2021高考数学常见题型解法归纳《第05招 函数解析式的求法》

【知识要点】

一、求函数的解析式的主要方法有以下五种：

1、待定系数法：如果已知函数解析式的类型（函数是二次函数、指数函数和对数函数等）时，可以用待定系数法.

2、代入法：如果已知原函数)(x f 的解析式，求复合函数)]([x g f 的解析式时，可以用代入法.

3、换元法：如果已知复合函数)]([x g f 的解析式，求原函数)(x f 的解析式时，可以用换元法.换元时，注意新“元”的范围.

4、解方程组法：如果已知抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量时，可以用解方程组的方法.

5、实际问题法：在实际问题中，根据函数的意义求出函数的解析式.

【方法讲评】方法一

待定系数法使用情景

已知函数的类型.解题步骤根据已知先设出函数的解析式，再列方程（组）求待定系数.

【例1】已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x .

【点评】（1）本题由于已知函数的类型是一次函数，所以可以利用待定系数法求函数的解析式.（2）由于3(1)2(1)217f x f x x +--=+对于定义域内的任意一个值都成立，所以最后的

5217ax b a x ++=+实际上是一个恒等式，所以可以比较等式两边的系数分别相等列方程组.【例2】已知函数)sin(ϕ+ω=x A y （0,||2

πϖφ><的图形的一个最高点为（2，2），由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过（6，0），求这个函数的解析式.

【解析】由题得)

A y wx φ=∴=+

2(62)4168

())28

2)sin()1||842

())484

T w w y f x x f x x πππφπππφφφπππφ=-⨯==∴=∴==+⨯+∴+=<∴=∴=+ 由题得函数的最小正周期函数的图像过点（【点评】(1)对于三角函数，待定系数法同样适用，关键是通过已知条件找到关于待定系数的方程（组）.(2)对于三角函数)sin(ϕ+ω=x A y 来说，一般利用最小正周期得到ω的方程，利用最值得到A 的方程，利用最值点得到ϕ的方程.

【反馈检测1】已知()f x 为二次函数，且)2()2(--=-x f x f ，且(0)1f =,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式.方法二

代入法使用情景（1）已知原函数的解析式，求复合函数的解析式；（2）已知某区间的函数的解析式，

求对称区间的解析式.

解题步骤

（1）直接代入原函数的解析式即可；（2）一般先在所求的函数的图像上任意取一点，

然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满足的方程.

【例3】已知函数2()21f x x x =+-，求函数(1)f x -的表达式.

【解析】由题得22(1)2(1)(1)123f x x x x x

-=-+--=-【点评】本题就是已知原函数的解析式，求复合函数的解析式，所以只需直接用“1x -”代换原函数中的“x ”即可.这就是代入法求函数的解析式.

【例4】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，求当)0,(-∞∈x 时，)(x f 的函数解析式.

【点评】本题就是已知某区间的函数的解析式，求对称区间的解析式.一般先在所求的函数的图像上任意取一点，然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满足的方程.这是高中数学常见到的一种题型，要好好地理解和掌握.学科.网

【反馈检测2】设函数1()f x x x

=+

的图象为1C ，1C 关于点(2,1)A 对称的图象为2C ，求2C 对应的函数()g x 的表达式.方法三

换元法使用情景已知复合函数的解析式，求原函数的解析式.解题步骤先换元，求出函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析式.

【例5】已知(1)lg f x x

+=，求()f x .

【解析】令21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，所以2()lg (1)1f x x x =>-.【点评】（1）本题就是已知复合函数的解析式，求原函数的解析式.一般先换元，再求出函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析式.（2）换元时，一定要注意新元的取值范围，它就是所求函数的定义域.

【反馈检测3】已知(1cos )cos 2,f x x -=求()2

x f 的解析式.方法四

解方程组法使用情景

已知抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量.解题步骤利用已知构造另一个方程，得到一个方程组，解方程组即可.

【例6】已知()f x 满足2()()3f x f x x +=，求()f x ．

【解析】1

2()(3f x f x x +=①，把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x +=②，

①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x =-．【点评】在已知的方程中有自变量x 和1x ，它们互为倒数，所以可以把方程中x 的地方统一换成1x ，从而又得到一个关于1(),()f x f x 的方程，解关于1(),(f x f x 的方程组即可.【反馈检测5】定义在区间(1,1)-上的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x 的表达式.方法五

实际问题法使用情景

实际问题解题步骤一般情况下根据函数的意义求出函数的解析式，要注意函数的定义域.

【例7】某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程()x km 表示为时间()t h （从A 地出发是开始）的函数，再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数．

【点评】实际问题中求函数的解析式难度比较大，一般要认真读题，再根据函数的意义、自变量的意义及其它们之间的关系建立它们之间的函数关系.在写函数的解析式时，要注意函数的定义域.

【反馈检测6】某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万

元，市场对此产品的需要量为500件，销售收入为函数()2

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x R x x =-()05x ≤≤万元，其中x 是产品

售出的数量（单位：百件）.

（1）把利润表示为年产量的函数()f x ；

（2）年产量为多少时，当年公司所得利润最大.