数学物理方法复习要点13.6.19-24页PPT资料
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数学物理方法整理(全)
CR条件极坐标形式
u 1 v 1 u v
f z u v u v 0 CR条件： i 0 z x y y x 解析函数 性质1、f(z)在区域 B 解析，u(x,y)和v(x,y)为共轭调和函数 u(x,y)和v(x,y)都满足二维 Laplace 方程
若l所围区域包围n个奇 点b1 b2 b3 ….， bn , 则 单极点
f z dz 2 i Re sf (b )
l j 1 j
n
称为留数定理
Re sf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
m 1
1 d m Re sf ( z ) lim { [( z z ) f ( z )]} m阶极点 0 0 m 1 z z0 (m 1)! dz
m为z0的阶，z 0为m阶极点，一阶极点 单极点 z0本性奇点 m ,
第四章 留数定理
l
f ( z )dz ak ( z z0 ) k dz 2ia1 2i Re sf z0
k l0
a1 Re sf ( z0 )
a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
k
k
0
f(z)正幂部分称为解析部分，负幂部分称为主要部分 (z-z0 )-1的系数a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
若 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 z0可去奇点
m m1 f ( z ) a ( z z ) a ( z z ) ... a0 a1 ( z z0 ) 若 m 0 m1 0
f ( z)
数学物理方法PPT课件
y
r
sin
sin
,
z r cos .
规定 0r ,
0,
02.
z
r•M(x,y,z)
z
o
x
A
y
•
xy P
8
（一）拉普拉斯方程
拉普拉斯算符的形式
二维
三维
直角坐 标
2 xxyy
2zz
柱坐标
2 112 12
2zz
球坐标 's1insi ns1 i2nr12 rr2r r12 '
rr2r1r r2'
微分方程解法: 积分法 — 只能解一些特殊类型方程，如达朗贝尔 法， 能够得到解析解 级数法 — 如分离变数法，能够得到近似的级数解 数值解法 — 计算数学内容
1
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2
有关分离变量法（级数解法）：
轴对称球坐标下拉普拉斯方程 uR(r)() 分离变数得到:
1 欧拉方程 (r2R') 'l(l1)R0
RCrl Dr1l1
2 勒让德方程
si(n s 'i)/ n ' l( l 1 )s2 in 0
xcos [(1x2) ']'l(l 1 ) 0
"0 si (n s ') i [ n 'l( l 1 ) s2 i n ] 0
A co m s B sm i n
xcos
连带勒让 德方程
[1 (x 2 ) '] [ 'l(l 1 ) 1 m x 2 2] 0
数学物理方法的ppt
n (cos n i sin n ) 故： (cos i sin )n cos n i sin n
方根 n z n e i e 1/ n i / n
e 1/ n i ( 2 k ) / n
( k 0,1,2,3 ) 故k取不同值，n z 取不同值
k 0 k 1 k2
kn
x Re( z) y Im( z)
几何表示：
y
复平面
z x yi
A(x, y)
r
x
z r x 2 y 2 为复数的模
arctg ( y / x) 为复数的辐角 x cos y sin
特权福利
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y Argz
r
x
复数的三角表示： z cos i sin
复数的指数表示： z (cos i sin ) ei
e 应用： 2 k i 1 1 e i
i e (2k / 2) i (k 0,1,) i e(2k 3 / 2) i
例：求 z 1 3i 的Argz与argz
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角
关系： z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
2、复数的乘法
z1 z2 ( x1 y1i)( x2 y2i) ( x1x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1)
z1 z2 1e i1 2e i 2 e i (1 2 )
zE
w称为的z复变函数
z称为w的宗量
方根 n z n e i e 1/ n i / n
e 1/ n i ( 2 k ) / n
( k 0,1,2,3 ) 故k取不同值，n z 取不同值
k 0 k 1 k2
kn
x Re( z) y Im( z)
几何表示：
y
复平面
z x yi
A(x, y)
r
x
z r x 2 y 2 为复数的模
arctg ( y / x) 为复数的辐角 x cos y sin
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y Argz
r
x
复数的三角表示： z cos i sin
复数的指数表示： z (cos i sin ) ei
