二次函数压轴题最短路径问题

最短路径问题——和最小

【方法说明】

“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l上找一点P使得P A＋PB最小．当点P为直线AB′与直线l的交点时，P A ＋PB最小．

【方法归纳】

①如图所示，在直线l上找一点B使得线段AB最小．过点A作AB⊥l，垂足为B，则线段AB即为所求．

②如图所示，在直线l上找一点P使得P A＋PB最小．过点B作关于直线l的对称点B′，BB′与直线l交于点P，此时P A＋PB最小，则点P即为所求．

③如图所示，在∠AOB的边AO，BO上分别找一点C，D使得PC＋CD＋PD最小．过点P分别作关于AO，BO的对称点E，F，连接EF，并与AO，BO分别交于点C，D，此时PC＋CD＋PD最小，则点C，D即为所求．

④如图所示，在∠AOB的边AO，BO上分别找一点E，F使得DE＋EF＋CF最小．分别过点C，D作关于AO，BO的对称点D′，C′，连接D′C′，并与AO，BO分别交于点E，F，此时DE＋EF＋CF最小，则点E，F即为所求．

⑤如图所示，长度不变的线段CD在直线l上运动，在直线l上找到使得AC＋BD最小的CD的位置．分别过点A，D作AA′∥CD，DA′∥AC，AA′与DA′交于点A′，再作点B关于直线l的对称点B′，连接A′B′与直线l交于点D′，此时点D′即为所求．

⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P为抛物线（y＝1

4x

2）上的一点，点A（0，1）在y轴正半轴．点P

在什么位置时P A＋PB最小过点B作直线l：y＝－1的垂线段BH′，BH′与抛物线交于点P′，此时P A＋PB 最小，则点P即为所求．

【典型例题】

1．（13广东）已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1．

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；

（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短若P点存在，求出P点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．

【思路点拨】

（1）由二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；

（2）把m＝2代入求出二次函数解析式，令x＝0，求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；

（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC＋PD最短，求出CD的直线解析式，令y＝0，求出x的值，即可得出P点的坐标．

【解题过程】

解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），

∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0，解得：m＝±1，

∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x或y＝x2＋2x；

（2）∵m＝2，∴二次函数y＝x2－2mx＋m2－1得：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，

∴抛物线的顶点为：D（2，－1），

当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为：（0，3），∴C（0，3）、D（2，－1）；

（3）当P、C、D共线时PC＋PD最短，

【方法一】

∵C （0，3）、D （2，－1），

设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋3，代入得：2k ＋3＝－1，∴k ＝－2，∴y ＝－2x ＋3，

当y ＝0时，－2x ＋3＝0，解得x ＝32，∴PC ＋PD 最短时，P 点的坐标为：P （32

，0）． 【方法二】

过点D 作DE ⊥y 轴于点E ，

∵PO ∥DE ，∴PO DE ＝CO CE ，∴PO 2＝34，解得：PO ＝32

， ∴PC ＋PD 最短时，P 点的坐标为：P （32

，0）． 2．（11菏泽）如图，抛物线y ＝12

x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；

（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．

【思路点拨】

（1）把点A 的坐标代入求出b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D 的坐标；

（2）观察发现△ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明．由抛物线的解析式，分别求出点B ，

C 的坐标，再得出AB ，AC ，BC 的长度，易得AC 2＋BC 2＝AB 2，得出△ABC 是直角三角形；

（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，连接C 'D 交x 轴于点M ，根据“两点之间，线段最短”可知MC ＋MD 的值最小．求出直线C 'D 的解析式，即可得出点M 的坐标，进而求出m 的值．

【解题过程】

解：（1）∵点A （－1，0）在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴12×（－1 ）2＋b ×（－1）－2＝0，解得b ＝－32

， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2＝12（x －32）2－258，∴顶点D 的坐标为 （32，－258

）． （2）当x ＝0时y ＝－2，∴C （0，－2），OC ＝2．

当y ＝0时，12x 2－32

x －2＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5． ∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，∴AC 2＋BC 2＝AB 2．

∴△ABC 是直角三角形．

（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′＝2，

连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小．

【方法一】

设直线C ′D 的解析式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎨⎧n ＝232k ＋n ＝－258，解得：⎩⎨⎧n ＝2k ＝－4112

．∴y ＝－4112x ＋2． ∴当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，x ＝2441．∴m ＝2441

． 【方法二】

设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．

∵ED ∥y 轴，∴∠OC ′M ＝∠EDM ，∠C ′OM ＝∠DEM ，∴△C ′OM ∽△DEM ．

∴OM EM ＝OC ′ED ，∴m 32－m ＝2258

，∴m ＝2441 ． 3．（11福州）已知，如图，二次函数y ＝ax 2＋2ax ﹣3a （a ≠0）图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线l ：y ＝33x ＋3对称． （1）求A 、B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN ＋NM ＋MK 和的最小值．

【思路点拨】