无理函数的不定积分 三、三角函数有理式的不定积分
一、有理函数的不定积分
两个多项式的商表示的函数称为有理函数. 两个多项式的商表示的函数称为有理函数. 有理函数 n n −1 P ( x ) a0 x + a1 x + L + an−1 x + an R( x ) = = Q ( x ) b0 x m + b1 x m −1 + L + bm −1 x + bm 其中 m、n 都是非负整数 ; a0 , a1 , …, an 及 b0, 、 b1 ,…, bn 都是实数，并且 0≠0, b0≠0 . 都是实数，并且a n < m , R(x)称为真分式；n ≥ m , R(x)称为假分式 称为真分式 称为真分式； 称为假分式 称为假分式. 利用多项式除法, 利用多项式除法 假分式可以化成一个多项 式和一个真分式之和. 式和一个真分式之和