e 应用： 2 k i 1 1 e i
i e (2k / 2) i (k 0,1,) i e(2k 3 / 2) i
例：求 z 1 3i 的Argz与argz
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角
关系： z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
2、复数的乘法
z1 z2 ( x1 y1i)( x2 y2i) ( x1x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1)
z1 z2 1e i1 2e i 2 e i (1 2 )
zE
w称为的z复变函数
z称为w的宗量
数学物理方法-绪论PPT课件
-
2
1.数学物理方程（50学时）
Chap.7 数学物理定解问题 (10) Chap.8 分离变数法(12) Chap.9 二阶常微分方程级数解法(10) Chap.10 球函数(10) Chap.11 柱函数(8)
-
3
2.矢量分析与场论(14学时）
Chap.1矢量分析(6) Chap.2场论(8)
2.熟练掌握不同定解条件(初始和边界) 下三类典型偏微分方程的解法 (分离变 数法) 3.掌握基本特殊函数的主要性质和应用
4.掌握矢性函数的计算和场的描述方法
-
6
教材
1.《数学物理方法》梁昆淼 编 2. 矢量分析与场论 谢树艺 编 参考书 1.《数学物理方法》吴崇试 编著 北大 2.《数学物理方程》谷超豪等 编著 复旦 3.《数学物理方法》邵惠民 编著 南大 3.《数学物理方程》季-孝达等编 中科大 7
数学物理方法(Ⅱ)
——是物理和数学相结合的一 门边缘科学,任务是研究物理 对象在数学中的描述
-
1
绪论
一、内容简介
1.数学物理方程（50学时）
——常微分方程、微分积分方程、 偏微分方程（反映物理量在空间中 的分布和随时间的变化规律）
2.矢量分析与场论(14学时）
——矢性函数的运算、标量场和矢
量场的描述方法
-
4
二、课程特点
1.涉及到的数学知识广泛（高等数学、 常微分方程、复变函数、线性代数）
2.涉及到的物理概念多（力学、热学、 电磁学…）
3.应用广泛(电动力学、量子力学、电磁场 理论）
4.计算较繁、计算量较大（掌握常规的分析步骤）
-
Байду номын сангаас
5
三、学习目标
数学物理方法复习提纲13页
复变函数论复变函数：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 中的每一点z ，按照一定的规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则说在点集E 上定义了一个复变函数，记作：)(z f w =，点集E 叫作函数的定义域令：iv u z f w +==)(，并将iy x z +=代入，则有： 初等复变函数：指数函数：)sin (cos y i y e e e e e x iy x iy x z +===+ 三角函数： ()iz iz e e i z --=21sin , z z z cos sin tan =, zzz sin cos cot = 1）因为z z sin )2sin(=+π，z z cos )2cos(=+π，所以z sin ，z cos 具有实周期π2 2）z sin ，z cos 为无界函数。
3）212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =± 双曲线函数：()z z e e shz --=21 ， ()z z e e chz -+=21 ， chzshzthz =对数函数： iArgz z Lnz iv u w +==+=ln 幂函数：为复常数）（αααααArgzi z Lnz e e e z ln == 一般指数函数：为复常数）（αααααziArg z zLn z e e e ln == 复变函数的导数：设函数)(z f w =是在区域E 上定义的单值函数，对于E 上的某点z ，如果极限zz f z z f z w z z ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00存在，则称函数)(z f w =在点z 处可导，此极限叫作函数)(z f w =在点z 处的导数，表示为:复变函数可导的充要条件：复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导的充要条件是偏导数x y x u ∂∂),(，y y x u ∂∂),(，xy x v ∂∂),(，y y x v ∂∂),(存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即：解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数)(z f 在0z 点及其邻域内处处可导，那么称)(z f 在0z 点解析。
第一章数学物理方法PPT课件
括有非零自由项的方程称为非齐次方程。 自由项恒等于零的方程称为齐次方程。方 程（1.1.3）为一维齐次波动方程，方程 （1.1.4）为一维非齐次波动方程。
17
三、传输线方程
对于直流电或低频的交流电，基尔霍夫 （Kirchhoff）定律指出同一支路中电流 相等。但对于较高频率的（指频率还没有 高到能显著地辐射电磁波的情况），电路 中的导线的自感和电容的效应不可忽略， 因而同一支路中电流未必相等。
的倾角都很小，即 0,' 0 ，从而由
cos12
4
2! 4!
可知，当我们略去 和 ' 的所有高于
一次方的各项时，就有
10
cos1, cos' 1
代入到式（1.1.1），便可近似得到
T T'
在u方向弧段 M M ' 的受力总和为
T s in T 's in'g d s ,其 中 g d s
6
A.弦的横振动 B.无穷小的一段弦 B C.受力分析和运动方程
弦的原长 sx 现长 s' (x)2(u)2x
弦长的变化产生回到原位置的张力
u(x) uu
u(x)
B
1
T1
A
T2 2 C
0
x
xx
x
7
设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置
为M，位移NM记为u，显然，在振动过程中
位移u是变量x和t的函数，即u=u（x，t）。
5
一、均匀弦的微小横振动 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿
直线拉紧，而且除了受不随时间变化的张 力及弦本身的重力外，不受其它外力的作 用。下面研究弦作微小横振动的规律。所 谓“横向”是指全部运动出现在一个平面 内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运 动（如图1.1.1）。所谓“微小”是指运 动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都 很小，以致它们的高于一次方的项可以忽 略不计。
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三、传输线方程
对于直流电或低频的交流电，基尔霍夫 （Kirchhoff）定律指出同一支路中电流 相等。但对于较高频率的（指频率还没有 高到能显著地辐射电磁波的情况），电路 中的导线的自感和电容的效应不可忽略， 因而同一支路中电流未必相等。
的倾角都很小，即 0,' 0 ，从而由
cos12
4
2! 4!
可知，当我们略去 和 ' 的所有高于
一次方的各项时，就有
10
cos1, cos' 1
代入到式（1.1.1），便可近似得到
T T'
在u方向弧段 M M ' 的受力总和为
T s in T 's in'g d s ,其 中 g d s
6
A.弦的横振动 B.无穷小的一段弦 B C.受力分析和运动方程
弦的原长 sx 现长 s' (x)2(u)2x
弦长的变化产生回到原位置的张力
u(x) uu
u(x)
B
1
T1
A
T2 2 C
0
x
xx
x
7
设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置
为M，位移NM记为u，显然，在振动过程中
位移u是变量x和t的函数，即u=u（x，t）。
5
一、均匀弦的微小横振动 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿
直线拉紧，而且除了受不随时间变化的张 力及弦本身的重力外，不受其它外力的作 用。下面研究弦作微小横振动的规律。所 谓“横向”是指全部运动出现在一个平面 内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运 动（如图1.1.1）。所谓“微小”是指运 动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都 很小，以致它们的高于一次方的项可以忽 略不计。
《数学物理方法》课件
2
应用于实际问题，帮助学生理解方法 的实际应用。
通过习题解析，培养学生分析和解决
问题的能力，加深对方法的理解。
3
实际应用案例
介绍数学物理方法在实际工程和科学 研究中的应用案例，激发学生对学习 的兴趣。
课程成果
掌握数学物理方法
提升问题解决能力
学生将掌握数学物理方法的基本原理和应用能力， 为未来的学习和研究打下良好基础。
《数学物理方法》PPT课 件
这是《数学物理方法》的PPT课件，旨在与大家分享数学物理方法的知识。 通过引人入胜的内容和精美的图片，让学习过程变得轻松有趣。
ห้องสมุดไป่ตู้
课程介绍
课程背景
探索数学与物理的结合，拓宽科学研究的范围。
课程目标
培养学生分析和解决问题的能力，提升数学物理应用水平。
授课内容概述
涵盖微积分、线性代数、微分方程和矩阵论等数学方法，以及统计力学、量子力学和电磁场 理论等物理方法。
通过课程的实践和习题解析，学生将提升问题解 决和数学建模的能力。
结论和要点
综合数学和物理
《数学物理方法》课程将 数学与物理相结合，帮助 学生更好地理解物理现象 和问题。
培养实践能力
通过课程实践和案例分析， 培养学生分析和解决实际 问题的能力。
激发学习兴趣
优秀的示例分析和实际应 用案例将激发学生对数学 物理方法的学习兴趣。
数学方法
微积分
研究连续变化的量 和其导数，为数学 建模和物理问题分 析提供基础。
线性代数
研究向量、矩阵和 线性变换，为数学 和物理领域的数据 处理与分析提供工 具。
微分方程
研究函数及其导数 的关系方程，为实 际问题的建模和求 解提供数学方法。
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利用递推公式
P lx P l' 1 x P l' 1 x
上式 u22Pl10Pl10Pl11Pl11
展成广义傅立叶级数。 7、熟练利用连带勒让德多项式给出拉普拉斯方程非轴对称
性定解问题的解。
第十一章 柱函数
1、熟悉三类贝塞尔方程和三类柱函数 2、掌握几类柱函数的自然边界条件 3、熟练掌握贝塞尔函数的递推公式 4、掌握贝塞尔函数的零点与模值 5、能将函数展成贝塞尔级数 6、能熟练解决柱坐标系下的边值问题（波动方程，输运方
第七章 数学物理方程定解问题 1、能导出弦的横振动方程、均匀杆的纵振动方程、扩散
方程、热传导方程、静电场方程 2、能正确写出波动方程、输运方程的初始条件 3、能正确写出数理方程方程的三类边界条件(注意符号的
正负) 固定端、自由端、弹性支撑、绝热、过截面有热量交换
衔接条件：振动问题，两种材料连接，位移连续、连接面上二力相等 静电场：电势相等，点位移矢量连续 4、能正确写出定解问题 5、掌握达朗贝尔公式，熟练运用达朗贝尔公式解无界和半 无界弦波动方程的定解问题 6、明确行波法中波动方程解的物理意义
解格林函数的边值问题。 5、掌握三维无界空间的基本解和二维无界空间极坐
标下的基本解。 6、熟练应用电像法求半空间、球形区域和圆域等的
格林函数 7、运用电像法给出半空间、球形区域和圆域等边值
问题的积分公式。
第十三章 积分变换法
1、掌握傅立叶变换的定义 2、掌握傅立叶变换的基本性质 3、掌握拉普拉斯变换的定义 4、掌握拉普拉斯变换的基本性质 5、熟练运用傅立叶变换法求解无限长杆热传导问
所以
ur,C 0l 1C lrllla l1a rl1P lcos
代入 第二个边界条件，有
C 0 l 0 C l b l ll l1 a b a l 1 P lco s fco s u u 1 2 ,,
0 /2 /2
利用 我们得到
f
x
l0
clPlx
5、掌握ν阶贝塞尔方程的级数解和1/2阶、-1/2贝塞尔函数
的表达式。 6、熟悉ν阶诺依曼函数的定义。 7、知道m和-m整数阶贝塞尔函数线性相关，以及虚宗量贝
塞尔函数的概念。 8、明确贝塞尔方程在x=0处存在自然的边界条件。 9、掌握施特姆-刘维尔本征值的四个基本性质。
第十章 球函数
1、熟悉 阶勒让德多项式的几种表达式，能熟练写出前几 个勒让德多项式。
2、掌握勒让德多项式的正交关系、模，能将一个函数展成 广义傅立叶级数。
3、熟练利用勒让德多项式给出拉普拉斯方程轴对称性定解 问题的解。
4、掌握勒让德多项式的递推公式，并能熟练应用。 5、熟悉连带的勒让德多项式的四种表达式，能写出前几个
连带的勒让德多项式。 6、熟悉连带勒让德多项式的正交关系、模，能将一个函数
程，圆盘的边值问题，圆柱体的边值问题，） 7、了解虚宗量贝塞尔方程、虚宗量贝塞尔函数、虚宗量汉
克尔函数的基本概念。 8、熟悉球贝塞尔函数、球诺伊曼函数和球汉克尔函数都可
用初等函数来表示 9、熟悉三类球形函数的递推公式 10、能求解球形区域亥姆霍兹方程的定解问题
第十二章 格林函数方法
1、熟悉泊松方程的三类边值问题 2、熟悉求解泊松方程的格林函数法的求解步骤。 3、熟悉泊松方程三类边值问题的积分公式， 4、掌握泊松方程三种边值问题的积分公式归结为求
解：以球壳中心为原点取球坐标系，定解问题为
u 0, a r b
ur ra 0,
u
rb
u1,
u2,
0
2
2
球坐标系下的拉普拉斯方程为
u r 1 2 r r 2 u r r 2 s 1i n si u n r 2 s 1 2 i n 2 u 2 0
数学物理方法复习 2
设 u r,, R rY ,
并设 Y ,
得到 令
r2 ''
dd2rR2 2r
dRll
dr
0
1R0,
si
n
d
d
sin
dd
ll
1sin2
0
xcos
1x2d d2 2x2xd d x ll11 m x 22 0
显然，本题关于极轴是对称的，m=0,则连带的勒氏方程简化 为勒让得方程
第八章 分离变量方法
本章内容要求全面掌握 1、熟练运用分离变量方法求解波动方程、输运方程
和圆域内外拉普拉斯方程齐次边界条件的定解问 题 2、准确求出各种本征值和本征函数 3、能用傅里叶级数方法和冲量定理方法求解非齐次 振动方程和输运方程的定解问题 4、掌握非齐次边界条件的处理方法（一般处理方法 和特殊处理方法） 5、熟悉用分离变量方法求解泊松方程的定解问题
1x2 d d2 2x2xd d xll10
欧拉方程和勒让得方程的解为
Rrcrl dr1l1
xPlx
问题的一般解为
ur,l 0C lrlD l r1 l1P lco s
代入第一个边界条件，得
由此得
l 0(lC lal 1l1D la1 l2)P lco s0
D 00 , D ll l1a2l 1 C l,l1 ,2 ,3 ,
第九章
1、能将拉普拉斯方程在球坐标系下分离变量得到欧拉方 程、勒让德方程和连带的勒让德方程。
2、能将拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到贝塞尔 方程。
3、熟练掌握拉普拉斯方程、波动方程、输运方程、亥姆 方程、球坐标系下、柱坐标系下分离变量的结果（见 236页表格）
4、熟悉常点邻域上、正则奇点邻域上的级数解法。
题，无限长弦振动问题 6、熟练运用拉普拉斯变换法求解热传导问题、输运
问题和弦振动问题 。 7、明确傅立叶变换、拉普拉斯变换求解问题的类
型，求解问题的优势和不足。
数学物理方法复习 2
例 一内外半径分别为a和b 的介质球壳，其内表面绝热，外表 面的上半球面保持恒温u1,, 而下半球面保持恒温u2,求球壳内的 稳定温度分布。
cl
2l1 1
2 1
f
xPlxdx,l
0,1,2,3,
C 0 1 2 1 1 fx d 1 2 x 0 1 u 2 d x 0 1 u 1 d x 1 2 u 1 u 2
Cl bl
lal
al1
l1b
2l 1 2
1 1
f
xPlxdx
2l21 01u2Plxdx 01u1Plxdx